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微专题4　与对数函数有关的复合函数
与对数函数有关的复合函数，主要是对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．
类型1　对数型复合函数的单调性
【例1】　讨论函数f (x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例2】　已知函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围．
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类型2　对数型复合函数的值域
【例3】　求函数f (x)＝lo(1＋2x－x2)的值域．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　对数型复合函数的奇偶性、单调性
【例5】　已知函数f (x)＝ln (1＋x)＋ln (a－x)为偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)讨论函数f (x)的单调性．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2/2微专题4　与对数函数有关的复合函数
与对数函数有关的复合函数，主要是对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．
类型1　对数型复合函数的单调性
【例1】　讨论函数f (x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
[解]　由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为．
①当a＞1时，若x＞1，则u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f (x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数；
若x＜－，则u＝3x2－2x－1为减函数，
∴f (x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，
②当0＜a＜1时，若x＞1，则f (x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；若x＜－，则f (x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
【例2】　已知函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围．
[解]　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上单调递减，∵0<<1，∴y＝g(x)是关于g(x)的减函数．而已知复合函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，
∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立，
即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2＋2]．
类型2　对数型复合函数的值域
【例3】　求函数f (x)＝lo(1＋2x－x2)的值域．
[解]　令u＝1＋2x－x2，可得0＜u≤2，
因为y＝lou在(0，2]上是递减的，
所以lou∈[－1，＋∞)．
故f (x)＝lo (1＋2x－x2)的值域为[－1，＋∞)．
【例4】　求函数f (x)＝log2(4x)·lo，x∈的值域．
[解]　f (x)＝log2(4x)·lo＝(log2x＋2)·
＝－[(log2x)2＋log2x－2]．
设log2x＝t．
∵x∈，
∴t∈[－1，2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，
∴当t＝－时，有最大值，且y最大值＝．
当t＝2时，有最小值，且y最小值＝－2．
∴f (x)的值域为．
类型3　对数型复合函数的奇偶性、单调性
【例5】　已知函数f (x)＝ln (1＋x)＋ln (a－x)为偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)讨论函数f (x)的单调性．
[解]　(1)∵f (x)为偶函数，∴f (－x)＝f (x)，
∴ln (1－x)＋ln (a＋x)＝ln (1＋x)＋ln (a－x)，
∴ln (1－x)－ln (1＋x)＝ln (a－x)－ln (a＋x)，
∴ln ＝ln ，∴＝，
整理得2x(a－1)＝0，
∵x不恒为0，∴a－1＝0，∴a＝1．
(2)由(1)知f (x)＝ln (1＋x)＋ln (1－x)，
要使函数f (x)有意义，应满足
∴－1设x1，x2是区间(－1，1)上的任意两个实数，且x1＜x2，
∴f (x2)－f (x1)＝ln (1＋x2)＋ln (1－x2)－ln (1＋x1)－ln (1－x1)＝，
当－1，
>0，
∴f (x2)－f (x1)>0，
∴f (x2)>f (x1)，
∴f (x)在(－1，0)上是增函数．
当0≤x1，
，
<0，
∴f (x2)－f (x1)<0，∴f (x2)∴f (x)在[0，1)上是减函数．
综上可知，函数f (x)在(－1，0)上是增函数，在[0，1)上是减函数．
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