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4.5.2　形形色色的函数模型
学习任务 核心素养
1．会利用已知函数模型解决实际问题．(重点) 2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点) 3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点) 通过对本节内容的学习，认识函数模型的作用，提高数学建模、数据分析的素养．
兔子是一种可爱的动物，尤其很受小朋友的喜爱．但是这样的兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧
草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量为对数增长．
知识点　常见函数模型
(1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型 y＝
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述． (　　)
(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型． (　　)
(3)在不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
2．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是(　　)
A．y＝2x－1　　　　　
B．y＝x2－1
C．y＝2x－1
D．y＝1.5x2－2.5x＋2
D　[逐一检验可知D选项符合．故选D．]
类型1　利用已知函数模型解决实际问题
【例1】　物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
[解]　先设定半衰期h，由题意知
40－24＝(88－24)×，即＝，
解得h＝10，故原式可化简为
T－24＝(88－24)×，
当T＝32时，代入上式，得
32－24＝(88－24)×，
即＝＝＝，
∴t＝30．
因此，需要30 min，可降温到32 ℃．
　已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
[跟进训练]
1．声强级L(单位：dB)由公式L＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10-12 W/m2，求人听觉的声强级范围；
(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
[解]　(1)由题知10-12≤I≤1，∴1≤≤1012，
∴0≤lg ≤12，
∴0≤L≤120，
故人听觉的声强级范围是[0，120](单位：dB)．
(2)设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强级为L2，声强为I2，由题知L1－L2＝20，
则10lg －10lg ＝20，
∴lg ＝lg 100，∴I1＝100I2．
故该女高音的声强是该男低音声强的100倍．
类型2　自建确定性函数模型解决实际问题
【例2】　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
[解]　(1)最初的质量为500 g．
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t．
(2)由题意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得lg 0.9t＝lg 0.5，
即t lg 0.9＝lg 0.5，∴t＝≈6.6．
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
　自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
[跟进训练]
2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有数量约1 000只，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约数量；
(2)写出y(珍稀鸟类的数量)关于x(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的数量达到现有数量的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解]　 (1)依题意，一年后这种鸟类的数量为，
1 000＋1 000×8%＝1 080(只)，
两年后这种鸟类的数量为
1 080＋1 080×8%≈1 166(只)．
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有数量约1 000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N．
(3)令1 000×1.08x≥3×1 000，得：1.08x≥3，两边取常用对数得：
lg 1.08x≥lg 3，即x lg 1.08≥lg 3，
考虑到lg 1.08>0，故x≥，故x≥＝，
因为lg 108＝lg (33×22)＝3lg 3＋2lg 2，所以
x≥≈≈14.3．约经过15年以后，这种鸟类的数量达到现有数量的3倍或以上．
类型3　拟合数据构建函数模型解决实际问题
【例3】　某企业常年生产一种出口产品，自2019年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2019年为第1年，前4年年产量f (x)(万件)如下表所示：
x 1 2 3 4
f (x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2019～2022年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2024年(即x＝6)因受某种原因的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2024年的年产量为多少？
借助散点图，联想常见函数模型的变化趋势，思考选用哪种函数模型解题？
[解]　(1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f (x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得解得
∴f (x)＝1.5x＋2.5．
检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，
f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1．
∴一次函数模型f (x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2024年的年产量为f (6)＝1.5×6＋2.5＝11.5(万件)，又年产量减少30%，即11.5×70%＝8.05(万件)，即2024年的年产量为8.05(万件)．
　函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
[跟进训练]
3．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入我国．现在南方一些水域中水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量的水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为18 m2，经过3个月其覆盖面积为27 m2．现水葫芦的覆盖面积y(单位：m2)与经过的时间x(单位：月，x∈N)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝p＋q(p>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的1 000倍．
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解]　(1)∵y＝kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y＝p＋q(p>0)的增长速度越来越慢，
∴函数模型y＝kax(k>0，a>1)更合适，
则有解得∴y＝8×(x∈N)．
(2)设经过x个月该水域中水葫芦的面积是当初投放的1 000倍．
当x＝0时，y＝8，
则有8×＝8×1 000，
∴x＝＝＝≈17.04．
∴原先投放的水葫芦的面积为8 m2，约经过17个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的1 000倍．
1．根据日常生活A，B，C，D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是(　　)
A　　　　　B　　 　　C　 　　D
[答案]　B
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)
A．y＝·m
B．y＝(1－)·m
C．y＝0.9550-x·m
D．y＝(1－0.0550-x)·m
A　[设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%．由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝所以从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝·m．]
3．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是(　　)
A．600元　　B．50%　　C．－1　　D．＋1
C　[设6年间平均年增长率为x，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得x＝－1．]
4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
4　[设至少要洗x次，则，
所以x≥≈3.322，所以至少需4次．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
解决函数应用问题的基本步骤是什么？
[提示]　利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
课时分层作业(三十七)　形形色色的函数模型
一、选择题
1．如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是(　　)
A．
C．－1 D．－1
D　[设月平均增长率为x，1月份的产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝，故x＝－1．]
2．有一组实验数据如下表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
C　[可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C．]
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f (x)的图象大致是(　　)
A　　　B　　　C　　　　D
D　[设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意知ax＝a(1＋0.104)y，即y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f (x)的图象大致为D中图象．]
4．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后，若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为(　　)
A．y＝360－1 B．y＝360×1.04x
C．y＝ D．y＝360
D　[设该乡镇现在人口数为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克，
1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数为M(1＋1.2%)，
则人均占有粮食产量为千克，2年后，人均占有粮食产量为千克，
……
经过x年后，人均占有粮食产量为
千克，即所求解析式为
y＝360．故选D．]
5．(多选题)为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是(参考数据：lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301)(　　)
A．2023年 B．2024年
C．2025年 D．2026年
CD　[设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，
则投入的资金为y＝5 000×(1＋20%)n，
由题意可得：y＝5 000×(1＋20%)n>12 800，
即1.2n>2.56，
∴n lg 1.2>lg 2.56＝lg 28－2，
∴n>≈≈5.16，
∵n∈Z，∴n≥6，
即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，故选CD．]
二、填空题
6．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．
乙、甲、丙　[将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]
7．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下4个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x．
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．
④　[画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④．
]
8．已知某个病毒经30 min可繁殖为原来的2倍，且病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5 h，1个病毒能繁殖________个．
2ln 2　1 024　[当t＝0.5时，y＝2，
∴2＝，
∴k＝2ln 2，
∴y＝e2t ln 2．当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024．]
三、解答题
9．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm．经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数)．求c，m的值．
[解]　由题意可得
解得故c，m的值分别为128，．
10．为减轻手术给病人带来的痛苦，麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂，某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂，已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(单位：mg)与时间t(单位：h)成正比，麻醉剂释放完毕后，y与t的函数解析式为y＝(a为常数)，如图所示．
(1)试求从麻醉剂释放开始，血液中的麻醉剂含量y(mg)与时间t(h)之间的解析式；
(2)根据麻醉师的统计，当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125 mg以下时，病人才能清醒过来，那么实施麻醉开始，至少需要经过多长时间，病人才能清醒过来？
[解]　(1)根据题中所述，由题图可知，血液中麻醉剂的含量y(mg)是关于时间t(h)的一个分段函数：
当0≤t≤0.1时，函数的图象是一条经过O(0，0)的线段，设其方程为y＝kt(k为待定系数)，
又因为A(0.1，1)是这条线段的一个端点，代入点A的坐标得k＝10，所以当0≤t≤0.1时，y＝10t．
当t>0.1时，函数解析式为y＝，
而A(0.1，1)在这段函数图象上，代入得1＝，所以有0.1－a＝0，解得a＝0.1．
故当t>0.1时，y＝．
综上，血液中麻醉剂的含量y(mg)与时间t(h)之间的解析式为y＝
(2)要使手术后的病人能清醒过来，需要麻醉剂含量降低到0.125 mg以下，此时t>0.1，且y≤0.125＝．
当t>0.1时，由，得t－0.1≥1，
解得t≥1.1．
所以至少需要经过1.1 h后病人才能清醒．
11．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位 mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位 mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10-14．已知pH的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)
A．
C．
C　[∵pH＝－lg [H＋]∈(7.35，7.45)．
且[H＋]·[OH－]＝10-14，
∴lg ＝lg ＝lg ([H＋]2·1014)＝2lg [H＋]＋14，
又∵7.35<－lg [H＋]<7.45，
∴－7.45∴－0.9<2lg [H＋]＋14<－0.7，
即－0.9∵lg ＝－lg 2≈－0.30，∴A不正确；
∵lg ＝－lg 3≈－0.48，∴B不正确．
∵lg ＝－(lg 2＋lg 3)≈－0.78，∴C正确；
∵lg ＝－1，∴D不正确．]
12．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt．已知新丸经过50天后，体积变为a．若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)
A．125 B．100
C．75 D．50
C　[由已知，得a＝a·e-50k，∴e－k＝．
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝，
∴＝＝，∴＝，t1＝75．]
13/134.5.2　形形色色的函数模型
学习任务 核心素养
1．会利用已知函数模型解决实际问题．(重点) 2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点) 3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点) 通过对本节内容的学习，认识函数模型的作用，提高数学建模、数据分析的素养．
兔子是一种可爱的动物，尤其很受小朋友的喜爱．但是这样的兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧
草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量为对数增长．
知识点　常见函数模型
(1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型 y＝
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述． (　　)
(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型． (　　)
(3)在不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型． (　　)
2．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是(　　)
A．y＝2x－1　　　　　
B．y＝x2－1
C．y＝2x－1
D．y＝1.5x2－2.5x＋2
类型1　利用已知函数模型解决实际问题
【例1】　物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
[跟进训练]
1．声强级L(单位：dB)由公式L＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10-12 W/m2，求人听觉的声强级范围；
(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　自建确定性函数模型解决实际问题
【例2】　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
[跟进训练]
2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有数量约1 000只，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约数量；
(2)写出y(珍稀鸟类的数量)关于x(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的数量达到现有数量的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　拟合数据构建函数模型解决实际问题
【例3】　某企业常年生产一种出口产品，自2019年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2019年为第1年，前4年年产量f (x)(万件)如下表所示：
x 1 2 3 4
f (x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2019～2022年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2024年(即x＝6)因受某种原因的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2024年的年产量为多少？
借助散点图，联想常见函数模型的变化趋势，思考选用哪种函数模型解题？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
[跟进训练]
3．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入我国．现在南方一些水域中水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量的水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为18 m2，经过3个月其覆盖面积为27 m2．现水葫芦的覆盖面积y(单位：m2)与经过的时间x(单位：月，x∈N)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝p＋q(p>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的1 000倍．
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．根据日常生活A，B，C，D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是(　　)
A　　　　　B　　 　　C　 　　D
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)
A．y＝·m
B．y＝(1－)·m
C．y＝0.9550-x·m
D．y＝(1－0.0550-x)·m
3．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是(　　)
A．600元　　B．50%　　C．－1　　D．＋1
4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
解决函数应用问题的基本步骤是什么？
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