资源简介

类型1　指数与对数的运算
1．本章主要学习了指数幂的运算、对数的运算法则及换底公式，其中指数与对数的互化、应用相应运算性质化简、求值是考查的重点．
2．指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算法则并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
【例1】　计算：(1)2log32－log3＋log38－；
(2)1.5－＋80.25×＋()6－．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　指数函数、对数函数的图象及应用
函数y＝ax及y＝logax(a>0且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，前者恒过点(0，1)，后者恒过点(1，0)，两函数的单调性均由底数a决定．在解题中要注意由翻折、平移等变换得出的函数图象．
【例2】　(1)已知a>0且a≠1，则函数f (x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是(　　)
A　　　　　　　　　 B
C　　　　　　　　　 D
(2)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a．若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
类型3　指数函数、对数函数的性质及应用
以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围．
【例3】　(1)若0A．3y<3x B．logx3C．log4x(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f (x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1．
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型4　函数的零点与方程的根
函数的零点就是相应方程的根，是相应函数图象与x轴交点的横坐标．因此，判断函数零点的个数问题常转化为方程根的求解或两函数图象交点个数问题．零点存在定理是判断函数是否存在零点的一种方式，注意其使用条件：(1)连续性；(2)异号性．
【例4】　已知定义在R上的函数y＝f (x)的图象是一条不间断的曲线，f (a)≠f (b)，其中a[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型5　函数的实际应用
本章主要学习了两类函数模型：一类是指数型函数模型，通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基数，p为增长率，x为时间)；另一类是对数型函数模型，通常可表示为y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0)．解决的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应解析式，然后利用相应解析式解决实际问题．
【例5】　某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了．
(1)求函数关系式p(t)；
(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg 2≈0.3)
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1/4类型1　指数与对数的运算
1．本章主要学习了指数幂的运算、对数的运算法则及换底公式，其中指数与对数的互化、应用相应运算性质化简、求值是考查的重点．
2．指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算法则并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
【例1】　计算：(1)2log32－log3＋log38－；
(2)1.5－＋80.25×＋()6－．
[解]　(1)原式＝log3－3＝2－3＝－1．
(2)原式＝＋＋22×33－＝21＋4×27＝110．
类型2　指数函数、对数函数的图象及应用
函数y＝ax及y＝logax(a>0且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，前者恒过点(0，1)，后者恒过点(1，0)，两函数的单调性均由底数a决定．在解题中要注意由翻折、平移等变换得出的函数图象．
【例2】　(1)已知a>0且a≠1，则函数f (x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是(　　)
A　　　　　　　　　 B
C　　　　　　　　　 D
(2)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a．若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
(1)C　(2)C　[(1)由题意可知f (x)＝ax与g(x)＝loga 的单调性相同，故排除选项D，又g(－1)＝loga1＝0，∴排除选项AB，故选C．
(2)函数g(x)＝f (x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f (x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f (x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f (x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C．]
类型3　指数函数、对数函数的性质及应用
以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围．
【例3】　(1)若0A．3y<3x B．logx3C．log4x(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f (x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1．
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
(1)C　[因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，B错误．
对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y＝在R上单调递减，故>，D错误．]
(2)[解]　①因为loga3>loga2，所以f (x)＝logax在[a，3a]上为增函数．
又f (x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3．
②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝＋．
令t＝log3x，因为1≤x≤3，
所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1．
所以y＝＋∈，
所以所求函数的值域为．
类型4　函数的零点与方程的根
函数的零点就是相应方程的根，是相应函数图象与x轴交点的横坐标．因此，判断函数零点的个数问题常转化为方程根的求解或两函数图象交点个数问题．零点存在定理是判断函数是否存在零点的一种方式，注意其使用条件：(1)连续性；(2)异号性．
【例4】　已知定义在R上的函数y＝f (x)的图象是一条不间断的曲线，f (a)≠f (b)，其中a[证明]　∵f (x)在(a，b)上不间断，
∴F(x)＝f (x)－在(a，b)上连续．
又∵f (a)≠f (b)，
∴f (a)－f (b)≠0．
F(a)＝f (a)－＝，
F(b)＝f (b)－＝，
∴F(a)·F(b)＝＝－<0，即F(a)·F(b)<0．
∴函数F(x)在区间(a，b)上有零点．
类型5　函数的实际应用
本章主要学习了两类函数模型：一类是指数型函数模型，通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基数，p为增长率，x为时间)；另一类是对数型函数模型，通常可表示为y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0)．解决的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应解析式，然后利用相应解析式解决实际问题．
【例5】　某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了．
(1)求函数关系式p(t)；
(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg 2≈0.3)
[解]　(1)根据题意，得p0＝p0e－k，
∴e－k＝，∴p(t)＝p0．
(2)由p(t)＝p0p0，
得≤10-3，两边取对数并整理得t(1－3lg 2)≥3，∴t≥30．
因此，至少还需过滤30个小时．
章末综合测评(四)　幂函数、指数函数和对数函数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若a<，则化简的结果是(　　)
A． B．－
C． D．－
C　[∵a<，
∴2a－1<0．
于是，原式＝＝．]
2．函数y＝·ln (2－x)的定义域为(　　)
A．(1，2) B．[1，2)
C．(1，2] D．[1，2]
B　[要使解析式有意义，则解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1，2)．]
3．下列幂函数中过点(0，0)，(1，1)的偶函数是(　　)
A．y＝ B．y＝x4
C．y＝x-2 D．y＝
B　[对A，y＝的定义域为[0，＋∞)，不是偶函数；C中，y＝x-2不过(0，0)点，D中，y＝是奇函数，B中，y＝x4满足条件．]
4．函数f (x)＝－的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
B　[令f (x)＝0，可得和指数函数y＝的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f (x)的零点只有一个．
]
5．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是(　　)
A．15 B．75
C．45 D．225
C　[由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45．]
6．若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
B　[因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，
所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，
所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2所以b>a>c．
故选B．]
7．函数f (x)＝a|x+1|(a>0且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是(　　)
A．f (－4)＝f (1)
B．f (－4)>f (1)
C．f (－4)D．不能确定
B　[因为函数f (x)＝a|x+1|(a>0且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，又函数f (x)＝a|x+1|(a>0且a≠1)的图象关于直线x＝－1对称，所以f (－4)>f (1)．]
8．已知函数f (x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，2) B．
C．(－∞，2] D．
B　[由题意知函数f (x)是R上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a的取值范围是，选B．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于函数f (x)＝说法正确的是(　　)
A．定义域关于原点对称
B．图象关于直线y＝x对称
C．图象关于x轴对称
D．图象关于y轴对称
AD　[易知f (x)的定义域为R，关于原点对称．
∵f (－x)＝＝＝f (x)，∴f (x)是偶函数，其图象关于y轴对称．]
10．若f (x)＝lg (|x－2|＋1)，则下列命题正确的是(　　)
A．f (x＋2)是偶函数
B．f (x)在区间(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数
C．f (x)没有最大值
D．f (x)没有最小值
ABC　[f (x)＝lg (|x－2|＋1)，所以f (x＋2)＝lg (|x|＋1)为偶函数，故A正确．画出函数的图象，如图所示：所以函数在(－∞，2)上为减函数，在(2，＋∞) 上为增函数，且存在最小值，没有最大值，故ABC正确．故选ABC．
]
11．已知正实数x，y满足log2x＋<－，则下列结论正确的是(　　)
A．< B．x3C．ln (y－x＋1)>0 D．2x－y<
BC　[∵正实数x，y满足log2x＋<－，
∴log2 x－易知f (x)＝log2x－为单调递增函数，故x∴>，x3∴y－x>0，y－x＋1>1，ln (y－x＋1)>0，故C正确；2x－y<20＝1，故D不一定正确，故选BC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知125x＝12.5y＝1 000，则＝________．
　[因为125x＝12.5y＝1 000，所以x＝log125 1 000，y＝log12.5 1 000，＝＝log1 000 125－log1 000 12.5＝log1 000＝log1 000 10＝．]
13．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋log2 (其中a是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，其耗氧量至少需要__________个单位．
80　[由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为20个单位，故有a＋log2＝0，即a＝－1．∴v＝－1＋log2，
要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，即－1＋log2≥2，也就是log2≥3，解得Q≥80，即飞行的速度不低于2 m/s，则其耗氧量至少要80个单位．
14．已知幂函数y＝f (x)的图象过点(8，m)和(9，3)．
(1)实数m的值为________；
(2)若函数g(x)＝af (x)(a>0，a≠1)在区间[16，36]上的最大值等于最小值的两倍，则实数a的值为________．
(1)2　(2)或　[(1)设f (x)＝xα，依题意可得9α＝3，
∴α＝，f (x)＝，
∴m＝f (8)＝＝2．
(2)g(x)＝，
∵x∈[16，36]，
∴∈[4，6]，
当0由题意得a4＝2a6，解得a＝；
当a>1时，g(x)max＝a6，g(x)min＝a4，
由题意得a6＝2a4，解得a＝．
综上，所求实数a的值为或．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)求值：
(1)－(－9.6)0－＋(1.5)-2；
(2)log25·log45－－log24＋．
[解]　(1)－(－9.6)0－＋(1.5)-2＝
＝．
(2)log25·log45－lo．
16．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝．
(1)判断函数f (x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明；
(2)函数g(x)＝f (x)＋log2x－2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(误差不超过0.3)；若没有零点，说明理由．
(参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，log21.25≈0.32，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807)．
[解]　(1)函数f (x)在区间[0，＋∞)上是增函数，
设x1，x2是区间[0，＋∞)上任意两个实数，且x1＜x2，
因为f (x1)－f (x2)＝＝<0，即f (x1)故函数f (x)在区间[0，＋∞)上是增函数．
(2)g(x)＝＋log2x－2是增函数，
∵g(1)＝1＋log21－2＝－1<0，
g(2)＝＋log22－2＝－1>0，
∴函数g(x)在区间(1，2)内有且只有一个零点，
∵g(1.5)＝＋log21.5－2≈1.225＋0.585－2＝－0.19<0，g(1.75)＝＋log21.75－2≈1.323＋0.807－2＝0.13>0，
∴函数的零点在(1.5，1.75)，
∵1.75－1.5＝0.25<0.3，
∴g(x)零点的近似值为1.5．
(函数g(x)的零点近似值取区间[1.5，1.75]中的任意一个数都可以)
17．(本小题满分15分)设函数f (x)＝log2(ax－bx)，且f (1)＝1，f (2)＝log212．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f (x)的零点；
(3)设g(x)＝ax－bx，求g(x)在[0，4]上的值域．
[解]　(1)由已知得
得解得a＝4，b＝2．
(2)由(1)知f (x)＝log2(4x－2x)，
令f (x)＝0得4x－2x＝1，
即(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝，
又2x>0，
∴2x＝，解得x＝log2．
(3)由(1)知g(x)＝4x－2x，令2x＝t，
则y＝t2－t＝－，t∈[1，16]，
所以g(x)∈[0，240]．
18．(本小题满分17分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
[解]　(1)由题意，得
y＝
(2)∵当x∈(0，15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，
∴x>15，
∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，
解得x＝39．
即老张的销售利润是39万元．
19．(本小题满分17分)已知函数f (x)＝lg ．
(1)求证：f (x)是奇函数；
(2)求证：f (x)＋f (y)＝f ；
(3)若f ＝1，f ＝2，求f (a)，f (b)的值．
[解]　(1)证明：由函数f (x)＝lg ，可得>0，即<0，解得－1(2)证明：f (x)＋f (y)＝lg ＋lg ＝lg ，
而f ＝lg ＝lg ＝lg ，
∴f (x)＋f (y)＝f 成立．
(3)若f ＝1，f ＝2，
则由(2)可得f (a)＋f (b)＝1，f (a)－f (b)＝2，
解得f (a)＝，f (b)＝－．
9/12

展开更多......

收起↑