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5.1.2　弧度制
学习任务 核心素养
1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点) 1．通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养．
如图是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小．那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？
知识点1　角度制与弧度制
(1)度量角的两种制度
角度制 定义 用“__________”作单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的_________
弧度制 定义 以“__________”为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于__________的弧所对的圆心角
(2)弧度数的计算
比值与所取的圆的半径大小是否有关？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)角度制与弧度制的换算
(4)一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 度 0 π 2π
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度的角是周角的． (　　)
(2)1弧度的角大于1度的角． (　　)
2．(1) rad化为角度是________；
(2)105°的弧度数是________ rad．
知识点2　扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝__________．
(2)扇形面积公式：S＝＝．
3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝R|α|＝1×30＝30(cm)． (　　)
(2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍． (　　)
(3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍． (　　)
4．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．
类型1　角度与弧度的互化与应用
【例1】　【链接教材P160例4、例5】
(1)①将112°30′化为弧度为________．
②将－ rad化为角度为________．
(2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例5　把下列各角从弧度化为度：
(1) rad；
(2)5 rad．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键．
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×°＝度数．
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
[跟进训练]
1．(1)将－157°30′化成弧度为________；
(2)将－ rad化为度是________．
2．在[0，4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)
类型2　用弧度数表示角
【例2】　(1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　　)
A．　　　　 B．
C．
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用．
[跟进训练]
3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　弧长公式与扇形面积公式的应用
【例3】　已知扇形的周长为8 cm．
(1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积；
(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．
以扇形的面积和弧长公式为切入点，建立面积与变量r或l的关系式，并思考最值的求解方法．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．
[跟进训练]
5．求半径为1 cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．与1°角终边相同的角的集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
2．圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是(　　)
A． rad　 B． rad
C． rad D． rad
3．(多选题)下列转化结果正确的是(　　)
A．60°化成弧度是 rad
B．－π rad化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－π rad
D． rad化成角度是15°
4．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式，则α＝________．
5．(教材P162习题5.1 T9改编)在直径为20 cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长为________cm．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．角度制与弧度制怎样转化？
2．角度制和弧度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？
7/75.1.2　弧度制
学习任务 核心素养
1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点) 1．通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养．
如图是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小．那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？
知识点1　角度制与弧度制
(1)度量角的两种制度
角度制 定义 用“度”作单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的
弧度制 定义 以“弧度”为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角
(2)弧度数的计算
比值与所取的圆的半径大小是否有关？
[提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
(3)角度制与弧度制的换算
(4)一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 度 0 π 2π
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度的角是周角的． (　　)
(2)1弧度的角大于1度的角． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√
2．(1) rad化为角度是________；
(2)105°的弧度数是________ rad．
(1)252°　(2)　[(1) rad＝°＝252°；
(2)105°＝105× rad＝ rad．]
知识点2　扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝|α|r．
(2)扇形面积公式：S＝lr＝|α|r2．
3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝R|α|＝1×30＝30(cm)． (　　)
(2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍． (　　)
(3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
4．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．
　[由已知得S扇＝×22＝．]
类型1　角度与弧度的互化与应用
【例1】　【链接教材P160例4、例5】
(1)①将112°30′化为弧度为________．
②将－ rad化为角度为________．
(2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
(1)① rad　②－75°　[①因为1°＝ rad，
所以112°30′＝ rad×112.5＝ rad．
②因为1 rad＝°，
所以－ rad＝－°＝－75°．]
(2)[解]　法一(化为弧度)：
α＝15°＝15× rad＝ rad，θ＝105°＝105× rad＝ rad．
显然＜＜1＜．
故α＜β＜γ＜θ＝φ．
法二(化为角度)：
β＝ rad＝°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°，
φ＝°＝105°．
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°．
故α＜β＜γ＜θ＝φ．
【教材原题·P160例4、例5】
例4　把下列各角从度化为弧度：
(1)120°；
(2)25°30′．
[解]　(1)120°＝120× rad＝ rad；
(2)25°30′＝25.5°＝25.5× rad＝ rad．
例5　把下列各角从弧度化为度：
(1) rad；
(2)5 rad．
[解]　(1) rad＝°＝135°；
(2)5 rad＝5×°≈286.5°．
　角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键．
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×°＝度数．
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
[跟进训练]
1．(1)将－157°30′化成弧度为________；
(2)将－ rad化为度是________．
(1)－π rad　(2)－396°　[(1)－157°30′＝－157.5°＝－ rad＝－π rad．
(2)－ rad＝－°＝－396°．]
2．在[0，4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)
π，π　[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°＝π rad；
当k＝1时，θ＝432°＝π rad，
所以在[0，4π]中与72°角终边相同的角有π，π．]
类型2　用弧度数表示角
【例2】　(1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　　)
A．　　　　 B．
C．
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
(1)D　[因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，
所以角α的终边落在直线y＝x上，所以角α的集合是．]
(2)[解]　因为30°＝ rad，210°＝ rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为．
　1．弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用．
[跟进训练]
3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
C　[A，B中弧度与角度混用，不正确．
π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C．]
4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[解]　30°＝ rad，150°＝ rad．
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是
．
类型3　弧长公式与扇形面积公式的应用
【例3】　已知扇形的周长为8 cm．
(1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积；
(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．
以扇形的面积和弧长公式为切入点，建立面积与变量r或l的关系式，并思考最值的求解方法．
[解]　设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S．
(1)由题意得：
2r＋l＝8，l＝2r，
解得r＝2，l＝4，S＝lr＝4(cm2)．
(2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0，4)，
则S＝lr＝(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，
当r＝2时，Smax＝4，
此时l＝4，
圆心角α＝＝2．
　扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．
[跟进训练]
5．求半径为1 cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．
[解]　因为r＝1，α＝120×rad＝rad，
所以l＝|α|r＝ cm，S＝lr＝ cm2．
1．与1°角终边相同的角的集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[角度制与弧度制不能混用，故选C．]
2．圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是(　　)
A． rad　 B． rad
C． rad D． rad
B　[由弧度数公式|α|＝，得|α|＝＝，因此圆弧所对的圆心角是 rad．]
3．(多选题)下列转化结果正确的是(　　)
A．60°化成弧度是 rad
B．－π rad化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－π rad
D． rad化成角度是15°
ABD　[对于A，60°＝60× rad＝ rad；对于B，－π rad＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150× rad＝－π rad；对于D， rad＝×180°＝15°．故选ABD．]
4．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式，则α＝________．
　[－570°＝－＝－4π＋．]
5．(教材P162习题5.1 T9改编)在直径为20 cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长为________cm．
π　[∵150°＝rad，
∴弧长l＝＝π cm．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．角度制与弧度制怎样转化？
[提示]　1°＝ rad，1 rad＝°．
2．角度制和弧度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？
[提示]　
角度制 弧度制
弧长 l＝ l＝|α|r
面积 S＝ S＝lr＝|α|r2
课时分层作业(三十九)　弧度制
一、选择题
1．(多选题)下列说法中，正确的是(　　)
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
[答案]　ABC
2．时针经过一小时，转过了(　　)
A． rad　　 B．－ rad
C． rad D．－ rad
B　[转过的角为负角，大小为 rad，故选B．]
3．(多选题)下列表示中正确的是(　　)
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上角的集合是
C．终边在坐标轴上角的集合是
D．终边在直线y＝x上角的集合是
ABC　[对于A，终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，故A正确；
对于B，终边在y轴上的角的集合是，故B正确；
对于C，终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为，
故合在一起即为＝，故C正确；对于D，终边在直线y＝x上的角的集合是，故D错误．]
4．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
D　[因为－2π＜－5＜－，所以α是第一象限角．]
5．已知扇形的弧长是4 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．1或4
C　[因为扇形的弧长为4，面积为2，
所以扇形的面积为×4×r＝2，解得r＝1，
则扇形的圆心角的弧度数为＝4．故选C．]
二、填空题
6．－135°化为弧度为________，化为角度为________．
－rad　660°　[－135°＝－135×rad＝－rad；＝×180°＝660°．]
7．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．
　48　[α＝＝＝，
S＝l·r＝×12×8＝48．]
8．若α为三角形的一个内角，且α与－的终边相同，则α＝________．
　[因为－＝－4π＋，
所以与－终边相同的角为＋2kπ，k∈Z．
又α∈(0，π)，故α＝．]
三、解答题
9．已知角α＝2 010°．
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
[解]　(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋，
又π＜＜，
∴α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ＜0，
∴当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π．
∴在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－π，－π，－π．
10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10．
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S．
[解]　(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝ rad．
(2)由(1)可知α＝ rad，r＝10，
∴弧长l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝×10＝，
而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝25，
∴S＝S扇形－S△AOB＝25．
11．(多选题)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)
A．
C．
AD　[设该弦所对的圆周角为α，
则其圆心角为2α或2π－2α，
由于弦长等于半径，
所以可得2α＝或2π－2α＝，解得α＝或α＝．]
12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)(　　)
A．6平方米 B．9平方米
C．12平方米 D．15平方米
B　[如图，由题意可得：∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，可得，矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sin ＝4×＝2，可得：弦＝2AD＝2×2＝4，所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米)．
]
13．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是________．
　[由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度数是×2π＝．]
14．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为________．
　[如图，设圆的半径为R，则正方形边长为R，
∴弧长l＝R，
∴α＝＝＝．]
15．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．
[解]　所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是1 dm，圆心角为；所在的圆半径是 dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×＋1×＝(dm)．
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋×1＋＝(dm2)．
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