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5.2.3　诱导公式
第1课时　三角函数的诱导公式(一～四)
学习任务 核心素养
1．能借助单位圆中的三角函数的定义推导出诱导公式一～四．(难点) 2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值、证明．(重点) 1．通过公式运算，培养数学运算素养． 2．借助公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养．
观察单位圆，回答下列问题：
(1)角α与角2kπ＋α(k∈Z)的终边有什么关系？
(2)角α与角π＋α的终边有什么关系？
(3)角α与角π＋α的终边与单位圆的交点P，P1有什么对称关系？
(4)在(3)中，点P，P1的坐标有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？
知识点1　公式一
sin (α＋2kπ)＝__________；
cos (α＋2kπ)＝__________；
tan (α＋2kπ)＝__________，其中k∈Z．
1．sin (－315°)的值是________．
知识点2　公式二～四
终边关系 图示 公式
公 式 二 角－α与角α的终边关于__________轴对称 sin (－α)＝_______， cos (－α)＝__________， tan (－α)＝__________
公 式 三 角π＋α与角α的终边关于__________对称 sin (π＋α)＝__________ __________， cos (π＋α)＝__________ __________， tan (π＋α)＝__________
公 式 四 角π－α与角α的终边关于__________轴对称 sin (π－α)＝__________， cos (π－α)＝__________， tan (π－α)＝__________
公式一至公式四可以概括为如下法则：
kπ±α(k∈Z)的三角函数值，等于角α的__________函数值，前面添上一个把角α看成__________时原函数值的符号．
诱导公式中角α只能是锐角吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．填空：
(1)若sin (π＋α)＝，则sin α＝________；
(2)若cos (π－α)＝，则cos α＝________；
(3)已知tan α＝6，则tan (－α)＝________；
(4)sin 585°＝________．
类型1　给角求值问题
【例1】　【链接教材P170例9、P172例10】
利用公式求下列三角函数值：
(1)cos 225°；(2)sin ；(3)sin ；(4)tan (－2 040°)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或二来转化．
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”——用公式三或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
[跟进训练]
1．计算：(1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ；
(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　给值(式)求值问题
【例2】　(1)已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)等于(　　)
A．　　　　 B．
C． D．－
(2)已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．
角“α－75°”与角“105°＋α”之间存在怎样的数量关系？如何借助这一关系求值？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
例2(2)条件不变，求cos (255°－α)的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解决条件求值问题的技巧
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．
[跟进训练]
2．(1)若sin (π＋α)＝，α∈，则tan (π－α)＝(　　)
A．－　　　B．－　　　C．－　　　D．
(2)已知cos ＝，求cos －sin2的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　利用诱导公式化简
【例3】　【链接教材P172例11】
化简：
(1)；
(2)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式．
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦或余弦函数．
提醒：注意分类讨论思想的应用．
[跟进训练]
3．若tan (5π＋α)＝m，则的值为(　　)
A．　　　C．－1　　　D．1
1．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos (π－θ)的值为(　　)
A．－ B．－
C．
2．tan 等于(　　)
A．－
C．－
3．已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos (α－π)的值是(　　)
A． B．－
C．±
4．化简：＝________．
5．(教材P172练习T3改编)化简：
(1)＝________；
(2)＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能概括一下公式一～四的特征吗？
2．如何应用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数？
6/65.2.3　诱导公式
第1课时　三角函数的诱导公式(一～四)
学习任务 核心素养
1．能借助单位圆中的三角函数的定义推导出诱导公式一～四．(难点) 2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值、证明．(重点) 1．通过公式运算，培养数学运算素养． 2．借助公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养．
观察单位圆，回答下列问题：
(1)角α与角2kπ＋α(k∈Z)的终边有什么关系？
(2)角α与角π＋α的终边有什么关系？
(3)角α与角π＋α的终边与单位圆的交点P，P1有什么对称关系？
(4)在(3)中，点P，P1的坐标有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？
知识点1　公式一
sin (α＋2kπ)＝sin α；
cos (α＋2kπ)＝cos α；
tan (α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z．
1．sin (－315°)的值是________．
　[sin (－315°)＝sin (－360°＋45°)＝sin 45°＝．]
知识点2　公式二～四
终边关系 图示 公式
公 式 二 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin (－α)＝－sin α， cos (－α)＝cos α， tan (－α)＝－tan α
公 式 三 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin (π＋α)＝－sin α， cos (π＋α)＝－cos α， tan (π＋α)＝tan α
公 式 四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin (π－α)＝sin α， cos (π－α)＝－cos α， tan (π－α)＝－tan α
公式一至公式四可以概括为如下法则：
kπ±α(k∈Z)的三角函数值，等于角α的同名函数值，前面添上一个把角α看成锐角时原函数值的符号．
诱导公式中角α只能是锐角吗？
[提示]　诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z．
2．填空：
(1)若sin (π＋α)＝，则sin α＝________；
(2)若cos (π－α)＝，则cos α＝________；
(3)已知tan α＝6，则tan (－α)＝________；
(4)sin 585°＝________．
[答案]　(1)－　(2)－　(3)－6　(4)－
类型1　给角求值问题
【例1】　【链接教材P170例9、P172例10】
利用公式求下列三角函数值：
(1)cos 225°；(2)sin ；(3)sin ；(4)tan (－2 040°)．
[解]　(1)cos 225°＝cos (180°＋45°)＝－cos 45°＝－．
(2)sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝．
(3)sin ＝－sin ＝－sin ＝－＝．
(4)tan (－2 040°)＝－tan 2 040°＝－tan (6×360°－120°)＝tan 120°＝tan (180°－60°)＝－tan 60°＝－．
【教材原题·P170例9、P172例10】
例9　求下列各三角函数值：
(1)sin 81π；
(2)tan 765°．
[解]　(1)sin 81π＝sin (40×2π＋π)＝sin π＝0；
(2)tan 765°＝tan (2×360°＋45°)＝tan 45°＝1．
例10　求下列各三角函数值：
(1)sin ；(2)cos ；(3)tan ；(4)cos ．
[解]　(1)sin ＝－sin ＝－；
(2)cos ＝cos ＝－cos ＝－；
(3)tan ＝tan ＝tan ＝1；
(4)cos ＝cos ＝cos ＝．
　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或二来转化．
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”——用公式三或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
[跟进训练]
1．计算：(1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ；
(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°)．
[解]　(1)原式＝
＝
＝＝0．
(2)原式＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]
＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin (180°－66°)
＝sin 66°－sin 66°＝0．
类型2　给值(式)求值问题
【例2】　(1)已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)等于(　　)
A．　　　　 B．
C． D．－
(2)已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．
角“α－75°”与角“105°＋α”之间存在怎样的数量关系？如何借助这一关系求值？
(1)A　[sin (α－360°)－cos (180°－α)＝sin α＋cos α＝m，
sin (180°＋α)cos (180°－α)＝sin αcos α＝＝．]
(2)[解]　∵cos (α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴sin (α－75°)＝－＝－＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin (α－75°)＝．
[母题探究]
例2(2)条件不变，求cos (255°－α)的值．
[解]　cos (255°－α)＝cos [180°－(α－75°)]
＝－cos (α－75°)＝．
　解决条件求值问题的技巧
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．
[跟进训练]
2．(1)若sin (π＋α)＝，α∈，则tan (π－α)＝(　　)
A．－　　　B．－　　　C．－　　　D．
(2)已知cos ＝，求cos －sin2的值．
(1)D　[∵sin(π＋α)＝－sin α＝，∴sin α＝－，
又α∈，∴cos α＝＝＝．
∴tanα＝＝－．
∴tan (π－)＝－tan α＝，故选D．]
(2)[解]　因为cos ＝cos ＝－cos ＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2＝1－＝，
所以cos－sin2＝－＝－．
类型3　利用诱导公式化简
【例3】　【链接教材P172例11】
化简：
(1)；
(2)．
[解]　(1)原式＝＝＝－tan α．
(2)原式＝＝＝＝－1．
【教材原题·P172例11】
例11　化简：
．
[解]　原式＝＝－1．
　三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式．
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦或余弦函数．
提醒：注意分类讨论思想的应用．
[跟进训练]
3．若tan (5π＋α)＝m，则的值为(　　)
A．　　　C．－1　　　D．1
A　[∵tan (5π＋α)＝tan α＝m，
∴＝
＝＝＝．故选A．]
1．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos (π－θ)的值为(　　)
A．－ B．－
C．
C　[由题意可知cos θ＝－，cos (π－θ)＝－cos θ＝－＝．故选C．]
2．tan 等于(　　)
A．－
C．－
C　[tan ＝tan ＝tan ＝tan ＝－tan ＝－．]
3．已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos (α－π)的值是(　　)
A． B．－
C．±
B　[因为sin (π＋α)＝－sin α＝，所以sin α＝－．
又α是第四象限角，所以cos α＝，
所以cos (α－π)＝cos (π－α)＝－cos α＝－．]
4．化简：＝________．
－2　[原式＝＝
＝＝＝－2．]
5．(教材P172练习T3改编)化简：
(1)＝________；
(2)＝________．
(1)－cos2α　(2)－cosα
[(1)＝＝＝－cos2α．
(2)＝＝－cos α．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能概括一下公式一～四的特征吗？
[提示]　诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数名不变，符号看象限”．
2．如何应用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数？
[提示]　利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
课时分层作业(四十二)　三角函数的诱导公式(一～四)
一、选择题
1．sin (－1 380°)的值为(　　)
A．－
C．－
D　[sin (－1 380°)＝sin (－4×360°＋60°)＝sin 60°＝．]
2．(多选题)已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(　　)
A．sin α＝sin β B．sin (α－2π)＝－sin β
C．cos α＝cos β D．cos (2π－α)＝－cos β
BC　[由题意可知α＝2kπ－β(k∈Z)，∴sin α＝sin (－β)＝－sin β；sin (α－2π)＝sin α＝－sin β；cos α＝cos (－β)＝cos β；cos (2π－α)＝cos (－α)＝cos α＝cos β，故选BC．]
3．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
B　[由题意得tan 600°＝－，
因为tan 600°＝tan (360°＋240°)
＝tan 240°＝tan (180°＋60°)
＝tan 60°＝，
所以－＝，所以a＝－．]
4．设sin 160°＝a，则cos 340°的值是(　　)
A．1－a2 B．
C．－ D．±
B　[因为sin 160°＝a，所以sin (180°－20°)＝sin 20°＝a，而cos 340°＝cos (360°－20°)＝cos 20°＝．]
5．已知sin ＝，则sin 的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
C　[sin ＝sin
＝－sin
＝sin ＝．]
二、填空题
6．求值：(1)sin ＝________；
(2)cos ＝________．
(1)　(2)－　[(1)sin ＝sin ＝sin ＝．
(2)cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－．]
7．化简：sin2(2π－α)＋cos(π＋α)cos (π－α)＋1的值是________．
2　[原式＝sin2α＋(－cosα)·(－cos α)＋1
＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2．]
8．已知tan＝5，则tan ＝________．
－5　[tan ＝tan
＝－tan
＝－5．]
三、解答题
9．已知sin (α＋π)＝，且sin αcos α＜0，求的值．
[解]　因为sin (α＋π)＝－sin α＝，
且sin αcos α＜0，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－，
所以＝＝＝－．
10．已知f (α)＝．
(1)化简f (α)；
(2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f (α)的值；
(3)若α＝－，求f (α)的值．
[解]　(1)f (α)＝－＝－cos α．
(2)∵sin (α－π)＝－sin α＝，
∴sin α＝－．
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，
∴f (α)＝．
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f ＝－cos
＝－cos ＝－cos ＝－．
11．记cos (－80°)＝k，则tan 100°等于(　　)
A． B．－
C． D．－
B　[∵cos (－80°)＝cos 80°＝k，sin 80°＝＝，∴tan100°＝－tan 80°＝－．故选B．]
12．(多选题)已知A＝(k∈Z)，则A的值是(　　)
A．－1 B．－2
C．1 D．2
BD　[当k为偶数时，A＝＝2；当k为奇数时，A＝＝－2．故选BD．]
13．设f (x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)＋7，α，β均为实数，若f (2 023)＝8，则f (2 024)的值为________．
6　[因为f (2 023)＝a sin (2 023π＋α)＋b cos (2 023π＋β)＋7＝－a sin α－b cos β＋7，
所以－a sin α－b cos β＋7＝8，所以a sin α＋b cos β＝－1，
又f (2 024)＝a sin (2 024π＋α)＋b cos (2 024 π＋β)＋7＝a sin α＋b cos β＋7＝－1＋7＝6，
所以f (2 024)＝6．]
14．已知f (x)＝则f ＋f 的值为________．
－2　[f ＝sin ＝sin ＝sin ＝，
f ＝f －1＝f －1＝f －2＝f －2
＝sin －2＝－sin －2＝－－2＝－，
所以f ＋f ＝＝－2．]
15．设k为整数，化简：．
[解]　法一(分类讨论)：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，
则原式＝＝＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1．
所以原式＝－1．
法二(配角法)：由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，[(k＋1)π＋α]＋[(k－1)π－α]＝2kπ，
故cos [(k－1)π－α]＝cos [(k＋1)π＋α]＝－cos (kπ＋α)，sin [(k＋1)π＋α]＝－sin (kπ＋α)，
sin (kπ－α)＝－sin (kπ＋α)．
所以原式＝＝－1．
11/11

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