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第2课时　诱导公式五和公式六
学习任务 核心素养
1．了解公式五和公式六的推导方法． 2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点) 3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点) 1．借助诱导公式求值，培养数学运算素养． 2．通过诱导公式进行化简和证明，提升逻辑推理素养．
观察单位圆，回答下列问题：
(1)角α与角－α，角α与角＋α的终边有什么关系？
(2)角α与角－α的终边与单位圆的交点P，P1的坐标有什么关系？角α与角＋α的终边与单位圆的交点P，P2的坐标有什么关系？
知识点1　诱导公式五
终边关系 角－α与角α的终边关于直线y＝x对称 角＋α与角α的终边垂直
图形
公式 sin ＝cos α， cos ＝sin α sin ＝cos α， cos ＝－sin α
诱导公式五反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式五中的角α只能是锐角． (　　)
(2)sin (90°＋α)＝－cos α． (　　)
(3)cos ＝－sin α． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．(1)已知sin α＝，则cos ＝________；
(2)若α∈，sin ＝，则cos α＝________．
(1)　(2)　[(1)∵sin α＝，
∴cos ＝sin α＝．
(2)∵α∈，sin ＝cos α＝，
∴cos α＝．]
知识点2　诱导公式六
tan ＝＝＝；
tan ＝＝＝．
关于角α与2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，±α的三角函数的关系式，都称为诱导公式．
3．tan 120°＝________．
－　[tan 120°＝tan (90°＋30°)＝－＝－．]
类型1　利用诱导公式化简求值
【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)
A．
C．－ D．－
(2)已知cos (60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos (30°－α)的值为(　　)
A．－
C．－
(3)已知cos ＝，且α∈，则＝________．
从角入手，你能发现待求角与已知角之间的内在联系吗？如何借助这种关系选择诱导公式进行化简求值？
(1)B　(2)A　(3)2　[(1)sin 239°tan 149°＝sin (180°＋59°)·tan (180°－31°)＝－sin 59°·(－tan 31°)＝－sin (90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝＝．
(2)由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°．
又cos(60°＋α)＝>0，
所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，
所以120°<30°－α<180°，cos (30°－α)<0，
所以cos (30°－α)＝sin (60°＋α)＝－＝－＝－．
(3)∵cos＝，
∴sin α＝－，
又α∈，
∴cos α＝－，
∴tan α＝，
∴tan ＝＝2．]
　利用互余(互补)关系求值的步骤
(1)定关系．确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．常见的互补关系有：＋α与－α；＋α与－α等．
(2)定公式．依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．
(3)得结论．根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果．
[跟进训练]
1．(1)已知sin ＝，则cos 的值为________；
(2)已知sin ＝，则cos 的值为________；
(3)已知sin (π＋α)＝－，则tan ＝________．
(1)　(2)－　(3)或－　[(1)cos ＝cos ＝sin ＝．
(2)cos ＝cos ＝－sin ＝－．
(3)∵sin (π＋α)＝－，∴sin α＝，
∴α为第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cos α>0，
∴cos α＝＝＝，
∴tanα＝，
∴tan ＝－＝－；
当α为第二象限角时，cos α<0，
∴cos α＝－＝－＝－，
∴tanα＝－，
∴tan ＝－＝．
综上可知，当α为第一象限角时，tan ＝－，
当α为第二象限角时，tan ＝．]
类型2　利用诱导公式证明恒等式
【例2】　(1)求证：＝．
(2)求证：＝－tan θ．
[证明]　(1)右边＝＝＝
＝＝，所以原等式成立．
(2)左边＝＝＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．
　三角恒等式的证明的策略
(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
(2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法．
[跟进训练]
2．求证：＝－1．
[证明]　因为＝
＝＝＝－1＝右边，所以原等式成立．
类型3　诱导公式的综合应用
【例3】　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
[解]　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为α是第三象限角，
所以sinα＝－．
所以cos α＝－，tan α＝＝，
所以·tan2(π－α)＝·tan2α
＝tan2α＝－tan2α＝－．
　诱导公式的综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
[跟进训练]
3．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB．
(1)求的值；
(2)若点A的横坐标为，求2sin αcos β的值．
[解]　(1)∵β＝＋α，
∴sin β＝sin ＝cos α，
cos β＝cos ＝－sin α，
∴＝＝－＝－1．
(2)∵点A的横坐标为，
∴cos α＝，sin α＝，
cos β＝－sin α＝－，
∴2sin αcos β＝2×＝－．
1．若sin <0，且cos >0，则θ是(　　)
A．第一象限角　　 　　 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
B　[由于sin ＝cos θ<0，
cos ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B．]
2．(多选题)下列与sin θ的值相等的是(　　)
A．sin (π＋θ) B．sin
C．cos D．cos
CD　[sin (π＋θ)＝－sin θ；sin ＝cos θ；
cos ＝sin θ；cos ＝sin θ．]
3．已知tan θ＝2，则等于(　　)
A．2　　　B．－2　　　C．0　　　D．
B　[∵tan θ＝2，
∴＝＝＝＝＝－2．]
4．计算：sin211°＋sin279°＝________．
1　[因为11°＋79°＝90°，所以sin79°＝cos 11°，
所以原式＝sin211°＋cos211°＝1．]
5．已知cosα＝，且α为第四象限角，那么tan ＝________．
　[∵cos α＝，且α为第四象限角，
∴sin α＝－＝－，
∴tanα＝＝－2，
∴tan ＝－＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．公式一～四和公式五～六的函数名称有什么不同？
[提示]　公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．
2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？
[提示]　“奇变偶不变，符号看象限”．
课时分层作业(四十三)　诱导公式五和公式六
一、选择题
1．若sin (3π＋α)＝－，则cos 等于(　　)
A．－　　　 B．
C． D．－
A　[∵sin (3π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝．
∴cos ＝cos ＝－cos
＝－sin α＝－．]
2．已知sin 10°＝k，则cos 620°的值为(　　)
A．k B．－k
C．±k D．不确定
B　[cos 620°＝cos (360°＋260°)＝cos 260°
＝cos (270°－10°)＝－sin 10°＝－k．]
3．已知sin ＝，则cos 等于(　　)
A．－
C． D．－
A　[cos ＝cos ＝－sin ＝－．故选A．]
4．若sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－a，则cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值是(　　)
A．－ B．－
C．
B　[由sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－a，
得－sin α－sin α＝－a，
即sin α＝，
cos (270°－α)＋2sin (360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a．]
5．化简：＝(　　)
A．－sin θ B．sin θ
C．cos θ D．－cos θ
A　[原式＝＝＝－sin θ．]
二、填空题
6．化简sin (π＋α)cos ＋sin cos (π＋α)＝________．
－1　[原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α)＝－sin2α－cos2α＝－1．]
7．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ＝______．
－　[∵cos ＝－sin φ＝，∴sin φ＝－，
又∵|φ|＜，
∴cos φ＝，故tan φ＝－．]
8．若sin ＝－，且α∈，则tan ＝________．
－　[因为α∈，所以α＋∈，
又因为sin ＝－<0，
所以α＋∈，
所以cos ＝－＝－．
所以tan＝，
所以tan ＝tan ＝－＝－．]
三、解答题
9．已知角α的终边经过点P．
(1)求sin α的值；
(2)求的值．
[解]　(1)因为点P的坐标为，
所以|OP|＝1，sin α＝－．
(2)＝＝，
由三角函数的定义知cos α＝，故所求式子的值为．
10．求证：＝．
[证明]　左边＝＝＝，
右边＝＝＝＝＝，
所以等式成立．
11．若f (cos x)＝cos 2x，则f (sin 15°)的值为(　　)
A．－　　　　 B．
C．－
A　[f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－．]
12．(多选题)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)
A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝
C．tan β＝ D．tan β＝
AC　[∵sin (π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，
若α＋β＝，则β＝－α．
A中，sin β＝sin ＝cos α＝±，故A符合条件；
B中，cos (π＋β)＝－cos ＝－sin α＝－，故B不符合条件；
C中，tan β＝，即sin β＝cos β，
又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±，故C符合条件；
D中，tan β＝，即sin β＝cos β，
又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±，故D不符合条件．]
13．在△ABC中，若cos ＝，则cos ＝________．
　[∵cos ＝cos ＝cos ＝sin ＝，
∴cos ＝＝．]
14．已知f (α)＝．
(1)化简f (α)＝________；
(2)若f ＝－，且α是第二象限角，则tan α＝________．
(1)sin α　(2)－　[(1)f (α)＝＝＝sin α．
(2)由sin ＝－，得cos α＝－，
又α是第二象限角，所以sin α＝＝，
则tanα＝＝－．]
15．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin (3π－α)＝cos cos (－α)＝－cos (π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
[解]　由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
所以sin2α＝，cos2α＝．
又α∈，
所以α＝或α＝－．
将α＝代入②，得cosβ＝．
又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①符合．
将α＝－代入②，得cos β＝，
又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①不符合．
综上可知，存在α＝，β＝满足条件．
3/11第2课时　诱导公式五和公式六
学习任务 核心素养
1．了解公式五和公式六的推导方法． 2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点) 3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点) 1．借助诱导公式求值，培养数学运算素养． 2．通过诱导公式进行化简和证明，提升逻辑推理素养．
观察单位圆，回答下列问题：
(1)角α与角－α，角α与角＋α的终边有什么关系？
(2)角α与角－α的终边与单位圆的交点P，P1的坐标有什么关系？角α与角＋α的终边与单位圆的交点P，P2的坐标有什么关系？
知识点1　诱导公式五
终边关系 角－α与角α的终边关于直线y＝x对称 角＋α与角α的终边垂直
图形
公式 sin ＝__________， cos ＝__________ sin ＝__________， cos ＝__________
诱导公式五反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式五中的角α只能是锐角． (　　)
(2)sin (90°＋α)＝－cos α． (　　)
(3)cos ＝－sin α． (　　)
2．(1)已知sin α＝，则cos ＝________；
(2)若α∈，sin ＝，则cos α＝________．
知识点2　诱导公式六
tan ＝＝＝______；
tan ＝＝＝______．
关于角α与2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，±α的三角函数的关系式，都称为诱导公式．
3．tan 120°＝________．
类型1　利用诱导公式化简求值
【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)
A．
C．－ D．－
(2)已知cos (60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos (30°－α)的值为(　　)
A．－
C．－
(3)已知cos ＝，且α∈，则＝________．
从角入手，你能发现待求角与已知角之间的内在联系吗？如何借助这种关系选择诱导公式进行化简求值？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用互余(互补)关系求值的步骤
(1)定关系．确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．常见的互补关系有：＋α与－α；＋α与－α等．
(2)定公式．依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．
(3)得结论．根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果．
[跟进训练]
1．(1)已知sin ＝，则cos 的值为________；
(2)已知sin ＝，则cos 的值为________；
(3)已知sin (π＋α)＝－，则tan ＝________．
类型2　利用诱导公式证明恒等式
【例2】　(1)求证：＝．
(2)求证：＝－tan θ．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　三角恒等式的证明的策略
(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
(2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法．
[跟进训练]
2．求证：＝－1．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　诱导公式的综合应用
【例3】　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　诱导公式的综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
[跟进训练]
3．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB．
(1)求的值；
(2)若点A的横坐标为，求2sin αcos β的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若sin <0，且cos >0，则θ是(　　)
A．第一象限角　　 　　 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．(多选题)下列与sin θ的值相等的是(　　)
A．sin (π＋θ) B．sin
C．cos D．cos
3．已知tan θ＝2，则等于(　　)
A．2　　　B．－2　　　C．0　　　D．
4．计算：sin211°＋sin279°＝________．
5．已知cosα＝，且α为第四象限角，那么tan ＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．公式一～四和公式五～六的函数名称有什么不同？
2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？
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