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第2课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
学习任务 核心素养
1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的周期．(重点) 3．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点) 1．通过周期性的研究，培养逻辑推理素养． 2．借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养．
明日复明日，明日何其多．我生待明日，万事成蹉跎．我们知道，时间具有周而复始的规律．如果今天是星期六，从明天起为第一天，那么至少再过几天为星期六？三角函数是否具有周期性？
知识点1　函数的周期性
(1)周期函数：一般地，对于函数y＝f (x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且f (x±T)＝f (x)，则称函数y＝f (x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x)的最小正周期．
周期函数的周期是唯一的吗？
[提示]　不是．如f (x)的最小正周期为T，则nT(n∈N＋)都是f (x)的周期．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sin ＝sin ，则是函数y＝sin x的一个周期． (　　)
(2)所有的周期函数都有最小正周期． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×
2．若 x∈R，函数y＝f (x)满足f (x＋1)＝f (x)，则f (x)的最小正周期为________．
[答案]　1
知识点2　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
3．函数f (x)＝sin 2x的奇偶性为(　　)
A．奇函数　　　　　 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
A　[f (x)＝sin 2x的定义域为R，f (－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f (x)，所以f (x)是奇函数．]
类型1　三角函数的周期问题及简单应用
【例1】　求下列函数的周期：
(1)y＝sin ；
(2)y＝|sin x|．
你能借助定义或图象探求三角函数的周期吗？函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期有无规律可循？
[解]　(1)y＝sin ＝sin ＝sin ，
所以周期为π．
(2)作图如下：
观察图象可知周期为π．
　求三角函数周期的方法
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝．
[跟进训练]
1．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝sin ；
(2)y＝．
[解]　(1)∵sin ＝sin ＝sin ，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋，函数y＝sin ，x∈R的值才能重复出现，∴函数y＝sin ，x∈R的周期是．
(2)∵函数y＝cos 的最小正周期为π，而函数y＝的图象是将函数y＝cos 的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期T＝．
类型2　三角函数奇偶性的判断
【例2】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝sin ；
(2)f (x)＝；
(3)f (x)＝．
[解]　(1)显然x∈R，f (x)＝cos x，
∵f (－x)＝cos ＝cos x＝f (x)，
∴f (x)是偶函数．
(2)由得cos x＝，
∴f (x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z，
∴f (x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵1＋sin x≠0，
∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z．
∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．
　1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f (x)与f (－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
[跟进训练]
2．(多选题)关于x的函数f (x)＝sin (x＋φ)有以下说法，正确的是(　　)
A．对任意的φ，f (x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f (x)是奇函数
C．对任意的φ，f (x)都不是偶函数
D．不存在φ，使f (x)既是奇函数，又是偶函数
BD　[当φ＝π时，f (x)＝sin (x＋π)＝－sin x，是奇函数．
当φ＝时，f (x)＝sin ＝cos x，是偶函数．
所以A，C错误，B正确．
无论φ为何值，f (x)不可能恒为0，故不存在φ，使f (x)既是奇函数，又是偶函数，故D正确．]
类型3　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
【例3】　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos |2x|　 B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
(2)定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，若f (x)的最小正周期为π，且当x∈时，f (x)＝sin x，则f 等于(　　)
A．－
C．－
(1)D　(2)D　[(1)y＝cos |2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin ＝cos 2x是偶函数，y＝cos ＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π．
(2)f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin ＝．]
[母题探究]
若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“”，其他条件不变，结果如何？
[解]　f ＝f ＝f ＝－f ＝－sin ＝－．
　与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
[跟进训练]
3．(1)奇函数f (x)满足f ＝f (x)，当x∈时，f (x)＝cos x，则f 的值为________．
(2)函数y＝f (x)是R上的周期为3的偶函数，且f (－1)＝3，则f (2 026)＝________．
(1)－　(2)3　[(1)由f ＝f (x)可知T＝，
∴f ＝f ＝f ．
又f (x)为奇函数，且当x∈时，f (x)＝cos x，
∴f ＝－f ＝－cos ＝－．
(2)∵f (x)是周期为3的偶函数，
∴f (2 026)＝f (3×675＋1)＝f (1)＝f (－1)＝3．]
1．函数y＝sin 的最小正周期为(　　)
A．π　　　B．2π　　　C．4π　　　D．
C　[T＝＝4π．]
2．(教材P186习题5.3 T2改编)函数f (x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
A　[∵f (x)＝sin (－x)＝－sin x，
∴f (－x)＝sin x．
∴f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．]
3．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
D　[观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象．]
4．已知a∈R，函数f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a＝________．
0　[因为f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f (0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0．]
5．若函数y＝f (x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f (1)＝3，则f (5)＝________．
－3　[由已知得f (x＋3)＝f (x)，f (－x)＝－f (x)，所以f (5)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－3．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．学习周期函数需要注意哪些问题？
[提示]　(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
(2)如果T是函数f (x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f (x)的周期．
(3)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质．
2．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？
[提示]　因为sin (－x)＝－sin x，cos (－x)＝cos x，
所以正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称．
正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
课时分层作业(四十五)　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
一、选择题
1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是(　　)
A．y＝sin 　　　　 　　　 B．y＝cos
C．y＝cos x D．y＝cos 2x
D　[A中函数是奇函数，B，C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．]
2．设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y＝f (x)的图象是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
B　[由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称．
由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．]
3．函数f (x)＝sin 的最小正周期为，其中ω＞0，则ω等于(　　)
A．5 B．10　　　　
C．15　　　　 D．20
B　[由已知得＝，又ω＞0，
所以＝，ω＝10．]
4．函数y＝|cos x|－1的最小正周期为(　　)
A． B．π
C．2π D．4π
B　[因为函数y＝|cos x|－1的周期同函数y＝|cos x|的周期一致，由函数y＝|cos x|的图象(略)知其最小正周期为π，所以y＝|cos x|－1的最小正周期也为π．]
5．定义在R上的函数f (x)周期为π，且是奇函数，f ＝1，则f 的值为(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．2
B　[由已知得f (x＋π)＝f (x)，f (－x)＝－f (x)，
所以f ＝f ＝f ＝－f ＝－1．]
二、填空题
6．函数f (x)＝cos 2x＋1的图象关于________对称．(填“原点”或“y轴”)
y轴　[函数的定义域为R，f (－x)＝cos 2(－x)＋1＝cos (－2x)＋1＝cos 2x＋1＝f (x)，
故f (x)为偶函数，所以图象关于y轴对称．]
7．若函数f (x)＝2cos 的最小正周期为T，且T∈(1，4)，则正整数ω的最大值为________．
6　[∵T＝，1＜＜4，则＜ω＜2π，
∴正整数ω的最大值是6．]
8．若f (x)为奇函数，当x＞0时，f (x)＝cos x－sin x，当x＜0时，f (x)的解析式为________．
f (x)＝－cos x－sin x　[当x＜0时，－x＞0，
f (－x)＝cos (－x)－sin (－x)＝cos x＋sin x，
因为f (x)为奇函数，
所以f (x)＝－f (－x)＝－cos x－sin x，
即x＜0时，f (x)＝－cos x－sin x．]
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝－2cos 3x；
(2)f (x)＝x sin (x＋π)．
[解]　(1)因为f (－x)＝－2cos 3(－x)＝－2cos 3x＝f (x)，x∈R，
所以f (x)＝－2cos 3x为偶函数．
(2)因为f (x)＝x sin (x＋π)＝－x sin x，x∈R，
所以f (－x)＝x sin (－x)＝－x sin x＝f (x)，
故函数f (x)为偶函数．
10．已知函数y＝sin x＋|sin x|．
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
[解]　(1)y＝sin x＋|sin x|＝图象如下：
(2)由图象知该函数是周期函数，最小正周期是2π．
11．(多选题)若函数y＝sin (2x＋φ)的图象关于y轴对称，那么φ的取值可以是(　　)
A．－
C．π D．
ABD　[由题意可知函数y＝sin (2x＋φ)是偶函数，故φ＝＋kπ，k∈Z，故选ABD．]
12．设函数f (x)＝sin x，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 024)＝(　　)
A． B．－
C．0 D．
D　[∵f (x)＝sin x的周期T＝＝6，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 024)＝337[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 023)＋f (2 024)＝337＋f (337×6＋1)＋f (337×6＋2)＝337×0＋f (1)＋f (2)＝sin ＋sin π＝．]
13．已知f (x)是定义在(－3，3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f (x)的图象如图所示，那么不等式f (x)cos x＜0的解集是__________．
∪(0，1)　[∵f (x)是(－3，3)上的奇函数，∴g(x)＝f (x)·cos x是(－3，3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为∪(0，1)．]
14．若定义在R上的函数f (x)满足f (x)·f (x＋2)＝13，则函数f (x)的周期T＝________，若f (1)＝2，则f (99)＝________．
4　　[因为f (x)·f (x＋2)＝13，
所以f (x＋2)＝，
所以f (x＋4)＝＝＝f (x)，
所以函数f (x)是周期为4的周期函数，
所以f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝＝．]
15．定义在R上的函数f (x)既是偶函数又是周期函数，若f (x)的最小正周期是π，且当x∈时，f (x)＝sin x．
(1)求当x∈[－π，0]时，f (x)的解析式；
(2)画出函数f (x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f (x)≥时x的取值范围．
[解]　(1)∵f (x)是偶函数，
∴f (－x)＝f (x)．
∵当x∈时，f (x)＝sin x，
∴当x∈时，
f (x)＝f (－x)＝sin (－x)＝－sin x．
又当x∈时，x＋π∈，
f (x)的周期为π，
∴f (x)＝f (π＋x)＝sin (π＋x)＝－sin x．
∴当x∈[－π，0]时，f (x)＝－sin x．
(2)如图．
(3)∵在[0，π]内，
当f (x)＝时，x＝或，
∴在[0，π]内，
f (x)≥时，x∈．
又f (x)的周期为π，
∴当f (x)≥时，
x∈，k∈Z．
10/11第2课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
学习任务 核心素养
1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的周期．(重点) 3．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点) 1．通过周期性的研究，培养逻辑推理素养． 2．借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养．
明日复明日，明日何其多．我生待明日，万事成蹉跎．我们知道，时间具有周而复始的规律．如果今天是星期六，从明天起为第一天，那么至少再过几天为星期六？三角函数是否具有周期性？
知识点1　函数的周期性
(1)周期函数：一般地，对于函数y＝f (x)，如果存在__________，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且__________，则称函数y＝f (x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的__________，那么这个最小__________就叫作f (x)的__________．
周期函数的周期是唯一的吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sin ＝sin ，则是函数y＝sin x的一个周期． (　　)
(2)所有的周期函数都有最小正周期． (　　)
2．若 x∈R，函数y＝f (x)满足f (x＋1)＝f (x)，则f (x)的最小正周期为________．
知识点2　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 __________ 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 __________ __________
奇偶性 __________ __________
3．函数f (x)＝sin 2x的奇偶性为(　　)
A．奇函数　　　　　 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
类型1　三角函数的周期问题及简单应用
【例1】　求下列函数的周期：
(1)y＝sin ；
(2)y＝|sin x|．
你能借助定义或图象探求三角函数的周期吗？函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期有无规律可循？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求三角函数周期的方法
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：对形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝．
[跟进训练]
1．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝sin ；
(2)y＝．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　三角函数奇偶性的判断
【例2】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝sin ；
(2)f (x)＝；
(3)f (x)＝．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f (x)与f (－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
[跟进训练]
2．(多选题)关于x的函数f (x)＝sin (x＋φ)有以下说法，正确的是(　　)
A．对任意的φ，f (x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f (x)是奇函数
C．对任意的φ，f (x)都不是偶函数
D．不存在φ，使f (x)既是奇函数，又是偶函数
类型3　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
【例3】　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos |2x|　 B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
(2)定义在R上的函数f (x)既是偶函数，又是周期函数，若f (x)的最小正周期为π，且当x∈时，f (x)＝sin x，则f 等于(　　)
A．－
C．－
[母题探究]
若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“”，其他条件不变，结果如何？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
[跟进训练]
3．(1)奇函数f (x)满足f ＝f (x)，当x∈时，f (x)＝cos x，则f 的值为________．
(2)函数y＝f (x)是R上的周期为3的偶函数，且f (－1)＝3，则f (2 026)＝________．
1．函数y＝sin 的最小正周期为(　　)
A．π　　　B．2π　　　C．4π　　　D．
2．(教材P186习题5.3 T2改编)函数f (x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
3．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
4．已知a∈R，函数f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a＝________．
5．若函数y＝f (x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f (1)＝3，则f (5)＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．学习周期函数需要注意哪些问题？
2．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？
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