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5.3.2　正切函数的图象与性质
学习任务 核心素养
1．能画出正切函数的图象．(重点) 2．掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3．掌握正切函数的定义域．(易错点) 1．借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养． 2．通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养．
学习了y＝sin x，y＝cos x的图象与性质后，明确了y＝sin x，y＝cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值．
类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质．
(1)y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？
(2)正切函数的图象是连续的吗？
知识点　正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
对称 中心
单调性 在每一个区间上都单调递增
正切函数在整个定义域上都是单调递增的吗？
[提示]　不是．正切函数在每一个区间(k∈Z)上是单调递增的，但在整个定义域上不是单调递增的．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R． (　　)
(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心． (　　)
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
2．函数y＝tan 2x的定义域为________，周期为________．
　[由2x≠＋kπ，k∈Z可知x≠，k∈Z，T＝．]
类型1　正切函数的奇偶性与周期性
【例1】　(1)函数f (x)＝tan 的最小正周期为(　　)
A．　　　B．　　　C．π　　　D．2π
(2)函数f (x)＝sin x＋tan x的奇偶性为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
(1)A　(2)A　[(1)T＝＝，故选A．
(2)由题意可知，自变量x的取值范围为．
又f (－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数，故选A．]
　1．函数f (x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f (x)＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝．
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x)与f (x)的关系．
[跟进训练]
1．(1)函数f (x)＝(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
(2)若函数y＝3tan 的最小正周期是，则ω＝________．
(1)A　(2)±2　[(1)由题意可知，
∴x≠＋kπ，且x≠π＋2kπ，k∈Z．
又f (－x)＝＝＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数，故选A．
(2)由＝可知ω＝±2．]
类型2　正切函数的单调性
【例2】　【链接教材P185例5、例6】
(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．
(2)求函数y＝3tan 的单调区间．
(1)当变量α，β不在同一单调区间时，如何比较tan α与tan β的大小关系？
(2)求y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的单调区间时应注意哪些问题？
(1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1　[y＝tan x在区间上单调递增，且tan 1＝tan (π＋1)，
又＜2＜3＜4＜π＋1＜，
所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1．]
(2)[解]　y＝3tan ＝－3tan ，
由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z得，
－＜x＜，k∈Z，
所以y＝3tan 的单调递减区间为，k∈Z．
【教材原题·P185例5、例6】
例5　求函数y＝tan 的定义域和单调区间．
[解]　要使函数y＝tan 有意义，自变量x应满足2x＋≠＋kπ(k∈Z)，
即x≠π(k∈Z)．
所以函数的定义域是．
由－＋kπ<2x＋<＋kπ，得－π＋π因此，函数的单调递增区间是，k∈Z．
例6　利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)tan (－3)，tan (－3.1)；
(2)tan ，tan ．
[解]　(1)由于－－π<－3.1<－3<－π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，因此tan (－3.1)(2)由于－＋π<<<＋π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，因此tan 　1．求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是单调递增的，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
提醒：y＝A tan (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝A tan (ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．
[跟进训练]
2．(1)求函数y＝tan 的单调递增区间．
(2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．
①tan 220°与tan 200°；
②tan π与tan ．
[解]　(1)由kπ－所以函数y＝tan 的单调递增区间是，k∈Z．
(2)①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°，
因为y＝tan x在上单调递增，
所以tan 220°>tan 200°．
②tan π＝tan ＝tan ，
tan ＝tan ＝tan ，
因为－<<<，
y＝tan x在上单调递增，
所以tan 即tan π>tan ．
类型3　正切函数图象与性质的综合应用
【例3】　设函数f (x)＝tan ．
(1)求函数f (x)的定义域、最小正周期、单调区间及图象的对称中心；
(2)求不等式－1≤f (x)≤的解集．
[解]　(1)由≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋2kπ(k∈Z)，
所以f (x)的定义域是．
因为ω＝，
所以最小正周期T＝＝＝2π．
由－＋kπ<<＋kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ所以函数f (x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间．
由＝(k∈Z)，
得x＝kπ＋(k∈Z)，
故函数f (x)图象的对称中心是(k∈Z)．
(2)由－1≤tan ，
得－＋kπ≤＋kπ(k∈Z)，
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f (x)≤的解集是．
　解形如tan x＞a的不等式的步骤
[跟进训练]
3．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．
[解]　由y＝|tan x|得
y＝
其图象如图：
由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为，值域为[0，＋∞)，是偶函数．
函数y＝|tan x|的周期T＝π，
函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z．
1．函数f (x)＝|tan 2x|是(　　)
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
D　[f (－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f (x)为偶函数，T＝．]
2．若tan x≥1，则(　　)
A．2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z)
B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)
C．kπ－＜x≤kπ(k∈Z)
D．kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)
D　[因为tan x≥1＝tan ．
所以＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z．]
3．(教材P186练习T3(2)改编)比较大小：tan ______tan ．
<　[因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，又0<<<，y＝tan x在内单调递增，
所以tan 4．函数y＝tan (π－x)，x∈的值域为______．
(－，1)　[y＝tan (π－x)＝－tan x，
在上单调递减，所以值域为(－，1)．]
5．已知函数y＝tan ，则该函数图象的对称中心坐标为________．
，k∈Z　[由x－＝(k∈Z)得x＝(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？
[提示]　
性质 正切函数 正弦函数、余弦函数
定义域 R
值域 R [－1，1]
最值 无 最大值为1
最小值为－1
单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在
奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数
余弦函数是偶函数
周期性 T＝π T＝2π
对称性 有无数个对称中心，不存在对称轴 对称中心和对称轴均有无数个
课时分层作业(四十七)　正切函数的图象与性质
一、选择题
1．函数f (x)＝的定义域为(　　)
A．
B．
C．
D．
A　[由题意得
即k∈Z，所以x≠(k∈Z)，选A．]
2．若函数f (x)＝tan 与函数g(x)＝sin 的最小正周期相同，则ω＝(　　)
A．±1 B．1
C．±2 D．2
A　[∵函数g(x)的最小正周期为＝π，∴＝π，∴ω＝±1．]
3．函数y＝tan 图象的一个对称中心是(　　)
A．(0，0) B．
C． D．(π，0)
C　[令x＋＝，k∈Z，得x＝，k∈Z，所以函数y＝tan 图象的对称中心是，k∈Z．
令k＝2，可得函数图象的一个对称中心为．]
4．下列各式中正确的是(　　)
A．tan 735°＞tan 800° B．tan 1＞－tan 2
C．tan ＜tan D．tan ＜tan
D　[对于A，tan 735°＝tan 15°，
tan 800°＝tan 80°，tan 15°＜tan 80°，
所以tan 735°＜tan 800°；
对于B，－tan 2＝tan (π－2)，
而1＜π－2＜，所以tan 1＜－tan 2；
对于C，＜＜＜π，tan ＜tan ；
对于D，tan ＝tan ＜tan ．]
5．(多选题)下列关于函数f (x)＝tan 的相关性质的命题，正确的有(　　)
A．f (x)的定义域是
B．f (x)的最小正周期是π
C．f (x)的单调递增区间是(k∈Z)
D．f (x)图象的对称中心是(k∈Z)
AC　[对于A，令2x＋≠＋kπ(k∈Z)，解得x≠(k∈Z)，
则函数y＝f (x)的定义域是，A选项正确；
对于B，函数y＝f (x)的最小正周期为，B选项错误；
对于C，令kπ－<2x＋则函数y＝f (x)的单调递增区间是(k∈Z)，C选项正确；
对于D，令2x＋＝(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)，
则函数y＝f (x)图象的对称中心为(k∈Z)，D选项错误．]
二、填空题
6．函数f (x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是________．
4　[由题意可得f (x)的周期为，则＝，
∴ω＝4．]
7．函数y＝tan 的单调递增区间是________．
，k∈Z　[令kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，
即函数y＝tan 的单调递增区间是，k∈Z．]
8．函数y＝的值域为________．
(－∞，－1)∪(1，＋∞)　[当－＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴＜－1；
当0＜x＜时，0＜tan x＜1，∴＞1．
即当x∈时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
三、解答题
9．已知函数f (x)＝3tan ．
(1)求它的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f (π)与f 的大小．
[解]　(1)因为f (x)＝3tan ＝－3tan ，
所以T＝＝＝4π．
由kπ－＜＜kπ＋(k∈Z)，
得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．
因为y＝3tan 在(k∈Z)上单调递增，所以f (x)＝3tan 在(k∈Z)上单调递减．
故函数f (x)的最小正周期为4π，单调递减区间为(k∈Z)．
(2)f (π)＝3tan ＝3tan ＝－3tan ，
f ＝3tan ＝3tan ＝－3tan ，
因为0<＜<，且y＝tan x在上单调递增，所以tan ＜tan ，所以f (π)＞f ．
10．求函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈的值域．
[解]　∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1．
令tan x＝t，则t∈[－1，1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5．
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4．
故所求函数的值域为[－4，4]．
11．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
D　[当＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；
当x＝π时，y＝0；
当π＜x＜时，tan x＞sin x，y＝2sin x．故选D．]
12．(多选题)下列关于函数y＝tan 的说法正确的是(　　)
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
AB　[令kπ－13．已知f (x)＝a sin x＋b tan x＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________．
－5　[∵f (5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，
∴a sin 5＋b tan 5＝6，
∴f (－5)＝a sin (－5)＋b tan (－5)＋1
＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5．]
14．已知函数f (x)＝2tan 的最小正周期T满足1＜T＜，则正整数k的值为________，f (x)的单调递增区间为________．
3　，k∈Z　[因为1＜T＜，
所以1＜＜，即＜k＜π．因为k∈N＋，
所以k＝3．因为f (x)＝2tan ，
由－＋kπ＜3x－＜＋kπ，k∈Z，
得－＜x＜，k∈Z．
所以f (x)＝2tan 的单调递增区间为，k∈Z．]
15．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan 在区间上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．
[解]　y＝tan ＝tan ，
∵y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是单调递增的，∴a<0，
又x∈，∴－ax∈，
∴－ax∈，
∴
解得－≤a≤6－8k(k∈Z)．
由－≤6－8k得k≤1，
又∵a<0，
∴－<0，
得k>－．当k＝0时，a不存在；当k＝1时，－2≤a≤－2．
∴a＝－2<0，
∴存在a＝－2∈Z，满足题意．
6/145.3.2　正切函数的图象与性质
学习任务 核心素养
1．能画出正切函数的图象．(重点) 2．掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3．掌握正切函数的定义域．(易错点) 1．借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养． 2．通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养．
学习了y＝sin x，y＝cos x的图象与性质后，明确了y＝sin x，y＝cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值．
类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质．
(1)y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？
(2)正切函数的图象是连续的吗？
知识点　正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域 ____________________
值域 __________
周期 __________
奇偶性 __________
对称 中心 ____________________
单调性 在每一个区间____________________上都单调递增
正切函数在整个定义域上都是单调递增的吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R． (　　)
(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心． (　　)
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z． (　　)
2．函数y＝tan 2x的定义域为________，周期为________．
类型1　正切函数的奇偶性与周期性
【例1】　(1)函数f (x)＝tan 的最小正周期为(　　)
A．　　　B．　　　C．π　　　D．2π
(2)函数f (x)＝sin x＋tan x的奇偶性为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．函数f (x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f (x)＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝．
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x)与f (x)的关系．
[跟进训练]
1．(1)函数f (x)＝(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
(2)若函数y＝3tan 的最小正周期是，则ω＝________．
类型2　正切函数的单调性
【例2】　【链接教材P185例5、例6】
(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．
(2)求函数y＝3tan 的单调区间．
(1)当变量α，β不在同一单调区间时，如何比较tan α与tan β的大小关系？
(2)求y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的单调区间时应注意哪些问题？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是单调递增的，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
提醒：y＝A tan (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝A tan (ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．
[跟进训练]
2．(1)求函数y＝tan 的单调递增区间．
(2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．
①tan 220°与tan 200°；
②tan π与tan ．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　正切函数图象与性质的综合应用
【例3】　设函数f (x)＝tan ．
(1)求函数f (x)的定义域、最小正周期、单调区间及图象的对称中心；
(2)求不等式－1≤f (x)≤的解集．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解形如tan x＞a的不等式的步骤
[跟进训练]
3．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函数f (x)＝|tan 2x|是(　　)
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
2．若tan x≥1，则(　　)
A．2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z)
B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)
C．kπ－＜x≤kπ(k∈Z)
D．kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)
3．(教材P186练习T3(2)改编)比较大小：tan ______tan ．
4．函数y＝tan (π－x)，x∈的值域为______．
5．已知函数y＝tan ，则该函数图象的对称中心坐标为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？
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