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类型1　任意角的三角函数的概念
任意角和弧度制是三角函数的基础，是后续学习的重要保障，在高考中主要涉及三角函数的概念，常以选择题和填空题的形式考查，主要考查学生的数学运算素养．难度为容易题．三角函数线是解决三角函数问题的有力工具，应用较广，主要利用其判断三角函数的符号．借助三角函数线求三角函数的定义域以及与三角函数有关的证明问题．
【例1】　(1)已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是________．
(2)函数y＝的定义域是________．
(1)或－　(2)
[(1)r＝|OP|＝＝5|m|．
当m>0时，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
∴2sin α＋cos α＝．
当m<0时，sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，
∴2sin α＋cos α＝－．
故2sin α＋cos α的值是或－．
(2)由得
如图，结合三角函数线知：
解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域为．]
类型2　同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系和诱导公式主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明．常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为正弦或余弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式．
常与方程、函数相结合命题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养．考查难度以中、低档为主．
【例2】　已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π)．求：
(1)；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
[解]　由根与系数的关系，得
sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝．
(1)原式＝+＝＋cos θ＝．
(2)由sin θ＋cos θ＝，两边平方可得1＋2sin θcos θ＝，所以把sin θcos θ＝代入得1＋2×＝1＋，∴m＝．
(3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0，得两根为和．
∴或
∵θ∈(0，2π)，
∴θ＝或．
类型3　三角函数的图象与性质
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．主要考查学生的数学运算、数据分析、逻辑推理素养．考查难度以中、低档为主．具体要求：
(1)用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π．
(2)对于y＝A sin (ωx＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
(3)已知函数图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．
【例3】　已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋1的周期为π，f ＝＋1，且f (x)的最大值为3．
(1)写出f (x)的表达式；
(2)写出函数f (x)图象的对称中心、对称轴方程及单调区间；
(3)求f (x)在区间上的最大值和最小值．
[解]　(1)∵T＝π，∴ω＝＝2．
∵f (x)的最大值为3，∴A＝2．
∴f (x)＝2sin (2x＋φ)＋1．
∵f ＝＋1，∴2sin ＋1＝＋1，
∴cos φ＝．
∵0<φ<，∴φ＝．
∴f (x)＝2sin ＋1．
(2)∵f (x)＝2sin ＋1，
令2x＋＝kπ，得x＝(k∈Z)，
∴函数f (x)图象的对称中心为(k∈Z)．
由2x＋＝kπ＋，得x＝(k∈Z)，
∴函数f (x)图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f (x)的单调递增区间为(k∈Z)．
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f (x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)当0≤x≤时，≤2x＋，
∴－≤sin ≤1，
∴f (x)在上的最大值为3，最小值为0．
类型4　数形结合思想
数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中．以中、低档题目为主考查．
本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法．
【例4】　已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R在一个周期内的简图如图所示，求函数g(x)＝f (x)－lg x零点的个数．
[解]　显然A＝2．
由图象过点(0，1)，则f (0)＝1，即sin φ＝，
∵|φ|<，则φ＝．
又点是图象上的点，则f ＝0，
即sin ＝0，由图象可知，点是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点．
∴ω＋＝2π，
∴ω＝2，
因此所求函数的解析式为f (x)＝2sin ．
在同一坐标系中作函数y＝2sin 和函数y＝lg x的示意图如图所示，
∵f (x)的最大值为2，令lg x＝2，得x＝100，令π＋kπ<100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而π＋31π>100，
∴在区间(0，100]内有31个形如(k∈Z，0≤k≤30)的区间，在每个区间上y＝f (x)与y＝lg x的图象都有2个交点，故这两个函数图象在上有2×31＝62个交点，另外在上还有1个交点，
∴方程f (x)－lg x＝0共有实根63个，
∴函数g(x)＝f (x)－lg x共有63个零点．
章末综合测评(五)　三角函数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列函数中，最小正周期为π的函数是(　　)
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin D．y＝cos
D　[正、余弦函数的最小正周期为T＝，故选D．]
2．已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为(　　)
A． cm2 B．π cm2
C．2π cm2 D．4π cm2
C　[弧长为π的弧所对的圆心角为，所以r＝＝4(cm)，
所以扇形面积S＝lr＝×π×4＝2π(cm2)．]
3．已知点P(3，4)在角α的终边上，则cos 的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
D　[因为点P(3，4)在角α的终边上，所以|OP|＝＝5，cos ＝－sin α＝－，故选D．]
4．sin (－330°)cos 390°的值为(　　)
A．－
C．－
B　[sin (－330°)·cos 390°＝sin 30°×cos 30°＝＝．]
5．已知tan ＝，则tan ＝(　　)
A． B．－
C． D．－
B　[tan ＝tan ＝－tan ＝－．]
6．设函数f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　[因为f (x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f (x1)＝－1，f (x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f (x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2．]
7．如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin ，则单摆在摆动时，从开始到第一次回到平衡位置所需要的时间为(　　)
A． s B． s
C． s D．1 s
C　[由题意得，s＝0，即6sin ＝0(t>0)，所以2πt＋＝kπ(k∈N＋)，t＝(k∈N＋)，所以t的最小正值为 s，故选C．]
8．已知函数f (x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f (x)的一个周期为4，则f (x)的解析式可能为(　　)
A．f (x)＝sin x B．f (x)＝cos x
C．f (x)＝sin x D．f (x)＝cos x
B　[对于A，f (x)＝sin x，最小正周期为＝4，因为f (2)＝sin π＝0，所以函数f (x)＝sin x的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f (x)＝cos x，最小正周期为＝4，因为f (2)＝cos π＝－1，所以函数f (x)＝cos x的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin x和y＝cos x的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D．故选B．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．将函数f (x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于g(x)的说法错误的是(　　)
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．在上单调递减，为奇函数
C．在上单调递增，为偶函数
D．周期是π，图象关于点对称
BCD　[∵将函数f (x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝g(x)＝sin ＝cos 2x的图象，
显然它是偶函数，最大值为1，周期为＝π，故B错误；
由于当x＝时，g(x)＝－1，为最小值，故g(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；
由于x∈时，2x∈，g(x)没有单调性，故C错误；
由于当x＝时，g(x)＝－≠0，故g(x)的图象不关于点对称，故D错误．]
10．如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)
A．sin B．sin
C．cos D．cos
BC　[由题图知＝＝，得T＝π，即＝π，所以ω＝±2，不妨取ω＝2．又图象过点，
由“五点法”，结合图象可得φ＋＝π，即φ＝，
所以sin (ωx＋φ)＝sin ，故A错误；
由sin ＝sin ＝sin 知B正确；
由sin ＝sin ＝cos 知C正确；
由sin ＝cos ＝cos ＝－cos 知D错误．
综上可知，选BC．]
11．已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象经过点，且在区间上单调，则ω，φ可能的取值为(　　)
A．ω＝2，φ＝－ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝6，φ＝ D．ω＝6，φ＝
BC　[对于A，f (x)＝sin ，f ＝＝sin ＝1，图象不过点，不合题意；
对于B，f (x)＝sin ，f ＝sin ＝sin ＝，图象过点，
令2x－∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，
所以f (x)＝sin 在区间上单调递增；
对于C，f (x)＝sin ，f ＝sin ＝sin ＝，图象过点，
令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，
令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，
所以f (x)＝sin 在区间上单调递减；
对于D，f (x)＝sin ，f ＝sin ＝sin ＝，图象过点，
令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，
当k＝1时，x∈，
所以f (x)＝sin 在区间上不是单调函数，不合题意．故选BC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，则tan α＝______．
－　[因为sin α＋cos α＝，　①
两边平方得1＋2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝－，因为α∈(0，π)，
所以sin α>0，cos α<0，
所以sin α－cos α＝＝＝＝，　②
联立①②得sin α＝，cos α＝－，
所以tan α＝－．]
13．已知函数y＝a sin ＋b在x∈上的值域为[－5，1]，则a＋b的值为________．
1或－5　[由题意知a≠0．
∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin ∈．
当a>0时，解得
当a<0时，解得
综上，a＝4，b＝－3或a＝－4，b＝－1．
所以a＋b＝1或－5．]
14．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________，f ＝________．
3　0　[由题干图象知T＝π，
∴T＝，A＝2，
又∵T＝，
∴ω＝3，
将点代入y＝2sin (3x＋φ)得
sin ＝0，取φ＝－π，
∴f (x)＝2sin ，
∴f ＝2sin ＝2sin π＝0．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sin α＋cos α 的值；
(2)已知角α终边上一点P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．
[解]　(1)∵r＝＝5，
∴sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴2sin α＋cos α＝－＝－．
(2)当点P在第一象限时，
sin α＝，cos α＝，2sin α＋cos α＝2；
当点P在第二象限时，
sin α＝，cos α＝－，2sin α＋cos α＝；
当点P在第三象限时，
sin α＝－，cos α＝－，2sin α＋cos α＝－2；
当点P在第四象限时，sin α＝－，cos α＝，2sin α＋cos α＝－．
16．(本小题满分15分)已知f (α)＝．
(1)化简f (α)；
(2)若α是第三象限角，且cos ＝，求f (α)的值．
[解]　(1)f (α)＝＝
＝－cos α．
(2)因为cos ＝－sin α，
所以sin α＝－．
又因为α是第三象限的角，
所以cos α＝－＝－．
所以f (α)＝．
17．(本小题满分15分)如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
[解]　(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝．所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos t0，得cos t0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或8．所以t＝8分钟时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
18．(本小题满分17分)已知f (x)＝2sin (0<ω<1)，直线x＝是函数f (x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f (x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f (x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求tan 的值．
[解]　(1)由于直线x＝是函数f (x)＝2sin 的图象的一条对称轴，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝k＋(k∈Z)，
又0<ω<1，所以ω＝，
所以f (x)＝2sin ．
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f (x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由题意可得g(x)＝2sin ，
即g(x)＝2cos ，
由g＝2cos ＝2cos ＝，得cos ＝．
又α∈，故<α＋<．
所以sin ＝，
所以tan ＝＝．
19．(本小题满分17分)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象过点P，且图象上与点P最近的一个最低点是Q．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若f ＝，且α为第三象限角，求cos 2α的值．
[解]　(1)根据题意可知，A＝2，＝＝，
∴T＝＝π，解得ω＝2．
又f ＝0，∴sin ＝0，
而|φ|＜，∴φ＝－．
∴f (x)＝2sin ．
(2)由f ＝，
可得2sin 2α＝，
即sin 2α＝．
∵α为第三象限角，
∴π＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z，
∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ，k∈Z，
又sin 2α＝≠1，
∴易知2α为第一或第二象限角，
∴当π＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z时，2α为第一象限角，
cos 2α＝＝．
当＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z时，2α为第二象限角，
cos2α＝－＝－．
综上，cos2α的值为±．
14/14类型1　任意角的三角函数的概念
任意角和弧度制是三角函数的基础，是后续学习的重要保障，在高考中主要涉及三角函数的概念，常以选择题和填空题的形式考查，主要考查学生的数学运算素养．难度为容易题．三角函数线是解决三角函数问题的有力工具，应用较广，主要利用其判断三角函数的符号．借助三角函数线求三角函数的定义域以及与三角函数有关的证明问题．
【例1】　(1)已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是________．
(2)函数y＝的定义域是________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系和诱导公式主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明．常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为正弦或余弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式．
常与方程、函数相结合命题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养．考查难度以中、低档为主．
【例2】　已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π)．求：
(1)；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　三角函数的图象与性质
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．主要考查学生的数学运算、数据分析、逻辑推理素养．考查难度以中、低档为主．具体要求：
(1)用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π．
(2)对于y＝A sin (ωx＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
(3)已知函数图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．
【例3】　已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋1的周期为π，f ＝＋1，且f (x)的最大值为3．
(1)写出f (x)的表达式；
(2)写出函数f (x)图象的对称中心、对称轴方程及单调区间；
(3)求f (x)在区间上的最大值和最小值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型4　数形结合思想
数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中．以中、低档题目为主考查．
本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法．
【例4】　已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R在一个周期内的简图如图所示，求函数g(x)＝f (x)－lg x零点的个数．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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