资源简介

2.3实数（第1课时 无理数） 教学设计
1.教学内容
本节为苏科版新教材八年级上册第2.3节实数的第1课时：无理数。核心知识点包括：无理数的概念及与有理数的区别；用有理数估计无理数的范围；无理数在数轴上的位置与重要性质。通过本节课的学习，学生将进一步完善对数系的认识，为后续学习实数的运算与应用奠定基础。
2.内容解析
本节围绕“无理数”的形成与特点展开。先从有理数包含的类型及其小数形式回顾入手，引出“存在既不是有限小数也不是循环小数的数”、“这类数无法用分数形式表示”的概念，进而明晰无理数的两个关键特征：无理数拥有无限不循环小数表现形式，且不可化成 （ 均为整数）的分数。教学过程突出用平方比较法及估算方法来界定无理数在数轴上的大致范围，并加强对常见无理数（如 、）的认识与应用。此过程兼顾基本概念理解与数感培养，尤为注重学生估算能力的提升。通过典型例题与讨论，让学生在归纳与推理中体会无理数在解决真实问题时的必要性与价值。
1.教学目标
●理解无理数的定义，能够判断一个数是否为无理数。
●能用有理数估计一个无理数的大致范围，形成估算意识。
2.目标解析
● 对“无理数定义”的理解体现在区分有限小数、无限循环小数与无限不循环小数的能力，并能用反证等方法验证数的属性。
● 对“估算无理数范围”的掌握则注重学生能熟练运用平方比较法等手段，对典型无理数进行有效近似估值，帮助学生提高数形结合与数感。
3.重点难点
● 教学重点：掌握无理数的特征，理解无理数与有理数的区别，并会用有理数对无理数进行范围估计。
● 教学难点：通过反证、数值比较等方法判断数值属性；在数轴上进行有效的近似定位，培养学生灵活运用知识的能力。
学生已熟悉有理数及其分数、小数形式，具备基本的平方、开方及数形结合思维。在此基础上，引出“无限不循环小数并非有理数”的新概念较为顺畅。但对于反证法、无理数的精确比较及自主估算的过程，初学者往往会感到抽象，需结合典型案例（如比较 的大小、认识 等）加以引导和强化。注重联系已知知识与新知的衔接，有助于学生更精准地理解和运用无理数概念。
创设情景，复习回顾
1. 回顾“有理数”概念，并提问：
o 有理数包括哪些数？都可以写成小数形式吗？
o 让学生口头回答或板演：
2. 教师出示情境：人类已经将圆周率算到小数点后62.8万亿位，提问：“是不是所有的数都能像有理数一样写成有限小数或无限循环小数？”
【设计意图】通过现实情境“的超大精度计算”激发学生好奇心，引出“无理数”这一新概念；回顾有理数的相关知识，帮助学生从原有认知过渡到新知识，明确学习方向。
探究点1：无理数的定义与判断
1. 问题引入
教师提问：“既然有理数都能表示成有限小数或循环小数，那么对于这样的无限不循环小数该如何分类呢？”
引导学生阅读并思考：
无限不循环小数叫作无理数（）。
> 因为分数都可以转化为有限小数或循环小数，所以无理数不能写成（均为整数）的形式。
2. 新知导出
总结无理数的两个关键特征：
o 其小数形式是无限不循环小数；
o 不能写成分数（有理数）的形式。
进一步说明正无理数与负无理数的分类，引导学生认识典型无理数：、、、等。
3. 师生活动
o 教师：列举、等特殊形式数，让学生思考它们是否为无理数，并尝试用反证法探究。
o 学生：分组讨论后汇报，发现若是有理数，则为有理数，矛盾；同理若是有理数，则为有理数，矛盾。由此得出它们都是无理数。
解：π－3，＋1均是无理数．
假设π－3是有理数，则π－3能写成分数 (m，n是整数)，
∴π＝π－3＋3＝＋3＝ ，
∵m，n是整数，
∴是有理数，即π是有理数，这与π是无理数矛盾．
∴假设不成立，π－3是无理数．
假设＋1是有理数，则＋1能写成分数 (p，q是整数)，
∴＝＋1－1＝－1＝ ，
∵p，q是整数，
∴是有理数，即是有理数，这与是无理数矛盾．
∴假设不成立，＋1是无理数．
【设计意图】通过教师提问与学生讨论，让学生进一步理解“无理数”的本质特征，初步掌握判断方法，并培养抽象思维和逻辑推理能力。
探究点2：用有理数估计无理数范围
1. 问题引入
教师追问：“无理数是无限不循环小数，我们不可能全部写出它的小数位；那如何得到它大致所在的位置呢？”
由于无理数是无限不循环小数，我们不可能写出一个无理数的小数点后的所有数字，但我们可以用有理数来确定一个无理数的范围.
如：3.14＜π＜3.15
也是无理数，如何估计的范围呢？
2. 新知导出
介绍 “区间逼近法”来估计无理数：
∵ 12＝1＜2＜4＝22 ∴ 1＜＜2．
∵ 1.42＝1.96＜2＜2.25＝1.52 ∴ 1.4＜＜1.5．
∵ 1.412＝1.9881＜2＜2.0164＝1.422 ∴ 1.41＜＜1.42．
∵ 1.4142＝1.999396＜2＜2.002225＝1.4152 ∴ 1.414＜＜1.415．
如此下去，我们可以越来越精确地得到的范围.
3. 典例分析（平方比较法）
例 判断下面哪个无理数大于4，并且小于5:
， ， ．
o 教师：
解：这三个数中， 大于4且小于5．理由如下：
∵()2＝15，而15＜16，∴＜，即＜4；
∵()2＝17，而16＜17＜25，∴＜＜，即4＜＜5；
∵()2＝26，而26＞25，∴＞，即＞5．
o 学生：动手尝试“判断下列哪个无理数大于3且小于4：、”，并把判断理由写到小组白板上，最后全班汇报。
【设计意图】让学生通过数值比较、平方对比等活动，直观掌握“如何用有理数逼近无理数”的思路，增强估算与数感。
1. 判断下列哪个无理数大于 且小于 ：
解：这二个数中， － 大于－2且小于－1．
∵π＞2，∴－π＜－2，
∵ ＜＜，∴－ ＜－ ＜－，即－2＜－＜－1．
2. 判断下列哪个无理数大于 且小于 ：
解：这二个数中， 大于3且小于4．理由如下：
∵()2＝7，而7＜9，∴＜，即＜3；
∵()2＝10，而9＜10＜16，∴＜＜，即3＜＜4．
3. 判断下列说法是否正确，如果不正确，请举例说明。
（1）两个有理数的和一定是有理数；
（2）两个无理数的和一定是无理数；
（3）一个有理数与一个无理数的积一定是无理数。
解：(1)正确．
(2)错误，例如＋(－)＝0是有理数．
(3)错误，例如0×π＝0是有理数．
1.本节课围绕“无理数”展开，明确了无理数是无法化成分数形式、且其小数表示为无限不循环的小数。
2.通过典型例题与“平方比较法”，学生初步掌握了利用有理数区间来估计无理数的思路，培养了数值估算意识。
3.结合π－3、＋1等例子，说明了运用“反证法”可以证明某些数是无理数。
4.总体而言，学生对无理数的关键性质、判断方法和区间估算技巧有了初步了解。
1. 课题：第1课时 无理数
2. 回顾：
有理数的定义与形式：有限小数、无限循环小数；表示为m/n
3. 概念：
无理数：无限不循环小数，不能用m/n表示
4. 常见无理数：π、、等
5. 估算方法：
区间逼近法
平方比较法
6. 小结：
1. 课本相应习题：完成教材“2.3 实数”中本节对应练习，重点是判断有理数与无理数、用平方比较法估计√n的范围。
2. 探究作业：选取任意一个数（如√3、√5等），尝试用平方比较法逐步缩小区间，获得小数点后四位的近似值，并小组内交流估算过程与结果。
本节课围绕“无理数的概念与基本判断”这一课程目标开展教学，学生对于“有限小数或循环小数”与“无限不循环小数”的区别已有较为直观的感受，通过举例分析（如π、√2等），大部分学生能正确判断某数是否为无理数，教学目标基本达成。但在估算无理数范围的过程中，个别学生对“平方比较法”的思路不够熟悉，需要在习题讲评和后续练习中进一步加强对区间估计的训练。此外，对“反证法”这一思维方法的运用，部分学生尚处于被动接受，需要结合更多表达与讨论机会来提升推理能力。后续我将优化课堂演练环节，增加学生对估算方法和推理论证方法的主动操作与讨论，使其从知识接受向技能掌握逐步过渡。

展开更多......

收起↑