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1.1 集合的概念
【题型1】元素与集合的概念 3
【题型2】集合中元素的特征 4
【题型3】元素和集合之间的关系 5
【题型4】列举法 7
【题型5】描述法 8
【题型6】集合表示方法的综合应用 9
1.元素:一般地,我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示. 2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),集合通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示. 3.集合中元素的特征:确定性、互异性与无序性. 4.集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,则称两个集合相等. 5.元素和集合之间的关系 知识点关系概念记法读法元素与 集合的 关系属于如果a是集合A的元素a∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A的元素a Aa不属于集合A
6.常用数集及其记法 名称非负整数集 (或自然数集)正整 数集整数 集有理 数集实数 集记法NN*或N＋ZQR
7.把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 8.一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.
符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系,且二者必居其一,注意开口方向. 描述法中竖线“|”及其左边的代表元素一般不能省略,如果竖线左侧元素的所属范围为实数集时,可以省略x∈R,如集合{x|0＜x＜1}.
【题型1】元素与集合的概念
（2025 泰安模拟）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是　　
A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④
【答案】
【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项．
【解答】解：对于①，满足元素的确定性，不能组成集合，故①错误；
对于②，方程在实数集内的解组成的集合为，故②正确；
对于③，直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为，，故③正确；
对于④，不满足元素的确定性，不能组成集合，故④错误．
故选：．
方法点拨 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.
【变式1】（2024秋 南充期中）下列选项中，能够构成集合的是　　
A．南充高中高2024级个子较高的学生
B．高中数学人教版必修第一册中的难题
C．关于的方程的所有实根
D．无限接近于的所有实数
【变式2】（2024秋 西乡塘区期中）下列对象能组成集合的是　　
A．非常接近0的数 B．身高很高的人
C．绝对值为5的数 D．著名的数学家
【变式3】（2024秋 北碚区月考）下列说法中正确的是　　
A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合
B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合
C．，2，与，1，是不同的集合
D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素
【题型2】集合中元素的特征
（2024秋 汉寿县期末）若，2，，则的所有可能取值为 　2或0　．
【答案】2或0．
【分析】分类讨论，若不满足元素互异性，则舍去，求出答案．
【解答】解：①当时，，此时集合为，2，，符合题意，
②当时，，此时不满足元素的互异性，舍去，
③当时，或1，若，，此时不满足元素的互异性，舍去，
若，此时集合为，2，，综上所述的可能值为2或0．
故答案为：2或0．
方法点拨 1.利用集合中元素的特性求字母的取值需注意两点:(1)根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值;(2)再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验. 2.若两个集合相等,则两集合的元素相同,但元素不一定按顺序对应相等.
【变式1】（2024秋 深圳期末）若集合，，，则实数的取值可以是　　
A．2 B．3 C． D．5
【变式2】（2024秋 广陵区期中）集合，，中的不能取的值是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3】（2024秋 莎车县期中）若一个集合中的三个元素，，是△的三边长，则此三角形一定不是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【题型3】元素和集合之间的关系
（2024秋 铜陵期末）下列关系中正确的个数是　　
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案．
【解答】解：，，，，①②③正确，④错误．
故选：．
方法点拨 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的,然后判断该元素在已知集合中是否出现. (2)推理法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.
【变式1】（2025春 宝山区期中）设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 　，　 ．
【变式2】（2024秋 南开区月考）给出下列关系：①；②；③；④；⑤．其中错误的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（2024秋 浦东新区月考）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则．则下列说法正确的个数为　　
（1）；
（2）；
（3）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型4】列举法
（2024秋 宝山区期中）关于的方程的解集可能是　　
A．空集 B．单元素集合 C．， D．，
【答案】
【分析】由题意可知方程的解集，，再逐个判断各个选项即可．
【解答】解：由方程可得或，
解得或，
所以方程的解集，，
故错误，错误，
当时，方程的解集为，，故正确；
令，无解，
所以方程的解集不可能是，，故错误．
故选：．
方法点拨 1.列举法表示集合的三个步骤: (1)求出集合的元素;(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次;(3)用花括号括起来. 2.二元方程组的解集、函数图象上的点构成的集合都是点集,应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
【变式1】（2024秋 泸县期中）方程组的解组成的集合为　　
A． B．， C． D．，
【变式2】（2024秋 宝山区月考）用列举法表示“能整除9的所有正整数”组成的集合：　，3，　．
【变式3】（2024秋 宁河区期中）用列举法表示下列集合：大于1且小于6的整数． 　，3，4，　．
【题型5】描述法
（2024秋 雨城区月考）用描述法表示函数图象上的所有点的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据集合描述法定义可解决此题．
【解答】解：根据集合描述法定义可得函数图象上的所有点的集合是，
故选：．
方法点拨 利用描述法表示集合应注意三点 (1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x|x＜1}不能写成{x＜1}. (2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如,{x|x＝2k},k∈Z,这种表示方式就不符合要求,需将k∈Z也写进大括号,即{x|x＝2k,k∈Z}. (3)不能出现未被说明的字母.
【变式1】（2024秋 闵行区期中）第一象限的点组成的集合可以表示为　　
A． B．
C．且 D．或
【变式2】（2024秋 黄浦区期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 　，，且　．
【变式3】（2024秋 上城区期中）设集合，，，则中元素的个数为 　4　．
【题型6】集合表示方法的综合应用
（2023秋 吴忠月考）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于1且不大于17的质数组成的集合；
（2）所有奇数组成的集合；
（3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合；
（4），，．
【答案】（1），3，5，7，11，13，；
（2），；
（3）；
（4），，，．
【分析】（1）结合质数的概念以及列举法即可求解．
（2）由奇数的概念以及描述法即可求解．
（3）由描述法即可求解．
（4）用列举法即可求解．
【解答】解：（1）大于1且不大于17的质数组成的集合，4，5，7，11，13，．
（2）所有奇数组成的集合，．
（3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合．
（4），，，，，．
方法点拨 1.若已知集合是用描述法给出的要明确集合的代表元素及其属性. 2.求解集合与方程的问题应注意: (1)当方程中含有参数时,一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围,必要时要分类讨论. (2)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性.
【变式1】（2023秋 湖南期中）已知集合，其中．
（1）若，用列举法表示集合；
（2）若集合中有且仅有一个元素，求实数的值组成的集合．
【变式2】（2023秋 宝山区期末）已知集合，，．
（1）若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合；
（2）若至少有两个子集，试求实数的取值范围．
【变式3】（2023 仁寿县开学）已知集合的元素是由方程的实数解构成．
（1）若为空集，求的取值范围；
（2）若是单元素集，求的值；
（3）若中至多只有一个元素，求的取值范围．1.1 集合的概念
【题型1】元素与集合的概念 3
【题型2】集合中元素的特征 5
【题型3】元素和集合之间的关系 7
【题型4】列举法 9
【题型5】描述法 11
【题型6】集合表示方法的综合应用 13
1.元素:一般地,我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示. 2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),集合通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示. 3.集合中元素的特征:确定性、互异性与无序性. 4.集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,则称两个集合相等. 5.元素和集合之间的关系 知识点关系概念记法读法元素与 集合的 关系属于如果a是集合A的元素a∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A的元素a Aa不属于集合A
6.常用数集及其记法 名称非负整数集 (或自然数集)正整 数集整数 集有理 数集实数 集记法NN*或N＋ZQR
7.把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 8.一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.
符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系,且二者必居其一,注意开口方向. 描述法中竖线“|”及其左边的代表元素一般不能省略,如果竖线左侧元素的所属范围为实数集时,可以省略x∈R,如集合{x|0＜x＜1}.
【题型1】元素与集合的概念
（2025 泰安模拟）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是　　
A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④
【答案】
【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项．
【解答】解：对于①，满足元素的确定性，不能组成集合，故①错误；
对于②，方程在实数集内的解组成的集合为，故②正确；
对于③，直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为，，故③正确；
对于④，不满足元素的确定性，不能组成集合，故④错误．
故选：．
方法点拨 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.
【变式1】（2024秋 南充期中）下列选项中，能够构成集合的是　　
A．南充高中高2024级个子较高的学生
B．高中数学人教版必修第一册中的难题
C．关于的方程的所有实根
D．无限接近于的所有实数
【答案】
【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解．
【解答】解：对于，个子较高，不满足集合元素的确定性，故错误；
对于，难题，满足集合元素的确定性，故错误；
对于，的根为，故集合为，，故正确；
对于，无限接近于，不满足集合元素的确定性，故错误．
故选：．
【变式2】（2024秋 西乡塘区期中）下列对象能组成集合的是　　
A．非常接近0的数 B．身高很高的人
C．绝对值为5的数 D．著名的数学家
【答案】
【分析】借助集合中元素的性质逐项判定即可得．
【解答】解：由集合中元素的确定性可知，、、选项中的对象都不能组成集合，
故、、错误；
对于：绝对值为5的数有5或，符合集合的概念，故正确．
故选：．
【变式3】（2024秋 北碚区月考）下列说法中正确的是　　
A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合
B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合
C．，2，与，1，是不同的集合
D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素
【答案】
【分析】根据集合元素的确定性、互异性和无序性判断即可．
【解答】解：对于选项，联合国所有常任理事国共5个，即：中国，美国，俄国，英国，法国，可以组成集合，故选项正确；
对于选项，“年龄较小”的标准不明确，无法确定集合的元素，故选项错误；
对于选项，集合的元素满足无序性，，2，与，1，是相同集合，故选项错误；
对于选项，集合的元素满足互异性，由1，0，5，1，2，5可组成的集合，1，2，，且有4个元素，故选项错误．
故选：．
【题型2】集合中元素的特征
（2024秋 汉寿县期末）若，2，，则的所有可能取值为 　2或0　．
【答案】2或0．
【分析】分类讨论，若不满足元素互异性，则舍去，求出答案．
【解答】解：①当时，，此时集合为，2，，符合题意，
②当时，，此时不满足元素的互异性，舍去，
③当时，或1，若，，此时不满足元素的互异性，舍去，
若，此时集合为，2，，综上所述的可能值为2或0．
故答案为：2或0．
方法点拨 1.利用集合中元素的特性求字母的取值需注意两点:(1)根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值;(2)再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验. 2.若两个集合相等,则两集合的元素相同,但元素不一定按顺序对应相等.
【变式1】（2024秋 深圳期末）若集合，，，则实数的取值可以是　　
A．2 B．3 C． D．5
【答案】
【分析】根据集合中元素的互异性求解．
【解答】解：由元素的互异性可得，，
解得，，，
观察四个选项可知，符合．
故选：．
【变式2】（2024秋 广陵区期中）集合，，中的不能取的值是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【分析】根据集合的互异性，即可求解．
【解答】解：集合，，中，由互异性可知，，或或，
得或或．
故选：．
【变式3】（2024秋 莎车县期中）若一个集合中的三个元素，，是△的三边长，则此三角形一定不是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】
【分析】根据集合的互异性可知，进而可判定三角形不可能是等腰三角形．
【解答】解：根据集合的性质可知，
△一定不是等腰三角形．
故选：．
【题型3】元素和集合之间的关系
（2024秋 铜陵期末）下列关系中正确的个数是　　
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案．
【解答】解：，，，，①②③正确，④错误．
故选：．
方法点拨 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的,然后判断该元素在已知集合中是否出现. (2)推理法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.
【变式1】（2025春 宝山区期中）设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 　，　 ．
【答案】，．
【分析】不等式的解集等价于的解集，则，等价于，可求出的范围．
【解答】解：因为不等式的解集等价于的解集，
故，等价于，解得，．
故答案为：，．
【变式2】（2024秋 南开区月考）给出下列关系：①；②；③；④；⑤．其中错误的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可．
【解答】解：对于命题①，，所以命题①错误；
对于命题②，，所以命题②错误；
对于命题③，，所以命题③错误；
对于命题④，因为，所以命题④正确；
对于命题⑤，因为是无限不循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确，
故选：．
【变式3】（2024秋 浦东新区月考）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则．则下列说法正确的个数为　　
（1）；
（2）；
（3）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【分析】（1）根据集合的条件，先根据①②得，，进而有③可得；
（2）先由①②得，进而可得；
（3）先证，可得，，进而得，再结合可证．
【解答】解：（1）正确，理由如下：
由①知，，由②可得，，
由③可得；
（2）证明：由①知，由题意，
所以由②可知，又，所以；
（3）证明：，由②可知，由③可知，，
所以，即，所以，
由（2）结论可知，即，
所以说法正确的个数为3．
故选：．
【题型4】列举法
（2024秋 宝山区期中）关于的方程的解集可能是　　
A．空集 B．单元素集合 C．， D．，
【答案】
【分析】由题意可知方程的解集，，再逐个判断各个选项即可．
【解答】解：由方程可得或，
解得或，
所以方程的解集，，
故错误，错误，
当时，方程的解集为，，故正确；
令，无解，
所以方程的解集不可能是，，故错误．
故选：．
方法点拨 1.列举法表示集合的三个步骤: (1)求出集合的元素;(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次;(3)用花括号括起来. 2.二元方程组的解集、函数图象上的点构成的集合都是点集,应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
【变式1】（2024秋 泸县期中）方程组的解组成的集合为　　
A． B．， C． D．，
【答案】
【分析】利用二元一次方程组的解法、集合的表示求解．
【解答】解：解方程组，得．
方程组的解为．
故选：．
【变式2】（2024秋 宝山区月考）用列举法表示“能整除9的所有正整数”组成的集合：　，3，　．
【答案】，3，．
【分析】利用列举法的定义求解．
【解答】解：用列举法表示“能整除9的所有正整数”组成的集合为，3，．
故答案为：，3，．
【变式3】（2024秋 宁河区期中）用列举法表示下列集合：大于1且小于6的整数． 　，3，4，　．
【答案】，3，4，．
【分析】利用集合的描述法与列举法求解即可．
【解答】解：因为大于1且小于6的整数是2，4，5；
用列举法表示该集合为，3，4，．
故答案为：，3，4，．
【题型5】描述法
（2024秋 雨城区月考）用描述法表示函数图象上的所有点的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据集合描述法定义可解决此题．
【解答】解：根据集合描述法定义可得函数图象上的所有点的集合是，
故选：．
方法点拨 利用描述法表示集合应注意三点 (1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x|x＜1}不能写成{x＜1}. (2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如,{x|x＝2k},k∈Z,这种表示方式就不符合要求,需将k∈Z也写进大括号,即{x|x＝2k,k∈Z}. (3)不能出现未被说明的字母.
【变式1】（2024秋 闵行区期中）第一象限的点组成的集合可以表示为　　
A． B．
C．且 D．或
【答案】
【分析】根据点集的表示方法，即可求解．
【解答】解：第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，即且，
所以第一象限的点组成的集合可以表示为且．
故选：．
【变式2】（2024秋 黄浦区期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 　，，且　．
【答案】，，且．
【分析】根据描述法的定义求解．
【解答】解：用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：，，且．
故答案为：，，且．
【变式3】（2024秋 上城区期中）设集合，，，则中元素的个数为 　4　．
【答案】4．
【分析】根据集合的条件限制，求出，的所有可能取值即可得出的元素个数．
【解答】解：，，，
时，或1；时，或1，
，，，，共4个元素．
故答案为：4．
【题型6】集合表示方法的综合应用
（2023秋 吴忠月考）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于1且不大于17的质数组成的集合；
（2）所有奇数组成的集合；
（3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合；
（4），，．
【答案】（1），3，5，7，11，13，；
（2），；
（3）；
（4），，，．
【分析】（1）结合质数的概念以及列举法即可求解．
（2）由奇数的概念以及描述法即可求解．
（3）由描述法即可求解．
（4）用列举法即可求解．
【解答】解：（1）大于1且不大于17的质数组成的集合，4，5，7，11，13，．
（2）所有奇数组成的集合，．
（3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合．
（4），，，，，．
方法点拨 1.若已知集合是用描述法给出的要明确集合的代表元素及其属性. 2.求解集合与方程的问题应注意: (1)当方程中含有参数时,一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围,必要时要分类讨论. (2)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性.
【变式1】（2023秋 湖南期中）已知集合，其中．
（1）若，用列举法表示集合；
（2）若集合中有且仅有一个元素，求实数的值组成的集合．
【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）若，则，解方程可用列举法表示；
（2）若中有且仅有一个元素，分，和且△两种情况，分别求出满足条件的值，可得集合．
【解答】解：（1），
是方程 的一个根，
，得，
此时集合；
（2）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根，
若，则当且仅当方程的判别式△，得，
方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素，
所求集合，．
【变式2】（2023秋 宝山区期末）已知集合，，．
（1）若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合；
（2）若至少有两个子集，试求实数的取值范围．
【答案】（1）或，或；
（2）实数的取值范围为，．
【分析】（1）考虑和且△两种情况；
（2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且△两种情况．
【解答】解：（1）时，，解得符合题意；
时令△解得，
此时，，
解得符合题意，
故或，或
（2）若至少有两个子集，则至少有一个元素．
由（1）知或时符合题意．
由题意可知时若△也符合题意．
即解得且．
综上实数的取值范围为，．
【变式3】（2023 仁寿县开学）已知集合的元素是由方程的实数解构成．
（1）若为空集，求的取值范围；
（2）若是单元素集，求的值；
（3）若中至多只有一个元素，求的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分类讨论：时，解出之间验证即可判断出；时，为空集，可得△，解出即可得出．
（2）由（1）可知：时，满足条件．时，由△，解得的范围即可判断出结论．
（3）由（1）（2）可知：的取值范围．
【解答】解：（1）时，解得．时，方程化为：，解得，，舍去．
时，方程化为：，解得，，因此满足条件．
时，为空集，△，解得：．的取值范围是，．
（2）由（1）可知：时，满足条件．时，由△，解得：，而此时，舍去．
综上可得：的取值范围是．
（3）由（1）（2）可知：的取值范围是，．

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