资源简介

1.1《集合的概念》课时教案
学科 数学 年级册别 高一上册 共1课时
教材 人教A版高中数学必修第一册 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节课是人教A版高中数学必修第一册第一章第一节《集合的概念》，是整个高中数学的起始内容，具有奠基性作用。教材从生活中的实例出发，引导学生认识“集合”这一基本数学概念，强调元素与集合之间的“属于”关系，介绍常用数集及其符号表示（如N、Z、Q、R），并通过具体例子帮助学生理解集合中元素的确定性、互异性和无序性三大特征。内容编排由浅入深，符合学生的认知规律，为后续学习函数、不等式、概率统计等内容打下逻辑基础。
学情分析
高一新生刚从初中升入高中，数学思维正处于由具体运算向抽象逻辑过渡的关键期。他们对“集合”一词虽有模糊感知，但缺乏严谨定义和系统理解。部分学生可能将“集合”简单等同于“很多东西放在一起”，忽视其“确定性”这一核心特征。此外，面对数学符号语言（如∈、 、N、Z等）的集中出现，容易产生畏难情绪。教学中需借助贴近生活的实例激发兴趣，通过辨析活动澄清误区，强化符号意识，并关注初高中衔接，帮助学生完成思维方式的转变。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能从现实生活情境中识别出具有共同属性的对象群体，抽象出“集合”的原始概念。
2. 能举例说明生活中存在的各种集合实例，理解集合是研究对象的整体。
思考现实世界
1. 理解集合中元素的三个基本特征：确定性、互异性、无序性，并能运用这些特征判断一组对象是否能构成集合。
2. 掌握元素与集合之间的“属于”与“不属于”关系，正确使用符号“∈”和“ ”。
表达现实世界
1. 能用自然语言、列举法和描述法表示常见的集合，特别是掌握常用数集（N、Z、Q、R）的标准符号。
2. 能在具体问题中准确使用集合语言进行表述和交流，提升数学表达的规范性。
发展核心素养
1. 在从具体到抽象的过程中，发展学生的数学抽象能力。
2. 通过集合语言的学习，初步建立严谨的数学思维习惯，增强逻辑推理意识。
教学重点、难点
重点
1. 集合的基本概念及元素与集合的关系（“属于”与“不属于”）。
2. 集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性。
难点
1. 理解集合元素的“确定性”——即对于任意一个对象，都能明确判断它是否属于该集合。
2. 区分列举法与描述法的适用情境，并能根据问题需要选择恰当的表示方法。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、合作探究法、讲授法
教具准备
多媒体课件、实物投影仪、学习任务单
教学环节 教师活动 学生活动
创设情境，导入新课
【5分钟】 一、生活启思，感知“整体” （一）、展示生活图片，引发思考。
教师利用多媒体依次展示以下五组图片：
1. 一张班级合影照片；
2. 一套完整的中国古典四大名著书籍封面图；
3. 一个装满不同颜色乒乓球的盒子；
4. 一张全国主要城市的地铁线路图；
5. 一份学校一周的课程表。
随后提问：“同学们，请仔细观察这五幅图，它们各自包含了哪些具体的对象？这些对象有什么共同点？”引导学生发现每组图中的事物都是“一些确定的事物汇集在一起”，形成一个整体。例如，班级合影是由班上每一位同学组成的整体；四大名著是由《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四本书组成的整体。这种“汇集在一起的整体”在数学中有一个专门的名称，就是我们今天要学习的内容——“集合”。
（二）、揭示课题，明确目标。
在学生初步感知“整体”概念后，教师正式板书课题：“第一章 第一节 集合的概念”。紧接着，教师提出驱动性问题：“如果我们要用数学的语言来精确地描述‘高一（3）班全体学生’这个整体，应该怎样做？什么样的标准才能保证这个‘整体’是清晰、无歧义的？”由此引出本节课的核心任务：学会用数学的方式定义和表示“集合”，并理解其内在规则。 1. 观察图片，思考并回答教师提出的问题。
2. 感知“整体”与“个体”的关系。
3. 明确本节课的学习主题。
4. 思考如何用数学语言描述生活中的“整体”。
评价任务 观察力：☆☆☆
联想力：☆☆☆
表达力：☆☆☆
设计意图 通过贴近学生生活的五组图片创设真实情境，激活已有经验，让学生直观感受到“集合”就是“一些确定对象的总体”。这种从具体到抽象的引入方式，符合高一学生的认知水平，能有效激发学习兴趣。同时，提出的驱动性问题为后续探究埋下伏笔，使学生带着明确的目标进入新课学习。
合作探究，建构概念
【15分钟】 一、小组讨论，归纳特征 （一）、分发任务单，组织合作探究。
教师将全班分为6个学习小组，每组发放一张《集合特征探究任务单》。任务单一包含四个案例：
【案例1】“我校个子高的男生”能否构成一个集合？为什么？
【案例2】方程 x - 2x + 1 = 0 的所有实数解。
【案例3】单词 “book” 中的所有字母。
【案例4】大于3小于7的所有整数。
要求各小组围绕这四个案例展开讨论，重点思考：哪些案例中的对象可以明确地聚成一个集合？哪些不能？判断的依据是什么？教师巡视各小组，适时介入引导，提醒学生关注“每一个对象是否能被明确判断是否属于该群体”。
（二）、组织汇报，提炼概念本质。
待小组讨论结束后，教师邀请各组代表依次汇报讨论结果。针对【案例1】，多数小组会认为“个子高的男生”不能构成集合，因为“高”的标准模糊，无法明确界定谁属于、谁不属于。此时教师追问：“如果我们将‘高’定义为‘身高不低于175cm’，情况会改变吗？”引导学生认识到，只有当标准明确时，集合才具有“确定性”。接着分析【案例2】，解得 x=1（重根），集合为{1}，体现元素的“互异性”（相同元素只算一次）和“无序性”（顺序无关）。【案例3】中字母为{b, o, k}，注意'o'只出现一次。【案例4】的集合可表示为{4, 5, 6}，为列举法的典型应用。在充分讨论的基础上，教师系统总结：集合中的元素必须具备三大特征——确定性（determinacy）、互异性（distinctness）、无序性（unorderedness），并将其板书。
二、精讲点拨，规范语言 （一）、引入数学符号，建立规范表达。
在学生理解集合基本含义后，教师正式引入数学符号。首先说明：通常用大写拉丁字母A、B、C…表示集合，用小写拉丁字母a、b、c…表示元素。然后重点讲解“属于”与“不属于”的关系：如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作 a ∈ A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作 a A。教师结合【案例4】进行示范：“设集合A表示大于3且小于7的所有整数，则4 ∈ A，而2 A。”
（二）、介绍常用数集，强化记忆。
教师继续讲解：“在数学中，有一些非常重要的数集，它们有约定俗成的符号。”随即在黑板上列出：
- 自然数集（非负整数集）：记作 N，包含 0, 1, 2, 3, …
- 正整数集：记作 N* 或 N ，包含 1, 2, 3, …
- 整数集：记作 Z，包含 …, -2, -1, 0, 1, 2, …
- 有理数集：记作 Q，包含所有可以表示为两个整数之比的数。
- 实数集：记作 R，包含所有有理数和无理数。
教师强调这些符号的重要性，并通过提问巩固：“π 是有理数吗？那么 π 属于哪个集合？应如何表示？”引导学生回答：“π Q，但 π ∈ R。” 1. 分组讨论任务单上的四个案例。
2. 辨析集合元素的确定性、互异性、无序性。
3. 使用数学符号表达元素与集合的关系。
4. 记录并理解常用数集的符号表示。
评价任务 辨析力：☆☆☆
表达力：☆☆☆
合作力：☆☆☆
设计意图 采用合作探究法，让学生在真实问题情境中主动参与知识的建构过程。通过正反案例的对比分析，学生能深刻体会“确定性”作为集合首要特征的意义。教师在关键处进行精讲点拨，及时纠正错误理解，规范数学语言和符号使用，帮助学生建立严谨的数学概念体系。常用数集的集中介绍有助于学生形成系统的知识网络。
方法迁移，深化理解
【12分钟】 一、两种表示法的教学 （一）、演示列举法，强调规范书写。
教师以“方程 x = 9 的所有实数解”为例，引导学生求解得 x = 3 或 x = -3。接着说明：“我们可以把这个集合中的所有元素一一列举出来，写在花括号内，这种表示方法叫做列举法。”板书：设集合B为该方程的解集，则 B = {3, -3}。强调书写要点：元素之间用逗号隔开，花括号不可省略，元素无序（也可写作{-3, 3}），互异（相同解只写一次）。再举一例：“小于5的自然数组成的集合”，引导学生写出 C = {0, 1, 2, 3, 4}。特别提醒：若集合元素较多或无限，不宜使用列举法。
（二）、引入描述法，突破抽象难点。
教师提出问题：“如何表示‘所有大于5的实数’？”引导学生思考：这类集合元素无穷多，无法一一列举。于是引出第二种重要方法——描述法。教师详细讲解：“描述法是通过描述集合中元素的共同特征来表示集合。”格式为：{x | p(x)}，其中竖线前的x代表元素的一般形式，竖线后的p(x)是元素所满足的条件。以刚才的问题为例，设集合D表示所有大于5的实数，则 D = {x | x > 5, x ∈ R}。教师逐步解析：x 表示任意一个实数，| 表示“使得”，x > 5 是条件，x ∈ R 表明变量范围。再举一例：“奇数组成的集合”可表示为 E = {x | x = 2k+1, k ∈ Z}。强调描述法的核心是抓住“共同属性”，并正确使用数学语言描述条件。
二、对比辨析，灵活选用 （一）、组织学生完成即时练习。
教师在课件上呈现三道练习题，要求学生独立完成后同桌互评：
1. 用列举法表示“一年中英文名为3个字母的月份”。（答案：{Jan, Apr, Aug}）
2. 用描述法表示“绝对值等于2的所有实数”。（答案：{x | |x| = 2, x ∈ R}）
3. 判断下列集合表示是否正确，说明理由：
（i）{1, 2, 2, 3} （错误，违反互异性）
（ii）{x | x = -1, x ∈ R} （正确，为空集 ）
教师巡视指导，重点关注学生对互异性的理解和空集的认识。
（二）、引导学生总结方法选用原则。
在练习反馈后，教师组织学生讨论：“在什么情况下适合用列举法？什么情况下必须用描述法？”引导学生归纳：当集合元素个数较少且有限时，优先选用列举法，简洁直观；当集合元素无限或多到不便列举时，必须使用描述法，突出其共同特征。同时强调两种方法可以相互转化，如集合{4, 5, 6}也可描述为{x | 3 < x < 7, x ∈ Z}。 1. 学习并掌握列举法的书写规范。
2. 理解描述法的结构与含义。
3. 完成练习，巩固两种表示方法。
4. 参与讨论，总结方法选用原则。
评价任务 规范性：☆☆☆
准确性：☆☆☆
灵活性：☆☆☆
设计意图 通过典型例题系统讲解列举法与描述法，注重方法的规范性和适用条件。设置层次分明的练习题，帮助学生在应用中深化理解，特别是对“互异性”和“空集”等易错点进行针对性训练。最后引导学生自主总结方法选用策略，培养其元认知能力，实现从“学会”到“会学”的转变。
课堂小结，升华认知
【8分钟】 一、回顾主线，结构化梳理 （一）、串联故事线，回顾探究历程。
教师以“寻找数学世界的身份证”为主线进行总结：“今天我们踏上了一段奇妙的旅程——为‘整体’办理一张数学身份证。这张身份证的名字叫‘集合’。要想成功申领，必须满足三个硬性条件：第一，身份必须‘确定’，不能模棱两可，比如‘高个子’就不行，但‘身高≥175cm’就可以；第二，信息必须‘唯一’，不允许重复登记，就像一个人只能有一个身份证号码；第三，排列不分先后，无论你怎么排序，身份证上的基本信息不会改变。这就是集合的三大特征：确定性、互异性、无序性。”
（二）、强调符号语言，构建表达体系。
接着，教师指出：“有了身份，还得有联系方式。数学里用‘∈’和‘ ’告诉我们某个元素是否属于这个集合，就像确认你是否在某个名单上。而N、Z、Q、R这些大写的字母，就是数学界通用的‘户籍代码’，代表着不同的数之家。掌握了这些符号，我们就拥有了与数学对话的第一把钥匙。”
二、开放式提问，引发深层思考 （一）、提出开放性问题，拓展思维边界。
教师抛出问题：“有没有一个集合，它不包含任何元素？”引导学生思考空集的存在意义。待学生回答“有，空集”后，进一步追问：“空集是不是任何集合的子集？为什么数学家要定义这样一个‘空无一物’的集合？”鼓励学生大胆猜想，为下节课“集合间的基本关系”埋下伏笔。
（二）、激励展望，连接未来学习。
最后，教师深情总结：“德国数学家康托尔说：‘数学的本质在于它的自由。’而集合论，正是这种自由的基石。今天，我们迈出了高中数学的第一步，学会了如何用最严谨的语言去定义一个‘整体’。这看似简单的花括号‘{}’，却承载着整个现代数学的大厦。希望同学们在未来的学习中，始终保持这份对精确与逻辑的敬畏，让集合的思想成为你们探索未知世界的指南针。” 1. 跟随教师回顾本节课的知识脉络。
2. 理解集合符号的数学意义。
3. 思考空集的存在价值。
4. 感受数学的理性之美与深远意义。
评价任务 理解力：☆☆☆
反思力：☆☆☆
感悟力：☆☆☆
设计意图 采用“情景化+升华式”相结合的总结方式，以“办理数学身份证”这一生动比喻贯穿始终，帮助学生形象记忆抽象概念。通过开放式提问激发学生的好奇心和探究欲，体现“为未来而教”的理念。引用康托尔的名言收尾，提升课堂的文化品位，让学生感受到数学不仅是知识，更是一种思想和精神，从而获得情感上的共鸣与升华。
布置作业，巩固延伸
【5分钟】 一、分层作业，落实双基 （一）、基础巩固题。
教师布置书面作业，要求学生工整书写在作业本上：
1. 用列举法表示下列集合：
（1）方程 x - 5x + 6 = 0 的所有实数解。
（2）单词 “mathematics” 中的所有不同字母。
（3）小于8的所有正偶数。
2. 用描述法表示下列集合：
（1）所有能被3整除的整数。
（2）平面直角坐标系中，第二象限内的所有点。
（3）绝对值小于4的所有实数。
3. 判断下列说法是否正确，说明理由：
（1）{1, 2} = {2, 1}
（2）0 ∈ N
（3）{a, b, c} 与 {c, b, a} 是同一个集合
（4）集合 {x | x = -2, x ∈ R} 中有两个元素
二、实践拓展题 （一）、联系生活，应用创新。
4. 请你在生活中寻找三个可以用集合描述的实际例子，并分别用自然语言、列举法（若适用）和描述法进行表示。例如：我家书架上的高中数学参考书。
5. （选做）查阅资料，了解“罗素悖论”是什么？它与集合的概念有何关联？写下你的初步理解。 1. 独立完成基础练习题。
2. 尝试用集合语言描述生活实例。
3. 查阅资料，拓展数学视野。
4. 准备下一节课的预习。
评价任务 完成度：☆☆☆
准确度：☆☆☆
创新性：☆☆☆
设计意图 作业设计遵循分层原则，既有面向全体的基础题，巩固集合表示法和基本性质的理解；又有联系生活的应用题，促进知识迁移；还设置了选做的拓展题，满足学有余力学生的需求，引导其走向更广阔的数学天地。特别是第5题，提前接触集合论的历史难题，激发深度思考，体现“跳出课本看数学”的教学追求。
作业设计
一、基础巩固
1. 用列举法表示下列集合：
（1）方程 x - 5x + 6 = 0 的所有实数解。
（2）单词 “mathematics” 中的所有不同字母。
（3）小于8的所有正偶数。
2. 用描述法表示下列集合：
（1）所有能被3整除的整数。
（2）平面直角坐标系中，第二象限内的所有点。
（3）绝对值小于4的所有实数。
3. 判断下列说法是否正确，说明理由：
（1）{1, 2} = {2, 1}
（2）0 ∈ N
（3）{a, b, c} 与 {c, b, a} 是同一个集合
（4）集合 {x | x = -2, x ∈ R} 中有两个元素
二、实践应用
4. 请你在生活中寻找三个可以用集合描述的实际例子，并分别用自然语言、列举法（若适用）和描述法进行表示。
5. （选做）查阅资料，了解“罗素悖论”是什么？它与集合的概念有何关联？写下你的初步理解。
【答案解析】
一、基础巩固
1. （1）{2, 3}；（2）{m, a, t, h, e, i, c, s}；（3）{2, 4, 6}
2. （1）{x | x = 3k, k ∈ Z}；（2）{(x,y) | x < 0, y > 0}；（3）{x | |x| < 4, x ∈ R}
3. （1）正确，集合元素无序；（2）正确，0是自然数；（3）正确，集合相等与顺序无关；（4）错误，该集合为空集，无元素
二、实践应用
4. 示例：我家冰箱里的水果 → 列举法：{苹果, 香蕉, 橙子}；描述法：{x | x 是我家冰箱里的水果}
5. 略（学生自主查阅）
板书设计
第一章 第一节 集合的概念
【左侧主板书】
一、集合：一般地，把一些能够确定的不同对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。
二、元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素。
三、关系：a ∈ A（属于），a A（不属于）
四、三大特征：
1. 确定性 → 标准明确
2. 互异性 → 不重复
3. 无序性 → 无先后
五、表示法：
1. 列举法：{a, b, c}
2. 描述法：{x | p(x)}
【右侧副板书】
常用数集：
N：自然数集（含0）
N* 或 N ：正整数集
Z：整数集
Q：有理数集
R：实数集
【底部留白区】
案例解析：
{x | x = -1, x ∈ R} = （空集）
教学反思
成功之处
1. 本节课以“生活图片”导入，创设真实情境，有效激发了学生的学习兴趣，实现了从生活经验到数学概念的自然过渡。
2. 采用“合作探究+精讲点拨”的教学模式，学生通过案例辨析主动建构知识，对“确定性”这一难点的理解较为深刻。
3. 以“办理数学身份证”为主线串联全课，故事性强，帮助学生形象记忆抽象概念，课堂氛围活跃。
不足之处
1. 在描述法的教学中，部分学生对“|”符号的理解仍显模糊，未能完全掌握其“使得”的逻辑含义，需在后续课程中加强训练。
2. 课堂时间分配略显紧张，最后的开放式提问环节未能让足够多的学生发言，思维碰撞不够充分。
3. 对于“空集”的引入稍显仓促，个别学生表现出困惑，应在下一节课开始时进行回顾与强化。

展开更多......

收起↑