资源简介

1.2《 集合间的基本关系》课时教案
学科 数学 年级册别 高一上册 共1课时
教材 人教A版高中数学必修第一册 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节内容选自人教A版高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》中的第1.2节《集合间的基本关系》，是学生在学习了集合的含义与表示方法后，进一步深入理解集合结构的重要环节。教材通过实例引导学生认识子集、真子集、相等集合等基本概念，并借助图形（如Venn图）直观展示集合之间的包含关系，体现了从具体到抽象的认知规律。本节内容不仅是后续学习函数定义域、值域及不等式解集的基础，也为逻辑推理能力的发展提供了支撑，在整个高中数学体系中具有承上启下的作用。
学情分析
高一学生刚刚完成初中学段的学习，正处于由形象思维向抽象思维过渡的关键期。他们已具备一定的集合初步知识，如能识别常见数集并用列举法或描述法表示简单集合，但对“集合”作为一种独立数学对象的理解仍较模糊。生活中虽有分类、归属等经验，但尚未形成严谨的“子集”“包含”等数学语言表达。部分学生面对抽象符号易产生畏难情绪，策略上缺乏主动类比、归纳的能力。因此，教学中需借助生活情境降低认知门槛，通过层层设问激发探究欲望，利用图形辅助理解，帮助学生突破“空集是任何集合的子集”这一反直觉难点，逐步建立集合关系的逻辑框架。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能从具体的实例中抽象出两个集合之间的包含关系，识别子集与真子集的存在条件。
2. 能结合实际问题背景（如班级分组、图书分类），判断一个集合是否为另一个集合的子集。
思考现实世界
1. 理解子集、真子集、集合相等的数学定义，掌握其符号语言与文字语言的转换。
2. 掌握空集的特殊性质，理解“空集是任何集合的子集”的合理性，并能进行简单的逻辑推理。
表达现实世界
1. 能准确使用符号 、 ≠、＝表示集合间的关系，并规范书写相关命题。
2. 能用Venn图直观表示多个集合间的包含、相等或互不包含的关系，提升几何直观能力。
应用现实世界
1. 能运用集合间的基本关系解决简单的实际问题，如判断解集的包含性、比较数据范围等。
2. 在合作探究中发展有条理地表达观点的能力，增强数学交流意识。
教学重点、难点
重点
1. 子集、真子集、集合相等的概念及其符号表示。
2. 使用Venn图表示集合间的基本关系。
难点
1. “空集是任何集合的子集”这一抽象结论的理解与接受。
2. 准确区分“∈”与“ ”两种不同层级的关系符号，避免混淆。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、合作探究法、讲授法
教具准备
多媒体课件、彩色磁贴卡片、Venn图板、学习任务单
教学环节 教师活动 学生活动
情境导入：校园社团招新
【5分钟】 一、创设真实情境，引发认知冲突 （一）、呈现校园社团招新场景：
教师播放一段模拟视频：“欢迎加入我校丰富多彩的学生社团！现有‘科技创新社’‘文学社’‘篮球社’‘美术社’四个主要社团面向全体高一新生开放报名。每位同学可根据兴趣选择加入一个或多个社团。”随后，教师出示一张“高一（3）班部分学生社团报名情况统计表”：
- 张明：科技创新社、文学社
- 李华：科技创新社
- 王芳：文学社
- 刘洋：篮球社、美术社
- 赵雪：科技创新社、文学社、美术社
- 陈晨：未参加任何社团
（二）、提出驱动性问题：
1. 教师提问：“如果我们把‘高一（3）班所有学生’看作一个集合A，把‘加入了科技创新社的同学’看作集合B，请问集合B中的每一个元素是否都在集合A中？反过来呢？”
引导学生观察表格，发现B中的张明、李华都属于A，从而得出“B的所有元素都是A的元素”。
2. 进一步追问：“如果我把‘加入了科技创新社和文学社的同学’记为集合C（即张明、赵雪），那么集合C和集合B之间又是什么关系？”
启发学生意识到C中的每个成员也都属于B，即C被“包在”B里面。
3. 再次设疑：“有没有可能某个集合里一个元素都没有？比如‘参加了潜水社的同学’，目前我们班没人报——这个集合存在吗？它和其他集合有什么关系？”
制造认知冲突，引出空集概念的必要性。
（三）、揭示课题，明确学习任务：
教师总结：“刚才我们讨论的就是集合之间的‘包含’关系。今天我们就来系统学习《集合间的基本关系》，搞清楚什么是子集、真子集，以及那个‘什么都没有’的空集到底有何特别之处。”板书课题。 1. 观察情境材料，提取关键信息。
2. 思考教师提出的三个递进式问题。
3. 尝试用自己的语言描述集合间的“包含”现象。
4. 明确本节课的学习目标与核心任务。
评价任务 识别包含：☆☆☆
提出猜想：☆☆☆
关注空集：☆☆☆
设计意图 以贴近学生生活的“社团招新”为切入点，构建真实的问题情境，使抽象的集合关系具象化。通过设置层层递进的驱动性问题，引导学生从具体数据出发，主动发现“部分与整体”的数学结构，激发探究欲望。特别是关于“无人报名社团”的设问，巧妙埋下伏笔，为突破“空集是任何集合的子集”这一难点做铺垫，体现“从生活走进数学”的理念。
新知建构：概念生成与深化
【18分钟】 一、定义子集，规范语言表达 （一）、归纳子集定义：
教师引导：“刚才我们说‘B的所有元素都在A中’，这就是数学上的‘子集’概念。请同学们试着给‘子集’下一个定义。”待学生尝试表述后，教师给出严谨定义：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）。记作：A B（或 B A），读作：“A包含于B”或“B包含A”。
强调关键词：“任意一个元素”“都是”，说明只要有一个不属于，就不能构成子集关系。
（二）、辨析符号“∈”与“ ”：
教师举例强化区别：
设A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}
则有：1 ∈ A，{1} A，A B，但不能写1 B 或 A ∈ B。
通过对比指出：“∈”用于元素与集合之间，“ ”用于集合与集合之间，二者不可混用。可比喻为：“人属于班级”，而“班级属于年级”。
二、引入真子集，完善层级结构 （一）、提出问题，引导发现：
教师提问：“若A B，是否意味着A一定比B‘小’？有没有可能A和B其实是一样的？”
引导学生思考：当A = {1, 2}, B = {1, 2} 时，显然A B 成立，同时B A 也成立，此时A与B完全相同。
再举一例：C = {1}, D = {1, 2}，则C D 成立，但D C 不成立，说明C是D的一部分但不是全部。
（二）、定义真子集：
教师总结：“像C和D这种，A B 且 A ≠ B 的情况，我们称A是B的真子集（proper subset），记作：A ≠ B（或 B ≠ A），读作“A真包含于B”。注意符号中间的“≠”表示不相等。”
特别提醒：任何集合都不是自身的真子集，即 A ≠ A 是错误的。
三、探讨集合相等，建立等价观念 （一）、引导推理：
教师设问：“什么时候我们认为两个集合是相等的？”
结合前面例子，引导学生发现：若A B 且 B A，则A与B的元素完全一致，即A = B。
给出定义：如果两个集合所含的元素完全相同，那么就称这两个集合相等，记作A = B。
（二）、逻辑等价转化：
强调集合相等的一种重要判定方式：A = B (A B 且 B A)。这为今后证明两个集合相等提供了理论依据。
四、聚焦空集，破解认知难点 （一）、定义空集：
教师正式介绍：“不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记作 。”并举例：方程x + 1 = 0在实数范围内的解集就是 ；我们学校目前还没有开设的“航天社”的成员集合也是 。
（二）、组织辩论，突破难点：
提出挑战性问题：“空集 是不是任何一个集合的子集？比如，它是不是集合A = {1, 2, 3}的子集？”
组织学生分组讨论，鼓励正反方发表意见：
- 反方观点：空集没有元素，怎么可能“包含于”别人？
- 正方观点：子集定义是“任意一个元素都属于B”，而空集中没有元素需要检验，所以条件自动满足，称为“ vacuous truth（空真）”。
教师借助类比解释：就像“我家所有的龙都会飞”这句话，在现实中我家并没有龙，所以这句话无法被证伪，视为真命题。同理，空集中没有元素不在A中，因此 A恒成立。
最终达成共识：空集是任何集合的子集，即对任意集合A，都有 A。而且，当A非空时， ≠ A。 1. 参与定义归纳，理解子集的本质特征。
2. 辨析“∈”与“ ”的使用场景，避免符号误用。
3. 区分子集与真子集，掌握符号 ≠的含义。
4. 理解集合相等的双重条件及其逻辑意义。
评价任务 定义准确：☆☆☆
符号清晰：☆☆☆
理解空集：☆☆☆
设计意图 采用“问题驱动—自主归纳—教师提炼”的方式，让学生经历概念的生成过程，而非被动接受。通过大量实例对比，帮助学生精准把握“子集”“真子集”“相等”三者之间的逻辑关系。针对“空集”这一抽象难点，采用“提出争议—小组辩论—类比解释”的策略，借助逻辑中的“空真”原理和生活类比，化解学生的认知障碍，使其真正理解数学中“规定背后有道理”，培养严密的逻辑思维品质。
可视化表达：Venn图的应用
【10分钟】 一、介绍Venn图，建立几何直观 （一）、引入图形工具：
教师讲解：“为了更直观地表示集合间的关系，英国数学家约翰·维恩发明了一种图形工具——Venn图。通常用平面上的封闭曲线（如圆）内部表示集合，元素用点表示。”
演示绘制：
1. 若A B，则画一个大圆B，再在其内部画一个小圆A，表示A完全包含在B中。
2. 若A = B，则画一个圆同时代表A和B。
3. 若A与B无公共元素（如A={1,2}, B={3,4}），则画两个分离的圆。
4. 若A与B有部分重叠（如A={1,2,3}, B={3,4,5}），则画两个相交的圆，公共区域表示交集。
（二）、动手操作实践：
发放学习任务单，布置以下任务：
1. 请用Venn图画出下列各组集合的关系：
（1）A = {x | x是矩形}, B = {x | x是平行四边形}
（2）C = { 1, 0, 1}, D = {x | x = x}
（3）E = , F = {1, 2, 3}
2. 判断下列命题是否正确，并说明理由：
（1）若A B 且 B C，则A C（传递性）
（2）若A B 且 A C，则B C（错误示例）
二、巡视指导，纠正典型错误 （一）、现场反馈：
教师巡视各小组绘图情况，重点关注：
- 是否将“矩形一定是平行四边形”转化为A B，并正确画出内含关系；
- 是否验证D = {x | x = x} = { 1, 0, 1}，从而得出C = D，应画成同一圆；
- 是否为空集E画一个“不存在”的圈或干脆留白，强调可用一个虚线框或标注 的方式表示，且必须位于F内部以体现 F。
（二）、集中点评：
选取几份典型作品投影展示，邀请学生互评。重点纠正：
- 把“矩形”画在“平行四边形”外面的错误；
- 忽视集合相等需完全重合的误解；
- 对空集图形表示的困惑。
再次强调：“图形是思维的脚手架，要忠实反映逻辑关系。” 1. 学习Venn图的绘制规则与意义。
2. 动手绘制指定集合关系的Venn图。
3. 判断集合关系命题的真假并说明依据。
4. 参与作品互评，反思自身理解偏差。
评价任务 绘图准确：☆☆☆
逻辑一致：☆☆☆
互评有效：☆☆☆
设计意图 通过引入Venn图这一可视化工具，将抽象的集合关系转化为直观的平面图形，契合高中生的形象思维特点，促进理解内化。动手绘图的过程本身就是一次深度思考，有助于学生厘清概念边界。设置判断题旨在训练逻辑推理能力，尤其是传递性的掌握与常见误区的辨析。同伴互评环节增强课堂互动，培养学生批判性思维和表达能力，实现“做中学、评中悟”。
巩固应用：分层任务挑战
【7分钟】 一、基础达标：概念辨析练习 （一）、快速抢答：
教师出示题目，学生口答：
1. 判断正误：
（1）{a} {a, b, c} （正确）
（2）0 ∈ {0} （正确）
（3） ∈ { } （正确，注意这是元素关系）
（4） { } （正确，空集是任何集合的子集）
（5）{1, 2} ≠ {1, 2} （错误，不能是自身的真子集）
二、能力提升：综合应用探究 （一）、小组合作解题：
任务：已知集合A = {x | x 4x + 3 = 0}，B = {x | (x 1)(x a) = 0}，若A B，求实数a的取值。
教师提示步骤：
1. 先分别求出集合A和B的具体元素；
解得A = {1, 3}，B = {1, a}（当a ≠ 1时）或{1}（当a = 1时）；
2. 分析A B 的条件：A中每个元素都必须在B中；
3. 因为1 ∈ B恒成立，只需保证3 ∈ B；
4. 所以必须有a = 3（若a = 1，则B = {1}，不包含3，故舍去）。
最终得a = 3。
（二）、拓展延伸：
追问：“若改为A ≠ B，结果是否改变？”
引导学生发现：当a = 3时，B = {1, 3} = A，此时A B但不满足A ≠ B，故A ≠ B不成立。因此不存在满足A ≠ B的a值。
体现“相等”与“真包含”的微妙差异。 1. 快速判断集合关系命题的真假。
2. 合作完成参数求解类综合题。
3. 分析条件变化对结论的影响。
4. 表达解题思路与关键步骤。
评价任务 辨析准确：☆☆☆
解法合理：☆☆☆
思维严谨：☆☆☆
设计意图 通过“抢答—合作—拓展”三级任务设计，满足不同层次学生的发展需求。基础题聚焦核心概念辨析，强化符号使用的准确性；综合题融合方程求解与集合关系，考查知识迁移能力；拓展追问则深化对“真子集”条件的理解，培养学生缜密的数学思维。整个过程强调“先独立思考，再合作交流”，既锻炼个体能力，又发挥集体智慧，体现“因材施教”与“协作共赢”的教学理念。
课堂总结：升华认知境界
【5分钟】 一、结构化回顾知识点 （一）、师生共同梳理：
教师引导学生一起回顾本节课的核心内容：
今天我们学习了集合间的基本关系，主要包括三种：
1. 子集（ ）：A的所有元素都在B中；
2. 真子集（ ≠）：A是B的子集且A≠B；
3. 集合相等（=）：A B 且 B A。
还特别研究了空集 的性质：它是任何集合的子集，且是非空集合的真子集。
同时学会了用Venn图来直观表示这些关系。
二、升华式总结：感悟数学哲理 （一）、引用名言，提升境界：
教师深情总结：“德国数学家希尔伯特曾说：‘没有人能把我们赶出康托尔为我们创造的天堂。’这个‘天堂’，正是集合论所构筑的数学大厦根基。今天我们迈出的一小步——理解‘包含’与‘相等’，正是通往这座宏伟殿堂的第一级台阶。”
“生活中也是如此。我们每个人都是家庭、班级、社会的一个‘子集’，既有归属感，又保持独特性。而‘空集’看似虚无，却蕴含着无限可能——就像你尚未开启的梦想领域，虽暂无足迹，但它始终存在，等待你去填充。数学不仅教我们运算，更教会我们如何看待自己与世界的关系。”
“愿你们在未来的学习旅程中，既能像子集一样谦逊包容，又能像真子集一样不断超越，最终找到属于自己的那片完整天地。” 1. 复述本节课的主要知识点框架。
2. 理解集合关系背后的哲学意蕴。
3. 感受数学的人文价值与精神力量。
4. 树立积极进取的学习态度。
评价任务 回顾全面：☆☆☆
感悟深刻：☆☆☆
情感共鸣：☆☆☆
设计意图 采用“结构化+升华式”双轨总结，既帮助学生系统梳理知识脉络，形成清晰的认知结构，又通过引用数学史与人生哲理，将冰冷的符号升华为温暖的生命启示。将“子集”“空集”等概念与个人成长、社会角色相联系，赋予数学以人文温度，激发学生的情感认同与价值追求，真正实现“教书育人”的统一，达到“课已尽而意无穷”的教学境界。
作业设计
一、基础巩固：概念辨析
1. 用适当的符号（∈、 、 、 ≠、＝）填空：
设A = {1, 2, 3}，B = {1, 2}，C = {x | x = 4}，D =
（1）2 ___ A （2）{2} ___ B （3）B ___ A （4）C ___ { 2, 2} （5）D ___ A
2. 判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）若A B，则A中的元素个数一定小于B中的元素个数。
（2）任何一个集合至少有两个子集。
（3）若A B 且 B A，则A = B。
二、能力提升：综合应用
3. 已知集合M = {x | x是菱形}，N = {x | x是正方形}，P = {x | x是平行四边形}。
（1）试用Venn图画出它们之间的关系；
（2）写出所有正确的包含关系式（如N M等）。
4. 设集合A = {1, a }，B = {1, 2, a}，若A B，求实数a的值。
三、拓展探究：数学写作
5. 查阅资料，了解“康托尔与集合论”的简要历史，写一篇150字左右的小短文，谈谈你对“数学是人类理性精神的最高体现”的理解。
【答案解析】
一、基础巩固
1. （1）∈ （2） （3） ≠ （4）＝ （5）
2. （1）假。反例：A = B 时元素个数相等。
（2）真。任何集合都有 和自身两个子集。
（3）真。根据集合相等的定义。
二、能力提升
3. （1）Venn图：最大圆P（平行四边形），中间圆M（菱形），最小圆N（正方形）依次内含。
（2）正确关系式：N M，M P，N P，N ≠ M，M ≠ P，N ≠ P。
4. 由A B 得 a ∈ B，即a = 2 或 a = a。
若a = 2，则a = ±√2，代入B = {1, 2, ±√2}，满足A = {1, 2} B；
若a = a，则a = 0 或 a = 1。
当a = 0时，A = {1, 0}，B = {1, 2, 0}，满足；
当a = 1时，A = {1, 1} = {1}，B = {1, 2, 1} = {1, 2}，满足。
综上，a = ±√2, 0, 1。
板书设计
1.2 集合间的基本关系
● 子集：A B x∈A, x∈B
示例：{1,2} {1,2,3}
● 真子集：A ≠ B A B 且 A≠B
示例：{1} ≠ {1,2}
● 相等：A = B A B 且 B A
示例：{x|x =1} = { 1,1}
● 特殊集合：
：空集 → A（任意A）
≠ A（当A≠ ）
● Venn图表示：
A B：○A 在 ○B 内
A = B：同一○
A与B无关：分离○
A与B相交：部分重叠○
教学反思
成功之处
1. 以“校园社团”为线索贯穿全课，情境真实有趣，有效激发了学生的学习兴趣与参与热情。
2. 针对“空集”难点采用了辩论与类比策略，多数学生能从抵触到接受，实现了认知突破。
3. Venn图实践与互评环节活跃了课堂气氛，增强了学生的几何直观与表达能力。
不足之处
1. 综合题环节时间略显紧张，个别小组未能充分展开讨论，下次可适当压缩导入时间。
2. 对“ ∈ { }”这类嵌套结构的理解仍有少数学生混淆，需在后续课程中加强辨析训练。
3. 拓展写作任务对部分学生难度较大，可提供参考文献链接以降低门槛。

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