资源简介

1.3《 集合的基本运算》课时教案
学科 数学 年级册别 高一上册 共1课时
教材 人教版 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节内容位于人教版高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》的第三节，是集合概念的深化与拓展。教材通过引入并集、交集和补集三种基本运算，帮助学生从静态的“元素归属”思维转向动态的“集合关系”思维，为后续学习函数定义域、不等式解集以及概率统计中的事件运算打下基础。内容编排由具体实例出发，逐步抽象出运算定义，并辅以图形（Venn图）直观展示，体现了数形结合的思想。
学情分析
高一学生已初步掌握集合的概念、元素与集合的关系及集合的表示方法，具备一定的符号语言理解能力。但由于刚进入高中，抽象思维仍处于发展阶段，对符号化表达和逻辑推理存在一定畏难情绪。生活经验中虽有“合并”“共同部分”等朴素认知，但尚未上升到数学运算层面。策略上缺乏系统归纳能力，易混淆并集与交集。突破措施：借助生活情境创设真实问题，利用Venn图增强直观感知，通过小组合作探究促进思维碰撞，强化符号语言与自然语言之间的转换训练。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能从实际情境中识别出集合的并、交、补关系，如班级兴趣小组成员的合并、共同参加项目的学生、未参与某项活动的人群等。
2. 能结合校园选课系统、运动会报名数据等真实案例，建立集合运算的数学模型。
思考现实世界
1. 理解并集、交集、补集的数学定义，掌握其符号表示与运算规则，能进行简单的集合运算。
2. 能运用Venn图分析集合间的关系，解释运算结果的实际意义，发展逻辑推理能力。
表达现实世界
1. 能用准确的数学语言描述集合运算的过程与结果，实现自然语言、符号语言与图形语言的相互转化。
2. 能在合作交流中清晰表达自己的思路，并对他人的观点进行合理评价。
创新应用能力
1. 能设计简单的调查方案，收集数据并构建集合模型解决实际问题。
2. 能尝试将集合运算思想迁移到其他学科或生活中，如分类整理资料、分析用户群体特征等。
教学重点、难点
重点
1. 并集、交集、补集的概念理解及其符号表示。
2. 运用Venn图进行集合运算的直观分析与表达。
难点
1. 补集概念的理解，特别是全集的设定对补集结果的影响。
2. 在复杂情境中准确提取集合关系，正确选择并使用运算规则。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、合作学习法、讲授法、议题式教学法
教具准备
多媒体课件、彩色磁贴、白板、Venn图模板、学案
教学环节 教师活动 学生活动
情境导入
【5分钟】 一、校园社团招新——引发认知冲突 （一）、呈现真实情境：
教师播放一段模拟校园广播：“各位同学请注意！文学社与摄影社联合举办‘光影笔触’创作大赛，欢迎所有文学社或摄影社成员，以及同时热爱写作与摄影的同学踊跃报名！”
随后在PPT上展示两个集合：
设A = {张明, 李华, 王芳, 刘洋} （文学社成员）
B = {李华, 陈晨, 赵磊, 王芳, 孙悦} （摄影社成员）
提问：“根据广播内容，哪些同学可以报名参赛？请你在纸上列出名单。”
（二）、收集反馈，制造悬念：
邀请几位学生分享答案，可能出现三种情况：只写A∪B的人、漏掉重复名字的人、提出疑问“李华和王芳要不要算两次”的人。
教师不急于纠正，而是追问：“我们是否需要一种更精确的方式来描述‘所有符合条件的同学’这一整体？这正是今天我们要学习的——集合的基本运算。”
板书课题：1.3 集合的基本运算 1. 听取广播信息，理解任务要求。
2. 根据集合A和B，独立思考可报名人员名单。
3. 分享个人答案，倾听他人观点。
4. 感知现有描述方式的局限性，产生学习新知识的需求。
评价任务 名单完整：☆☆☆
无重复项：☆☆☆
理解题意：☆☆☆
设计意图 以贴近学生生活的校园活动为背景，创设真实的任务情境，激发学习兴趣。通过不同答案的对比，暴露学生对“合并”概念的模糊认识，引发认知冲突，自然引出集合运算的必要性，实现“从生活走向数学”的过渡。
新知探究一：并集
【8分钟】 一、定义生成——谁属于“A或B”？ （一）、引导归纳并集概念：
承接导入问题，教师引导：“刚才大家提到的‘文学社或摄影社成员’，这里的‘或’意味着什么？是不是只要满足其中一个条件就可以？”
在学生回应后，教师明确：“所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作‘A并B’。”
同步在黑板上写出符号表达式：A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}
强调关键词“或”包含三种情况：仅在A中、仅在B中、同时在A和B中。
（二）、回归情境，验证理解：
回到社团名单，提问：“现在你能准确写出A∪B吗？”
师生共同完成：A ∪ B = {张明, 李华, 王芳, 刘洋, 陈晨, 赵磊, 孙悦}
特别指出：李华和王芳虽然在两个集合中都出现，但在并集中只保留一次，体现集合的“互异性”。
（三）、可视化支持——绘制Venn图：
教师在白板上画出两个相交的圆，分别标注A和B。
使用彩色磁贴将各成员姓名放入对应区域：张明、刘洋放入A独有区；陈晨、赵磊、孙悦放入B独有区；李华、王芳放入交集区。
然后用红笔圈出整个图形覆盖的所有区域，说明这就是A∪B的范围。
提问：“这个图形像什么？它如何帮助我们理解并集？” 1. 理解“或”的逻辑含义，接受并集定义。
2. 计算A∪B的具体元素，注意去重。
3. 观察Venn图的构造过程，理解图形各部分的意义。
4. 描述Venn图如何体现并集的范围。
评价任务 理解定义：☆☆☆
正确计算：☆☆☆
图示匹配：☆☆☆
设计意图 通过“或”这一日常用语切入，降低抽象门槛，让学生经历从具体到抽象的概念建构过程。利用已有情境进行即时应用，巩固理解。引入Venn图作为直观工具，帮助学生建立几何直觉，实现数形结合，增强记忆效果。
新知探究二：交集
【8分钟】 一、聚焦共同点——谁同时属于A和B？ （一）、提出驱动性问题：
教师设问：“如果我们现在想知道‘同时是文学社和摄影社成员’的同学有哪些，该怎么表示呢？”
鼓励学生类比并集的命名方式猜测术语，引出“交集”概念。
正式给出定义：“由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作‘A交B’。”
板书符号表达式：A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}
重点强调连接词“且”，表示必须同时满足两个条件。
（二）、即时练习，深化理解：
继续使用原集合A和B，提问：“请直接写出A∩B。”
学生回答后，教师确认：A ∩ B = {李华, 王芳}
追问：“如果两个集合没有公共元素，比如C={篮球社}，D={合唱团}，且两者无重叠成员，那么C∩D是什么？”
引导得出结论：空集 ，并说明这是交集的一种特殊情况。
（三）、Venn图再利用：
回到之前绘制的Venn图，教师用黄色高亮笔涂满A与B的重叠区域。
提问：“这一块区域代表什么集合？它的形状特点是什么？”
引导学生发现交集总是位于两个圆的重合部分，形状为“透镜形”或“杏仁形”，强化图形记忆。 1. 类比并集，推测交集含义。
2. 写出A∩B的具体元素。
3. 理解空集作为交集的可能性。
4. 识别Venn图中交集对应的区域。
评价任务 准确命名：☆☆☆
正确求解：☆☆☆
特殊判断：☆☆☆
设计意图 采用类比迁移策略，借助并集的学习经验推动交集的自主建构。通过反问“如果没有共同元素怎么办”，拓展学生的思维边界，完善对交集的认知体系。再次利用同一Venn图进行对比观察，突出“并”与“交”的区别，形成鲜明对照，避免混淆。
新知探究三：补集
【10分钟】 一、设定全集——谁“不在其中”？ （一）、创设新情境引出补集：
教师提出：“学校要组织一场仅限非文学社成员参加的心理讲座。请问，哪些同学可以参加？”
给出前提：全校高一年级共有50名学生，文学社有4人（即集合A）。
提问：“我们能否只用集合A来确定这些人？还需要知道什么？”
引导学生意识到必须先明确“全体对象”是谁，从而引出“全集”的概念。
定义：“如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集，通常记作U。”
在此例中，U = 高一全年级50名学生。
（二）、构建补集概念：
继续提问：“不属于集合A的那些元素组成的集合，应该怎么表示？”
引出补集定义：“对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合，叫做集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 UA。”
板书符号表达式： UA = {x | x ∈ U 且 x A}
强调补集依赖于全集的存在，脱离全集谈补集是没有意义的。
（三）、多情境辨析，突破难点：
变换情境：若全集变为“本班学生”（共40人），则 UA的人数也会变化。
再设问：若全集是“文学爱好者”，而A仍是“文学社成员”，那么 UA表示什么？
组织小组讨论：补集的结果为什么会随全集改变？请举例说明。
通过对比，使学生深刻理解“补集是相对的”这一核心思想。 1. 意识到需明确总体范围才能找“非成员”。
2. 接受全集与补集的定义及其符号表示。
3. 计算特定条件下补集的元素数量。
4. 参与小组讨论，举例说明补集的相对性。
评价任务 明确全集：☆☆☆
正确表达：☆☆☆
理解相对性：☆☆☆
设计意图 补集是本节课最难理解的部分。通过设置“非文学社成员”这一典型情境，凸显全集的重要性。采用层层递进的问题链，引导学生主动发现“缺信息”的困境，进而自然引入全集概念。通过变换全集进行对比分析，打破学生“补集唯一”的误解，真正实现难点的突破。
综合应用
【9分钟】 一、项目式任务：设计校园问卷数据分析方案 （一）、发布挑战任务：
教师发放学案，呈现如下调研数据：
某校高一学生中，喜欢数学的有60人，喜欢英语的有70人，两者都喜欢的有30人，两者都不喜欢的有20人。
任务1：请用集合语言表示上述四个群体。
任务2：画出Venn图，并标出每部分人数。
任务3：计算该校高一总人数。
任务4：若从中随机抽取一人，其至少喜欢一门学科的概率是多少？（为后续概率学习埋下伏笔）
（二）、小组合作探究：
将学生分为四人小组，每组配备一套彩色笔和Venn图模板。
教师巡视指导，重点关注：
- 是否正确设定全集U为“高一全体学生”；
- 是否用A表示“喜欢数学”，B表示“喜欢英语”；
- 是否准确填写A∩B=30，A独有的部分=60-30=30，B独有的部分=70-30=40；
- 是否理解“都不喜欢”即 U(A∪B)=20；
- 总人数计算：30+30+40+20=120人。
提示学生可用并集公式验证：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=60+70-30=100，再加补集20人得总数120。
（三）、成果展示与点评：
邀请两组代表上台展示Venn图并讲解解题思路。
教师适时追问：“为什么不能直接把60和70相加？”“补集在这里起到了什么作用？”
最后总结：“集合运算不仅是符号游戏，更是分析复杂数据的有效工具。” 1. 明确任务要求，分配小组角色。
2. 合作绘制Venn图，填写各区域数据。
3. 计算总人数并尝试解答概率问题。
4. 派代表汇报解题过程与结论。
评价任务 建模准确：☆☆☆
图示清晰：☆☆☆
计算正确：☆☆☆
设计意图 通过一个综合性的真实数据分析任务，整合本节课三大运算，实现知识的结构化应用。小组合作形式促进交流协作，培养团队精神。任务设计具有开放性和挑战性，兼顾不同层次学生的发展需求，同时为后续概率学习提供衔接，体现知识的整体性与连贯性。
课堂小结
【5分钟】 一、知识树梳理——我们的收获 （一）、结构化回顾：
教师在黑板中央画一棵“知识树”，主干为“集合的基本运算”。
邀请学生依次上前添枝加叶：
- 第一位写“并集 A∪B”，口述定义与关键词“或”；
- 第二位写“交集 A∩B”，强调“且”；
- 第三位写“补集 UA”，特别注明“依赖全集U”。
每位学生说完后，教师用不同颜色粉笔连接到主干，并配上简笔Venn图示意。
（二）、升华式总结：
“同学们，今天我们学会了用三种运算来‘切割’和‘组合’集合的世界。并集让我们看到包容与融合之美，正如校园里不同社团的交汇激发出无限创意；交集教会我们寻找共识与共通之处，那是合作的基础；而补集提醒我们关注那些被忽略的声音与群体，体现了一种全面看待问题的智慧。
笛卡尔曾说：‘我思故我在。’而今天，我们可以说：‘我会运算，故我能理解世界的结构。’愿你们今后不仅能用这些符号解决数学问题，更能用这种分类与逻辑的思维方式，去厘清纷繁复杂的现实，做一个条理清晰、思维缜密的人。” 1. 回顾三种运算的名称与符号。
2. 口述各自运算的核心关键词。
3. 上台参与知识树构建。
4. 倾听教师的哲理升华，内化情感体验。
评价任务 名称正确：☆☆☆
关键词准：☆☆☆
理解本质：☆☆☆
设计意图 采用“知识树”形式进行结构化总结，形象直观地呈现本课知识脉络，帮助学生构建系统认知。通过学生亲自参与板书构建，提升参与感与成就感。结尾引用笛卡尔名言并赋予新解，将数学思维上升至人生哲学层面，实现激励性与升华式总结的融合，激发学生对理性思维的崇尚之情。
作业设计
一、基础巩固：集合运算练习
已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，集合A = {1, 3, 5, 7, 9}，集合B = {2, 3, 4, 5, 6}。
(1) 求A ∪ B，并写出结果。
(2) 求A ∩ B，并写出结果。
(3) 求 UA，并写出结果。
(4) 判断下列说法是否正确，错误的请改正：
① 8 ∈ A ∪ B
② 3 ∈ A ∩ B
③ UB = {1, 7, 8, 9, 10}
二、拓展应用：生活中的集合
请你观察身边的某个现象（如班级同学的手机品牌、早餐选择、交通方式等），设计一个小调查：
(1) 明确你的研究对象和全集U；
(2) 定义两个相关集合A和B；
(3) 收集数据后，计算A ∪ B、A ∩ B 和 UA；
(4) 将结果用Venn图画出来，并附上简短说明（不少于50字），解释其实际意义。
【答案解析】
一、基础巩固：集合运算练习
(1) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
(2) A ∩ B = {3, 5}
(3) UA = {2, 4, 6, 8, 10}
(4) ① 错误，应改为：8 A ∪ B
② 正确
③ 正确
二、拓展应用：生活中的集合
示例：
全集U：本班45名同学
A：乘坐公交车上学的同学（20人）
B：骑自行车上学的同学（15人）
A ∩ B：既乘公交又骑车（换乘）的同学（5人）
则 A ∪ B = 20 + 15 - 5 = 30人
UA = 45 - 20 = 25人（不乘公交者）
Venn图略。说明：数据显示多数同学依赖公共交通或绿色出行，但仍有15人采用其他方式（步行、家长接送等），建议学校进一步了解其原因，优化交通服务。
板书设计
1.3 集合的基本运算
中心主题：集合运算知识树（手绘树形图）
主干：集合的基本运算
左枝：并集 A∪B
定义：{x | x∈A 或 x∈B}
关键词：或 → 包含所有
Venn图示意：两圆全覆盖区域（红色描边）
中枝：交集 A∩B
定义：{x | x∈A 且 x∈B}
关键词：且 → 共同部分
Venn图示意：两圆重叠区（黄色填充）
右枝：补集 UA
定义：{x | x∈U 且 x A}
关键词：全集U → 相对存在
Venn图示意：大矩形内除A外区域（蓝色阴影）
底部标注：数形结合 · 逻辑思维 · 理解世界
教学反思
成功之处
1. 情境主线贯穿始终，从“社团招新”到“问卷分析”，任务真实有趣，有效激发了学生的学习动机。
2. Venn图作为核心可视化工具，在每个环节反复使用，帮助学生建立起强烈的图形表征意识，显著提升了抽象概念的理解度。
3. 补集教学通过“全集变化”的对比设计，成功突破了学生“补集绝对化”的认知误区，达成了深度理解。
不足之处
1. 综合应用环节时间稍显紧张，个别小组未能完成概率问题的探讨，下次可适当延长或拆分为两课时。
2. 对于数学语言表达较弱的学生，符号书写规范仍需加强个别指导。
3. 作业第二题的实践性较强，需提前预估学生完成难度，考虑提供样例参考。

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