资源简介

1.5 《全称量词与存在量词》课时教案
学科 数学 年级册别 高一上册 共1课时
教材 人教A版高中数学必修第一册 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节内容位于人教A版高中数学必修第一册第一章“集合与常用逻辑用语”的第五节，是逻辑推理素养培养的重要组成部分。全称量词和存在量词作为数学语言中的基本逻辑工具，广泛应用于命题构造、定理表述与证明过程中。教材通过生活实例引入“所有”“每一个”“存在”“至少有一个”等词语，引导学生理解其对应的符号表示（ 、 ），并掌握含有量词的命题的否定形式。该内容为后续学习函数性质、不等式恒成立问题及数学归纳法打下坚实的逻辑基础。
学情分析
高一学生已具备一定的抽象思维能力，熟悉集合的基本概念与简单命题的真假判断，但对形式化逻辑语言较为陌生。生活中虽常使用“都”“有的”等词语，却缺乏将其转化为数学符号的能力。学生在理解全称命题的否定为何转化为存在命题时易产生认知冲突，如认为“所有人都不喜欢数学”的否定是“所有人都喜欢数学”，而正确答案应为“存在一个人喜欢数学”。此外，高中生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，需借助情境化任务和合作探究帮助其建立严谨的数学表达习惯。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能从日常生活语句中识别出含有“所有”“任意”“存在”“有些”等关键词的陈述，并判断其是否构成数学命题。
2. 能结合实际问题背景，将自然语言描述的数量关系或条件转化为含全称量词或存在量词的数学命题。
思考现实世界
1. 理解全称量词（ ）与存在量词（ ）的含义及其符号表示，能准确区分两者在逻辑结构上的差异。
2. 掌握含有一个量词的命题的否定规律，能够正确写出全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题。
表达现实世界
1. 能用规范的数学符号语言表达含有全称量词或存在量词的命题，提升数学表达的准确性与简洁性。
2. 在小组讨论与展示中清晰阐述自己对量词命题及其否定的理解过程，发展逻辑交流能力。
数学思维品质
1. 通过辨析正误案例，增强批判性思维，避免逻辑误区，提高思维的严密性。
2. 在变式训练与拓展应用中，体会量词在数学推理中的功能价值，形成初步的元认知意识。
教学重点、难点
重点
1. 理解全称量词与存在量词的意义，掌握其符号表示方法。
2. 掌握含有一个量词的命题的否定形式，并能正确书写。
难点
1. 准确理解“全称命题的否定是存在命题”这一转化规则的本质。
2. 在复杂语境中准确提取逻辑结构，避免因语言歧义导致的误解。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、议题式教学法、合作探究法、讲授法
教具准备
多媒体课件、学习任务单、黑板、彩色粉笔
教学环节 教师活动 学生活动
创设情境，导入新课
【5分钟】 一、生活对话引发认知冲突 （一）、播放短视频片段：
视频内容：两位同学在教室里争论。
甲说：“咱们班每个人都带了数学作业！”
乙反驳道：“不对！我就没带。”
教师暂停视频，提问：“乙的一句话为什么就能推翻甲的说法？这背后隐藏着怎样的逻辑秘密？”
引导学生意识到：只要有一个反例存在，就可以否定“所有人”的说法。
（二）、提出驱动性问题：
“如果我们想用一种精确的语言来描述‘所有人’或者‘有些人’的情况，在数学中该怎么做？有没有专门的符号来表达这些意思？”
介绍本节课的主题——全称量词与存在量词，强调这是数学家用来“说清楚话”的重要工具。
引用哲学家罗素的话：“逻辑是数学的童年，数学是逻辑的成年。”激发学生探索兴趣。
板书课题：1.5 全称量词与存在量词 1. 观看视频，思考乙为何能反驳甲。
2. 回答教师提问，表达自己的初步理解。
3. 记录课题，进入学习状态。
4. 对“数学如何说清楚话”产生好奇。
评价任务 能否发现反例可推翻全称判断：☆☆☆
能否提出逻辑疑问：☆☆☆
能否关注核心问题：☆☆☆
设计意图 以真实校园场景切入，贴近学生生活经验，迅速吸引注意力；通过矛盾对话制造认知冲突，激活已有经验中的逻辑直觉；引出“如何精确表达”的问题，自然过渡到数学符号的学习，体现数学源于生活的理念。
建构概念，理解量词
【12分钟】 一、解析生活语句，提炼数学语言 （一）、出示四组生活化语句：
1. 所有的乌鸦都是黑色的。
2. 每一位中国公民都有权接受义务教育。
3. 存在一些三角形是等边三角形。
4. 至少有一名运动员打破了纪录。
教师逐条分析，引导学生找出其中的关键词：“所有”“每一位”“存在”“至少有一个”。
讲解：“所有”“每一个”这类词表示全体对象都具有某种性质，称为“全称量词”，符号记作“ ”，读作“任意”或“对于所有的”。例如，“ x∈R, x ≥0”表示“对任意实数x，它的平方都不小于0”。
接着解释：“存在”“有些”“至少有一个”这类词表示至少有一个对象满足某种条件，称为“存在量词”，符号记作“ ”，读作“存在”或“至少有一个”。例如，“ x∈Z, x+2=5”表示“存在整数x，使得x+2等于5”，显然x=3满足。
（二）、组织小组辨析活动：
发放任务单，要求每组判断下列语句是否为命题，并指出其中的量词类型：
① 高一（3）班每个学生都参加了运动会。（全称）
② 有些函数的图像是直线。（存在）
③ 明天可能会下雨。（非命题，不确定）
④ 对任意实数a，都有a +1>0。（全称）
⑤ 世界上有外星人。（存在，虽未知真假但仍为命题）
教师巡视指导，特别提醒学生注意：命题必须能判断真假，哪怕目前无法确定，只要理论上可以判断即可。
邀请两组代表上台汇报结果，其他组补充或质疑，教师适时点评，强化“命题”与“量词”的联系。 1. 分析语句中的关键词。
2. 小组合作完成任务单。
3. 判断语句是否为命题。
4. 上台展示并解释理由。
评价任务 识别关键词：☆☆☆
判断命题性：☆☆☆
分类量词类型：☆☆☆
设计意图 通过典型语例实现从自然语言到形式语言的过渡，降低抽象门槛；采用小组合作方式促进同伴互动与思维碰撞；任务单设计涵盖真假可判与不可判的情形，深化对“命题”本质的理解；教师及时反馈纠正常见误解，如将祈使句或感叹句误认为命题。
深化理解，探究否定
【15分钟】 一、聚焦核心难点：命题的否定 （一）、设置阶梯式问题链：
问题1：写出命题“所有的鸟都会飞”的否定。
预设学生回答：“所有的鸟都不会飞”或“有些鸟不会飞”。
教师不急于评判，转而提问：“如果原命题是假的，说明什么情况发生了？”
引导得出：只要有一种鸟不会飞（比如企鹅），原命题就错了，因此其否定应为“存在一种鸟不会飞”。
由此总结：全称命题的否定是存在命题。
形式化表达：
原命题： x∈M, p(x) （对M中所有x，p(x)成立）
否定命题： x∈M, p(x) （存在某个x∈M，p(x)不成立）
（二）、类比迁移，自主探究：
给出命题：“存在一个素数是偶数。”
提问：“这个命题的否定是什么？”
鼓励学生模仿上述思路进行逆向推理。
提示：“原命题为真意味着至少有一个偶素数（即2），若它为假，则说明根本没有这样的数。”
引导学生得出：“所有的素数都不是偶数。”
进一步抽象：
原命题： x∈M, p(x)
否定命题： x∈M, p(x)
强调：存在命题的否定是全称命题。
（三）、开展“真假擂台赛”游戏：
教师出示一组含混表述，让学生抢答其否定形式：
① “班上所有人都喜欢奶茶。” 否定：“班上有人不喜欢奶茶。”
② “存在一名同学解出了这道难题。” 否定：“所有同学都没解出这道难题。”
③ “任意实数的绝对值大于0。” 否定：“存在实数其绝对值不大于0。”（即≤0）
每轮回答后，要求学生说明依据，教师用红笔在黑板上标注关键词变化，强化记忆。 1. 思考并尝试写出否定命题。
2. 参与问题链讨论，修正错误认知。
3. 类比推理，得出存在命题的否定。
4. 积极参与抢答，巩固所学规则。
评价任务 否定形式正确：☆☆☆
逻辑依据清晰：☆☆☆
关键词转换准确：☆☆☆
设计意图 采用“问题链+类比迁移”策略突破难点，符合认知递进规律；通过具体例子揭示否定的本质是“打破断言”，而非简单取反；游戏化教学活跃课堂气氛，增强参与感；板书对比呈现原命题与否定命题的结构对照，视觉化辅助理解，防止机械记忆。
应用迁移，巩固提升
【10分钟】 一、数学情境下的综合运用 （一）、处理教材例题：
课本P26例3：写出下列命题的否定：
(1) 所有的矩形都是平行四边形。
(2) 每个素数都是奇数。
(3) 存在一个实数x，使得x +x+1=0。
教师带领学生逐题分析：
第(1)题：全称命题，否定为“存在一个矩形不是平行四边形”。虽然事实上不存在，但逻辑上成立。
第(2)题：注意特例“2是素数但不是奇数”，原命题为假，其否定“存在一个素数不是奇数”为真。
第(3)题：方程判别式Δ=1 4= 3<0，无实根，原命题为假，其否定“对任意实数x，x +x+1≠0”为真。
强调：命题的真假不影响否定规则的应用。
（二）、拓展跨学科联系：
出示物理情境：“对于任意时间t，物体的速度v(t)>0。”
提问：“这句话的否定是什么？意味着物体可能处于什么状态？”
引导学生回答：“存在某个时刻t ，使得v(t )≤0”，即物体可能静止或反向运动。
再举化学例子：“存在某种金属能与水剧烈反应生成氢气。”（如钠）
否定：“所有金属都不能与水剧烈反应生成氢气。”
体现量词在科学表述中的普适性。 1. 完成教材例题练习。
2. 分析命题真假与否定的关系。
3. 解读物理情境中的逻辑表达。
4. 理解跨学科应用价值。
评价任务 准确写出否定：☆☆☆
理解真假无关性：☆☆☆
解释实际意义：☆☆☆
设计意图 回归教材夯实基础，确保知识点落地；通过分析原命题真假，破除“否定就是变真”的迷思；引入物理、化学实例，展现逻辑工具的广泛应用，提升学科融合意识；帮助学生认识到数学不仅是计算，更是思维方式的训练。
总结升华，布置作业
【3分钟】 一、结构化回顾与哲理升华 （一）、师生共同梳理知识脉络：
教师引导学生回忆：
今天我们学习了两个重要的逻辑工具——全称量词“ ”和存在量词“ ”；
掌握了它们的语言特征与符号表达；
更重要的是，我们学会了如何否定一个带有量词的命题：
“所有”的否定是“存在不”，“存在”的否定是“所有不”。
这就像一把钥匙，打开了通往严密数学推理的大门。
（二）、情感态度价值观升华：
引用数学家希尔伯特的名言：“我们必须知道，我们必将知道。”
但我们也要明白：知道的前提是说得清楚、想得明白。
在生活中，我们也常常听到“大家都这样”“没人能做到”这样的绝对化表达，其实往往经不起逻辑推敲。
希望同学们不仅能在数学中使用量词，更能在思考社会现象时保持一份理性与审慎，不盲从、不武断，做一个会思考的人。
让我们记住：真正的智慧，始于清晰的表达，成于严谨的推理。 1. 跟随教师回顾知识点。
2. 理解量词的逻辑价值。
3. 感悟数学思维的生活意义。
4. 树立理性思考的意识。
评价任务 知识框架完整：☆☆☆
核心规则掌握：☆☆☆
思想感悟深刻：☆☆☆
设计意图 通过结构化总结帮助学生构建知识网络；引用数学家名言增强学科认同感；将逻辑思维延伸至现实生活，培养学生批判性思维和社会责任感；以富有诗意的语言收尾，提升课堂感染力，实现知识、能力与价值观的统一。
作业设计
一、基础巩固题
1. 判断下列语句是否为命题，若是，请指出其所用量词类型（全称或存在）：
　(1) 中国所有大城市的空气质量都在改善。
　(2) 有些无理数是可以被测量的。
　(3) 对任意实数x，都有x > x。
　(4) 存在整数n，使得2n + 1 = 10。
2. 写出下列命题的否定：
　(1) 所有的质数都是奇数。
　(2) 每一个二次函数的图像都与x轴有交点。
　(3) 存在一个实数x，使得x - 3x + 2 < 0。
　(4) 至少有一名学生没有完成作业。
二、能力提升题
3. 已知命题p：“对任意x∈[0,1]，都有f(x) ≥ 0”为假命题，请问其否定命题是什么？并据此说明函数f(x)在区间[0,1]上的取值特征。
4. 阅读以下新闻片段，尝试用数学逻辑语言重新表述关键信息：
“专家指出，并非所有人工智能系统都会威胁人类就业。”
请将其转化为含存在量词或全称量词的命题及其否定形式。
【答案解析】
一、基础巩固题
1. (1) 是命题，全称量词；(2) 是命题，存在量词；(3) 是命题，全称量词；(4) 是命题，存在量词。
2. (1) 存在一个质数不是奇数。
　 (2) 存在一个二次函数的图像与x轴无交点。
　 (3) 对任意实数x，都有x - 3x + 2 ≥ 0。
　 (4) 所有学生都完成了作业。
二、能力提升题
3. 否定命题为：“存在x∈[0,1]，使得f(x) < 0”。说明函数f(x)在[0,1]上至少有一点取负值。
4. 原命题可表述为：“并非所有AI系统都会威胁就业”，即“存在某些AI系统不会威胁人类就业”。
　 其等价于存在命题： AI系统S，S不会威胁人类就业。
板书设计
1.5 全称量词与存在量词
【左侧区域】
全称量词：
- 关键词：所有、任意、每一个、任给……
- 符号：
- 示例： x∈R, |x|≥0
存在量词：
- 关键词：存在、有些、至少有一个、有一个……
- 符号：
- 示例： x∈N, x =4
【中间区域】
命题的否定：
┌────────────┬──────────────┐
│　　原命题　　　　　│　　　　否定命题　　　　　　│
├────────────┼──────────────┤
│ x∈M, p(x) │ x∈M, p(x) │
│ “所有……都……” │ “存在……不……” │
├────────────┼──────────────┤
│ x∈M, p(x) │ x∈M, p(x) │
│ “存在……是……” │ “所有……都不是……” │
└────────────┴──────────────┘
【右侧区域】
口诀记忆：
“全否存，存否全；
‘都’变‘有不’，‘有’变‘都不’。”
教学反思
成功之处
1. 以学生熟悉的班级争辩情境导入，有效激发兴趣并引发深度思考，实现了从生活经验到数学抽象的平滑过渡。
2. 采用“问题链+类比迁移”策略突破“命题否定”这一难点，学生通过自主推理获得结论，理解更为深刻。
3. 板书设计层次分明，表格对比直观呈现否定规则，辅以口诀便于记忆，提升了课堂教学效率。
不足之处
1. 在小组活动中，个别小组讨论偏离主题，未能充分聚焦逻辑结构分析，今后需加强任务指令的明确性。
2. 对于“命题真假不影响否定规则”的讲解略显仓促，部分学生仍存在混淆，应在练习中增加辨析题加以强化。
3. 跨学科案例数量较少，未能充分展现逻辑语言的广泛适用性，后续可补充更多真实科研语境中的例证。

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