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第01讲 与三角形有关的线段
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．
【题型1三角形的概念】
【典例1】下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（ ）
A．B． C． D．
【变式2】如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下．请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形状，是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【变式3】如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．

等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
【题型2 三角形的分类】
【典例2】我们已经学了很多数学知识，它们之间有密切的联系．下列不能正确表示它们之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【变式2】如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形
B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形
C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形
D．以上说法都不对
【变式3】三角形按角分类可以分为（ ）
A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确
三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
【拓展：三边关系的运用】
①判断三条线段能否组成三角形；
②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
【题型3 构成三角形的条件】
【典例3】下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A．B．C． D．
【变式1】下列四组三条线段的比：①；②；③；④．其中能构成三角形的有（ ）
A．①②④ B．①④ C．②③④ D．②④
【变式2】已知一个等腰三角形的一边长等于，一边长等于，那么它的周长为（　　）
A． B． C．或 D．
【变式3】现有和的小棒各一根，再取一根整厘米长的小棒与它们拼成三角形可以有 种不同取法．
【题型4 三角形三边关系的应用】
【典例4】已知是的三条边长，化简： ．
【变式1】为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若的三边为，则化简的结果是 ．
【变式3】如图，已知O为内任意一点，求证
(1) ；
(2)
【题型5 三角形的高】
【典例5】下列四个图形中，线段是的高的是（ ）
B．
C． D．
【变式1】下列各组图形中，是的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】如图，是的高的图形是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】画三角形的高时，一同学画出下列四种图形，其中正确的图形为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 利用三角形的中线求长度】
【典例6】如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式1】如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（ ）
A．2 B．19 C．2或19 D．2或12
【变式3】如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是 ．
【题型7 利用三角形的中线求面积】
【典例7】如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为 ．
【变式1】如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是48，则的面积是 ．
【变式2】如图，在中，已知点D，E分别为的中点，，且的面积为12，则的面积为 ．
【变式3】如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
1．下列长度的三条线段能拼成三角形的是（ ）
A．3，8，4 B．5，6，11 C．5，6，10 D．2，3，5
2．如图所示，D，E分别是的边，的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．是的中线 B．是的中线
C．， D．的对边是
3．如图所示，在中，边上的高线是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，点B在的一条边上固定不动，点C在的另一条边上可以任意移动，连接，三角形（ ）
①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形
A．只能是① B．只能是④
C．可能是①②③ D．可能是①②③④
5．已知：如图，分别是和的中线，若的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如果三角形两边长为3和6，第三边是奇数，那么第三边的长可能是（　　）
A．3 B．5 C．9 D．11
7．如图，D为上一点，，E为上一点，，则下列说法不正确的是（ ）
A．是的中线 B．是的中线
C．D为的中点 D．图中的对边是
8．如图，是的中线，若，则的长为
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第01讲 与三角形有关的线段
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．
【题型1三角形的概念】
【典例1】下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形，
故选：C．
【变式1】下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义.
根据三角形的定义进行判断即可.
【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，
所以选项C符合题意.
故选： C．
【变式2】如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下．请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形状，是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【分析】本题考查了三角形，解题的关键是熟练掌握三角形的分类；根据三角形的分类即可得到正确的结论
【详解】解：由图可知：三角尺露出的角是钝角，
故该三角形是钝角三角形，
故选D
【变式3】如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．

【答案】/
【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答案．
【详解】解：在中，的对边是．
故答案为：．
等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
【题型2 三角形的分类】
【典例2】我们已经学了很多数学知识，它们之间有密切的联系．下列不能正确表示它们之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形，四边形，有理数分类，解答本题需熟练掌握分类标准，明确分类方法．根据等边三角形、等腰三角形之间的关系；三角形按照角度分类：锐角三角形，钝角三角形和直角三角形；有理数包含整数和分数；长方形属于特殊的平行四边形；进行解答即可．
【详解】解：A．等边三角形属于特殊的等腰三角形，等腰三角形属于特殊的三角形，因此等边三角形应该是等腰三角形的圆圈内，故A符合题意；
B．长方形属于特殊的平行四边形，故B不符合题意；
C．三角形按照角度可以分为：锐角三角形，钝角三角形和直角三角形，故C不符合题意；
D．整数属于有理数，故D不符合题意．
故选：A．
【变式1】若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为度求出这个三角形最大的内角的度数即可得到答案．
【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为，
∴这个三角形最大的内角度数为，
∴这个三角形是锐角三角形，
故选：A．
【变式2】如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形
B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形
C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形
D．以上说法都不对
【答案】D
【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可．
【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形；
当点C运动至时，，是直角三角形；
点C继续向右运动，由小变大，
当时，是锐角三角形；
当时，是直角三角形；
当时，是钝角三角形；
因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形，
故选D．
【变式3】三角形按角分类可以分为（ ）
A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确
【答案】A
【分析】根据三角形的分类情况可得答案．
此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握三角形的分类一种是按边分类，另一种按角分类．
【详解】解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
故选：A．
三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
【拓展：三边关系的运用】
①判断三条线段能否组成三角形；
②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
【题型3 构成三角形的条件】
【典例3】下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
B、∵，
∴长为的三条线段能构成三角形，符合题意；
C、∵，
∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
D、∵，
∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
故选：B．
【变式1】下列四组三条线段的比：①；②；③；④．其中能构成三角形的有（ ）
A．①②④ B．①④ C．②③④ D．②④
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系．熟练掌握三角形中三边关系满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形三边关系进行求解判断即可．
【详解】解：①设三边为，由可得，三边能构成三角形，故符合要求；
②设三边为，由可得，三边不能构成三角形，故不符合要求；
③设三边为，由可得，三边不能构成三角形，故不符合要求；
④设三边为，由可得，三边能构成三角形，故符合要求；
∴共有①④能构成三角形．
故选：B．
【变式2】已知一个等腰三角形的一边长等于，一边长等于，那么它的周长为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论．
分两种情况讨论，当为底边长时和当为底边长时两种情况讨论．
【详解】解：当为底边长时，腰长为，
∵，
∴满足三角形的三边关系，
∴周长为；
当为底边长，腰长为时，
∵，
∴满足三角形的三边关系，
∴周长为，
故它的周长为或．
故选：C．
【变式3】现有和的小棒各一根，再取一根整厘米长的小棒与它们拼成三角形可以有 种不同取法．
【答案】7/七
【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．设三角形的第三边长为，根据三角形三边关系得到，即可得到答案．
【详解】解：设三角形的第三边长为，
则，
即，
∴可取，，，，，，，有7种取法；
故答案为：7．
【题型4 三角形三边关系的应用】
【典例4】已知是的三条边长，化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出是解题的关键．
先根据三角形的三边关系判断：，然后化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得．
【详解】解：∵是的三条边长，
，
，
故答案为：．
【变式1】为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键．
首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可．
【详解】解：根据三角形三边关系得：，
即，
所以的距离不能是，
故选：D．
【变式2】若的三边为，则化简的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，绝对值，合并同类项，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形的三边关系，得到，再去绝对值，最后合并，即可解答．
【详解】解：∵的三边为，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【变式3】如图，已知O为内任意一点，求证
(1) ；
(2)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明．
（1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明；
（2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：在中，①，
在中，②，
在中，③，
得2，
即；
（2）证明：如图，延长交于点D．
在中，①，
在中，②，
，得；
∵，，
∴，
∴③，
同理可证④，⑤，
，得，
∴．
【题型5 三角形的高】
【典例5】下列四个图形中，线段是的高的是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了三角形的高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高．
利用三角形高的定义即可求解．
【详解】解：线段是的高的是选项 A中的图形；
故选：A．
【变式1】下列各组图形中，是的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键．
根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【详解】解：的高是过顶点A与垂直的线段，只有D选项符合．
故选：D．
【变式2】如图，是的高的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
根据三角形高的定义求解即可．
【详解】解：是的高的图形是：
故选：D．
【变式3】画三角形的高时，一同学画出下列四种图形，其中正确的图形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，是易错题，熟记高的定义是解题的关键．
根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是三角形的高，对各图形作出判断．
【详解】解：根据高的定义，只有第一个图形中是过点且．
故选：A．
【题型6 利用三角形的中线求长度】
【典例6】如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键．
根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案．
【详解】解： 是边上的中点，
，
与的周长之差为2，
，
即，
，
，
，
故选C．
【变式1】如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的周长等知识，根据三角形中线的性质得到，求出，再根据三角形的周长即可得出答案．
【详解】解：∵是边上的中线，，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故选：B．
【变式2】在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（ ）
A．2 B．19 C．2或19 D．2或12
【答案】D
【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
依题意，当时，如图所示：
∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，
∴，
∴，
∴；
当时，如图所示：
∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，
∴，
∴，
∴；
综上：的长为2或12，
故选：D
【变式3】如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
由的周长为，的周长，
∵的周长比的周长大，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5．
【题型7 利用三角形的中线求面积】
【典例7】如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分是解题的关键．
先根据三角形的中线的性质求得的面积，再根据三角形中线的性质即可求得的面积．
【详解】解：∵是的中点，的面积为6，
∴的面积为，
∵是边上的中线，
∴的面积等于的面积12．
故答案为：12．
【变式1】如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是48，则的面积是 ．
【答案】12
【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角形，据此即可求解．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵是的边上的中线，
∴．
故答案为：12
【变式2】如图，在中，已知点D，E分别为的中点，，且的面积为12，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中线的性质．掌握中线能够把三角形的面积等分是解题的关键．
由点D是的中点，可得，由E是的中点，得出，，得，再利用，即可求出．
【详解】∵点D是的中点，
∴，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【变式3】如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴．
故选：A．
1．下列长度的三条线段能拼成三角形的是（ ）
A．3，8，4 B．5，6，11 C．5，6，10 D．2，3，5
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，不满足两边之和大于第三边，故该选项不符合题意；
B、，不满足两边之和大于第三边，故该选项不符合题意；
C、，满足两边之和大于第三边，故该选项符合题意；
D、，不满足两边之和大于第三边，故该选项不符合题意；
故选：C
2．如图所示，D，E分别是的边，的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．是的中线 B．是的中线
C．， D．的对边是
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义分析各个选项．
【详解】解：∵D，E分别是的边，的中点，
∴是的中线，是的中线，故选项A，B正确，不符合题意；
∴，，故选项C正确，不符合题意；
在中，的对边是，在中，的对边是，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
3．如图所示，在中，边上的高线是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的高线，根据三角形的高线的定义，进行判断即可．熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键．
【详解】解：由图可知：，
∴边上的高线是；
故选：B．
4．如图，点B在的一条边上固定不动，点C在的另一条边上可以任意移动，连接，三角形（ ）
①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形
A．只能是① B．只能是④
C．可能是①②③ D．可能是①②③④
【答案】D
【分析】此题主要考查三角形的分类，分别画出图形判断即可．
【详解】解：如图，当时，此时三角形为锐角三角形；
如图，当或时，此时三角形为直角三角形；
或
如图，当或时，此时三角形为钝角三角形；
或
如图，当或或时，此时三角形为等腰三角形；
或或
综上，三角形可能是①②③④．
故选：D．
5．已知：如图，分别是和的中线，若的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的中线，
根据中线的定义可知，进而得出，则此题可解.
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴.
同理，.
故选：A.
6．如果三角形两边长为3和6，第三边是奇数，那么第三边的长可能是（　　）
A．3 B．5 C．9 D．11
【答案】B
【分析】本题考查三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角形三边关系定理求出第三边的取值范围，然后再找出其中的奇数即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得，
解得：，
∵第三边是奇数，
∴第三边是或7．
故选：B．
7．如图，D为上一点，，E为上一点，，则下列说法不正确的是（ ）
A．是的中线 B．是的中线
C．D为的中点 D．图中的对边是
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的中线定义，在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线．
根据三角形的中线定义分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴是的中线，故选项A不符合题意；
B、∵，
∴是的中线，故选项B不符合题意；
C、∵，
∴D为的中点，故选项C不符合题意；
D、在中，是的对边，故选项D符合题意；
故选：D．
8．如图，是的中线，若，则的长为
【答案】4
【分析】本题主要考查三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
根据中线的性质得到即可得出结果．
【详解】解： 是的中线，
，
，
．
故答案为：4．
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