资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第04讲 全等三角形及其性质
知识点1：图形的全等
知识点2：全等三角形的概念和性质
1.全等图形
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
2.全等多边形的性质
（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.
（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.
【题型1图形的全等的判定】
【典例1】下列各组的两个图形属于全等形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查全等图形的定义；
根据能完全重合的两个图形，是全等图形，逐一判断即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意．
故选：C．
【变式1】下列选项中，两个图案不属于全等形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是全等图形的识别，掌握全等图形的概念是解决问题的关键．利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就是全等图形）可得答案．
【详解】解：A、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意；
B、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意；
D、两个图形形状相同，但大小不同，不能完全重合，不是全等图形，符合题意；
故选：D．
【变式2】如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（ ）
A．形状和大小均相同 B．形状相同，大小不同
C．形状和大小均不相同 D．大小相同，形状不同
【答案】A
【分析】本题考查图形全等的性质，根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，所以如果两个图形全等，那么这两个图形必定是形状和大小均相同．
【详解】解：如果两个图形全等，则这两个图形必定是形状和大小均相同．
故选：A．
【变式3】下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是全等形的识别，观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等形”即可得到答案．
【详解】解：A．两个图形的形状不同，不是全等形，不合题意；
B．两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
C．两个图形的形状不同，不是全等形，不合题意；
D．两个图形的大小不同，不是全等形，不合题意；
故选：B．
【题型2 利用图形全等的性质求解】
【典例2】如图，四边形中，．若四边形四边形，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查全等多边形的性质，由全等多边形的对应边相等，得出，即可求解．
【详解】解：四边形四边形，
，
，
，
故选：B．
【变式1】如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则（ ）
A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8
【答案】B
【分析】由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有．
【详解】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，
所以，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找清相互重合的对应边．
【变式2】如图，四边形四边形，若，，，则
【答案】
【分析】本题考查全等图形，四边形的内角和，根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得的度数，进一步可得的度数．解题的关键是掌握全等图形的性质：全等图形的对应边相等，对应角相等．
【详解】解：∵四边形四边形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式3】如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的 ， °．
【答案】 11 115
【分析】此题考查了全等多边形的性质，根据全等多边形对应边相等，对应角相等求解即可．
【详解】∵五边形和五边形全等
∴，
故答案为：11，115．
（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形中的对应元素
1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。
2、对应元素的确定方法
（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法
①公共边一定是对应边；
②公共角一定是对应角；
③对顶角一定是对应角;
（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。
（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
（四）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
②全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。
【题型3 全等三角形的概念】
【典例3】如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据点C和点B是对应顶点，可得A和D是对应顶点，据此可得答案．
【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点，
∴边的对应边是，
故选：B．
【变式1】如图，，则的对应角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴的对应角是，
故选：B．
【变式2】如图，若沿直线对折，与重合，则 ，的对应边是 ，的对应边是 ，的对应角是 ，的对应角是 ．
【答案】
【分析】本题考查翻折变换及全等三角形的相关概念，解题的关键是掌握翻折的性质及找全等三角形对应边、角的方法．
根据翻折的性质解答即可．
【详解】解：若沿直线对折，与重合，则，的对应边是，的对应边是，的对应角是，的对应角是，
故答案为：，，，，．
【变式3】如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可．
【详解】解：由图可知，与是对顶角，
∵与全等，
∴与是对应角，
又与是对应边，
∴与是对应边，
故答案为：，．
【题型4 利用全等三角形的性质求边长/周长】
【典例4】如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握，利用全等三角形的性质“全等三角形对应边相等”即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【变式1】如图，已知，，，则（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
【答案】A
【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质及其应用．根据全等三角形的性质，，再由线段和差即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【变式2】如图，，，，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的对应边相等．
利用全等三角形的性质可得，再利用线段差求得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【变式3】如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：20．
【题型5 利用全等三角形的性质求角】
【典例5】已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质定理的应用，由全等三角形的性质可得第二个图中的对边为，再由第一个图中边的对角为，即可得出．
【详解】解：图中的两个三角形全等，
由全等三角形的性质得，第二个图中的对边为，
第一个图中边的对角为，
，
选项符合题意，
故选：．
【变式1】如图，，点在边上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【变式2】如图，已知，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作交于点F，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等、对应边上的中线相等、对应边上的高线相等、对应角的角平分线相等是解题的关键．
根据全等三角形的性质得到，进而可知，由得到，根据三角形内角和即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【变式3】如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质，先根据三角形内角和为180度计算出，再根据全等三角形的对应角相等，得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选A．
1．下列各组图形中，属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等图形的概念，正确理解全等图形的概念是解题的关键．根据全等图形的概念判断即可．
【详解】解：根据全等图形的概念可得：选项C的图形是全等形．
故选：C．
2．已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等三角形的对应角相等并结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵图中的两个三角形全等，
∴，
故选：D．
3．如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　）
A． B．6 C． D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
根据全等三角形对应边相等易得，然后求出的长度，再根据求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
4．如图，≌，若，，则的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形的性质得到边长相等．
根据全等三角形的性质可得，，，再根据边长的关系求解即可．
【详解】解：∵≌，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
即的长为4．
故选：C ．
5．下列命题是假命题的是（　　）
A．全等三角形的对应边相等，对应角相等
B．全等三角形对应边上的高线、中线，对应角的角平分线相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积和周长相等
【答案】C
【分析】本题主要考查了命题的真假判断，全等三角形的性质，正确理解真假命题的判断和熟练掌握相关知识是解题的关键．根据选项提供的已知条件逐个分析即可．
【详解】解：A、全等三角形的对应边相等，对应角相等，此命题为真命题，所以A选项不符合题意；
B、全等三角形对应边上的高线、中线，对应角的角平分线相等，此命题为真命题，所以B选项不符合题意；
C、面积相等的两个三角形全等，此命题为假命题，所以C选项符合题意；
D、全等三角形的面积和周长相等，此命题为真命题，所以D选项不符合题意．
故选：C．
6．如图，，C，D是对应顶点．下列结论错误的是（ ）
A．与是对应角 B．与是对应角
C．与是对应边 D．与是对应边
【答案】C
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键，根据全等三角形的性质直接得出结论即可．
【详解】解：，
与是对应角，与是对应角，与是对应边，与是对应边，
则与是对应边是错误的，
故选：C．
7．已知，，则
【答案】/60度
【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键.先求解，再利用全等三角形的性质可得答案.
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：.
8．如图，已知点在上，点在上，，且，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，设，，则，由，则，，所以，根据三角形内角和定理可得，求出，最后通过三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴设，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．如图，，延长交于，交于，，，，则 度．
【答案】80
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决本题的关键．
先由，可得，，再根据周角可求解的度数，根据三角形内角和可求解，即可求解的度数．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：80 ．
10．如图，，则的度数为 ．
【答案】95
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，先由全等三角形的性质：全等三角形对应角相等得，再运用三角形内角和性质列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：95．
11．已知，其中，，，则中的的长度为 ．
【答案】
【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．
本题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键
【详解】解：∵，，，，
，
故答案为：．
12．如图，，，，，，则的长是 ．
【答案】5
【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【详解】解：，
，
，
即，
，，
，
，
故答案为：5
13．如图所示的两个三角形全等，则的度数是 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等即可得出结论．
【详解】解：∵两个三角形全等，左边三角形边、所夹的角为，右边三角形边、所夹的角为，
∴，
故答案为：．
14．如图，已知，且垂足为G，延长交于点F，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得，，由垂线的定义可得，求出，再结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵垂足为G，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查平移的性质、矩形的面积公式，证明及是解题的关键．
由平移得，可得，再根据，即可求解．
【详解】解：由平移得，
，
，
∵四边形为长方形，，
，
，
故答案为：．
16．如图，已知．
(1)写出与之间的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)若，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)4
【分析】此题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质是关键．
（1）根据平行线的判定和全等三角形的性质即可得到结论；
（2）全等三角形的性质证明，根据线段的和差得到即可得到答案．
【详解】（1）解：．
理由：，
．
（2）
，
，即
又，
，
．
17．如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求与的周长和．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；
（1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可．
【详解】（1）解∶∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
与的周长和为
．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第04讲 全等三角形及其性质
知识点1：图形的全等
知识点2：全等三角形的概念和性质
1.全等图形
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
2.全等多边形的性质
（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.
（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.
【题型1图形的全等的判定】
【典例1】下列各组的两个图形属于全等形的是（ ）
A．B．C． D．
【变式1】下列选项中，两个图案不属于全等形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（ ）
A．形状和大小均相同 B．形状相同，大小不同
C．形状和大小均不相同 D．大小相同，形状不同
【变式3】下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 利用图形全等的性质求解】
【典例2】如图，四边形中，．若四边形四边形，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1】如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则（ ）
A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8
【变式2】如图，四边形四边形，若，，，则
【变式3】如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的 ， °．
（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形中的对应元素
1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。
2、对应元素的确定方法
（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法
①公共边一定是对应边；
②公共角一定是对应角；
③对顶角一定是对应角;
（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。
（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
（四）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
②全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。
【题型3 全等三角形的概念】
【典例3】如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】如图，，则的对应角是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，若沿直线对折，与重合，则 ，的对应边是 ，的对应边是 ，的对应角是 ，的对应角是 ．
【变式3】如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边．
【题型4 利用全等三角形的性质求边长/周长】
【典例4】如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
【变式1】如图，已知，，，则（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
【变式2】如图，，，，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【变式3】如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ．
【题型5 利用全等三角形的性质求角】
【典例5】已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，，点在边上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，已知，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作交于点F，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【变式3】如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
1．下列各组图形中，属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　）
A． B．6 C． D．7
4．如图，≌，若，，则的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．6
5．下列命题是假命题的是（　　）
A．全等三角形的对应边相等，对应角相等
B．全等三角形对应边上的高线、中线，对应角的角平分线相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积和周长相等
6．如图，，C，D是对应顶点．下列结论错误的是（ ）
A．与是对应角 B．与是对应角
C．与是对应边 D．与是对应边
7．已知，，则
8．如图，已知点在上，点在上，，且，若，则 ．
9．如图，，延长交于，交于，，，，则 度．
10．如图，，则的度数为 ．
11．已知，其中，，，则中的的长度为 ．
12．如图，，，，，，则的长是 ．
13．如图所示的两个三角形全等，则的度数是 ．
14．如图，已知，且垂足为G，延长交于点F，若，，则 ．
15．如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，已知．
(1)写出与之间的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)若，求的长．
17．如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求与的周长和．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑