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第06讲 线段的垂直平分线的性质和判定
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
2.线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
3.线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【题型1： 线段垂直平分线的性质】
【典例1】在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（ ）

A．22 B．23 C．32 D．33
【变式1】如图，在中， 垂直平分边，若的周长为，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为 ．
【变式3】如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ．
【题型2： 线段垂直平分线的判定】
【典例2】如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分．
【变式1】如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上．
【变式2】风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分．
【题型3：作已知线段的垂直平分线】
【典例3】如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式1】如图，在Rt中，
(1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点
(2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）．
【变式2】如图，在中
(1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长．
【题型4： 作垂线(尺规作图】
【典例4】如图，已知，利用尺规作图作的边的中线和边上的高，点为垂足（不写作法，保留作图痕迹）．
【变式1】如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图：
(1)过点C作于点D；
(2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法)
【变式2】如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法）
(1)作边上的高；
(2)过点作直线的垂线，垂足为；
(3)在上找一点，使．
【变式3】如图，已知，用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）．
(1)作 的平分线；
(2)过点作线段的垂线．
一、单选题
1．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于D、E，则的周长为（ ）cm．
A．8 B．2 C．4 D．1
2．如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　）
A． B． C． D．
4．如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A．两内角的平分线的交点处
B．两边高线的交点处
C．两边中线的交点处
D．两边垂直平分线的交点处
5．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ．
9．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有 个．
10．如图，在中，是边的垂直平分线，，则的面积为 ．
11．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E．已知，则的度数为 度．
三、解答题
12．如图，在中．
(1)作边的垂直平分线，分别与相交于点D、E（尺规作图，保留痕迹）．
(2)若，求的周长．
13．如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为．
(1)求的长及的度数；
(2)分别连接，若的周长为，求的长．
14．已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接．
(1)若，则的长为 ；
(2)若，，求的长；
(3)若的周长为，，求的长．
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第06讲 线段的垂直平分线的性质和判定
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
2.线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
3.线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【题型1： 线段垂直平分线的性质】
【典例1】在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（ ）

A．22 B．23 C．32 D．33
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式可得，进而可得，据此可得答案．
【详解】解；∵的垂直平分线交于点，交于点，
∴，
∵的周长等于50，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【变式1】如图，在中， 垂直平分边，若的周长为，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键.
根据垂直平分线的性质得出，再进行等量代换后计算即可.
【详解】解：∵ 垂直平分，
∴，
∴ 的周长，
∵，
∴
故选：A．
【变式2】如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得出，故可得出的周长，由此即可得出结论．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
∵，，
∴的周长．
故答案为：10．
【变式3】如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可得解．
【详解】解：∵和分别垂直平分和，
∴，，
∴的周长，
故答案为：．
【题型2： 线段垂直平分线的判定】
【典例2】如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
根据角平分线的性质得出，证明出，得到，利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得出结论．
【详解】证明：∵是的平分线，且，，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
又∵，
∴，
，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【变式1】如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上．
【答案】见解析
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上．
先由线段垂直平分线的性质得到，则，再由线段垂直平分线的判定即可证明．
【详解】证明：∵边的垂直平分线交于点P，
∴．
∴．
∴点P必在的垂直平分线上．
【变式2】风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分．
【答案】见解析
【分析】此题考查了垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定，
首先证明出，得到，然后结合即可得到垂直平分．
【详解】∵，，
∴
∴
又∵
∴垂直平分．
【题型3：作已知线段的垂直平分线】
【典例3】如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了复杂作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等．作的垂直平分线交于点，由垂直平分线的性质可知，即可完成作图．
【详解】解：如图，点即为所求作．
【变式1】如图，在Rt中，
(1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点
(2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问题的关键．
（1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段于点，点即为所求作；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作；
（2）解：是线段的垂直平分线，
．
【变式2】如图，在中
(1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图---线段垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据作线段垂直平分线的步骤作图即可；
（2）根据线段垂直平分线得到，则的周长转化为．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：连接，
∵线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长=,
∴的周长．
【题型4： 作垂线(尺规作图】
【典例4】如图，已知，利用尺规作图作的边的中线和边上的高，点为垂足（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】作图见解析．
【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，作垂直平分线，作的垂直平分线交于点，然后连接，过作的垂线，交延长线于点即可，掌握作图方法是解题的关键．
【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，然后连接，过作的垂线，交延长线于点，
∴，即为所求．
【变式1】如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图：
(1)过点C作于点D；
(2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了尺规作图，作垂线，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）以点C为圆心，适当长度为半径画弧交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长度为半径画弧交点，连接，与交于一点，此时，即可作答．
（2）理解点E在上且点E到的距离等于的长，即要求点在的角平分线上，故的角平分线上与的交点即为点E，所以运用圆规和直尺作出的角平分线，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，如图所示：
（2）解：依题意，点E如图所示．
【变式2】如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法）
(1)作边上的高；
(2)过点作直线的垂线，垂足为；
(3)在上找一点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键；
（1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，问题得解；
（2）按照（1）的方法作答即可；
（3）作的垂直平分线交于点，即可求解．
【详解】（1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，如图，
高即为所作；
（2）如图所示：
垂线即为所作；
（3）如图，点即为所求；
【变式3】如图，已知，用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）．
(1)作 的平分线；
(2)过点作线段的垂线．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
【分析】本题主要考查尺规作垂线，作角平分线，掌握尺规作图的方法是关键．
（1）根据尺规作角平分线即可；
（2）根据尺规作垂线即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为的角平分线，
（2）解：如图所示，即为线段的垂线．
一、单选题
1．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于D、E，则的周长为（ ）cm．
A．8 B．2 C．4 D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据线段的和差关系可进行求解．
【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于D、E，
∴，
∵，，
∴的周长为；
故选A．
2．如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，
根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴周长为．
故选：B．
3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得，由的周长得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴的周长．
故选：C．
4．如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A．两内角的平分线的交点处
B．两边高线的交点处
C．两边中线的交点处
D．两边垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】本题考查运用线段垂直平分线的性质来确定超市的位置，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴超市应建在两边垂直平分线的交点处，
故选：D．
5．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，再结合三角形的外角性质可得，最后根据平角的定义即可求解．
【详解】解：由条件可知，
在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
．
故选：C．
6．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查作图-基本作图，根据垂线的性质可得出结论．根据尺规作图的痕迹可知：是的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质即可解答．
【详解】解：∵由作图可知：是的垂直平分线，
∴，，，
∴，故D选项符合题意；
根据已知无法确定A、B、C项；
故选：D．
7．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两边距离相等．根据是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得，，根据的周长，即可求解．
【详解】解： 边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，
，，
的周长为12cm，
，
，
故选：B．
二、填空题
8．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出．求出，由线段垂直平分线的性质推出．
【详解】解：，，
，
在的垂直平分线上，
．
故答案为：3．
9．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有 个．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．结合网格，画出的垂直平分线，由此即可得．
【详解】解：如图，满足，在的垂直平分线上且在格点上的点有个．
故答案为：5．
10．如图，在中，是边的垂直平分线，，则的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及三角形的面积，熟知线段垂直平分线的性质及三角形的面积公式是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得出，再结合长及三角形的面积公式求出的面积，据此可求出的面积．
【详解】解：是边的垂直平分线，,
，
又,,
,
.
故答案为：12．
11．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E．已知，则的度数为 度．
【答案】37
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，正确理解线段垂直平分线的性质并运用解题是关键．
根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形内角和定理计算即可得到的度数．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
即，
所以．
故答案为：37．
三、解答题
12．如图，在中．
(1)作边的垂直平分线，分别与相交于点D、E（尺规作图，保留痕迹）．
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质：
（1）根据尺规作线段的垂直平分线的步骤进行作图即可；
（2）线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得，等量代换可得．
【详解】（1）解：边的垂直平分线如图：
（2）解：如图，连接，
是边的垂直平分线，
，
，
即的周长为14．
13．如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为．
(1)求的长及的度数；
(2)分别连接，若的周长为，求的长．
【答案】(1)的长是，的度数是
(2)的长是
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用线段垂直平分线的性质和数形结合的思想解答．
（1）根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和可以解答本题；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长及（1）中的长可以解答本题．
【详解】（1）解：∵在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为．
∴，，，，
∴，，，
∴，，
即的长是，的度数是；
（2）解：如图，
由题意可得，，，，
∴，
∵的周长为，
∴，
，
∴，
∴，
即的长是．
14．已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接．
(1)若，则的长为 ；
(2)若，，求的长；
(3)若的周长为，，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．
（1）直接根据线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得，再求出即可求解；
（3）先根据的周长为求出，由线段垂直平分线的性质得，进而可求出的长．
【详解】（1）解：垂直平分，
，
，
．
故答案为：3；
（2）解：垂直平分，
，
，，
，
．
（3）解：的周长为，，
，
垂直平分，
，
．
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