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第06讲 角平分线的性质与判定
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
【题型1：角平分线的性质定理的应用】
【典例1】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（　　）
A．24 B．28 C．32 D．36
【答案】B
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理的运用，理解尺规作角平分线，掌握角平分线的性质定理的运用是关键．
过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式1】如图，点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．1
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质，找到取最小值的情况，进而求解．本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，
∴当时，的值最小，此时．
∵，
∴的最小值为．
故选：．
【变式2】如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了作图基本作图：作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再计算出，再利用角平分线的性质求解即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，
，
，
，
∴，
∵，，，
∴．
故选：C．
【变式3】如图，是中的角平分线，于点E，，则长是（ ）．

A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟练应用角平分线的性质定理是解题的关键．过D作于F，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式求出即可．
【详解】解：如图，过D作于F，

∵是中的角平分线，于点E，，
，
∵，
，
，
，
解得：．
故选：B．
【题型2：角平分线的性质在实际中的应用】
【典例2】如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（ ）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找加油站的位置即可．
【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处；
②三个外角两两平分线的交点，共三处，
∴加油站可选择的点共有四处．
故选：D．
【变式1】某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（ ）
A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处
C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处
【答案】D
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处．
【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点．
故选D．
【变式2】如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
要使到三边的距离相等，根据角平分线的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论．
【详解】解：三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，
油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．
故选：B．
【变式3】如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处 D．以上都不对
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点．
故选：A．
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
重要拓展：
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ；
【题型3：角平分线的性质的判定】
【典例3】如图：在中，，于，于，、相交于．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线判定定理，掌握全等三角形的判定及性质是解答本题的关键．根据于，于，可得，结合对顶角，，证得，可得，即证结论．
【详解】证明：于，于，
，
在与中，
，
，
，
，，
平分．
【变式1】如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定是解题的关键．
先证明，得到，再根据角平分线的判定即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴平分．
【变式2】如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的判定是解题的关键．
（1）由，，，得，即得．
（2）过点作，，证明．得．即得平分．
【详解】（1）证明：，，，
，
．
（2）证明：如图，过点作，，垂足分别为G，H．
由（1）知，，
，．
，
．
．
平分．
【变式3】如图，已知于点，于点，、相交于点，若．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】连结，结合等边对等角证明，继而可证，由全等三角形性质可得，根据角平分线的判定定理即可得证．
【详解】证明：如答图，连结，
于点，于点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
平分．
【点睛】本题考查的知识点是等边对等角、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
【题型4：角平分线的性质的判定和性质综合】
【典例4】如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且．
(1)证明：平分；
(2)若，，，且，求的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)32
【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键．
（1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答；
（2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答．
【详解】（1）解：证明：过点作于于，
平分，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：，且，
，
，
，
，
的面积为32．
【变式1】如图，在中，点是BC的中点，，，垂足分别是点，，．
(1)求证：平分；
(2)若的面积为，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)7cm
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定、角平分线的判定定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过证明直角三角形全等得到，进而利用角平分线判定定理完成证明，再结合面积关系求解线段长度．
（1）由D是中点得，结合、及，用证，得，再根据到角两边距离相等的点在角平分线上，证平分；
（2）利用的面积等于与的面积之和，结合及的长，列关于的方程求解即可．
【详解】（1）解：证明：∵点是的中点，
∴．
∵于点，于点．
∴．
在和中
∴，
∴，
∴点在的角平分线上，
∴平分．
（2）∵，则,
∴为等腰三角形，且．
∵，，
∴．
由（1）得，
∴，
解得，
∴的长为．
【变式2】如图，，，于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）通过证明，再根据其性质得出，再根据角平分线的判定进行证明即可；
（2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
，，
，
在与中，，
，
，
平分；
（2）由（1）知平分，
，
在和中，
，
，
，
由（1）知，
，
．
【变式3】如图1，在四边形中，已知，，连接．

(1)求证：平分；
(2)点M，N分别是，上的动点，，．
①如图2，若，求的度数；
②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明．
【答案】(1)见详解
(2)①②，理由见详解
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质等；掌握角平分线的判定定理，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质，添加恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
（1）由角平分线的判定定理，即可得证；
（2）①由直角三角形的特征得，，由角的和差得，即可求解；
②延长到E，使，连接，由判定，（），结合全等三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
是的平分线，
平分；
（2）解：① ，，
，
，
，
，
，
解得：，
；
②，
理由如下：
延长到，使，连接，
，
，，
（），
，，
，，
，
，
即，
，
（），
，
，
．
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
【题型5：尺规作图-角平分线】
【典例5】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在中，．
(1)请用无刻度直尺和圆规作的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的作图下，若的面积是24，，求的长．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，等积法求出线段的长，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键：
（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；
（2）根据角平分线的性质，得到到的距离等于的长，分割法求三角形的面积，进行求解即可.
【详解】（1）解：由题意，作图如下：
（2）∵平分，，
∴点到的距离相等，均为的长，
∵，，
∴.
【变式1】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，，，
(1)求作：的角平分线；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)求与的度数．
【答案】(1)见解析
(2)；
【分析】本题考查作图—作角平分线、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法是解题的关键．
（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）由三角形内角和定理可得的度数，由角平分线可得，进而可求得的度数．
【详解】（1）解：为即为所求：
（2），，
，
是角平分线，
，
，
，
．
【变式2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在中.
(1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，的面积为12，求的面积
【答案】(1)见解析
(2)21
【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）过点作、，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求得，再由，即可求解．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求：
（2）解：如图，过点作交与点，作交与点，
平分，
，
的面积为12，
∴，
∴，
，，
．
【变式3】（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在四边形中，．
(1)利用尺规作的平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质与判定．
（1）根据题意作的平分线，交于点，连接；
（2）过点作交于点，根据角平分线的性质可得，结合已知可得，即可证明平分．即可得证．
【详解】（1）
（2）证明：如图，过点作交于点，
∵是的平分线，
∴，
∵
∴
又∵，即
∴平分
1．如图，平分，于C，于D，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线上的一点到两边的距离相等的性质，得出结论一定要与选项进行比对．
【详解】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知．
故选：B．
2．到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点
C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质判断即可．
本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
【详解】解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点．
故选：C．
3．如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】解：过点P作于点E，
∵平分，，，
∴，
故选：B．
4．如图，是的平分线，于点，点到的距离为5，，的面积为（ ）
A．30 B．60 C．78 D．39
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．过点P作于E，根据角平分线的性质得出，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作于E，
∵是的平分线，，，
∴，
∴的面积为
故选：A．
5．如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．2.5
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：作于H，如图，
∵的平分线交于点，，，
∴，
∵Q为上一动点，
∴的最小值为的长，即的最小值为2．
故选：B．
6．如图，为平分线上一点，，，则点到直线的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键，先利用的面积，求得点到直线的距离，然后再利用角平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵，的面积为，
∴点到直线的距离，
∵为平分线上一点，
∴点到直线的距离点到直线的距离．
故选：A．
7.如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．过点作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据平行线间的距离的定义解答即可．
【详解】解：如图，过点作于，作于，
、分别平分和，，
，
与之间的距离，
故选：C．
8．如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作于，
∵是中的角平分线，，，
∴，
∵的面积是10，若，
∴，
∴，
∴，即点到的距离是4，
故选：C．
9．如图，为的平分线，，，，则点C到射线的距离为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了点到直线的距离，角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．作于点F，根据角平分线的性质定理可得．
【详解】解：如图，作于点F，
为的平分线，，，
，
即点C到射线的距离为4，
故答案为：4．
10．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ．
【答案】18
【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，则点D到边和的距离相等，进而可得的面积为6，即可得出答案．
【详解】解：过点D作于点E，作，交的延长线于点
由作图过程可知，为的平分线，
，
，
，
的面积是
故答案为：
11．如图，是的平分线，于点E，，，，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过D作于F，根据角平分线的性质得到，又，，，由此可以得到关于的方程，解方程即可求出．
【详解】解：如图，过D作于F，
∵是的平分线，于点E，
∴，
而，
∴，
∴，
而，
∴．
故答案为：．
12．如图，D是的三个内角的平分线的交点，已知，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，能根据角平分线的性质得出是解此题的关键．
根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积即可解答．
【详解】解：如图：过作于H，于E，于F，
∵点D是三个内角平分线的交点，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
13．如图，在中，AD是角平分线，，，．
(1)求的度数．
(2)若，求点D到AB的距离．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的内角和．
（1）由已知和三角形的内角和求出，再根据角平分线以及直角三角形两锐角互余的关系，即可求出的度数；
（2）过点D作于点F，根据角平分线的性质定理即可得出．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵AD是的角平分线，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：过点D作于点F，如图所示，
∵AD是的角平分线，且，，
∴，
即点D到AB的距离为3．
14．如图，在中，，，的平分线BD交AC于点，过点作，，若，求的面积．
【答案】70
【分析】本题考查的是角平分线的性质，先证明，再利用三角形的面积公式计算即可.
【详解】解：平分，，，
．
∵，，
．
15．如图1和2，在四边形中，，，平分．
(1)知识回顾：如图1，若，则可得．请说明理由．
(2)问题解决：如图2，请说明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键：
（1）直接根据角平分线的性质，进行判断即可；
（2）作交延长线于E，于F，得到，同角的补角相等，得到，证明，即可得证．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
又因为平分．
所以（角平分线上的点到角的两边距离相等）；
（2）如图2，作交延长线于E，于F，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
16．如图，在中，，，是的角平分线，于点E．
(1)求的度数；
(2)若，求
【答案】(1)
(2)27
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；
（1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用直角三角形的性质即可求解；
（2）作于点F，如图，根据角平分线的性质可得，然后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作于点F，如图，
∵是的角平分线，于点E，
∴，
∴．
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第06讲 角平分线的性质与判定
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
【题型1：角平分线的性质定理的应用】
【典例1】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（　　）
A．24 B．28 C．32 D．36
【变式1】如图，点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．1
【变式2】如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【变式3】如图，是中的角平分线，于点E，，则长是（ ）．

A．3 B．4 C．6 D．5
【题型2：角平分线的性质在实际中的应用】
【典例2】如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（ ）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【变式1】某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（ ）
A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处
C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处
【变式2】如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【变式3】如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处 D．以上都不对
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
重要拓展：
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ；
【题型3：角平分线的性质的判定】
【典例3】如图：在中，，于，于，、相交于．求证：平分．
【变式1】如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分．
【变式2】如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
【变式3】如图，已知于点，于点，、相交于点，若．求证：平分．
【题型4：角平分线的性质的判定和性质综合】
【典例4】如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且．
(1)证明：平分；
(2)若，，，且，求的面积．
【变式1】如图，在中，点是BC的中点，，，垂足分别是点，，．
(1)求证：平分；
(2)若的面积为，，求的长．
【变式2】如图，，，于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
【变式3】如图1，在四边形中，已知，，连接．

(1)求证：平分；
(2)点M，N分别是，上的动点，，．
①如图2，若，求的度数；
②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明．
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
【题型5：尺规作图-角平分线】
【典例5】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在中，．
(1)请用无刻度直尺和圆规作的平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的作图下，若的面积是24，，求的长．
【变式1】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，，，
(1)求作：的角平分线；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)求与的度数．
【变式2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在中.
(1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，的面积为12，求的面积
【变式3】（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在四边形中，．
(1)利用尺规作的平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，求证：平分．
1．如图，平分，于C，于D，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点
C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
3．如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
4．如图，是的平分线，于点，点到的距离为5，，的面积为（ ）
A．30 B．60 C．78 D．39
5．如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．2.5
6．如图，为平分线上一点，，，则点到直线的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
7.如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，为的平分线，，，，则点C到射线的距离为 ．
10．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ．
11．如图，是的平分线，于点E，，，，则的长是 ．
12．如图，D是的三个内角的平分线的交点，已知，则 ．
13．如图，在中，AD是角平分线，，，．
(1)求的度数．
(2)若，求点D到AB的距离．
14．如图，在中，，，的平分线BD交AC于点，过点作，，若，求的面积．
15．如图1和2，在四边形中，，，平分．
(1)知识回顾：如图1，若，则可得．请说明理由．
(2)问题解决：如图2，请说明．
16．如图，在中，，，是的角平分线，于点E．
(1)求的度数；
(2)若，求
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