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第03讲 定义 命题 证明
【题型1判断是否是命题】
【典例1】下列语句不是命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．同位角都相等
C．如果，那么 D．延长线段至点C
【变式1】下列句子中，属于命题的是（ ）
A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短
C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？
【变式2】下列属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分
【变式3】下列语句是命题的是（ ）
A．作 B．若，则
C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗
【题型2写出命题的题设与结论】
【典例2】将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 ．
【变式1】把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是
【变式2】将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：
【变式3】“同位角相等，两直线平行”的题设为 ，结论为 ．
【题型3判断命题真假】
【典例3】下列命题是假命题的是（ ）
A．垂线段最短 B．对顶角相等
C．若，则 D．同位角相等
【变式1】下列命题是假命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．对顶角相等
【变式2】下列命题是真命题的是（ ）
A．3是的算术平方根 B．相等的角是对顶角
C．同位角相等，两直线平行 D．1的平方根是
【变式3】下列命题是真命题的是（　　）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
B．如果，那么
C．如果两个角是同位角，那么这两个角相等
D．两直线相交，其中相等的两个角是对顶角
【题型4举例说明假(真)命题，举反例】
【典例4】若要说明命题：“如果，那么 ”是假命题，则可以举的反例是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式3】举反例是判断一个命题为假命题时常用的方法．如判断命题“若，则”为假命题时，下列选项中可作为反例的是（ ）
A． B． C． D．
【题型5逻辑推理与论证】
【典例5】小东、小雨和小丽三人进行跳绳比赛．小丽说：我不是最后一名．小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好．第一名是（ ）
A．小东 B．小雨 C．小丽
【变式1】门锁密码是一个三位数，甲说“它是”；乙说：“它是”；丙说：“它是”；丁说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字”，那么门锁密码是 ．
【变式2】在每星期的七天中，甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话；乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话．今天甲说：“昨天是我说谎的日子．”乙说：“昨天也是我说谎的日子．”问今天是星期 ．
【变式3】四位老师分别任教语文、数学、科学、音乐学科．
李老师说：我不教语文；王老师说：我不教数学；张老师说：我是音乐老师；陈老师说：我既不是数学老师，也不是科学老师．
陈老师教( )，王老师教( )，李老师教( )．
①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角
②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。
【题型6三角形的外角的定义及性质】
【典例6】如图，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【变式1】如图，点，分别在线段，上，连接，交于点，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，中，，点D在边上，连接，作，求的度数．
【变式3】如图，平分的外角，且交的延长线于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想．
1．下列语句是命题的是（ ）
A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点
C．画一个角等于已知角 D．若，则
2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（ ）
A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行
B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补
C．三角形的三条高交于一点
D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角
4.下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．互为倒数的两数之积必为正
5．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
6．将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（ ）
A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画
C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读
8．如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（ ）．
A． B． C． D．
9．如图所示，直线，则 ．
10．命题“如果，则”是 命题．（填“真”或“假”）
11．写出命题“如果，那么”的题设和结论，题设是 ，结论是 ．
12．如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，相交于点，，求的度数．
13．如图，点D、E、F分别在、、上，且，，
下面写出了说明“”的过程，请填空：
解： ，（ ）
， ．（ ）
（已知），
．（ ）
（已知），
．（两直线平行，同位角相等）
（ ）
(平角的定义)
（等量代换）
14．如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
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第03讲 定义 命题 证明
【题型1判断是否是命题】
【典例1】下列语句不是命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．同位角都相等
C．如果，那么 D．延长线段至点C
【答案】D
【分析】本题考查命题的判断，根据命题的定义，对事件作出判断的语句，叫做命题，进行判断即可．
【详解】解：A，B，C选项都对事件作出了判断，是命题，D选项没有对事件作出判断，不是命题；
故选：D．
【变式1】下列句子中，属于命题的是（ ）
A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短
C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？
【答案】B
【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可求解，掌握命题的定义是解题的关键．
【详解】解：、画一条线段等于已知线段不是命题，该选项不合题意；
、垂线段最短是命题，该选项符合题意；
、利用三角板画出的角不是命题，该选项不合题意；
、直角都相等吗？不是命题，该选项不合题意；
故选：．
【变式2】下列属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分
【答案】D
【分析】本题考查了定义的理解.根据定义的属性进行判断即可．定义是指对某个词语、概念或事物的本质特征进行准确、清晰的描述和解释，确保人们在交流或学术讨论中达成一致理解．掌握定义的属性是解题的关键．
【详解】解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误；
B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误；
C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误；
D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确．
故选：D．
【变式3】下列语句是命题的是（ ）
A．作 B．若，则
C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗
【答案】B
【分析】本题考查了命题．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确．
根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性．
【详解】A. 作，不是命题，因为它不是判断性语句， 是叙述一个过程的语句；
B. 若，则，是命题，因为它是一个具有判断性的语句；
C. 两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句；
D. 一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句．
故选：B．
【题型2写出命题的题设与结论】
【典例2】将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 ．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了命题的条件和结论的叙述，命题写成“如果…那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．
根据命题的定义，把命题改写为题设和结论的形式即可．
【详解】解：根据命题的定义，将“对顶角相等”改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【变式1】把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是
【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行
【分析】本题考查了命题与定理，把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面．
【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行，
故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行．
【变式2】将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：
【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等
【分析】本题主要考查了命题的改写，熟知命题的结构是正确解答此题的关键．
命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是它们相等，应放在“那么”的后面，即可得答案．
【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果……那么……”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
【变式3】“同位角相等，两直线平行”的题设为 ，结论为 ．
【答案】 同位角相等 两直线平行
【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的结构特点是解题的关键．
由命题的题设和结论的定义进行解答．
【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”
所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分；
故答案为：同位角相等；两直线平行．
【题型3判断命题真假】
【典例3】下列命题是假命题的是（ ）
A．垂线段最短 B．对顶角相等
C．若，则 D．同位角相等
【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理，垂线段最短，对顶角，同位角的性质，根据垂线段最短、对顶角相等、非负数的性质、平行线的性质判断．
【详解】解：A、垂线段最短，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
C、若，则，则有，是真命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，符合题意；
故选：D．
【变式1】下列命题是假命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．对顶角相等
【答案】A
【分析】本题主要考查命题与定理知识，根据平行线的性质、垂直以及对顶角相等逐项判断即可．
【详解】解：A、在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题；
B、两直线平行，内错角相等，为真命题；
C、同位角相等，两直线平行，为真命题；
D、对顶角相等，为真命题；
故选：A．
【变式2】下列命题是真命题的是（ ）
A．3是的算术平方根 B．相等的角是对顶角
C．同位角相等，两直线平行 D．1的平方根是
【答案】C
【分析】根据平方根和算术平方根的定义可以判断A、D，根据对顶角和平行线的性质可判断B、C．本题考查命题的真假，掌握平方根，对顶角，平行线的性质是解题关键．
【详解】解：A：负数没有算术平方根，故A是假命题；
B：对顶角相等，但相等的角不一定都是对顶角，故B是假命题；
C：同位角相等，两直线平行，故C为真命题；
D：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即1的平方根为，故D是假命题；
故选：C．
【变式3】下列命题是真命题的是（　　）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
B．如果，那么
C．如果两个角是同位角，那么这两个角相等
D．两直线相交，其中相等的两个角是对顶角
【答案】A
【分析】根据相关的知识解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，对顶角，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故原说法正确，符合题意；
B. 如果，那么，故原说法错误，不符合题意；
C. 如果两个角是同位角，那么这两个角不一定相等，故原说法错误，不符合题意；
D. 两直线相交，其中相等的两个角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意；
故选：A．
【题型4举例说明假(真)命题，举反例】
【典例4】若要说明命题：“如果，那么 ”是假命题，则可以举的反例是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了求一个数的绝对值和假命题的判断，逐项进行计算，然后进行判断即可．
【详解】解：A. ，，有，且 ，不符合题意；
B.，，有，且 ，不符合题意；
C.，，有，不符合题意；
D. ，，有，且 ，符合题意；
故选：D．
【变式1】要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解题．
【详解】解：A、，且，满足命题，不符合题意；
B、，且，不满足命题，符合题意；
C、，且，满足命题，不符合题意；
D、，不满足命题，不符合题意；
故选：B．
【变式2】为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查了举反例说明命题为假命题，理解举反例的方法是解题的关键．
举例符合已知条件，但得出的结论与已知的结论矛盾，可说明原命题是假命题，据此逐一判断，即可求解．
【详解】解：A.当，时，可得出，是反例，符合题意；
B. 当，时，可得出，不符合题意；
C. 当，时，可得出，不是反例，不符合题意；
D. 当，时，可得出，不符合题意；
故选：A．
【变式3】举反例是判断一个命题为假命题时常用的方法．如判断命题“若，则”为假命题时，下列选项中可作为反例的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则以及假命题的概念判断．
【详解】解：A．当时，，而，说明命题“若，则”为假命题，符合题意；
B．当时，，而，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意；
C．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意；
D．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意；
故选：A．
【题型5逻辑推理与论证】
【典例5】小东、小雨和小丽三人进行跳绳比赛．小丽说：我不是最后一名．小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好．第一名是（ ）
A．小东 B．小雨 C．小丽
【答案】C
【分析】本题主要考查逻辑推理，关键是从二人的语言中找到名称的排列关系；即可求解.
【详解】解：根据题意，小丽说：我不是最后一名，那么小丽是第一名或第二名；
小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好，那么小雨是第二名，小丽是第一名，
故选：C.
【变式1】门锁密码是一个三位数，甲说“它是”；乙说：“它是”；丙说：“它是”；丁说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字”，那么门锁密码是 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是逻辑推理．通过分析题目中所给的条件，运用排除法和逐步推理的方法，对每个数位上的数字进行分析和判断，从而确定门锁密码；在推理过程中，需要根据“每人都只猜对了位置不同的一个数字”这一关键条件，对每个数字的位置进行合理推断．
【详解】解：分析个位数字： 甲猜的数是，乙猜的数是，丙猜的数是；其中甲和乙都猜了个位数字是，因为每人都只猜对了位置不同的一个数字，所以个位数字不可能是；而丙猜了个位数字是，所以个位数字只能是；
分析十位数字： 甲猜的数是，乙猜的数是，丙猜的数是；其中甲和丙都猜了十位数字是，因为每人都只猜对了位置不同的一个数字，所以十位数字不可能是；而丙猜了个位数字是，所以十位数字只能是；
分析百位数字： 由于个位数字已经确定是，十位数字只能是，因为每人都只猜对了位置不同的一个数字，那么丙猜的和乙猜的，所以百位数字只能是甲猜的；
综上，门锁密码是．
【变式2】在每星期的七天中，甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话；乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话．今天甲说：“昨天是我说谎的日子．”乙说：“昨天也是我说谎的日子．”问今天是星期 ．
【答案】四
【分析】本题考查了逻辑推理，根据题干条件以及甲乙说话内容进行分析，即可作答．
【详解】解：∵甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话，且今天甲说：“昨天是我说谎的日子．
∴甲只有在星期一和星期四才能说:“昨天是我说谎的日子”，
∵乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话．且今天乙说：“昨天也是我说谎的日子．”
∴乙只有在星期四和星期日才能说:“昨天是我说谎的日子”；
综合起来，今天是星期四；
故答案为：四
【变式3】四位老师分别任教语文、数学、科学、音乐学科．
李老师说：我不教语文；王老师说：我不教数学；张老师说：我是音乐老师；陈老师说：我既不是数学老师，也不是科学老师．
陈老师教( )，王老师教( )，李老师教( )．
【答案】 语文 科学 数学
【分析】本题考查的是逻辑推理的应用，确定陈老师教的是语文成为解题的关键．
根据题意，张老师说：我是音乐老师．陈老师说：我既不是数学老师，也不是科学老师．由此可知，四个学科只剩下教语文；所以陈老师教的是语文；还剩下教数学和教科学；王老师说：我不教数学，那么王老师教的科学；最后剩下的教数学的，李老师说：我不教语文，因此李老师教的数学；据此即可解答．
【详解】解：根据分析可知，四位老师分别任教语文、数学、科学、音乐．李老师说：我不教语文．王老师说：我不教数学．张老师说：我是音乐老师．陈老师说：我既不是数学老师，也不是科学老师．那么，李老师教的是数学，王老师教的是科学，张老师教的是音乐，陈老师教的是语文．
故答案为：语文，科学，数学．
①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角
②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。
【题型6三角形的外角的定义及性质】
【典例6】如图，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得，进而根据可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【变式1】如图，点，分别在线段，上，连接，交于点，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
先根据三角形内角和定理求出的度数，再由三角形外角的性质得出的度数，由对顶角相等即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的外角，，
∴，
∴．
故选：B．
【变式2】如图，中，，点D在边上，连接，作，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质．
先根据三角形内角和定理求出的度数，再由补角的定义得出的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∴．
∵是的外角，，
∴．
【变式3】如图，平分的外角，且交的延长线于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论；
（2）证明，结合，，可得结论．
【详解】（1）解：由条件可知，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
由条件可知，
又∵，
∴
，
即．
1．下列语句是命题的是（ ）
A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点
C．画一个角等于已知角 D．若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键，判断是否为命题，①是否为陈述句，②是否为判断语句．根据命题的定义分别判断下列选项即可．
【详解】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意；
B、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意；
C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意；
D、符合命题的定义，本选项符合题意；
故选：D．
2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（ ）
A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角
【答案】D
【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面．
命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设．
【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角，
∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角．
故选：D．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行
B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补
C．三角形的三条高交于一点
D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角
【答案】D
【分析】本题考查了平行公理、平行线性质、三角形的高及外角的性质。根据各选项的条件与结论逐一分析，结合相关定理判断其正确性。
【详解】解：A选项错误.平行公理指出：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在直线上，则无法作平行线，故A不成立.
B选项错误．只有当两条直线平行时，被第三条直线所截的同旁内角才互补.若两直线不平行，同旁内角不满足互补关系，故B缺少前提条件．
C选项错误．三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心），但高作为线段，在钝角三角形中三条高线段不会在形内相交，故C表述不严谨，应为三条高所在直线交于一点．
D选项正确．三角形至少有两个内角为锐角，其对应的外角为钝角，因此三个外角中至少有两个钝角，故D为真命题．
故选：D．
4.下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．互为倒数的两数之积必为正
【答案】D
【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的加法和乘法，倒数的定义，解题的关键是熟练掌握以上概念和运算．
利用绝对值的意义，有理数的加法和乘法法则，以及倒数的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A.互为相反数的两个数的绝对值相等，该选项错误，不符合题意；
B.当两个数都为0时，两数之积为0，该选项错误，不符合题意；
C.两数之积小于0，那么两数符号相反，只根据符号相异的两个数，无法判断绝对值大小，该选项错误，不符合题意；
D.互为倒数的两数之积为1，为正数，该选项正确，符合题意；
故选：D．
5．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念解答．
【详解】解：当时，，而，
说明命题“如果，那么”是假命题，
故选：B．
6．将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 本题主要考查两直线平行，内错角相等，以及三角形的内角和定理．根据直角尺各角的度数及三角形内角和定理解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴．
故选：A．
7．小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（ ）
A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画
C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读
【答案】C
【分析】本题考查逻辑推理，根据①得到小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书，根据②得到小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，进行判断即可．
【详解】解：因为小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书，
所以小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书，
因为在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书，
所以小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，
故选C．
8．如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质．熟练掌握这两个性质是解决本题的关键．
先根据角平分线的性质求出相关角的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数．
【详解】解：因为是中的平分线，且，
所以．
因为是的外角的平分线，且，
同理可得．
在中，是的一个外角，
所以，
即．
将，代入可得：．
在中，是的一个外角，
可得．
已知，，
那么，即．
故选：A．
9．如图所示，直线，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质．
根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质计算即可．
【详解】解：如图，
∵
∴
∵
∴
故答案为：
10．命题“如果，则”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识．举出反例判断该命题是假命题即可．
【详解】解：根据不等式的性质得：“如果，当时，则”，
故原命题为假命题，
故答案为：假．
11．写出命题“如果，那么”的题设和结论，题设是 ，结论是 ．
【答案】
【分析】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握其定义．根据题设和结论的定义进行区分“如果”后是题设，“那么”后是结论，即可．
【详解】解：根据题意可知：题设是，结论是，
故答案为：，．
12．如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，相交于点，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的有关计算．
根据三角形外角的性质求出，根据三角形外角的性质，角平分线的定义得到，进而求出，即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴．
∵平分，
∴，．
∴．
∵平分，
∴，
∴．
13．如图，点D、E、F分别在、、上，且，，
下面写出了说明“”的过程，请填空：
解： ，（ ）
， ．（ ）
（已知），
．（ ）
（已知），
．（两直线平行，同位角相等）
（ ）
(平角的定义)
（等量代换）
【答案】已知，；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换．
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质进行推理即可．
【详解】证明：，，（已知）
，．（两直线平行，同位角相等）
，（已知）
．（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
．（两直线平行，同位角相等）
．（等量代换）
，（平角的定义）
．（等量代换）
14．如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形的内角和，三角形的外角，三角形的高，角平分线，掌握知识点是解题的关键．
（1）先求出，得到，证明，求出，即可解答；
（2）由平分，得到，可得到，即可解答．
【详解】（1）解：，，，
，
，
是的高线，
∴，
，
；
（2）平分，，
，
∵
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