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第05讲 三角形全等的判定
1.（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
（2）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。
【题型1：三角形全等的判定-SSS】
【典例1】如图，全等吗？为什么？
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据证明即可．
【详解】解：，理由如下：
在和中，
∴．
【变式1】如图：和中，；试说明．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由，可得，根据SSS即可证明．本题的关键是得到．
【详解】解：，
，即，
在和中，
．
【变式2】如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定有关知识，根据等式的性质可得，运用证明与全等，得到，利用同位角相等，两直线平行得到结论．
【详解】证明：，
，
，
在与中，
，
，
．
【变式3】如图，已知，，，
(1)求证：
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用．
（1）先证明，进而根据证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，．
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
【题型2：三角形全等的判定-SAS】
【典例2】如图，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．利用全等三角形的判定即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中
∴．
【变式1】如下图，，，，．求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形的外角定理，全等三角形的判定和性质；根据题意证出，得到，再结合三角形的外角定理计算即可．
【详解】解：在和中，
，
，
，
．
【变式2】已知：如图，， ，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据，求出，根据全等三角形的判定定理可推出，进而得出．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，做题的关键是找出证三角形全等的条件．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
∴．
【变式3】如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，证明，，根据证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
【题型3：三角形全等的判定-ASA】
【典例3】如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，理解平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据，得，根据得，进而可依据“”判定和全等．
【详解】证明：，，
，
，
，
在和中，
，
．
【变式1】如图，点E在上，点C在上，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
由即可得出．
【详解】证明：在和中，
．
【变式2】已知：如图，点、、、在一条直线上，，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，首先利用平行线的性质得出，进而利用全等三角形的判定定理即可证明．
【详解】证明： ，
，
在和中，，
．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．由平行线的性质得，进而证明．
【详解】证明：在四边形中，，点为对角线上一点，
，
在和中，
，
．
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。
【题型4：三角形全等的判定-AAS】
【典例4】如图， ，点E，F在线段上，且．连接，，若，请完成下列问题：
(1)说明 ；
(2)猜想与的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)， ，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）根据平行线的性质得到，进而根据证明即可；
（2）由得到，，即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，即．
在和中，
∵ ，
∴；
（2）解：， ，理由如下：
∵，
∴，．
∴．
【变式1】已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．

【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据垂直的定义和余角的性质得到，再根据证明．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式2】如图，已知点，在上，且，，．求证．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
利用等式的性质可得，再利用判定即可．
【详解】证明：，
，
即，
在和中
，
．
【变式3】如图，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．由题意可求得，利用即可判定．
【详解】证明：，
，
．
在与中，
，
．
【题型5：添加条件使三角形全等】
【典例5】如图，与相交于点O，，若用“”来判定，则还需要添加的一个条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定：判定一般三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”，需熟练掌握．要用“”判定，根据已知条件，有和，因此需要或．
【详解】解：∵，，
∴用“”判定，要补充．
故选：D．
【变式1】如图，点在一条直线上，，判定和全等需要添加的条件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：在和中，，
若，
则：，即：，
无法得到和全等，故A选项不符合题意；
若，
则：，
∴，故B选项符合题意；
若，无法得到和全等，故C选项不符合题意；
若，
则：，
无法得到和全等，故D选项不符合题意；
故选B．
【变式2】如图，已知，添加下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，常用的全等三角形的判定方法有：、、、，解决本题的关键是根据原有的条件与添加的条件是否能组成上述的条件，如果符合上述条件中的一种即可证明三角形全等．
【详解】解：由图可知是和的公共角，
A选项：添加，在和中有两条边和其中一条边的对角对应相等，不能证明三角形全等，故A选项符合题意；
B选项：添加，在和中，根据可证，故B选项不符合题意；
C选项：添加，在和中，根据可证，故C选项不符合题意；
D选项：添加，在和中，根据可证，故D选项不符合题意．
故选：A．
【变式3】如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，最终能利用判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：∵，
，
A、由，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故此选项不符合题意；
B、，
，即，
又∵，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故此选项符合题意；
C、由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，但不能用判定故此选项不符合题意；
D、由，得，又，，符合全等三角形的判定定理，能推出，但不能用判定，故此选项不符合题意；
故选：B．
【题型6：全等三角形判定和性质综合】
【典例6】如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，求的长．
【答案】5
【分析】先根据证明，则可得，即可求出的长．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵、是 的高，
，
，，
，
在和中
，
，
，，
，
，
又，
，
．
【变式1】如图，D是的边上一点，，交于点E，．
(1)求证：≌；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，
（1）解法一：由平行线推出，由此利用证明；解法二：由平行线推出，根据证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，即可求出的长．
【详解】（1）证明：解法一，
．
在和中，
．
解法二
．
在和中，
．
（2）解：由（1）知，
，
．
【变式2】晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中是风筝的支架且．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，是解题的关键
（1）根据证；
（2）根据，得，由求出即可．
【详解】（1）证明：在和中，
．
（2）解：，
，
．
【变式3】如图，，点在边上，和相交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：
（1）根据即可证明两三角形全等；
（2）由（1）可知，根据平角的定义求出的度数，从而可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵AE和BD相交于点O，
．
在和中，
，
．
又，
，
∴，即．
在和中，
，
．
（2）解：由（1）知，
，
，
，
，
．
1．如图，下列三角形中，与全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．
根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意；
B．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意；
C．满足三角形全等的判定定理，符合题意；
D．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意；
故选：．
2．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
故选：B．
3．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．
【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
4．如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察作图痕迹，确定两个三角形的对应角和对应边，依据全等三角形判定定理来判断．本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的“ASA”判定定理是解题的关键．
【详解】解：由作图痕迹可知，，，，
，，，
．
故选：B．
5．如图，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明，再运用三角形外角性质得，最后由三角形内角和性质进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
在中，．
故选：A．
6．如图所示，，则（ ）
A． B． C． D．无法计算
【答案】B
【分析】先通过角的等量代换找到全等三角形的条件，证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质和三角形外角的性质来求解的度数．本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定条件和外角性质是解题的关键．
【详解】解：
，即
又，，
∴
，，，
故选：B．
7．如图，已知，添加下列条件，不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
根据全等三角形的判定：，可得答案．
【详解】解：由题意得，，
A、添加不能判定三角形全等，符合题意；
B、在与中，
，
，不符合题意；
C、在与中，
，
，不符合题意；
D、在与中，
，
，不符合题意；
故选：A．
8．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：下列说法正确的是（ ）
甲方案 乙方案
如图1，先在平地取一个可直接到达的点C，再连接AC，BC，并分别延长至D，BC至，使，，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离．
A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行
C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用．甲方案利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离；乙方案利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离．
【详解】解：甲方案：在和中，
，
∴，
∴，
乙方案：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∴甲、乙的方案均可行．
故选：C．
9．如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，观察图形可知：与是对应边，B点的对应点在上方两个，在下方两个共有个满足要求的点，也就有四个全等三角形．
【详解】解：根据题意，运用可得与全等的三角形有个，线段的上方有两个点，下方也有两个点．
故选：C．
10．如图，已知，垂足为，且，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
证明，得到，即可求出
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
同理可证
∴
∴
∴
故答案为：
11．如图，，E为的中点．若，，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，由题意可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．如图，在中，，，，若，则 度．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，先利用判定，从而得出对应角相等，再利用角与角之间的关系从而求得所求的角为，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
【详解】解：在中，，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．如图，，，，于D，，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，根据证明，可得，再结合得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
14．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点，F分别在直线AB的两侧，已知，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质，是解题的关键：
（1）根据平行线的性质，角的等量代换，证明，即可得证；
（2）由①知，根据线段的和差关系即可解答；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，即：，
又∵，，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
∵，
∴，
∴．
15．如图，，是的高线，，交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)的面积为．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先求得，再证明，即可得出结论；
（2）根据，得到，求出，，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
16．如图，在中，，，，，，垂足为D，E．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查的是垂直的定义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用；
（1）根据题意证明，即可证出；
（2）先求解，求解，继而根据即可得．
【详解】（1）证明：∵，
，
，
∴，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
（2）解：，
，
，
，
．
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第05讲 三角形全等的判定
1.（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
（2）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。
【题型1：三角形全等的判定-SSS】
【典例1】如图，全等吗？为什么？
【变式1】如图：和中，；试说明．
【变式2】如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：．
【变式3】如图，已知，，，
(1)求证：
(2)若，，求的度数．
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
【题型2：三角形全等的判定-SAS】
【典例2】如图，，，，求证：．
【变式1】如下图，，，，．求的度数．
【变式2】已知：如图，， ，．求证：．
【变式3】如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明．
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
【题型3：三角形全等的判定-ASA】
【典例3】如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：．
【变式1】如图，点E在上，点C在上，，．求证：．
【变式2】已知：如图，点、、、在一条直线上，，且，求证：．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：．
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。
【题型4：三角形全等的判定-AAS】
【典例4】如图， ，点E，F在线段上，且．连接，，若，请完成下列问题：
(1)说明 ；
(2)猜想与的关系，并说明理由．
【变式1】已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．

【变式2】如图，已知点，在上，且，，．求证．
【变式3】如图，，，，求证：．
【题型5：添加条件使三角形全等】
【典例5】如图，与相交于点O，，若用“”来判定，则还需要添加的一个条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图，点在一条直线上，，判定和全等需要添加的条件是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】如图，已知，添加下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【变式3】如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，最终能利用判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型6：全等三角形判定和性质综合】
【典例6】如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，求的长．
【变式1】如图，D是的边上一点，，交于点E，．
(1)求证：≌；
(2)若，求的长．
【变式2】晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中是风筝的支架且．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
【变式3】如图，，点在边上，和相交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
1．如图，下列三角形中，与全等的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
4．如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，，则（ ）
A． B． C． D．无法计算
7．如图，已知，添加下列条件，不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
8．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：下列说法正确的是（ ）
甲方案 乙方案
如图1，先在平地取一个可直接到达的点C，再连接AC，BC，并分别延长至D，BC至，使，，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离．
A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行
C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行
9．如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
10．如图，已知，垂足为，且，，，则 ．
11．如图，，E为的中点．若，，则 ．
12．如图，在中，，，，若，则 度．
13．如图，，，，于D，，，则 ．
14．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点，F分别在直线AB的两侧，已知，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
15．如图，，是的高线，，交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
16．如图，在中，，，，，，垂足为D，E．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
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