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第02讲 三角形的内角
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。
测量法： 剪角拼角法 ：
【题型1三三角形的内角和定理】
【典例1】如图，中 ．
【变式1】在中，，则的度数为 ．
【变式2】在中， ， ．
【变式3】如图，将沿方向平移得到，若，则 ．

【题型2 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】
【典例2】如图，在中，，AE，分别是的高、角平分线、中线．
(1)若的面积为6，则的面积为 ．
(2)当时，求的度数．
【变式1】如图，在中是的平分线，是边上的高，，．求的度数．
【变式2】已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【变式3】如图，在中，，，垂足为，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求证：．
【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】
【典例3】如图：中，、平分和，若，求的度数．
【变式1】如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，中，．若的两个外角平分线，交于点P，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知：如图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”，和的平分线和相交于点，试解答下列问题：
(1)在图中，试说明：．
(2)在图中，若，，根据（1）中得到的数量关系，求的度数；
(3)如果图中和为任意角，其他条件不变，直接写出与、之间的数量关系．
【题型4与平行线有关的三角形内角和问题】
【典例4】如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，，于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型5三角形折叠中的角度问题】
【典例5】如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
(3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式．
【变式1】如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，求的度数．
【变式2】在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数．
【变式3】把三角形纸片沿折叠．
(1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明；
(2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系．
1．一个三角形的三个内角分别是、、，这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
2．在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列说法中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，直线，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，若，，则的度数为
8．如图是两个直角三角形，则的度数是 ．
9．如图所示，在中，点在边的延长上，已知，若，则 ．
10．如图所示，已知，则 ．
11．如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度．
12.如图，是的高，平分交于点E．若，，则的度数为 ．
13．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ．
14．如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
15．已知，如图在中，，平分交于F，交于E，．求的度数．
16．如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知．
(1)如图①，若点E与点A重合，求的度数：
(2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数．
17．（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；

（2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______；
（3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合，
①的度数是多少？请说明理由；
②如果，求的度数．
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第02讲 三角形的内角
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。
测量法： 剪角拼角法 ：
【题型1三三角形的内角和定理】
【典例1】如图，中 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理为是解题的关键．
根据三角形的内角和为，即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【变式1】在中，，则的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和一元一次方程的应用，根据题意设，则，由三角形内角和定理可知，解方程即可得出，进而可知．
【详解】解：设，则，
由三角形内角和定理可知：，
解得：，
∴，
故答案为：
【变式2】在中， ， ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，以及角的数量关系，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，．
【变式3】如图，将沿方向平移得到，若，则 ．

【答案】/76度
【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理等知识，掌握平移的性质是解题的关键；由三角形内角和可求得的度数，由平移的性质即可求得结果．
【详解】解：∵，，
∴；
由平移知，；
故答案为：．
【题型2 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】
【典例2】如图，在中，，AE，分别是的高、角平分线、中线．
(1)若的面积为6，则的面积为 ．
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)12
(2)
【分析】本题考查了中线与面积，三角形内角和性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合是的中线，的面积为6，即可求出的面积；
（2）先求出，再运用平分，得出，然后运算三角形内角和性质进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵是的中线，且的面积为6，
∴的面积为；
（2）解：∵，，
∴.
∵平分，
∴.
∵，，
∴，
∴.
【变式1】如图，在中是的平分线，是边上的高，，．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查三角形的高线，角平分线，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出的度数，的度数，角平分线求出，再根据角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的平分线，是边上的高，
∴，，
∴，
∴．
【变式2】已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形的高，三角形的内角和定理，角平分线，掌握知识点是解题的关键．
（1）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答；
（2）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答．
【详解】（1）解：是的高，
，
．
（2）是的角平分线．
．
．
【变式3】如图，在中，，，垂足为，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高的定义；
（1）在中，由，得出，由平分得出；
（2）根据角平分线以及三角形的高的定义，含的式子求出的度数即可；
【详解】（1）在中，，
平分
（2）证明：在中，

平分


即．
【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】
【典例3】如图：中，、平分和，若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得到，，则，然后把的度数代入计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵、平分和，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
而，
∴．
【变式1】如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线相交于同一点，得出平分是解题的关键．先由三角形的角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，再由三角形的三条角平分线相交于同一点，可知平分，进而可求出答案．
【详解】解： 平分，，
，
平分，，
，
．
在中，、分别平分和，
平分，
，
故选：C．
【变式2】如图，中，．若的两个外角平分线，交于点P，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和与外角和定理，以及角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和与外角和定理是解题的关键，利用三角形内角和定理可求出，再利用三角形外角和定理求出两个外角和的度数，然后根据角平分线的性质求出，最后再利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴的两个外角和为：，
， 的两个外角的角平分线，
，
，
故选：B．
【变式3】已知：如图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”，和的平分线和相交于点，试解答下列问题：
(1)在图中，试说明：．
(2)在图中，若，，根据（1）中得到的数量关系，求的度数；
(3)如果图中和为任意角，其他条件不变，直接写出与、之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等，可得结论；
（2）根据角平分线的定义得出，，由（1）得，，两式相加即可得答案，
（3）同（2）的方法即可得出结论．
【详解】（1）解：∵线段、相交于点，
∴，
∵，，
∴．
（2）解：由（1）可知：，，
∵和的平分线和相交于点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵和的平分线和相交于点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
【题型4与平行线有关的三角形内角和问题】
【典例4】如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，平角的概念，先由，得，再运用，代数进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴
故选：D．
【变式1】如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线,三角形的内角和定理等知识点，由垂直的定义得，可得，由平行线的性质推出，熟练掌握平行线的性质，垂线,三角形的内角和的综合应用是解决此题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
【变式2】如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【变式3】如图，，于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设交于点，交于点，由题意可得三角形是直角三角形，根据想内角和定理得出，根据平行线的性质以及对顶角相等即可求解．
【详解】如图，设交于点，交于点，
由题意可得三角形是直角三角形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴
故选：B
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【题型5三角形折叠中的角度问题】
【典例5】如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
(3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，
（1）直接根据三角形内角和定理求解即可；
（2）由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解；
（3）同（2）求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴；
（2）解：∵将沿着折叠压平，与重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵将沿着折叠压平，与重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式1】如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是直角三角形和折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质找到对应相等的角．根据折叠的性质和直角三角形的有关知识求解即可．
【详解】解：将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，，
，，
∵，
，
，
．
【变式2】在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可；
【详解】解：由题意知：，
，
，
．
【变式3】把三角形纸片沿折叠．
(1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明；
(2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质．
（1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题；
（2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题．
【详解】（1）解：．
证明：∵三角形纸片沿折叠得到，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵三角形纸片沿折叠得到，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
1．一个三角形的三个内角分别是、、，这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握“等角对等边”是解决本题的关键．
根据三角形内角分别是、、，由两个相等的角，再结合三角形的分类标准进行判断即可．
【详解】解：∵一个三角形的三个内角分别是、、，
有两个相等的角均为，
由等角对等边，可知这个三角形一定是等腰三角形．
故选：B ．
2．在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内角和定理，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形的内角和为，求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选B．
3．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列说法中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高的知识点，熟练掌握三角形中线、高、角平分线的性质是解题的关键.根据三角形角平分线、中线和高的定义进行分析即可.
【详解】解：选项A：是中线，点是中点，，选项A正确，不符合题意.
选项B：的边上的高为，根据三角形面积公式可得，选项B正确，不符合题意.
选项C：的角平分线为，，选项C错误，符合题意.
选项D：的底边为的一半，二者高相等，根据三角形面积公式可得，选项D正确，不符合题意.
故答案为：C ．
4．如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示，根据，先算出的度数，根据邻补角再算出的度数，根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：如图所示，
直尺中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线，邻补角，三角形内角和的综合，掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
5．如图，直线，直线，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质得到角的关系，再结合垂直的定义求出的度数．本题主要考查了平行线的性质以及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 直线
∴
∵
∴
又∵ ，
∴
∴
故选：C．
6．如图，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键；
先根据三角形内角和定理求出，进而可得到，再通过三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴
故选：D．
7．在中，若，，则的度数为
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．根据三角形的内角和等于计算即可．
【详解】解：，，，
．
故答案为．
8．如图是两个直角三角形，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的知识，先将两个直角三角形分开求解出的度数，再利用四边形的内角和为即可求解．
【详解】解：如图：
由题意得：在中，可求得，
在中，可求得，
则在四边形中，
，
所以的度数为．
故答案为．
9．如图所示，在中，点在边的延长上，已知，若，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了平行线的性质，平角的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是关键，根据平行线的性质，角的计算得到，由互余即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为： ．
10．如图所示，已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和的应用．
根据三角形内角和求出，进而根据三角形内角和即可求出．
【详解】解：由图可知
，
，
．
故答案为：
11．如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度．
【答案】40
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．
根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理列出等式整理即可得解．
【详解】解：∵平分平分，
，
，
，
，
，
故答案为：40．
12.如图，是的高，平分交于点E．若，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的有关计算.
由高的定义及直角三角形两锐角互余求出，再由角平分线定义，结合三角形内角和求解即可得到答案．
【详解】解： 是的高，
，
，
，
平分，
，
，
故答案为：．
13．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由折叠可知，，，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：，，
由折叠可知，，
，
，
故答案为：．
14．如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义．
（1）根据同角的补角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用平行线的判定即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，再利用平角定义可得，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为．
15．已知，如图在中，，平分交于F，交于E，．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查三角形的高线、角平分线，三角形内角和定理，由垂直可得，由角平分线可得，由三角形内角和定理计算出，再由对顶角相等即可得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴．
16．如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知．
(1)如图①，若点E与点A重合，求的度数：
(2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义等，解题的关键是掌握三角形内角和定理，即任意一个三角形的三个内角和为180度．
（1）根据三角形内角和定理求出和，再利用角平分线的定义和角的和差关系求解；
（2）根据三角形内角和定理先求，再求，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
，，
平分，
，
；
（2）解：因为，，
所以．
因为AD平分，
所以，
所以，
所以，
所以．
17．（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；

（2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______；
（3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合，
①的度数是多少？请说明理由；
②如果，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【分析】（1）利用对折性质可知是角平分线，由此即可求解；
（2）根据三角形的内角和可知，根据折叠可知的度数，利用两个平角和等于，由此即可求解；；
（3）①根据折叠可得，，且，代入计算即可；
②，代入计算即可．
【详解】解：（1）由对折性质可知，是角平分线，
∴，
故答案为：．
（2）在中，，，
∴，
根据折叠的性质得，，
∴，
∵，
，
故答案为：．
（3）①由折叠的性质可知：，，且，
，
②根据折叠的性质及上述知识可知，
．
【点睛】本题考查折叠问题中角的计算问题，掌握翻折的性质是本题的关键．
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