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第2章 特殊三角形（复习讲义）
课标要求：从生活实例抽象模型，通过推理掌握“等边对等角”“三线合一”等核心性质；
中考命题：基础题占比高，压轴题聚焦动态等腰三角形存在性与等边三角形综合证明；
备考关键：
概念零混淆（腰≠底边、SSA非判定）；
证明严步骤（标注定理+分类讨论）；
作图保规范（尺规作图中半径一致，虚线表延长线）
层级 训练重点 典型例题
基础层 边角计算、轴对称作图 已知AB=AC，∠A=40°，求∠B。
进阶层 三线合一证明、等腰判定 用“等角对等边”证△ABC为等腰三角形。
拓展层 等边三角形与全等综合、动态存在性问题 等边△ABC中，D为AC中点，E在BC延长线上，CE=CD，证△BDE为等腰三角形
知识点 重点归纳 常见易错点
等腰三角形性质 轴对称性：对称轴为顶角平分线所在直线
等边对等角：两底角相等
三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高线重合 未分类讨论角的位置（如已知角80°未分顶角/底角）
非等腰三角形误用三线合一
等腰三角形判定 定义法：两腰相等
等角对等边：两底角相等
推论：三角形一边中线和高重合 等腰 误用SSA判定（如两边及一边对角相等）
忽略三角形存在性（如边长3,3,6不成立）
等边三角形性质 三边相等，三角均为60°
四心合一（重心、内心、外心、垂心）
对称性：三条对称轴 混淆重心与垂心位置
求角度时未利用60°特性（如外角=120°）
直角三角形性质 勾股定理：a2+b2=c2（c为斜边）
两锐角互余：∠A+∠B=90°
斜边中线=斜边一半 混淆直角边与斜边（如求第三边时未分类）
误用"HL"于非直角三角形成立
直角三角形判定 定义法：有一个角为90°
勾股逆定理：若a2+b2=c2，则∠C=90°
两角互余：∠A+∠B=90° ∠C=90° 勾股数记忆错误（如认6,8,11是勾股数）
忽略角度互余的隐含条件
HL全等判定 仅用于直角三角形：斜边和一条直角边对应相等 全等
本质是SSA在直角△中的特例 在非直角△中误用HL
未标注"Rt△"直接使用HL
【例1】下列艺术字中，轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1-1】世界环境日为每年的6月5日，它的确立反映了世界各国人民对环境问题的认识和态度，表达了人类对美好环境的向往和追求．下列有关环境保护的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-2】请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-3】2024年11月29日，中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”，以下四个如意放样中，不是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【例2】如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用AB表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-1】如图，已知∠AOB＝a，C是∠AOB内部的一点，且OC＝5，点D、E分别是OA、OB上的动点，若△CDE周长的最小值等于5，则∠a的值为（　　）
A．45° B．40° C．30° D．35°
【变式2-2】昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-3】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E，F分别是BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【例3】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中点，∠B＝32°，则∠CAD的度数为（　　）
A．58° B．56° C．54° D．62°
【变式3-1】已知△ABC是等腰三角形，它的两条边的长分别为2cm和5cm，则它的第三边的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．2cm或5cm D．5cm
【变式3-2】如图，在△ABC中，点D在BC上，∠DAC＝∠ADC＝2∠B，AC＝3，AD＝2，则BC的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下述结论正确的有（　　）
①BD平分∠ABC；②△BCD的周长等于AB+BC；③AD＝BD＝BC；④点D是线段AC的三等分点．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【变式3-4】“三等分角”是由古希腊人提出来，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成．两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E在槽中滑动，若∠BDE＝84°，则∠O＝ 　　 ．
【例4】用一根长10cm的绳子围成一个等腰三角形，其中腰和底的长度都为整数，则腰长为　　 ．
【变式4-1】已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　 　 ．
【变式4-2】如图，若∠B＝72°，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中共有 　　 个等腰三角形．
【变式4-3】如图，已知P是射线ON上一动点，∠AON＝40°，当∠A＝ 　 　 时，△AOP为等腰三角形．
【变式4-4】如图，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，若△ABC的面积等于10，则△ADC的面积等于　　 ．
【例5】下列命题：①若ab＞0，则a、b两数符号相同；②锐角与直角的和一定是钝角；③两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中是真命题的有　 　 .（写出所有真命题的序号）
【变式5-1】把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：　 　 ．
【变式5-2】写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题：　 　 ，该逆命题是 　　 命题（填“真”或“假”）．
【变式5-3】写出“对顶角相等”的逆命题　 　 ．
【例6】在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则下列等式正确的是（　　）
A．a2＝b2+c2 B．a2＝2c2 C．c2＝2b2 D．b2＝2a2
【变式6-1】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知c＝4，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么BC的长是（　　）
A．5 B．6 C． D．
【变式6-2】我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6，则正方形EFGH的面积为（　　）
A． B．8 C．20 D．
【变式6-3】已知Rt△ABC，斜边，面积等于3，则AC+BC＝　　 ．
【变式6-4】如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S2＝4，则S1+S3的值为 　　 ．
【例7】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将∠B沿CD折叠，点B正好落在边AC上的点E处，如果∠B＝65°，则∠ADE的度数是　　 ．
【变式7-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝62°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝　　 ．
【变式7-2】阅读与思考．
请认真阅读．并完成相应的问题：
“友爱三角形”的研究 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC是“友爱三角形”．
（1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°．则∠A＝ 　　 ，∠B＝ 　　 ；
（2）如图2，在（1）基础上，作△ABC中AB边上的高CD，请判断△ACD和△BCD是不是“友爱三角形”，并说明理由．
【考点】直角三角形的性质；三角形的外角性质．版权所有
【分析】（1）由“友爱三角形”的定义得到∠B∠A，由直角三角形的性质得到∠B+∠A＝90°，即可求出∠A＝60°，∠B＝30°；
（2）由直角三角形的性质得到∠B∠BCD，∠ACD∠A，判定△ACD和△BCD是“友爱三角形”．
【例8】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　）
A．AC＝A'C'，BC＝B'C' B．∠A＝∠A'，AC＝A'C'
C．AB＝A'B'，BC＝B'C' D．∠B＝∠B'，AB＝A'B'
【变式8-1】17．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　）
A．AAS B．HL C．SAS D．ASA
【变式8-2】如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，∠BED＝∠CFA＝90°，且AB＝CD，若要使Rt△ACF≌Rt△DBE，则可以添加条件是 　 　 （请写出一个答案即可）．
【变式8-3】如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD．
【例9】如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　 　
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
【变式9-1】在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．
（1）如图1，求∠BAC的度数；
（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．
【变式9-2】（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
①求证：OE＝BE；
②若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式．
【变式9-3】已知在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α，作△ACD，使得CD＝AC．
（1）如图①，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DCB＝ 　　 （用含α的式子表示）；
（2）如图②，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作CH⊥AD于点H，过点A作AE⊥BC于点E，试说明：CHBC；
（3）若∠ACD与∠BAC相等，则△ABC与△ACD的面积满足什么关系？若∠ACD与∠BAC互补，则上述关系还成立吗？直接写出结论．
【例10】（1）如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，点E是AB边上一点，且∠ACE＝∠AEC，则∠DCE＝ 　　 °；
（2）如图2，若△ABC为一般三角形（AB＞AC），∠ABC＝α，CD平分∠ACB，点E是AB边上一点，且∠ACE＝∠AEC，求∠DCE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）如图3，若△ABC为钝角三角形（∠ABC为钝角，AB＜AC），∠ABC＝α，CD平分∠ACB，点E是AB延长线上一点，且∠ACE＝∠AEC，请问（2）中的结论是否还成立？如果成立请给出证明；如果不成立，请说明理由．
【变式10-1】阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长．
小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图2中，AE＝　　 ，AB＝　　 ；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b．
【变式10-2】如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AM，BN分别是∠CAB与∠ABC的角平分线，且AM，BN相交于点O．
（1）∠AOB的度数为 　　 °．
（2）求点O到AB边的距离及△AON的面积．
（3）如图2，若过点C作CD⊥AB，分别交AM，BN于P，Q两点，垂足为点D，求PQ的长．
1．下列轴对称图形中，只有1条对称轴的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D是CB延长线上一点，且AB＝BD，连接AD，则∠D的度数为（　　）
A．70° B．60° C．35° D．30°
3．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．2
4．有下列六个命题：
（1）如果一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1；
（2）一个数的立方根等于它本身，则这个数是﹣1，0，1；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（4）从直线外一点作这条直线的垂线段，叫作这点到这条直线的距离；
（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（6）垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
其中假命题的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边在三角形外部作正方形，若以AC和BC为边的正方形面积分别为5和3，则以AB为边的正方形面积S的值为 　　 ．
6．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为 　　 ．
7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和高．若∠ACE＝32°，则∠BAD的度数为 　　 ．
8．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　　 ．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝42°，AH，BD分别是△ABC的高和角平分线，点E为BC边上一点，当△BDE为直角三角形时，则∠CDE的度数为 　　 ．
10．如图所示，DH⊥AB于H，AC⊥BD于C，DH与AC相交于点E．
仔细观察图形，回答以下问题：
（1）写出图中所有的直角三角形？　　 ．
（2）直接写出∠AEH和∠B是什么关系？
（3）若∠B＝70°，求∠A和∠CED各是多少度？
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，作AD⊥AB交BC的延长线于点D．
（1）若∠D＝20°，求∠BAC的度数．
（2）求证：∠BAC＝2∠D．
（3）已知∠D＝22.5°，AC，求BC2的值．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是直线BC上一点．
（1）如图1，若AC＝BC＝2，点D是BC边的中点，点M是线段AB上一动点，求△CMD周长的最小值；
（2）如图2，若AC＝4，BC＝8，是否存在点D，使以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出线段CD的长度：若不存在，请说明理由．
1．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APD的度数是（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
2．下列命题：
①如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；
②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
③如果两个有理数相等，那么它们的平方相等；
④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是15，B的面积是12，C的面积是17，则D的面积为（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
4．如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8，CE＝6，则DE的长为（　　）
A．4 B．2.5 C．2 D．1.5
5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的动点，∠AOC＝60°．
（1）当PO＝AO时，AP＝　　 ．
（2）当△PAB是直角三角形时，AP的长为　　 ．
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，F为CD上一点，连结AF交BD于点E，AF⊥AB，已知∠BAG＝∠ABC＝45°，且．
（1）则AB的长是　　 ；
（2）若AE＝2EF，且∠AGD+∠BCD＝180°，则AF＝　　 ．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．若AB＝10，CD＝6，则BC的长为　　 ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AB的中点，连接DE，若BE＝BD，，则DE的长为 　　 ．
9．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AC＝4、CD＝2，则点D到斜边AB的距离为　　 ，3BD2﹣4BD＝　　 ．
10．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的是多少？
（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
（3）假设等腰三角形的腰长为a cm，求a的取值范围．
11．细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题：
（1）推算出OA10的长和S10的值．
（2）用含n（n为正整数）的式子表示上述规律．
（3）求S12+S22+S32+…+S102的值．
12．我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：　　 ．（填“能“或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3＝1．则θ＝　　 度；
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：
若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
13．分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆
（1）若这三个半圆在BC的两侧（如图甲所示），半圆的面积分别为S1，S2，S3 那么：S1、S2、S3之间有什么数量关系？请说明理由．
（2）若这三个半圆在BC的同一侧（如图乙所示）Rt△ABC的面积等于S3，两个“月牙”的面积部分别为S1、S2那么：S1、S2、S3之间有什么数量关系？请说明理由．
14．如图，在△ABC中，AC＞AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系：　　
（3）若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．
15．如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝6，BO＝9．
（1）求BC，AC的长；
（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．
①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．
②设直线DE交直线BC于点F连结OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，则CD的长为 　　 （直接写出结果）．
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第2章 特殊三角形（复习讲义）
课标要求：从生活实例抽象模型，通过推理掌握“等边对等角”“三线合一”等核心性质；
中考命题：基础题占比高，压轴题聚焦动态等腰三角形存在性与等边三角形综合证明；
备考关键：
概念零混淆（腰≠底边、SSA非判定）；
证明严步骤（标注定理+分类讨论）；
作图保规范（尺规作图中半径一致，虚线表延长线）
层级 训练重点 典型例题
基础层 边角计算、轴对称作图 已知AB=AC，∠A=40°，求∠B。
进阶层 三线合一证明、等腰判定 用“等角对等边”证△ABC为等腰三角形。
拓展层 等边三角形与全等综合、动态存在性问题 等边△ABC中，D为AC中点，E在BC延长线上，CE=CD，证△BDE为等腰三角形
知识点 重点归纳 常见易错点
等腰三角形性质 轴对称性：对称轴为顶角平分线所在直线 等边对等角：两底角相等 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高线重合 未分类讨论角的位置（如已知角80°未分顶角/底角） 非等腰三角形误用三线合一
等腰三角形判定 定义法：两腰相等 等角对等边：两底角相等 推论：三角形一边中线和高重合 等腰 误用SSA判定（如两边及一边对角相等） 忽略三角形存在性（如边长3,3,6不成立）
等边三角形性质 三边相等，三角均为60° 四心合一（重心、内心、外心、垂心） 对称性：三条对称轴 混淆重心与垂心位置 求角度时未利用60°特性（如外角=120°）
直角三角形性质 勾股定理：a2+b2=c2（c为斜边） 两锐角互余：∠A+∠B=90° 斜边中线=斜边一半 混淆直角边与斜边（如求第三边时未分类） 误用"HL"于非直角三角形成立
直角三角形判定 定义法：有一个角为90° 勾股逆定理：若a2+b2=c2，则∠C=90° 两角互余：∠A+∠B=90° ∠C=90° 勾股数记忆错误（如认6,8,11是勾股数） 忽略角度互余的隐含条件
HL全等判定 仅用于直角三角形：斜边和一条直角边对应相等 全等 本质是SSA在直角△中的特例 在非直角△中误用HL 未标注"Rt△"直接使用HL
【例1】下列艺术字中，轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，结合图形，找出对称轴即可求解．
【解答】解：根据轴对称图形的定义可得：A有对称轴，是轴对称图形，符合题意；B、C、D没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的识别，理解轴对称图形的定义，结合图形，找出对称轴是关键．
【变式1-1】世界环境日为每年的6月5日，它的确立反映了世界各国人民对环境问题的认识和态度，表达了人类对美好环境的向往和追求．下列有关环境保护的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是找到轴对称图形的对称轴．
【变式1-2】请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式1-3】2024年11月29日，中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”，以下四个如意放样中，不是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A：图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不符合题意；
B：图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不符合题意；
C：图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不符合题意；
D：图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的识别，正确判断是解题关键．
【例2】如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用AB表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题
【分析】由选项D中图可知：作D点关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点N，由对称性可知，DN＝D′N，CN+DN＝CN+D′N≥CD′，据此判断即可．
【解答】解：作D点关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点N，
由对称性可知，DN＝D′N，
∴CN+DN＝CN+D′N≥CD′，
当C、N、D′三点共线时，CN+DN的距离最短，
故C选项符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
【变式2-1】如图，已知∠AOB＝a，C是∠AOB内部的一点，且OC＝5，点D、E分别是OA、OB上的动点，若△CDE周长的最小值等于5，则∠a的值为（　　）
A．45° B．40° C．30° D．35°
【考点】轴对称﹣最短路线问题
【分析】设点C关于OA的对称点为P，关于OB的对称点为F，当点E、F在射线PD上时，△CDE的周长为CD+CE+DE＝PF，此时周长最小，根据OC＝5可求出α的度数．
【解答】解：如图，作点C关于OA的对称点P，关于OB的对称点F，连接PF，交OA于D，OB于E．此时，△CDE的周长最小．
连接OP，OF，CD，EF．
∵点C与点P关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠POA＝∠AOC，PD＝CD，OC＝OP，
同理，可得∠FOB＝∠BOC，EF＝CE，OF＝OC．
∴∠POF＝2α．
又∵△CDE的周长＝CD+DE+EC＝PD+EF+ED＝PD＝5，
∴OP＝OC＝OF＝5，
∴△POF是等边三角形，
∴2α＝60°，
∴α＝30°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．
【变式2-2】昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题
【分析】先作点A关于街道的对称点A′，再连接A′B，与街道的所在直线的交点即为点C，此时AC+CB＝A′C+CB＝A′B，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答．
【解答】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小，
∴先作点A关于街道的对称点A′，再连接A′B，与街道的所在直线的交点即为点C，学校C的位置如图所示：
此时AC+CB＝A′C+CB＝A′B，
故选：C．
【点评】本题考查了最短路径，在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
【变式2-3】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E，F分别是BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】轴对称﹣最短路线问题；三角形的面积
【分析】作点F关于BD的对称点G，连接CG，交BD于E，作CH⊥AB于H，可得出CE+CF＝CG≥CH，进一步得出结果．
【解答】解：作点F关于BD的对称点G，连接CG，交BD于E，作CH⊥AB于H，
∴CE+CF＝CG，
∵BD平分∠ABC，
∴点G在AB上，
∴CG≥CH，
∴CE+EF的最小值为CH的长，
∵，
∴，
∴CH＝6，
∴CE+EF的最小值为：6，
故选A．
【点评】本题考查了轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．
【例3】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中点，∠B＝32°，则∠CAD的度数为（　　）
A．58° B．56° C．54° D．62°
【考点】等腰三角形的性质
【分析】首先根据三角形“三线合一”的性质得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠B＝32°，
∴∠BAD＝90°﹣32°＝58°，
∴∠CAD＝∠BAD＝58°（等量代换），
即∠CAD的度数为58°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式3-1】已知△ABC是等腰三角形，它的两条边的长分别为2cm和5cm，则它的第三边的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．2cm或5cm D．5cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系
【分析】根据等腰三角形的定义及三角形三边关系，确定第三边的可能值．
【解答】解：若腰长为2cm，则第三边长2cm，此时三边为2cm、2cm、5cm，
∵2+2＝4，4＜5，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
若腰长为5cm，则第三边为5cm，此时三边为5cm、5cm、2cm，
∵5+2＝7＞5，满足条件，可构成三角形．
故第三边的长为5cm，
故选：D．
【点评】本题考查三角形三边关系，等腰三角形，熟练掌握以上知识点是关键．
【变式3-2】如图，在△ABC中，点D在BC上，∠DAC＝∠ADC＝2∠B，AC＝3，AD＝2，则BC的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【考点】等腰三角形的判定与性质
【分析】根据∠DAC＝∠ADC得DC＝AC＝3，再根据三角形外角性质及已知条件证明∠B＝∠DAB，则BD＝AD＝2，由此可得出BC的长．
【解答】解：∵∠DAC＝∠ADC，AC＝3，
∴DC＝AC＝3，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB，
又∵∠ADC＝2∠B，
∴2∠B＝∠B+∠DAB，
∴∠B＝∠DAB，
∴BD＝AD＝2，
∴BC＝BD+CD＝2+3＝5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下述结论正确的有（　　）
①BD平分∠ABC；②△BCD的周长等于AB+BC；③AD＝BD＝BC；④点D是线段AC的三等分点．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质
【分析】①根据AB＝AC，∠A＝36°得∠ABC＝∠C＝72°，再根据线段垂直平分线性质得AD＝BD，进而得∠DBA＝∠A＝36°，则∠DBA＝∠DBC＝36°，据此可对结论①进行判断；
②根据AD＝BD得BD+DC＝AC＝AB，进而得△BCD的周长等于BD+DC+BC＝AB+BC，据此可对结论②进行判断；
③根据∠DBA＝∠A＝36°得∠BDC＝72°，则∠BDC＝∠C＝72°，进而得BD＝BC，再根据AD＝BD即可对结论③进行判断；
④假设点D是线段AC的三等分点得AD＝2CD，进而得BD＝BC＝2CD，但是，根据已知条件无法判定BD＝BC＝2CD，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣∠A）＝72°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°，
∴∠DBA＝∠DBC＝36°，
∴BD平分∠ABC，
故结论①正确；
②∵AD＝BD，
∴BD+DC＝AD+DC＝AC，
∴BD+DC＝AB，
∴△BCD的周长等于BD+DC+BC＝AB+BC，
故结论②正确；
③∵∠DBA＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠DBA+∠A＝72°，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴BD＝BC，
又∵AD＝BD，
∴AD＝BD＝BC，
故结论③正确；
④假设点D是线段AC的三等分点，
∵CDAC，
∴AC＝3CD，
∴AD+CD＝3CD，
∴AD＝2CD，
∵AD＝BD＝BC，
∴BD＝BC＝2CD，
根据已知条件无法判定BD＝BC＝2CD，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
【变式3-4】“三等分角”是由古希腊人提出来，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成．两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E在槽中滑动，若∠BDE＝84°，则∠O＝ 　28°　 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质
【分析】由等腰三角形的性质得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，由三角形外角的性质得∠DCE＝2∠O，然后根据即可求解．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠O，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝84°，
∴∠O＝28°．
故答案为：28°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
【例4】用一根长10cm的绳子围成一个等腰三角形，其中腰和底的长度都为整数，则腰长为　3cm或4cm　 ．
【考点】等腰三角形的判定；三角形三边关系
【分析】设腰长为x cm（x为整数），则底长为（10﹣2x）cm，根据“三角形任意两边之和大于第三边”得：x+x＞10﹣2x＞0，求出该不等式组的解集，再取整数即可．
【解答】解：设腰长为x cm（x为整数），则底长为（10﹣2x）cm，
根据题意列不等式得：x+x＞10﹣2x＞0，
整理得，2x＞10﹣2x＞0，
解得，
∵x为整数
∴x＝3或4，
所以腰长为3cm或4cm．
故答案为：3cm或4cm．
【点评】本题考查等腿三角形的判定，三角形三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．
【变式4-1】已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　70°或40°或20°　 ．
【考点】等腰三角形的判定
【分析】分三种情形分别求解即可；
【解答】解：如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．
②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．
③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，
故答案为70°或40°或20°
【点评】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【变式4-2】如图，若∠B＝72°，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中共有 　3　 个等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定
【分析】利用三角形内角和定理，角平分线的定义求出各个角即可判断．
【解答】解：∵∠B＝72°，∠C＝36°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠B＝∠CAB＝72°，
∴CA＝CB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD＝36°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝72°＝∠B，
∴AB＝AD，
∵∠B＝∠CAD＝36°，
∴DA＝DC，
∴△ACB，△ADB，△ADC都是等腰三角形．
故答案为：3．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法．
【变式4-3】如图，已知P是射线ON上一动点，∠AON＝40°，当∠A＝ 　40°或70°或100°　 时，△AOP为等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【分析】分AO＝AP、AO＝OP和OP＝AP三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得∠A的度数．
【解答】解：分三种情况：
①当AO＝AP时，则∠O＝∠APO＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠O﹣∠APO＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
②当OA＝OP时，则∠A＝∠APO（180°﹣40°）＝70°；
③当PO＝PA时，则∠A＝∠AON＝40°，
综上所述，当∠A为40°或70°或100°时，△AOP为等腰三角形，
故答案为：40°或70°或100°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式4-4】如图，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，若△ABC的面积等于10，则△ADC的面积等于　5　 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形的面积
【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADCS△ABC．
【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADCS△ABC10＝5，
故答案为：5
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键．
【例5】下列命题：①若ab＞0，则a、b两数符号相同；②锐角与直角的和一定是钝角；③两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中是真命题的有　①②④　 .（写出所有真命题的序号）
【考点】命题与定理；垂线；平行公理及推论；平行线的性质
【分析】根据有理数的乘法法则，角的和差关系，平行线的判定，平行公理，逐一进行判断即可．
【解答】解：根据有理数的乘法法则，角的和差关系，平行线的判定，平行公理，逐一进行判断如下：
若ab＞0，则a、b两数符号相同，故①是真命题；
锐角与直角的和一定是钝角；故②是真命题；
在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线平行；故③为假命题；
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故④是真命题；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查判断命题的真假，正确记忆相关知识点是解题关键．
【变式5-1】把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：　如果同旁内角互补，那么两直线平行　 ．
【考点】命题与定理
【分析】一个命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．
【解答】解：“两直线平行，同位角相等”的条件是：“同旁内角互补”，结论为：“两直线平行”，
∴写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”，
故答案为：如果同旁内角互补，那么两直线平行．
【点评】本题考查了一个命题写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，难度适中．
【变式5-2】写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题：　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　 ，该逆命题是 　真　 命题（填“真”或“假”）．
【考点】命题与定理
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题，然后根据平行四边形的判定方法判定逆命题的真假即可．
【解答】解：“平行四边形的对边相等”的逆命题是：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，它是真命题．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，真．
【点评】本题考查的是命题的真假判断和逆命题的概念以及平行四边形的判定，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
【变式5-3】写出“对顶角相等”的逆命题　相等的角是对顶角　 ．
【考点】命题与定理
【分析】将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题．
【解答】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；
∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．
【点评】此题主要考查学生对命题及逆命题的理解及运用能力．
【例6】在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则下列等式正确的是（　　）
A．a2＝b2+c2 B．a2＝2c2 C．c2＝2b2 D．b2＝2a2
【考点】勾股定理；三角形内角和定理
【分析】先证明∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，再证明a＝b，a2+b2＝c2，即可得出结论．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，
∴a＝b，a2+b2＝c2，
∴c2＝2b2，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理和三角形内角和定理是解题的关键．
【变式6-1】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知c＝4，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么BC的长是（　　）
A．5 B．6 C． D．
【考点】勾股定理的证明；三角形的面积
【分析】根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以c为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出ab的值，再利用完全平方公式变形即可解答．
【解答】解：已知c＝4，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，
根据题意：c2﹣2ab＝10，c＝4，
则ab＝16﹣10＝6，
∵BC＝a+b，a2+b2＝c2＝16，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝16+12＝28，
∴a+b＝2（负值舍去），即BC＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
【变式6-2】我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6，则正方形EFGH的面积为（　　）
A． B．8 C．20 D．
【考点】勾股定理的证明
【分析】根据勾股定理并结合已知可得出AF+BF＝8，AF2+BF2＝36，根据完全平方公式变形可求出2AF BF＝28，（AF﹣BF）2＝8，即可求解．
【解答】解：已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6，
∴AF+BF＝14﹣6＝8，AF2+BF2＝62＝36，
∴2AF BF＝（AF+BF）2﹣（AF2+BF2）＝82﹣36＝28，
∴（AF﹣BF）2＝AF2+BF2﹣2AF BF＝36﹣28＝8，
∵AF＝BG，EF＝FG，
∴AE＝BF，
∴EF2＝（AF﹣AE）2＝8，
∴正方形EFGH的面积为8，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
【变式6-3】已知Rt△ABC，斜边，面积等于3，则AC+BC＝　5　 ．
【考点】勾股定理
【分析】利用面积公式建立直角边乘积的关系式ab＝6，利用勾股定理建立直角边平方和的关系式a2+b2＝13，再通过完全平方公式将两式结合，求出两直角边的和．
【解答】解：设两条直角边分别为a和b，则ab＝6，，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，
∴a+b＝5（负值已舍去）．
即AC+BC＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查直角三角形的面积公式，勾股定理，以及代数中完全平方公式的应用．熟练掌握以上知识点是关键．
【变式6-4】如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S2＝4，则S1+S3的值为 　8　 ．
【考点】勾股定理的证明
【分析】根据题意，△AEH，△BFE，△CGF，△DHG是4个全等的三角形，设每个的面积为S，由此可得S1﹣4S＝S3+4S＝S2，根据S1+S3＝（S1﹣4S）+（S3+4S）＝4+4＝8，即可求解．
【解答】解：设每个三角形的面积为S，S2＝4，
∴S1﹣4S＝S3+4S＝S2，
∴S1+S3＝（S1﹣4S）+（S3+4S）＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了以赵爽弦图为背景的勾股定理的证明，理解正方形的面积，全等三角形面积相等是解题的关键．
【例7】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将∠B沿CD折叠，点B正好落在边AC上的点E处，如果∠B＝65°，则∠ADE的度数是　40°　 ．
【考点】直角三角形的性质
【分析】根据折叠得到，∠BDC＝∠EDC，再由三角形内角和定理求出∠BDC＝∠EDC＝70°，最后由平角即可求解．
【解答】解：∵折叠，∠ACB＝90°，
∴，∠BDC＝∠EDC，
∵∠B＝65°，
∴∠BDC＝∠EDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDC﹣∠EDC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
即∠ADE的度数为40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
【变式7-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝62°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝　76°　 ．
【考点】直角三角形的性质；平行线的性质
【分析】由折叠的性质得到∠F＝∠A，∠ADE＝∠FDE，由平行线的性质得到∠A＝∠BDF，由∠C＝90°，∠B＝62°，推出∠BDF＝28°，即可求出∠ADE∠ADF＝76°，
由三角形内角和定理求出∠1的度数．
【解答】解：∵△ADE沿DE折叠得△FDE，
∴∠F＝∠A，∠ADE＝∠FDE，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BDF，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠C＝90°，∠B＝62°
∴∠A＝90°﹣∠B＝28°，
∴∠BDF＝28°，
∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝152°，
∴∠ADE∠ADF＝76°，
∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣28°﹣76°＝76°．
故答案为：76°．
【点评】本题考查直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，关键是掌握折叠的性质，直角三角形的性质．
【变式7-2】阅读与思考．
请认真阅读．并完成相应的问题：
“友爱三角形”的研究 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC是“友爱三角形”．
（1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°．则∠A＝ 　60°　 ，∠B＝ 　30°　 ；
（2）如图2，在（1）基础上，作△ABC中AB边上的高CD，请判断△ACD和△BCD是不是“友爱三角形”，并说明理由．
【考点】直角三角形的性质；三角形的外角性质
【分析】（1）由“友爱三角形”的定义得到∠B∠A，由直角三角形的性质得到∠B+∠A＝90°，即可求出∠A＝60°，∠B＝30°；
（2）由直角三角形的性质得到∠B∠BCD，∠ACD∠A，判定△ACD和△BCD是“友爱三角形”．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是“友爱三角形”，∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），
∴∠B∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
故答案为：60°，30°．
（2）如图2，△ACD和△BCD是“友爱三角形”，理由如下：
由（1）知∠B＝30°，∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠B∠BCD，∠ACD∠A，
∴△ACD和△BCD是“友爱三角形”．
【点评】本题考查直角三角形的性质，关键是掌握“友爱三角形”的定义，直角三角形的两锐角互余．
【例8】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　）
A．AC＝A'C'，BC＝B'C' B．∠A＝∠A'，AC＝A'C'
C．AB＝A'B'，BC＝B'C' D．∠B＝∠B'，AB＝A'B'
【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的判定
【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可判断．
【解答】解：A、应用SAS判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，不能应用HL判定两个三角形全等，故A不符合题意；
B、应用ASA判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，不能应用HL判定两个三角形全等，故B不符合题意；
C、应用HL判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，故C符合题意；
D、应用AAS判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，不能应用HL判定两个三角形全等，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：HL．
【变式8-1】17．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　）
A．AAS B．HL C．SAS D．ASA
【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的判定
【分析】由直角三角形全等的判定方法“HL”，即可判断．
【解答】证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠BEC＝∠BFC＝90°，
在Rt△BCF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL），
∴Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是HL．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：HL．
【变式8-2】如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，∠BED＝∠CFA＝90°，且AB＝CD，若要使Rt△ACF≌Rt△DBE，则可以添加条件是 　CF＝BE（答案不唯一）　 （请写出一个答案即可）．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】先根据AC＝DB，然后根据“HL”添加条件即可．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝DB，
∵∠BED＝∠CFA＝90°，
∴当添加CF＝BE或AF＝DE时，Rt△ACF≌Rt△DBE（HL）．
故答案为：CF＝BE（答案不唯一）．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
【变式8-3】如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据题意利用HL判定Rt△ABE≌Rt△BCD即可得到本题答案．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD，
∴∠AEB＝∠BDC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△BCD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）．
【点评】本题考查全等三角形判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
【例9】如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　角平分线上的点到角的两边距离相等　
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；
（2）作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，证明△DEA≌△DFC，根据全等三角形的性质证明；
（3）在BC时截取BK＝BD，连接DK，根据（2）的结论得到AD＝DK，根据等腰三角形的判定定理得到KD＝KC，结合图形证明．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
在△DEA和△DFC中，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA＝DC；
（3）如图，在BC上截取BK＝BD，连接DK，
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，
由（2）的结论得AD＝DK，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∴AD＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式9-1】在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．
（1）如图1，求∠BAC的度数；
（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】（1）设∠ABD＝x°，由条件结合等腰三角形的性质可证明∠A＝x°，在△ABC中由三角形内角和定理列出方程可求得x，可求得∠A；
（2）证明EF是AB的垂直平分线，得AF＝BF，再根据等腰三角形的性质利用线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）解：设∠ABD＝x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x°，
又∵BD＝AD，
∴∠A＝x°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∴BD＝BC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
∴∠A＝36°，
∴∠BAC的度数为36°；
（2）∵E是AB的中点，BD＝AD，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FBA＝∠FAB＝72°，
∴∠AFB＝∠FAC＝36°，
∴CA＝CF，
∴AB＝AC＝CF，
∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
【变式9-2】（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
①求证：OE＝BE；
②若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【分析】（1）①由等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据三角形的周长公式即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE；
②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；
（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∴∠FAP＝∠PAC，
∴∠FAC＝2∠PAC，
∵∠FAC+∠BAC＝180°，
∴2∠PAC+∠BAC＝180°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式9-3】已知在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α，作△ACD，使得CD＝AC．
（1）如图①，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DCB＝ 　　 （用含α的式子表示）；
（2）如图②，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作CH⊥AD于点H，过点A作AE⊥BC于点E，试说明：CHBC；
（3）若∠ACD与∠BAC相等，则△ABC与△ACD的面积满足什么关系？若∠ACD与∠BAC互补，则上述关系还成立吗？直接写出结论．
【考点】等腰三角形的性质；列代数式；余角和补角
【分析】（1）由等腰三角形的性质，两角互余的概念，即可求解；
（2）作AE⊥BC于E，由两角互补的概念，可以证明△ACH≌△ACE（AAS），即可解决问题；
（3）若∠ACD与∠BAC相等，则△ABC与△ACD的面积相等．作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，证明△ANB≌△CMD（AAS），得到BN＝DM，根据等底等高得出两三角形面积相等；若∠ACD与∠BAC互补，则△ABC与△ACD的面积相等，成立．作CF⊥AB于F，DG⊥AC交AC延长线于G，证明△CGD≌△AFC（AAS），得到DG＝CF，根据等底等高得出两三角形面积相等．
【解答】（1）解：由条件可知，
∵∠ACD与∠BAC互余，
∴∠ACD＝90°﹣α，
∴，
故答案为：；
（2）证明：作AE⊥BC于E，
由条件可知，，，∠AEC＝90°，
∴，∠EAC+∠ACE＝90°，
∵∠ACD与∠BAC互补，
∴，
∴∠ACE＝∠ACH，
∵∠AHC＝∠AEC＝90°，AC＝AC，
∴△ACH≌△ACE（AAS），
∴；
（3）解：若∠ACD与∠BAC相等，则△ABC与△ACD的面积相等．理由如下：
如图1，作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，
则∠ANB＝∠CMD＝90°，
∵AB＝AC，CD＝AC，
∴AB＝CD，
∵∠BAC＝∠ACD，
∴△ANB≌△CMD（AAS），
∴BN＝DM，
∴S△ABC＝S△ACD；
若∠ACD与∠BAC互补，则△ABC与△ACD的面积相等，成立．理由如下：
如图2，作CF⊥AB于F，DG⊥AC交AC延长线于G，
则∠DGC＝∠AFC＝90°，
由条件可知∠DCG＝∠BAC，
∵CD＝AC，
∴△CGD≌△AFC（AAS），
∴DG＝CF
∵AB＝AC，CD＝AC，
∴AB＝CD，
∴S△ABC＝S△ACD．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，互余，互补的概念，关键是通过辅助线构造全等三角形．
【例10】（1）如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，点E是AB边上一点，且∠ACE＝∠AEC，则∠DCE＝ 　30　 °；
（2）如图2，若△ABC为一般三角形（AB＞AC），∠ABC＝α，CD平分∠ACB，点E是AB边上一点，且∠ACE＝∠AEC，求∠DCE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）如图3，若△ABC为钝角三角形（∠ABC为钝角，AB＜AC），∠ABC＝α，CD平分∠ACB，点E是AB延长线上一点，且∠ACE＝∠AEC，请问（2）中的结论是否还成立？如果成立请给出证明；如果不成立，请说明理由．
【考点】直角三角形的性质；列代数式；角的计算
【分析】（1）如图1，∠ACE＝∠AEC，可得，由内角和可求∠B＝60°，根据外角定理求∠ECB＝∠DEC﹣∠B＝15°，于是∠DCE＝∠DCB﹣∠ECB＝30°；
（2）如图，由∠ACE＝∠AEC，得，由外角定理，，于是；
（3）如图，由∠ACE＝∠AEC，得，由外角定理得，所以．
【解答】解：（1）如图1，
∵∠ACE＝∠AEC，
∴，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠DEC＝∠B+∠ECB，
∴∠ECB＝∠DEC﹣∠B＝75°﹣60°＝15°，
∴．
故答案为：30；
（2）如图，∵∠ACE＝∠AEC，
∴，
∵∠AEC＝∠ECB+∠B，
∴，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴；
（3）如图，∵∠ACE＝∠AEC，
∴，
∵∠ABC＝∠ECB+∠BEC，
∴，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴．
【点评】本题考查角的计算，列代数式，直角三角形 性质，确定角之间的数量有关系是解题的关键．
【变式10-1】阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长．
小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图2中，AE＝　9　 ，AB＝　12　 ；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b．
【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质
【分析】（1）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，根据垂直平分线的性质得到AB＝BD，∠A＝∠D，根据题意、三角形内角和定理得到∠CBD＝∠A，根据勾股定理计算即可；
（2）仿照（1）的作法解答．
【解答】解：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，
则BE是AD的垂直平分线，
∴AB＝BD，∠A＝∠D，
∵3∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝2∠A，
∵∠BCA＝∠D+∠CBD，
∴∠BCA＝∠A+∠CBD＝2∠A，
∴∠CBD＝∠A，
∴DC＝BC＝8，
∴AD＝DC+AC＝8+10＝18，
∴AE＝AD＝9，
∴EC＝AD﹣CD＝9﹣8＝1．
∴在直角△BCE和直角△AEB中，
由勾股定理得到：BC2﹣CE2＝AB2﹣AE2，即82﹣12＝AB2﹣92，
解得，AB＝12，
故答案为：9；12；
（2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，
则BE是边AD的垂直平分线，
∴AB＝BD，∠A＝∠D．
∵3∠A+2∠B＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴2∠A+∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠D+∠DBC，
∴2∠A+∠ABC＝∠D+∠DBC，
∵∠A＝∠D，
∴∠A+∠ABC＝∠DBC，BD＝AB＝c，即∠DCB＝∠DBC，
∴DB＝DC＝c，
由题意得，DE＝AE，
∴EC＝AE﹣ACb，
在Rt△BEC中，BE2＝BC2﹣EC2，
在Rt△BEA中，BE2＝BA2﹣EA2，
∴BC2﹣EC2＝BA2﹣EA2，即a2﹣（）2＝c2﹣（）2，
整理得，b．
【点评】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【变式10-2】如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AM，BN分别是∠CAB与∠ABC的角平分线，且AM，BN相交于点O．
（1）∠AOB的度数为 　135　 °．
（2）求点O到AB边的距离及△AON的面积．
（3）如图2，若过点C作CD⊥AB，分别交AM，BN于P，Q两点，垂足为点D，求PQ的长．
【考点】勾股定理；角平分线的性质
【分析】（1）根据角平分线定义得到角之间的关系，再利用三角形内角和定理求出∠AOB的度数；
（2）作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，OI⊥AB于I，连接OC，先根据面积关系求出点O到AB边的距离；作NJ⊥AB于J，再根据面积比求出NA，从而得到△AON的面积；
（3）先根据面积法求出CD，根据勾股定理求出AD，再证明出CN＝CQ，并求出CN，CQ，过P作PR⊥AC于R，根据面积法求出PD，进而得到PQ的长度．
【解答】解：（1）∵OA，OB分别平分∠BAC，∠ABC，
∴∠OAB∠BAC，∠OBA∠ABC，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠OAB+∠OBA∠BAC∠ABC（∠BAC+∠ABC）90°＝45°，
在△AOB中，
∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣45°＝135°．
故答案为：135；
（2）作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，OI⊥AB于I，连接OC．
∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，
∴OG＝OI，OH＝OI，
设OG＝OI＝OH＝x，
在Rt△ABC中，
∵AC＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理，得，
∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB，
∴，
即．
解得x＝1，
∴O到AB的距离为1；
如图，作NJ⊥AB于J．
∵BN平分∠ABC，NJ⊥AB，NC⊥BC，
∴NJ＝NC，
∴，同时，
∴，即．
又∵NC+NA＝AC＝3，
∴，即，
解得．
∵O到AB的距离为1，
∴S△AONNA×11．
（3）∵CD⊥AB，
∴，
∴．
在RtACD中，
根据勾股定理，得．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠CAD＝∠DCB，
∵∠CQN＝∠DCB+∠NBC，∠CNQ＝∠CAB+∠ABN，且∠ABN＝∠NBC，
∴∠CQN＝∠CNQ，
∴CN＝CQ，
由（2）知，，，
∴．
如图，过P作PR⊥AC于R．
∵PD⊥AB，AP平分∠BAC，
∴PR＝PD，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
解得．
∴．
【点评】本题主要利用角平分线的性质、三角形内角和定理、勾股定理以及三角形面积公式等知识求解．掌握相关图形的性质和面积法是解题的关键．
1．下列轴对称图形中，只有1条对称轴的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形；轴对称的性质
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．
【解答】解：A有3条对称轴，不符合题意，
B有6条对称轴，不符合题意，
C有1条对称轴，符合题意，
D有5条对称轴，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称图形及其性质，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D是CB延长线上一点，且AB＝BD，连接AD，则∠D的度数为（　　）
A．70° B．60° C．35° D．30°
【考点】等腰三角形的性质
【分析】由等腰三角形的性质推出∠ABC＝∠C＝70°，∠D＝∠BAD，由三角形的外角性质得到∠D∠ABC＝35°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣40°）＝70°，
∵AB＝BD，
∴∠D＝∠BAD，
∵∠D+∠BAD＝∠ABC，
∴∠D∠ABC＝35°．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．
3．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．2
【考点】勾股定理
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝12，
∴π×（）2π×（）2AC×BCπ×（）2＝12，
∴AC×BC＝24，
AB2．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
4．有下列六个命题：
（1）如果一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1；
（2）一个数的立方根等于它本身，则这个数是﹣1，0，1；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（4）从直线外一点作这条直线的垂线段，叫作这点到这条直线的距离；
（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（6）垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
其中假命题的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】命题与定理；算术平方根；立方根；对顶角、邻补角；垂线；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论；平行线的性质；作图—复杂作图
【分析】根据学过的相关性质和定理等知识进行逐项判断即可．
【解答】解：（1）如果一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是0和1，原命题是假命题，符合题意；
（2）一个数的立方根等于它本身，则这个数是﹣1，0，1，原命题是真命题，不符合题意；
（3）在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，符合题意；
（4）从直线外一点作这条直线的垂线段，垂线段的长度叫作这点到这条直线的距离，原命题是假命题，符合题意；
（5）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，符合题意；
（6）在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题，符合题意．
故假命题的个数为5个．
故选：D．
【点评】此题考查了真假命题的判断，掌握相应的定义是关键．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边在三角形外部作正方形，若以AC和BC为边的正方形面积分别为5和3，则以AB为边的正方形面积S的值为 　8　 ．
【考点】勾股定理
【分析】由勾股定理结合正方形的面积可得出结果．
【解答】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，
以AB为边的正方形面积S的值为AC2+BC2＝5+3＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟记勾股定理是解题的关键．
6．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为 　17　 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系
【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和高．若∠ACE＝32°，则∠BAD的度数为 　29°　 ．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】由直角三角形的性质求出∠CAE＝58°，由等腰三角形的性质推出∠BAD∠BAC＝29°．
【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣32°＝58°，
∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC＝29°．
故答案为：29°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质．
8．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　5　 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题
【分析】根据AD是∠BAC的平分线确定出点B关于AD的对称点B′在AC上，根据垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，利用三角形的面积求出BE，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得B′N＝BE，从而得解．
【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，
∴点B关于AD的对称点B′在AC上，
过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，
过点B作BE⊥AC于E，
∵AC＝10，S△ABC＝25，
∴10 BE＝25，
解得BE＝5，
∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，
∴AB＝AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，
∴B′N＝BE＝5，
即BM+MN的最小值是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形两腰上的高相等的性质，熟练掌握各性质并准确确定出点M的位置是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝42°，AH，BD分别是△ABC的高和角平分线，点E为BC边上一点，当△BDE为直角三角形时，则∠CDE的度数为 　48°或24°　 ．
【考点】直角三角形的性质．版权所有
【分析】当∠BED＝90°时，由三角形的外角性质得到∠CDE＝48°；当∠BDE＝90°时，由直角三角形的性质求出∠ABC＝48°，由角平分线定义求出∠CBD∠ABC＝24°，由三角形内角和定理求出∠BDC＝114°，即可得到∠CDE＝24°，于是得到答案．
【解答】解：当∠BED＝90°时，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝90°﹣42°＝48°；
当∠BDE＝90°时，
∵∠BAC＝90°，∠C＝42°时，
∠ABC＝90°﹣42°＝48°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD∠ABC＝24°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝114°，
∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝＝24°，
∴当△BDE为直角三角形时，∠CDE的度数为48°或24°．
故答案为：48°或24°．
【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线定义，关键是要分两种情况讨论．
10．如图所示，DH⊥AB于H，AC⊥BD于C，DH与AC相交于点E．
仔细观察图形，回答以下问题：
（1）写出图中所有的直角三角形？　△AHE、△ACB、△DCE、△DHB　 ．
（2）直接写出∠AEH和∠B是什么关系？
（3）若∠B＝70°，求∠A和∠CED各是多少度？
【考点】直角三角形的性质
【分析】（1）根据垂直的定义、直角三角形的概念解答；
（2）根据同角的余角相等得出结论；
（3）根据直角三角形两锐角互余、对顶角相等解答．
【解答】解：（1）∵DH⊥AB，AC⊥BD，
∴△AHE、△ACB、△DCE、△DHB为直角三角形，
故答案为：△AHE、△ACB、△DCE、△DHB；
（2）∠AEH＝∠B，理由如下：
∵DH⊥AB，
∴∠AEH+∠A＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠B+∠A＝90°，
∴∠AEH＝∠B；
（3）∵∠B＝70°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AEH＝∠B＝70°，
∴∠CED＝∠AEH＝70°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，作AD⊥AB交BC的延长线于点D．
（1）若∠D＝20°，求∠BAC的度数．
（2）求证：∠BAC＝2∠D．
（3）已知∠D＝22.5°，AC，求BC2的值．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质
【分析】（1）根据题意先求出∠B的度数，再根据AB＝AC得出∠ACB＝∠B，据此可解决问题．
（2）根据题意，得出∠BAC与∠B的关系及∠D与∠B的关系，据此可解决问题．
（3）过点C作AB的垂线，垂足为M，根据∠D度数，得出∠BAC的度数，再根据等腰三角形的性质及勾股定理及解决问题．
【解答】（1）解：∵AD⊥AB，
∴∠B+∠D＝90°．
∵∠D＝20°，
∴∠B＝90°﹣20°＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°．
（2）证明：∵AD⊥AB，
∴∠B+∠D＝90°．，
即∠B＝90°﹣∠D．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠BAC＝180°﹣2∠B，
即∠B＝90°∠BAC，
∴90°﹣∠D＝90°∠BAC，
∴∠BAC＝2∠D．
（3）解：过点C作AB的垂线，垂足为M，
∵∠D＝22.5°，
∴∠BAC＝2×22.5°＝45°，
∴△AMC是等腰直角三角形．
∵AC，
∴AM＝MC＝1．
∵AB＝AC，
∴BM．
在Rt△BCM中，
BC2＝BM2+MC2＝（）2+12＝4．
【点评】本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，熟知勾股定理及等腰三角形的性质是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是直线BC上一点．
（1）如图1，若AC＝BC＝2，点D是BC边的中点，点M是线段AB上一动点，求△CMD周长的最小值；
（2）如图2，若AC＝4，BC＝8，是否存在点D，使以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出线段CD的长度：若不存在，请说明理由．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等腰三角形的判定；勾股定理
【分析】（1）作C关于AB的对称点E，连接DE交AB于M，此时，△CMD周长的值最小，连接BE，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB4，当AD1＝AB时，△AD1B的等腰三角形，当BD2＝AB＝4时，△AD2B的等腰三角形，当AD3＝D3B时，△AD3B的等腰三角形，当BD4＝AB＝4时，△AD4B的等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）作C关于AB的对称点E，连接DE交AB于M，
此时，△CMD周长的值最小，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝45°，
连接BE，
∴BC＝BE＝2，
∴△CBE是等腰直角三角形，
∴DE，
∴△CMD周长的最小值＝1；
（2）存在，
∵AC＝4，BC＝8，
∴AB4，
当AD1＝AB时，△AD1B的等腰三角形，
∵AC⊥BC，
∴CD1＝BC＝8；
当BD2＝AB＝4时，△AD2B的等腰三角形，
∴CD2＝48；
当AD3＝D3B时，△AD3B的等腰三角形，
∴BD3＝8﹣CD3，
∴AC2+CDBD，
∴42+CD（8﹣CD3）2，
解得：CD2＝3，
当BD4＝AB＝4时，△AD4B的等腰三角形，
∴CD4＝8+4，
综上所述，以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，线段CD的长度为8或48或3或8+4．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
1．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APD的度数是（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【考点】轴对称﹣最短路线问题；角平分线的性质
【分析】在BC上截取BE＝BQ，连接PE，证明△PBQ≌△PBE（SAS），得出PE＝PQ，说明AP+PQ＝AP+PE，找出当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点P，根据三角形内角和求出结果即可．
【解答】解：在BC上截取BE＝BQ，连接PE，如图1：
∵BD平分∠ABC，
∴40°，
∴△PBQ≌△PBE（SAS），
∴PE＝PQ，
∴AP+PQ＝AP+PE，
∴当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点P，如图2：
∵∠AEB＝90°，∠ABE＝80°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝10°，
∴∠APD＝∠ABP+∠BAP＝10°+40°＝50°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是找出使AP+PE最小时点P的位置．
2．下列命题：
①如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；
②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
③如果两个有理数相等，那么它们的平方相等；
④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】命题与定理；直角三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质
【分析】根据乘法、全等三角形的性质、有理数的乘方、线段垂直平分线的判定分别进行判断即可．
【解答】解：根据真假命题的定义逐项分析判断如下：
①原命题的逆命题是：如果a＝0，b＝0，那么ab＝0，故逆命题是真命题；
②原命题的逆命题是：如果两个直角三角形全等，那么两个锐角分别相等，故逆命题是真命题；
③原命题的逆命题是：如果两个有理数平方相等，那么它们相等，故逆命题是假命题；
④原命题的逆命题是：到这条线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，故逆命题是真命题．
正确的是①②④，
故选：B．
【点评】此题考查了真假命题的判断．熟练掌握该知识点是关键．
3．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是15，B的面积是12，C的面积是17，则D的面积为（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
【考点】勾股定理
【分析】由题意根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．
【解答】解：如图标记图中三个正方形分别为P、Q、M．
根据勾股定理得到：C与D的面积的和是Q的面积；A与B的面积的和是P的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．
即A、B、C、D的面积之和为M的面积．
∵M的面积是82＝64（cm2），
∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，
∴15+12+17+x＝64，
∴x＝20，即D的面积为20cm2．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用．观察并能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
4．如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8，CE＝6，则DE的长为（　　）
A．4 B．2.5 C．2 D．1.5
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，且DF∥BC，可得∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，根据等角对等边得出BD＝FD＝8，EF＝CE＝6，根据DE＝DF﹣EF即可求得．
【解答】解：由角平分线定义可知∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD＝8，EF＝CE＝6，
∴DE＝DF﹣EF＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．
5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的动点，∠AOC＝60°．
（1）当PO＝AO时，AP＝　或1　 ．
（2）当△PAB是直角三角形时，AP的长为　或或1　 ．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质
【分析】（1）根据题意证明△BOP为等边三角形，进而可得AP；
（2）分三种情况讨论：①当∠APB＝90°，点P在CO的延长线上时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO＝BO，易得△BOP为等边三角形，得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；②当∠ABP＝90°，点P在CO的延长线上时，由对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOP＝60°，易得∠BPO＝30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；③当∠APB＝90°，点P在CO上时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
【解答】解：（1）如图1.1，当PO＝AO时，
∵AO＝BO，
∴PO＝BO，
∴∠APB＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠BOP＝60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB＝BC＝2，
∴BPAB＝1，
∴APBP；
如图1.2，当PO＝AO时，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP＝AOAB＝1，
故答案为：或1；
（2）由（1）知：当∠APB＝90°时，AP；
如图2，当∠ABP＝90°时，
∵∠AOC＝∠BOP＝60°，
∴∠BPO＝30°，
∴BPOB，
在直角三角形ABP中，
AP；
如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，
∴PO＝AO，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP＝AO＝1，
综上所述：当△PAB是直角三角形时，AP的长为或或1．
故答案为：或或1．
【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，运用分类讨论，数形结合思想是解答此题的关键．
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，F为CD上一点，连结AF交BD于点E，AF⊥AB，已知∠BAG＝∠ABC＝45°，且．
（1）则AB的长是　10　 ；
（2）若AE＝2EF，且∠AGD+∠BCD＝180°，则AF＝　6　 ．
【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【分析】（1）延长AF交BC的延长线于点H，易得△ABH是等腰直角三角形，可证△ABG≌△HAC（SAS），所以BH＝BC+AG＝10，即可得解；
（2）由条件易证△AGE≌△HCF（ASA），得到FH＝AE＝2x，所以AH＝5x＝10，即可求解．
【解答】解：（1）延长AF交BC的延长线于点H，
∵AF⊥AB，
∴∠BAH＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴∠AHB＝45°＝∠BAG，AH＝AB，
∵AC⊥BD，
∴∠CAH＝∠ABG＝90°﹣∠AEG，
在△ABG和△HAC中，
，
∵△ABG≌△HAC（SAS），
∴CH＝AG，
∵，
∴BC+CH＝BH＝10，
在Rt△ABH中，AB2+AH2＝BH2，
即2AB2＝200，
∴AB＝10；
故答案为：10；
（2）∵∠AGD+∠BCD＝180°，∠FCH+∠BCD＝180°，
∴∠AGD＝∠FCH，
∵∠BAG＝90°，
∴∠EAG＝90°＝∠FHC，
在△AGE和△HCF中，
，
∴△AGE≌△HCF（ASA），
∴FH＝AE，
设EF＝x，则FH＝AE＝2x，
∴AH＝AE+EF+FH＝5x＝10，
解得：x＝2，
∴AF＝AE+EF＝3x＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．若AB＝10，CD＝6，则BC的长为　2　 ．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质
【分析】设BD＝x，则AD＝10﹣x，在Rt△ACD中根据勾股定理求出x的值，再在Rt△BCD中根据勾股定理即可得出BC的长．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，AB＝10，CD＝6，
∴AC＝AB＝10．
设BD＝x，则AD＝10﹣x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC2＝CD2+AD2，即102＝62+（10﹣x）2，
解得x＝2．
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，即BC2＝62+22＝40，
解得：BC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AB的中点，连接DE，若BE＝BD，，则DE的长为 　　 ．
【考点】勾股定理；角平分线的性质
【分析】过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到DC＝DF，再根据已知条件得AE＝BE＝BD，然后设AE＝BE＝BD＝x，CD＝DF＝y，接下来根据等面积可知，可表示AC，再根据勾股定理求出y，即可求出x，可得DF，BE，BD，然后根据勾股定理求出BF，进而得出EF，最后根据勾股定理求出DE．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于F，如图所示：
∵AD平分∠BAC，∠C＝∠AFD＝90°，
∴DC＝DF．
∵点E是AB的中点，且BE＝BD，
∴AE＝BE＝BD．
设AE＝BE＝BD＝x，CD＝DF＝y，
∵，
∴，
即，
∴AC＝2y．
根据勾股定理，得AD2＝AC2+CD2，且，
∴，
解得，
∴，，
根据勾股定理，得，
解得，
则，，
根据勾股定理，得，
∴，
根据勾股定理DE．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AC＝4、CD＝2，则点D到斜边AB的距离为　2　 ，3BD2﹣4BD＝　20　 ．
【考点】勾股定理；角平分线的性质
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等来求解即可；设BD＝x，再根据勾股定理列出等式，进行变形即可求解．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∵CD＝2，
∴DE＝2，
即点D到斜边AB的距离为2，
故答案为：2；
（2）设BD＝x，
在Rt△BDE中，
∵DE＝2，
∴根据勾股定理，得，
∵CD＝2，
∴BC＝BD+CD＝x+2，
∵AB＝AE+BE，AE＝AC＝4，，
∴，
在Rt△ABC中，
∵AC＝4，
∴根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，
即．
整理，得16+x2+4x+4，
化简，得，
两边同时除以8，得，
两边平方，得，
展开，得，
整理，得得3x2﹣4x﹣20＝0．
∴3BD2﹣4BD＝3x2﹣4x＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查角平分线的性质，勾股定理，二次根式的运算，掌握相关性质，能够灵活进行二次根式的运算是解题的关键．
10．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的是多少？
（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
（3）假设等腰三角形的腰长为a cm，求a的取值范围．
【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形三边关系
【分析】（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
（3）根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解：（1）设底边长为x cm，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为2x cm，
∴2x+2x+x＝18，解得，xcm，
∴2x＝2cm，
∴各边长为：cm，cm，cm．
（2）①当4cm为底时，腰长7cm；
②当4cm为腰时，底边＝18﹣4﹣4＝10cm，
∵4+4＜10，
∴不能构成三角形，故舍去；
∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．
（3）根据三角形的三边关系可得a的取值范围为：a＜9．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
11．细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题：
（1）推算出OA10的长和S10的值．
（2）用含n（n为正整数）的式子表示上述规律．
（3）求S12+S22+S32+…+S102的值．
【考点】勾股定理
【分析】（1）根据规律写出OA102，再根据算术平方根的定义解答；
（2）根据题中给出的得数即可得出结论；
（3）根据分析写出算式，然后利用求和公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵OA22＝（）2+1＝2，
OA32＝12+（）2＝3，
OA42＝12+（）2＝4，
…，
∴OA102＝10，
∴OA10；
∵S1，S2，S3，…，
∴S10；
（2）由（1）可知，OAn，Sn；
（3）S12+S22+S23+…+S210
（1+2+3+…+10）
．
【点评】本题考查了算术平方根，勾股定理，根据数字的变化规律，观察出被开方数的变化规律是解题的关键．
12．我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：　能　 ．（填“能“或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3＝1．则θ＝　22.5　 度；
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：
若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】（1）本题需先根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去．
（2）利用等腰直角三角形的性质求解即可．
（3）本题需先根据已知条件，列出不等式，解出θ的取值范围，即可得出正确答案．
【解答】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去；
（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3＝45°，
∴∠AA2A1+∠θ＝45°，
∵∠AA2A1＝∠θ，
∴∠θ＝22.5°；
（3）∵A4A3＝A4A5，
∴∠A4A3A5＝∠A4A5A3＝4θ°，
∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，
∴6θ≥90°，5θ＜90°，
∴15°≤θ＜18°．
故答案为：能；22.5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．
13．分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆
（1）若这三个半圆在BC的两侧（如图甲所示），半圆的面积分别为S1，S2，S3 那么：S1、S2、S3之间有什么数量关系？请说明理由．
（2）若这三个半圆在BC的同一侧（如图乙所示）Rt△ABC的面积等于S3，两个“月牙”的面积部分别为S1、S2那么：S1、S2、S3之间有什么数量关系？请说明理由．
【考点】勾股定理
【分析】（1）S1+S2＝S3，理由为：根据圆的面积公式表示出S1、S2、S3，利用勾股定理列出关系式，整理即可得证；
（2）S1+S2＝S3，同理可证．
【解答】解：（1）S1+S2＝S3，理由为：
由题意得：S1π（）2πc2，S2π（）2πb2，S3π（）2πa2，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，即b2+c2＝a2，
∴πc2πb2πa2，
则S1+S2＝S3；
（2）S1+S2＝S3，同（1）可证．
【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14．如图，在△ABC中，AC＞AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系：　∠ABC﹣∠ACB＝2∠ADE　
（3）若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一即可证明．
（2）结论：∠ABC﹣∠ACB＝2∠ADE．如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．
（3）如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先证明△DBN≌△DCM，推出∠BDN＝∠CDM，推出∠CDB＝∠MDN，由∠CAB+∠MDN＝180°，推出∠CDB+∠CAB＝180°，
利用（2）的结论求出∠ABC，∠CAB即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵DB＝DC，DE⊥BC，
∴CE＝BE（三线合一）．
（2）解：结论：∠ABC﹣∠ACB＝2∠ADE．
理由：如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．
∵∠BAN＝∠MAN，∠BAN+∠ABN＝90°，∠MAN+∠AMN＝90°，
∴∠ABN＝∠AMN，
∵∠DOE＝∠BON，∠DEO＝∠BNO＝90°，
∴∠EDA＝∠CBM，
∴∠ABC﹣∠ACB＝∠ABM+∠CBM﹣∠ACB＝∠AMB+∠CBM﹣∠ACB＝∠MCB+∠CBM+∠CBM﹣∠ACB＝2∠CBN＝2∠EDA．
故答案为∠ABC﹣∠ACB＝2∠ADE
（3）解：如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．
∵∠DAN＝∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM＝DN，
在Rt△DBN和Rt△DCM中，
，
∴△DBN≌△DCM，
∴∠BDN＝∠CDM，
∴∠CDB＝∠MDN，
∵∠CAB+∠MDN＝180°，
∴∠CDB+∠CAB＝180°，
∵∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，∠ABC﹣∠ACB＝2∠ADE
∴∠ABC＝80°，
∴∠CAB＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∴∠CDB＝120°，
∴∠EDB＝∠EDC＝60°，
∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝30°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝6，BO＝9．
（1）求BC，AC的长；
（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．
①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．
②设直线DE交直线BC于点F连结OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，则CD的长为 　4或12　 （直接写出结果）．
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质
【分析】（1）根据BA＝BC可得BC的长，分别根据勾股定理可得OC和AC的长；
（2）①分两种情况：AO＝OE和AO＝AE时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；
②分两种情况：
i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得 ，可得BF＝5，证明△BDF是等腰三角形，得BD＝BF＝5，最后利用勾股定理可得结论；
ii）当D在线段OB的延长线上时，过B作BG⊥DE于G，同i）计算可得结论．
【解答】解：（1）∵AO＝6，BO＝9，
∴AB＝15，
∵BA＝BC，
∴BC＝15，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
由勾股定理得：CO12，
AC6；
（2）①分两种情况：
i）当AO＝OE＝6时，过O作ON⊥AC于N，如图1所示：
∴AN＝EN，
∵DE⊥AC，
∴ON∥DE，
∴ON是△ADE的中位线，
∴OE＝AO＝6；
ii）当AO＝AE＝6时，如图2所示：
在△CAO和△DAE中，
，
∴△CAO≌△DAE（ASA），
∴AD＝AC＝6，
∴OD＝AD﹣AO＝66；
综上所述，OD的长为6或66；
②分两种情况：
i）当D在线段OB上时，过B作BG⊥EF于G，如图3所示：
∵S△OBF：S△OCF＝1：4，
∴，
∴，
∵CB＝15，
∴BF＝5，
∵EF⊥AC，
∴BG∥AC，
∴∠GBF＝∠ACB，
∵AE∥BG，
∴∠A＝∠DBG，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
∴∠DBG＝∠GBF，
∵BG⊥DF，
∴△BDF是等腰三角形，
∴BD＝BF＝5，
∴OD＝OB﹣BD＝9﹣5＝4，
∴CD4；
ii）当D在线段OB的延长线上时，过B作BG⊥DE于G，如图4所示：
同理得：，
∵BC＝15，
∴BF＝3，
同理得：△BDF是等腰三角形，
∴BD＝BF＝3，
∴OD＝BO+BD＝9+3＝12，
Rt△COD中，CD12；
综上所述，CD的长为4或12，
故答案为：4或12．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明△BDF是等腰三角形是解题的关键．
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