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——— 第二章 ———实　　数
本章教材分析
本章将学习无理数、实数、平方根、立方根等概念，进行实数的运算，并利用实数的有关知识解决实际问题．在学习过程中，你将经历相关活动过程，发展抽象概括等能力，增强独立思考与合作交流意识．理解估算意义，发展数感和估算能力．掌握相关概念，能进行运算和化简，发展运算能力．运用实数运算解决实际问题，提高应用意识和解决问题能力．
1　认识实数
第1课时　无理数的发现
备课素材
一、新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情境导入】
老师：同学们，我们学过不计其数的数，概括起来我们在小学阶段以及七年级阶段都学过哪些数呢？
学生：在小学我们学过自然数、小数、分数、负数．
学生：在七年级我们还学过有理数．
老师：对，我们在小学学了自然数、小数、分数、负数，在七年级我们把数从小学学过的正数、零、负数扩充到了有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题．
二、数学文化拓展阅读
无理数的发现
毕达哥拉斯学派是以古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约前580—约前500)为代表人物的一个学派．毕达哥拉斯学派发现了无理数，这是数学史上的一件大事，它导致了第一次数学危机．
毕达哥拉斯学派有一个信条——“万物皆数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”．也就是一切现象都可以用有理数去描述．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯(Hippasus)发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示．这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌．据说，希帕索斯为此被投入了大海，他为发现真理而献出了宝贵的生命．但真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希帕索斯的发现，并进一步给出了证明．
假设边长为1的正方形的对角线的长可写成两个整数 p，q的比(p，q互质)，于是有()2＝2，p2＝2q2.
因此，p2是偶数，p是偶数．
于是可设p＝2m，那么p2＝4m2＝2q2，q2＝2m2.
这就是说，q2是偶数，q也是偶数，这与“p，q是互质的两个整数”的假设矛盾．
从无理数的发现可以看出，无理数并不“无理”，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映．
教学设计
课题 第1课时　无理数的发现 授课人
素养目标 1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性． 2．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想． 3．理解无理数的概念，能判断一个数是否为无理数.
续表
教学重点 1.无理数的探索过程． 2．了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.
教学难点 1.无理数概念的建立． 2．会判断一个数是无理数还是有理数，理解有理数与无理数的本质区别.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.有理数的概念是什么？ 2．有理数的分类有哪些？ 让学生回忆并回答，为本节课的学习提供迁移或类比方法.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 A→A→B跑，谁先到达终点B呢？ 通过学生熟悉的故事引起学生的关注和兴趣，同时也为新课的展开做铺垫.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 师：今天的龟兔赛跑故事谁会取胜？ 学生计算之后得出结论． 师：它们各用多长时间？ 生：龟用50分，兔用32分． 师：如果我们将BC＝400米改成200米结果会怎样？ 学生先自己计算，再小组讨论，但求不出结果． 师：为什么算不出呢？我们如果设 AB＝m，m2＝130，你能求出m吗？它是整数吗？它是分数吗？它是有理数吗？ 学生讨论之后排除整数，因为整数的平方没有等于130的；也排除分数，因为分数的平方是分数，既不是整数也不是分数，因此它不是有理数． 师：以上的例子说明我们学习的有理数已经不够用了，在日常生活中不能用有理数表示的现象还有很多，现在让我们动手体验一下吧！ 活动1：学生拿出课前准备的两个边长均为1的正方形彩纸(颜色不同)，把两个正方形剪拼成一个大正方形，认真讨论之后，动手剪一剪、拼一拼，设法得到一个面积为2的正方形并展示． 1.通过类比思想，由特殊到一般，循序渐进地进行探究，激发学生对数学的学习兴趣.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 教师用大屏幕将学生剪拼的正方形展示给全班同学并提问： (1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ (2)a可能是整数吗？说说你的理由． (3)a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流． 学生因为有了前面的经验，很快得出a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数． 活动2：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ (1)如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由． (2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索． 师生活动：先让学生分组讨论并整理过程，教师最后用课件呈现探索过程如下：
边长a面积S1　　还可以继续算下去吗？a 可能是有限小数吗？
事实上，a＝1.414 213 56…它是一个无限不循环小数.
师生共同总结：事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数.
无限不循环小数称为无理数． 2.引导学生通过动手拼图、观察、计算、思考、交流，感受无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数，即无理数.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　(教材第27页例)下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，－，0.，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
解：3.14，－，0.是有理数；
0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)是无理数.
【变式训练】
已知半径为1的圆.
(1)它的周长l是有理数还是无理数？说说你的理由；
(2)估计l的值(结果精确到十分位)；
(3)如果结果精确到百分位呢？
解：(1)它的周长l＝2π是无理数，理由如下：2π是无限不循环小数.
(2)结果精确到十分位，2π≈6.3.
(3)结果精确到百分位，2π≈6.28.
师生活动：学生先思考，教师作适当引导，最后呈现结果． 通过教学让学生对无理数有更深刻的认识.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列说法正确的是(B) A．有理数只是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D.是分数 2．在，3.141 592 6，0.707 007 000 7…(相邻两个7之间0的个数逐次加1)，0.6，π中，无理数有(B) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．把下列各数填在相应的大括号内： ，－|－3|，－ ，0，，－3.，1.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)． 整数{－|－3|，0…}； 分数{－，，－3. …}； 无理数{，1.101 001 000 1 …(相邻两个1之间0的个数逐次加1)…}． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，进一步让学生巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第30页习题2.1第1，2，3，4，5，6题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 第1课时　无理数的发现 1．有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数． 2．无限不循环小数称为无理数． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在本节课的教学过程中，通过拼图、计算等活动，学生较好地参与到课堂中来，对无理数的产生有了直观的感受，大部分学生能够理解无理数的概念，并能初步判断一个数是否为无理数．但在教学中也发现一些问题，如部分学生在利用勾股定理进行计算时不够熟练，影响了探究活动的进度；在讲解无理数的概念时，对于无限不循环小数的理解，部分学生仍存在困难，需要在后续教学中通过更多实例进一步强化．此外，在时间把控上，可更加紧凑一些，给学生更多的时间进行课堂练习和交流讨论．在今后的教学中，要注重对学生基础知识的巩固，加强对学生思维能力的培养，提高课堂教学的效率和质量． 反思，更进一步提升.
第2课时　实数
备课素材
新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【复习导入】
问题1：什么是有理数？有理数怎样分类？
问题2：什么是无理数？
教学设计
课题 第2课时　实数 授课人
素养目标 1.理解实数的概念，明晰实数与有理数、无理数的关系，能精准对实数进行分类． 2．熟知在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，并能熟练运用． 3．理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用． 4．掌握实数与数轴上的点一一对应的关系.
教学重点 1.实数的概念、分类及性质． 2．理解实数与数轴的点一一对应的关系． 3．理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内的应用.
教学难点 1.理解实数与数轴的点一一对应的关系． 2．理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内的应用.
授课类型 新授课 课时
教学设计
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 提问： 什么是有理数？什么是无理数？举例说明． 复习回顾旧知识，为新课的引入做铺垫.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 如下图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′对应的数是多少？ 学生活动：小组合作探究． 教师总结：从图中可以看出OO′的长是这个圆的周长，则点O′对应的数是π. 我们知道数轴上的点与有理数不是一一对应的．而π是无理数，因此，数轴上的点除了可以用有理数表示，还可以用无理数表示，那么这些数是否也像有理数一样具有相反数、倒数和绝对值呢？ 接下来我们一起来学习结合有理数与无理数的新数种——实数． 生动形象的实际情境，能唤起学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，对比有理数的相关性质，激发学生对无理数、实数相关知识的求知欲.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．实数的概念和分类 活动1：教师随机将写有下面数的卡片发给学生，两名队长分别举着写着“有理数”和“无理数”的牌子，请学生快速找自己的组织．其余同学观察有无站错队伍的“卧底”． 3．14，－，0.，0，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)． 教师总结：这些数被分成了两个不同的群体，这两个组织有一个共同的名字——实数，从而引出实数的概念． 实数的定义：____________和____________统称为实数． 与有理数一样，实数也有正、负之分． 活动2：学生根据队长手中的“正数”“负数”牌，重新确认自己的身份，找到自己应去的新组织(手持0的同学无法找到自己的组织)．把上面各数分别填入下面相应的集合内： 知识整理：无理数和有理数一样，也有正负之分． 总结：从实数的概念也可以进行如下分类： 实数 从符号考虑，实数可以分为： 实数 2．实数的相关概念 想一想：a是一个有理数，它的相反数是____________，它的绝对值是____________，当a≠0时，它的倒数是____________．若a是一个实数呢？ 教师引导学生共同总结：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． 教师继续提问：回忆有理数的加减乘除运算，大胆猜想一下在实数范围内能否进行运算？ 教师总结：有理数的运算及运算律对实数仍然适用． 在实数运算中，当遇到无理数且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度，用相应的近似有限小数代替无理数进行计算．例如，求无理数a＝1.414 213 56…与π＝3.141 592 65…的和(结果保留小数点后两位)，可直接舍去a和π小数点后第三位以后的数字，得a≈1.414，π≈3.141，因此a＋π≈1.414＋3.141＝4.555≈4.56. 1.通过活动方式，不仅对有理数和无理数进行回顾，更激起学生学习的兴趣．再次通过活动让学生感知不同的分类标准，结果会发生变化，从而感受到实数的两种分类方法． 2．学生根据有理数的学习经验，尝试着完成，通过小组交流互动，明确答案的合理性，体会类比思想方法.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　3.实数与数轴上点的关系 面积为2的正方形的边长是a，面积为5的正方形的边长是b. (1)如图，OA＝OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数？ (2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？ (3)如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？ 师生活动：学生先观察图形，分小组合作探究，教师适时引导． 师生共同解决以上问题：(1)根据勾股定理，得OB2＝12＋12＝2，又因为a2＝2，所以点A对应的数是a. (2)如图所示，在数轴上2个单位长度处作垂线段，使垂线段长度为1，连接OB，则根据勾股定理OB2＝5，以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴与点A，则OA＝OB，所以数轴上点A对应的数就是b. (3)如果将所有有理数都标在数轴上，数轴上未被填满，在数轴上还可以表示无理数． 归纳：事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的． 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大． 3.观察说出运算律，让学生再次体验类比思想，同时培养学生大胆猜想的意识．也为下节课的学习埋下伏笔，激起学生的求知欲和好奇心． 4．从分类导入，类比有理数，逐步涉及实数的相反数、倒数、绝对值、数轴以及相关运算等知识点，使学生在对比熟悉的有理数相关知识中，较易于掌握实数的相关知识点.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　把下列数填入相应的横线上． ，0.，－，3，0.123 456 798 101 112 13…(小数部分由相继的正整数组成)． (1)整数：3； (2)分数：0.，－； (3)有理数：0.，－，3； (4)无理数：，0.123__456__798__101__112__13…(小数部分由相继的正整数组成)； (5)实数：，0.，－，3，0.123__456__798__101__112__13…(小数部分由相继的正整数组成)． 例2　如图，已知一个实数a在数轴上对应的位置为点A，则下列说法错误的是(C) A．a的相反数是－a B．a的倒数是 C．a的绝对值是a D．a的绝对值是－a
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【变式训练】 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(B) A．a>－1 B．b>－a C．a＋b<0 D．ab>0 师生活动：学生先思考，教师作适当引导，最后呈现结果． 对知识进行巩固练习，加深学生对知识的理解，以便教师及时了解学生对本节内容的掌握情况.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断下列说法是否正确： (1)无理数就是无限小数； (2)绝对值最小的实数是0； (3)数轴上的每一个点都表示一个有理数． 解：(1)正确．(2)正确．(3)不正确． 2．实数－2的倒数是－，的相反数是－，3.14－π的绝对值是π－3.14． 3．结合数轴，回答下列问题： (1)有没有最小的正整数？有没有最小的整数？ (2)有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？ (3)有没有最小的正实数？有没有最小的实数？ 解：(1)有最小的正整数，没有最小的整数． (2)没有最小的有理数，没有最小的无理数． (3)没有最小的正实数，没有最小的实数． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，进一步让学生巩固新知，及时检测学生的学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第28页随堂练习第1，2，3题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 第2课时　实数 1．实数的概念及其分类． 2．实数的相关概念． 3．实数与数轴上的点一一对应的关系． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在本节课的教学过程中，通过多种教学方法的运用，学生对实数的概念、分类及相关性质有了较好的理解．在今后的教学中，要更加注重学生的思维引导，培养学生自主探究和解决问题的能力，通过多样化的练习和拓展活动，提升学生对数学知识的应用能力和创新思维． 反思，更进一步提升.
2　平方根与立方根
第1课时　算术平方根
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【复习导入】
上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道了有理数和无理数的区别：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．上一节课我们解决了这样一个问题：有两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大正方形，那么有a2＝2，2是有理数，而a是无理数．那么该怎样表示a呢？在前面我们学过：若x2＝a，则a叫x的平方，反过来，x叫a的什么呢？本节课我们一起来学习．
教学设计
课题 第1课时　算术平方根 授课人
素养目标 1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根． 2．经历探索算术平方根的过程，能求某些非负数的算术平方根． 3．深入理解算术平方根的性质，尤其是其非负性.
教学重点 1.掌握求一个非负数算术平方根的方法，并能准确运用． 2．理解算术平方根的非负性，并能在实际问题中灵活运用.
教学难点 熟练运用算术平方根的性质解决实际问题，尤其是在解决一些需要转化和分析的问题时，能准确运用性质进行推理和计算.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 回答下列问题： (1)什么叫无理数？ (2)你知道无理数的几种常见形式吗？ 让学生回忆并回答，为本节课的学习提供迁移或类比方法.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 学校要举行美术作品比赛，小明想裁出一块面积为2平方分米的正方形画布，画上自己的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 通过实际问题的引入，激发学生求知欲，为本节课的学习做好知识的预备，并让学生体会知识之间的联系.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．(1)结合图形完成填空： x2＝2，y2＝3，z2＝4，w2＝5． (2)x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？ 师生活动：学生根据图形共同回答问题，教师进一步引出算术平方根的概念． 2．算术平方根的概念 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”． 特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即＝0. 问题1：你能根据92＝81说出81的算术平方根是什么吗？记作什么？根据102＝100，你知道100的算术平方根是什么吗？记作什么？ 问题2：你能根据x2＝7(x>0)说出7的算术平方根是什么吗？记作什么？在y2＝11(y>0)中，y所表示的数又是什么呢？ 那【课堂引入】中，正方形的画布长应为多少呢？ 师生活动：学生分组讨论后找代表说出答案，教师根据学生的回答情况及时了解学生对算术平方根的掌握概况，对学生疑问之处及时处理． 1.引导学生形成算术平方根的概念，让学生非常熟练地进行平方和算术平方根之间的互化并体会它们之间的互逆关系． 2．要求学生能正确掌握算术平方根的文字说明及符号的表达．能熟练地求出非负数的算术平方根.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(教材第31页例1)求下列各数的算术平方根： (1) 900；　 (2) 1；　(3) ；　(4) 14. 解：(1)因为302＝900，所以900的算术平方根是30，即＝30. (2)因为12＝1，所以1的算术平方根是1，即＝1. (3)因为()2＝，所以 的算术平方根是， 即＝. (4)14的算术平方根是. 例2　 (教材第32页例2)由静止自由下落的物体下落的距离s(单位：m)与下落时间t(单位：s)之间的关系为s＝4.9t2.有一个铁球从19.6 m高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：将s＝19.6代入公式s＝4.9t2，得t2＝4，所以t＝＝2. 因此，铁球到达地面需要2 s. 【变式训练】 1．计算： (1)＝30，＝30，＝5，＝5． (2)()2＝30，()2＝5． (3)当a≥0时，＝a，()2＝a；当a<0时，＝－a． 2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝2，求BC的长． 解：由勾股定理，得BC2＝AB2＋AC2＝52＋22＝29. 所以BC＝. 师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨． 1.安排学生体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示． 2．借助实例让学生感受算术平方根的实际应用.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.5的算术平方根为(A) A. B．25 C．±25 D．± 2．一个数的算术平方根是，这个数是(C) A. B. C. D．不能确定 3．要切一块面积为0.81 m2的正方形钢板，它的边长是0.9m. 4．计算：＝2，＝2，()2＝2． 5．求下列各数的算术平方根： (1)144；　(2)；　(3)104. 解：(1)12.(2).(3)100. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 让学生加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第32页随堂练习第1，2，3题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 第1课时　算术平方根 1．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”． 特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即＝0. 2．当a≥0时，＝a，()2＝a；当a<0时，＝－a. 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在本节课的教学过程中，通过创设实际问题情境，成功激发了学生的学习兴趣，让学生在解决问题的过程中自然地引出了算术平方根的概念．在讲解概念和性质时，结合了大量的实例，帮助学生理解，但部分学生在应用算术平方根的性质解决问题时，仍存在理解困难的问题，需要在后续的练习中加强指导．课堂练习环节，学生对基础的求算术平方根的题目掌握较好，但对于提高练习中的综合题目，部分学生思路不够清晰，反映出学生在知识的综合运用能力上还有待提高．在今后的教学中，要更加注重引导学生分析问题，培养学生的逻辑思维和综合运用知识的能力，同时增加一些拓展性的练习，满足不同层次学生的需求． 反思，更进一步提升.
第2课时　平方根
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【复习导入】
(1)什么叫作算术平方根？怎样表示？
(2)9的算术平方根是3，17的算术平方根是．
(3)我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？
(4)什么叫乘方？什么叫幂？
(5)填空：①32＝9，(－3)2＝9;__②(0.8)2＝0.64，(－0.8)2＝0.64．
(6)平方等于9的数有几个？平方等于0.64的数有几个？
教学设计
课题 第2课时　平方根 授课人
素养目标 1.理解平方根的概念，明晰其与算术平方根的区别与联系，会用根号表示一个数的平方根． 2．掌握开平方运算，能熟练运用平方与开平方的互逆关系求某些非负数的平方根． 3．通过对平方根概念的探究，培养学生的逆向思维能力和逻辑推理能力.
教学重点 1.平方根和开平方的概念． 2．理解开方与乘方是互逆运算，能利用此关系求非负数的平方根． 3．明确平方根与算术平方根的区别和联系.
教学难点 1.平方根与算术平方根的区别与联系，学生容易混淆这两个概念． 2．理解负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因，这与学生以往的运算经验不符.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.什么叫算术平方根？ (1)36的算术平方根是6． (2)展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长为7米． 2．已知正方形ABCD面积为1，则边长为1．若面积变为原来的2倍，则它的边长为；若面积变为原来的3倍，则边长为． 让学生回忆并回答，为本节课的学习提供迁移或类比方法.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 小明在做题时，不小心把算术平方根写成了平方根，他认为少写两个字没关系，你认为他的看法正确吗？ 复习旧知，铺垫新知，由小明的看法，激发学生的探究欲望.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．想一想 ①9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9.还有其他的数，它的平方也是9吗？②平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？ 师生活动：教师提出问题，学生分组讨论并回答． 2．平方根的概念 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫作a的平方根(也叫作二次方根)． 例如：(±4)2＝16，则＋4和－4都是16的平方根，即16的平方根是±4. 议一议： 回答下列问题： (1)100的平方根是什么？　(2)0的平方根是什么？ (3)的平方根是什么？ (4)－1的平方根是什么？ 教师课件呈现问题，学生共同回答，对于第(4)问，着重强调负数没有平方根．教师根据学生回答的情况进一步提出下列问题： (1)一个正数有几个平方根？ (2)0有几个平方根？ (3)负数呢？ 师生共同归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根，另一个是－，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作±，读作“正、负根号a”． 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方．其中a叫作被开方数． 通过学生的自主学习及回答问题，引导学生形成“平方根”的概念，并让学生熟练地进行平方和平方根之间的互化，教师应关注学生能否准确地用语言表达平方根的概念，以此培养学生自学、观察、分析及归纳总结的能力.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(教材第33页例3)求下列各数的平方根： (1)64；　(2)；　(3)0.000 4；　(4)(－25)2；　(5)11. 解：(1)因为(±8)2＝64.所以64的平方根是±8，即±＝±8. (2)因为(±)2＝，所以的平方根是±，即±＝±. (3)因为(±0.02)2＝0.000 4，所以0.000 4的平方根是±0.02，即±＝±0.02. (4)因为(±25)2＝(－25)2，所以(－25)2的平方根是±25，即±＝±25. (5)11的平方根是±. 例2　(教材第33页例4)求下列各式的值： (1)；(2)－；(3). 解：(1)＝＝15.(2)－＝－＝－. (3)＝8. 通过学习，使学生深刻理解概念，灵活应用概念解决问题，提高学生分析问题和灵活解题的能力.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.9的平方根是(A) A．±3 B．± C．3 D．－3 2．如果a，b分别是16的两个平方根，那么ab＝－16． 3．若25x2＝16，则x的值为±． 4．求下列各数的平方根： (1)196；　(2)10－4；　(3)；　(4)1. 解：(1)±14.(2)±10－2.(3)±.(4)±. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 让学生加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础题为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第37～38页习题2.2第2，4，5，6题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 第2课时　平方根 1．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 2．正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根，另一个是－，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作±，读作“正、负根号a”． 3．开平方. 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在本节课的教学过程中，通过复习算术平方根引入平方根的概念，让学生能够较好地理解两者之间的联系与区别．在讲解平方根的性质和例题时，注重引导学生思考和讨论，培养了学生的思维能力和合作精神．但在教学过程中，发现部分学生对平方根与算术平方根的表示法容易混淆，在今后的教学中应加强这方面的练习．同时，对于负数没有平方根这一概念，部分学生理解起来还有困难，需要进一步通过实例进行解释说明． 反思，更进一步提升.
第3课时　立方根
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【置疑导入】
去年夏天天气特别干燥，我们小区定时供水，我们家用棱长为1 m的正方体水箱存满水，可供全家一天使用．请你帮老师算一算，我们家一天需要多少水呢？如果停水8天，我们家该储存多少水呢？应该准备多大的正方体水箱呢？假如停水27天呢？
【复习导入】
问题：(1)若一个正方形的面积为a，则这个正方形的边长为；
(2)若一个正方体的体积为a，则这个正方体的棱长为多少？
教学设计
课题 第3课时　立方根 授课人
素养目标 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根． 2．能用立方根运算求某些数的立方根． 3．在学方根的基础上，学生经历用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想． 4．通过对立方根性质的探究，在探究中培养学生的逆向思维能力和分类讨论的意识.
教学重点 立方根的概念及运算.
教学难点 立方根与平方根的区别.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　提问： (1)如何用符号表示数a(a≥0)的平方根？ (2)正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根是什么？ (3)平方和开平方运算有何关系？ (4)算术平方根和平方根有何区别和联系？ 强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0. 让学生回顾平方根的相关内容，为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫．因为平方根和立方根有很多相似之处，所以要让学生学会利用类比的方法学习.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 如图，一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成．假如要制作一个体积为216 cm3的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少？ 学生思考后回答． 从生活中的事物入手，激起学生的求知欲，从而为新课的引入作铺垫.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．立方根的概念 计算：(3)3＝27；(5)3＝125；(10)3＝1 000；(0)3＝0；(－3)3＝－27. 学生做完后回答，并尝试在平方根基础上叙述立方根的概念． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫作a的立方根(也叫作三次方根)． 2．做一做 (1)2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8 (2)－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27 (3)0的立方等于多少？ 教师点名学生回答问题，并继续提问： 一个正数有几个立方根？是正是负？为什么？是否任何负数都有立方根？若有，有几个？是正是负？0的立方根是什么？ 学生小组讨论交流得出结论，教师板书总结： 每个数a都有一个立方根，记作，读作“三次根号a”．例如：当x3＝7时，x是7的立方根，记作x＝；2是8的立方根，记作＝2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数． 求一个数a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数． 1.为概念的引入做准备并渗透从特殊到一般的规律． 2．渗透学生的类比思想和提升学生的语言表达能力． 3．巩固学生对概念的理解，通过合作交流，提升学生自主探索知识的能力.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(教材第35页例5)求下列各数的立方根： (1)－27；　　(2)；　　(3)0.216；　　(4)－5. 解：(1)因为(－3)3＝－27，所以－27的立方根是－3，即＝－3. (2)因为()3＝，所以的立方根是，即＝. (3)因为0.63＝0.216，所以0.216的立方根是0.6，即＝0.6. (4)－5的立方根是. 例2　(教材第35页例6)求下列各式的值： (1)；　(2)；　(3)－；　(4)()3. 解：(1)＝＝－2.　　(2)＝＝0.4. (3)－＝－＝－.　　(4)()3＝9. 请同学们思考下面问题，小组之间可以讨论一下(课件显示)． 表示a的立方根，那么()3等于什么？呢？ 归纳得出结论： ()3＝a，＝a. 【变式训练】 1．若＝2，则x＝7． 2．一个正方形的边长变为原来的3倍，则面积变为原来的9倍； 一个立方体的体积变为原来的8倍，则棱长变为原来的2倍． 师生活动：给予学生一定的时间去思考，让学生先独立解决问题，对学习有困难的学生适当引导、点拨． 1.通过练习进行反馈，及时进行纠错． 2．进一步理解立方根的概念，深化所学内容，发展学生抽象思维能力和归纳总结能力.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.64的立方根是(A) A．4 B．±4 C．8 D．±8 2．化简：＝(C) A．±2 B．－2 C．2 D．2 3．下列说法中正确的是(D) A．－4没有立方根 B．1的立方根是±1 C.的立方根是 D．－5的立方根是 4．一个数的平方等于64，则这个数的立方根是±2． 5．求下列各式的值： (1)；(2)－；(3)；(4)()3. 解：(1)－4.(2)－0.6.(3)－3.(4)－1. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第38～40页习题2.2第3，7，13，19题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 第3课时　立方根 1．立方根的概念． 2．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数． 3．求一个数a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数. 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在本节课的教学过程中，通过类比平方根的知识引导学生学习立方根，大部分学生能够较好地理解和掌握立方根的概念、性质及计算方法．在小组讨论和练习环节，学生积极参与，效果较好．但仍有部分学生在立方根与平方根的区别上容易混淆，特别是在符号表示和性质的应用方面．在今后的教学中，应加强对比练习，通过更多的实例和针对性练习帮助学生加深理解，同时进一步关注个体差异，对学习困难的学生给予更多的指导和帮助． 反思，更进一步提升.
第4课时　估算及用计算器开方
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情境导入】
自从“第一次数学危机”，即古希腊人希帕索斯发现了无理数以来，人们对无理数的探究就从来没有停止过，而比较两个无理数的大小和对无理数的估算，则是其中重要内容之一．无理数是无限不循环小数，所以无法写出某个无理数，人们想到了用符号准确地表示一个无理数，如π，等，但这给它们的大小比较和估算带来了一定的困难．那么，究竟如何估算无理数，如何比较两个无理数的大小呢？这节课我们就来研究它们．
教学设计
课题 第4课时　估算及用计算器开方 授课人
素养目标 1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小． 2．掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感． 3．会用计算器求平方根和立方根． 4．会根据实际问题用计算器求平方根和立方根.
教学重点 1.理解估算的意义． 2．会用计算器求平方根和立方根.
教学难点 掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2. (1)公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？ (2)如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流． (3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，你能估计它的半径吗？(结果精确到1 m) 从生活中的问题入手，引起学生的兴趣，同时也为新课的开展做铺垫.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．针对【课堂引入】的问题继续解答． 学生活动：小组交流合作． 师生合作探究：假设宽为x m，列出方程，估算宽的值． 用1 000代入x，可知其值与已知面积是否差距太大，是否属于一个数量级．尝试计算一些数的平方数来估算出结果． 教师总结：设长方形的宽为x m，则得x·2x＝400 000，即x2＝200 000. 所以公园的宽x是200 000的算术平方根． 下面我们开始估算，请同学们分组讨论后回答． (1)当x＝1 000时x2＝1 000 000，显然200 000小于1 000 000，因此宽不可能是1 000 m.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　(2)由于4002＝160 000，而5002＝250 000，所以估计x的值是400多．观察160 000，200 000与250 000，估计x为440，取4402＝193 600，而4502＝202 500，所以要求结果精确到10 m时，它的宽估计大约是450 m. (3)设半径为r m，则有πr2＝800，因为152π≈707，162π≈804，所以在要求精确到1米时，估计它的半径约为16 m. 2．(1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流． ①≈0.066；②≈96；③≈60.4. (2)你能估计的大小吗(结果精确到1) (3)宽与长之比为的长方形称为“黄金矩形”．你能比较与的大小吗？你是怎么想的？ 学生活动：先独立完成，再小组合作交流结果． 师生合作探究：≈0.066，说明了0.066的平方是0.43，估计下0.066的平方可能是多少？它与0.43是同一个数量级别吗？ 教师总结：(1)①因为0.652＝0.422 5，0.662＝0.435 6，而0.43大于0.422 5小于0.435 6，所以应大于0.65小于0.66，所以估算错误．②因为10的立方是1 000.而900小于1 000，所以900的立方根应比1 000的立方根小，所以错误．③因为60的平方是3 600，而2 536小于3 600，所以应比60小，所以估算错误． (2)因为93＝729，9.53＝857.375，9.63＝884.736，9.73＝912.673，又因为884.736<900<912.673，所以<<，即9.6<<9.7.所以≈10. (3)与的分母相同，只要比较它们的分子就可以了．因为>2，所以－1>1，因此>. 3．(1)观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值(结果精确到0.000 1)：①；②. (2)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加，你发现了什么？用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律． 学生操作后，在小组内讨论形成结果，再进行全班交流，教师对于学生的总结进行完善． 师生活动：学生在阅读了各自的计算器使用说明书后，找到关于开方运算的说明，并在计算器上尝试操作，再在小组中交流成功或失败的经验，教师巡堂及时帮学生解决问题，便于学生更快更好地掌握使用计算器进行开方运算的方法． 由易到难，从不同数量级别估算结果，到精确到小数数位的估算，再到比较大小．让学生在实际问题中体验估算，使学生逐步掌握估算的方法，培养他们的数感以及估算能力.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　(教材第36页例7)生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗？ 解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的.根据勾股定理，有 x2＋(×6)2＝62， 即x2＝32，x＝. 因为5.62＝31.36＜32，所以＞5.6. 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头． 【变式训练】 1．估计的值在(C) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．比较下列各组数大小： (1)和3; (2)－与4. 解：(1)∵3＝， ∴>3. (2)∵4＝－， ∴－<4. 3．利用计算器，求下列各式的值(结果精确到0.000 01)： (1)；　(2)；　(3)；　(4). 解：(1)≈28.284 27.　　　(2)≈1.638 64. (3)≈0.761 58. (4)≈－0.755 95. 师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨． 1.通过练习进行反馈，及时进行纠错． 2．进一步理解估算的概念，深化所学内容，发展学生抽象思维能力和归纳总结能力.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.估算下列数的大小： (1)(结果精确到0.1)；　(2)(结果精确到1)． 解：(1)因为3.6＜＜3.7，所以≈3.6或3.7. (2)因为9＜＜10，所以≈9或10. 2．通过估算，比较下列各组数的大小： (1)与；　　(2)与3.85. 解：(1)因为＜2，所以－1＜1，即＜. (2)因为3.852＝14.822 5，15＞14.822 5，所以＞3.85. 3．用计算器求下列各式的近似值(结果精确到0.01)： (1)；(2)－；(3)；(4). 解：(1)1.90.(2)－0.94.(3)－0.93.(4)6.90. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到让学生学有所成，了解课堂学习效果的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第38页习题2.2第8，9，10，11题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 第4课时　估算及用计算器开方 1．无理数的估算． 2．无理数的大小比较． 3．学习用计算器进行开方运算． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在教学过程中，大部分学生能够熟练地使用计算器进行开方运算，并积极参与到数学规律的探索活动中，同时要关注学生对估算方法的理解和掌握程度，及时给予指导和反馈．对于学生在练习中出现的问题，要进行详细分析和讲解，帮助学生克服困难．同时，要进一步加强与实际生活的联系，让学生更好地体会估算的应用价值，提高学生学习数学的兴趣和积极性． 反思，更进一步提升.
3　二次根式
第1课时　二次根式的乘除运算
备课素材
新课导入设计
【复习导入】
前面我们学习了勾股定理和平方根等内容，请利用所学知识回答下列问题(多媒体出示问题)：
(1)11的算术平方根是多少？
(2)面积为a(a>0)的正方形的边长是多少？
(3)直角三角形的两条直角边的长度分别是1和2，则斜边的长度是多少？
(4)上述式子有什么共同特征？
教学设计
课题 第1课时　二次根式的乘除运算 授课人
素养目标 1.理解二次根式的概念，能准确识别二次根式． 2．理解并掌握二次根式的乘法法则·＝(a≥0，b≥0)和除法法则＝(a≥0，b>0)，并能运用法则进行二次根式的乘除运算． 3．通过对二次根式乘除法则的探究，培养学生从特殊到一般的归纳总结能力和逻辑推理能力． 4．在二次根式运算的学习过程中，体会类比思想，将二次根式的运算与整式的运算进行类比，提高学生知识迁移的能力.
教学重点 1.二次根式的概念． 2．二次根式的乘除法则及其应用，能够正确运用法则进行二次根式的乘除运算.
教学难点 理解二次根式乘除法则的推导过程，以及法则中字母的取值范围的限制.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.如果x2＝a，那么x叫作a的____________； 2．一个正数a有____________个平方根，其中正数a的正的平方根，叫作a的____________，如：9的平方根是____________，算术平方根是____________； 3．()2＝____________(a≥0)． 回顾旧知，温故知新.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 观察下列代数式： ，，，，(其中b＝24，c＝25)，上述式子有什么共同特征？ 学生回答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数． 以学生熟悉的代数式引发思考，并为新课的引入做铺垫.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．二次根式的概念 教师针对【课堂引入】的问题，总结二次根式的概念：一般地，形如(a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数．强调条件：a≥0，≥0，也就是说二次根式具有双重非负性． 2．二次根式的乘法法则和除法法则 计算下列各式，你能得到什么猜想？ ×＝____________，＝____________； ＝____________，＝____________. ×＝4×5＝20，＝＝20，所以×＝. ＝，＝，所以＝. 我们可以得到二次根式的乘法法则和除法法则： ·＝(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b＞0)． 1.让学生挖掘新知识和旧知识之间的区别与联系． 2．学生通过观察、分析、归纳、概括出二次根式乘法法则与除法法则的公式，并用语言表述，有利于提升学生的表述能力.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(教材第42页例1)计算： (1)×；　　(2). 解：(1)×＝＝＝2. (2)＝＝＝＝3. 例2　(教材第42页例2)计算： (1)3×2；　　　　　　(2)×－5；　　　　　(3)(＋1)2； (4)(＋3)(－3); (5)(－)×； (6). 解：(1)3×2＝3×2×＝6. (2)×－5＝－5＝－5＝6－5＝1. (3)(＋1)2＝()2＋2＋12＝5＋2＋1＝6＋2. (4)(＋3)(－3)＝()2－32＝13－9＝4. (5)(－)×＝×－×＝－＝6－1＝5. (6)＝＋＝＋＝2＋3＝5.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】 计算： (1)2×(－3)．　　　　　　(2)×－2. 解：原式＝2×(－3)×× ＝－6. 解：原式＝－2 ＝－2 ＝5－2 ＝3. (3)(2－)2. (4)(＋)×. 解：原式＝4－4＋3 ＝7－4. 解：原式＝×＋× ＝＋ ＝3＋2 ＝5. (5). 解：原式＝－ ＝－ ＝4－. 1.让学生逐步掌握运算技能，加深对二次根式乘除法的计算． 2．掌握有关运算律和公式地运用(如交换律、结合律、乘法对加法的分配律、乘法公式等).
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.计算×的结果是(B) A. B. C．3 D．5 2．计算的结果是3． 3．计算(＋)(－)的结果等于3． 4．计算： (1)；　　　　　(2)××； (3)(＋); (4)(＋1)2. 解：(1)原式＝. (2)原式＝＝30. (3)原式＝＋. (4)原式＝()2＋2＋12＝4＋2.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 5.下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 　(＋)2－(－)2 ＝()2＋()2－()2＋()2…第一步 ＝6＋5－6＋5…第二步 ＝10.…第三步 任务一：填空：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是完全平方公式用错； 任务二：请写出正确的计算过程． 解：原式＝()2＋2＋()2－()2＋2－()2 ＝6＋2＋5－6＋2－5 ＝4. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到让学生学有所成，了解课堂学习效果的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第42页随堂练习第1题；教材第46页习题2.3第1题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 第1课时　二次根式的乘除运算 1．二次根式的概念． 2．二次根式的乘法法则和除法法则： ·＝(a≥0，b≥0)；＝(a≥0，b＞0). 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在本节课的教学过程中，讲解概念时，通过让学生计算具体例子，再归纳总结，符合学生的认知规律．在讲二次根式的乘除运算时，通过复习引入、知识新授、例题讲解、课堂练习和课堂小结等环节，逐步引导学生掌握二次根式的运算方法．在教学中，注重了对运算法则的推导和理解，通过具体例子让学生观察、总结规律，培养了学生的归纳总结能力和逻辑推理能力．但在练习环节，部分学生在运用法则进行计算时，仍会出现错误．在今后的教学中，应多设计一些有针对性的练习题，让学生在练习中不断提高运算的准确性和速度．此外，要更加关注学生在学习过程中的困难和问题，及时给予指导和帮助，使每个学生都能在数学学习中有所收获． 反思，更进一步提升.
第2课时　二次根式的化简及加减运算
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【复习导入】
问题1：二次根式的乘法法则和除法法则分别是什么？
问题2：计算：
(1)×；(2)；
问题3：计算：
(1)2×3；(2)(＋2)2；
(3)(＋3)(－3)；(4)(－)×.
教学设计
课题 第2课时　二次根式的化简及加减运算 授课人
素养目标 1.理解并掌握＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b>0)． 2．能将二次根式化为最简二次根式． 3．掌握二次根式加减法的运算方法，能准确进行二次根式的加减运算以及简单的混合运算.
教学重点 1.理解并掌握＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b>0)． 2．最简二次根式的概念及化简． 3．二次根式的加减运算.
教学难点 1.二次根式的化简． 2．二次根式的加减运算.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题1：上节课我们学习了二次根式和二次根式的乘除运算，二次根式的乘法法则和除法法则分别是什么？ 问题2：把二次根式的乘法法则和除法法则等号的左边和右边交换，得到的等式是什么？ 借助复习，在巩固旧知识的同时，导入新课.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．二次根式有些什么性质呢？ (1)计算下列各式，你能得到什么猜想？ ＝6，×＝6； ＝，＝； ＝，＝． 1.从特殊到一般，层层递进，最终归纳出＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0, b＞0).
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　(2)根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流： 与×，与. 解：＝×，＝. 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？ 问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？ 问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？ 归纳：＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b＞0)． 强调：(1)公式中字母a≥0，b≥0(或b＞0)这一条件是公式的一部分，不应忽略．如≠，≠×； (2)＝··…，也就是说乘法法则可以推广； (3)≠×，也就是说遇见带分数，必须先化成假分数，即＝＝. 2．最简二次根式 化简下列各式： (1)； (2)； (3). 解：(1)＝×＝4×5＝20. (2)＝×＝7×＝7. (3)＝＝. 观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？ 学生回答：上述结果中，被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数． 归纳：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式． 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式． 2.通过计算，观察，归纳最简二次根式的概念.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(教材第43页例3)化简： (1)；　(2)；　(3). 解：(1)＝×＝9×8＝72. (2)＝×＝5. (3)＝＝. 1.灵活应用二次根式的性质进行化简，并把结果化成最简二次根式，加深理解.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 　　例2　(教材第43页例4)化简： (1)；　(2)；　(3). 解：(1)＝＝×＝5. (2)＝＝＝. (3)＝＝＝. 例3　(教材第44页例5)计算： (1)＋；　(2)－；　(3)(＋)×. 解：(1)＋＝＋＝×＋＝4＋＝5. (2)－＝－＝－＝. (3)(＋)×＝＋＝＋＝2＋3＝5. 注意：二次根式的运算结果中如果出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并． 【变式训练】 一个直角三角形的斜边长为8 cm，一条直角边长为6 cm，求另一条直角边的长． 解：由勾股定理，得＝＝＝2(cm)． 所以另一条直角边的长为2 cm. 师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨． 2.体会二次根式进行加减运算时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列二次根式中，是最简二次根式是(A) A. B. C. D. 2．下列各式正确的是(D) A.＝× B.＝× C.＝× D.＝× 3．化简： (1)；　　　　(2)； (3)；　　 (4). 解：(1)75.(2)4.(3).(4).
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活动四：课堂检测 4.计算： (1)＋； (2)－； (3)(2－)×. 解：(1)原式＝3＋2 ＝5. (2)原式＝2－ ＝. (3)原式＝2－ ＝12－ ＝11. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第47页习题2.3第2，4，6题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 第2课时　二次根式的化简及加减运算 1.＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b＞0)． 2．最简二次根式． 3．二次根式的加减运算． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在本节课的教学过程中，通过对积的算术平方根、商的算术平方根、二次根式的加减法运算的讲解和练习，学生对二次根式的加减运算有了一定的掌握．在教学方法上，采用讲授法、讨论法、练习法和类比法相结合，能够较好地引导学生理解和掌握新知识．但在教学过程中，发现部分学生在化简二次根式时还存在一些问题，导致在进行二次根式的加减运算时出现错误．在今后的教学中，要加强对二次根式化简的复习和巩固，增加相关的练习题，让学生熟练掌握化简的方法和技巧．同时，在课堂练习和作业批改中，要更加关注学生的易错点，及时进行针对性的辅导和强化训练，以提高学生的运算能力和解题的准确性． 反思，更进一步提升.
第3课时　二次根式的混合运算
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【复习导入】
1．什么是最简二次根式？
2．二次根式的乘、除法运算法则分别是什么？
·＝(a≥0，b≥0)；＝(a≥0，b>0)．
3．化简：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
根号里面的数有一部分移到了根号外面，进一步思考：什么数能往外移呢？它们又具备什么条件呢？
教学设计
课题 第3课时　二次根式的混合运算 授课人
素养目标 1.式子·＝ (a≥0，b≥0)，＝ (a≥0，b＞0)的运用． 2．能利用化简对实数进行简单的四则运算． 3．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值.
教学重点 二次根式的混合运算，包括乘除、加减运算的综合运用.
教学难点 在二次根式的混合运算中，合理运用运算律和运算法则，选择恰当的运算顺序进行准确计算，避免运算错误.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　我们来回忆一下最简二次根式的概念． 学生回答后，教师出示练习： 下面的二次根式中，哪个是最简二次根式？ A. B. C. D. 回顾最简二次根式的概念，为本节课的学习做好铺垫.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 二次根式运算过程中，你有哪些体会？ 归纳：对于二次根式的乘除运算可借助公式及运算律，而二次根式的加减运算应化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式才能合并． 借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．巩固提升 计算：(1)－；(2)(－)÷. 问题：如何把第(1)题根号里的分数化成整数？化简后如果两个根式的被开方数相同，能合并吗？该如何合并？ 处理方式：先让小组同学讨论交流，而后找同学口述，教师板书解题过程． 2．问题解决 如图所示，图中每个小正方形的边长均为1，试求图中梯形ABCD的面积，你有哪些方法？与同伴交流． 师生活动：学生先独立思考，然后组内讨论并探讨各自的做法，最终汇总结果，教师适时引导学生用不同的方法解答． 1.通过简单的计算，直接引入本节课重点知识讲解，帮助学生更快进入状态． 2．培养学生的合作交流学习能力.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　(教材第45页例6)计算： (1)－；　　　　　(2)－＋； (3)(－)÷；　　 (4)＋－. 解：(1)原式＝－ ＝－ ＝. (2)原式＝－＋ ＝3－2＋ ＝. (3)原式＝÷－÷ ＝－ ＝－ ＝－ ＝2－ ＝.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 　　(4)原式＝＋－ ＝＋3－3 ＝－＋3. 【变式训练】 求代数式(－)·的值，其中a＝3，b＝2. 解：原式＝·－· ＝－ ＝－b. 把a＝3，b＝2代入原式，得 原式＝－2. 师生活动：学生先思考，教师作适当引导，最后呈现结果． 1.让学生逐步掌握运算技能，加深对二次根式乘除法、加减法的计算． 2．掌握有关运算律和公式(如交换律、结合律、乘法对加法的分配律、乘法公式等)的运用.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.计算(－)结果是(B) A．2－2 B．2－2 C．2－ D．2－ 2．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n－mn－3n，如：1※2＝12×2－1×2－3×2＝－6.则计算(－2)※的结果为(A) A．3 B．－2 C．3 D．2 3．计算： (1)－；　　　　　(2)－＋； (3)(－)×；　 (4)2＋－. 解：(1). (2). (3)10. (4)7＋2.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 4.先化简，再求值：(a－)(a＋)－a(a－4)，其中a＝＋1. 解：原式＝a2－3－a2＋4a ＝4a－3. 当a＝＋1时，原式＝4×(＋1)－3＝4＋4－3＝4＋1. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第47～48页习题2.3第3，5，7题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 第3课时　二次根式的混合运算 一、导入新课 二、探究新知 三、典型例题 四、课堂检测 五、课堂小结 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　本节课的教学过程中，在知识讲解环节，注重将二次根式的混合运算与学生已熟悉的有理数和整式的混合运算进行类比，帮助学生理解和掌握新的运算规则．在例题讲解和课堂练习中，学生对于简单的二次根式混合运算题目掌握较好，但在遇到较为复杂的式子，如含有字母的二次根式化简以及多种运算综合的题目时，部分学生仍存在运算错误和方法选择不当的问题．在今后的教学中，需要加强对这部分学生的辅导，增加针对性的练习，引导学生多思考不同运算方法的适用情况，提高学生的运算能力和解题技巧．同时，在课堂教学中要更加关注学生的反应，及时调整教学节奏，确保每个学生都能跟上教学进度． 反思，更进一步提升.

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