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——— 第七章 ———证明
本章教材分析
本章的内容主要是从以基本事实为证明的依据，推理论证我们学过的有关定理，进一步培养学生的推理论证能力，加强对定理和公理的理解和掌握，另外，本章的内容在以前逻辑推理的基础上，对几何论证的书写格式以及逻辑思维的要求逐步加强，教材中所选的例题、习题难度适当，本章的重点是定理的证明，证明与平行线的性质及判定有关的一些结论．
1　为什么要证明
备课素材
新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳导入】
设置两个问题：
(1)俗话说“耳听为虚，眼见为实”，你是怎样理解这句话的？
(2)现实生活中，我们常用观察的方法来了解世界．数学学习中，我们也通过观察、实验、归纳的方法得出了很多结论，由观察、实验、归纳的方法得到的结论一定是正确的吗？如果不是，那么用什么方法说明它呢？
【悬念激趣】
(1)图1中三角形的三边是直的还是曲的？
(2)图2的两幅图中中间的圆哪个大？
教学设计
课题 1　为什么要证明 授课人
素养目标 1.体会检验数学结论的常用方法：猜想、验证、推理等，发展学生的推理能力． 2．经历观察、实验、归纳等过程，使学生对由这些方法所得的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心理，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识.
教学重点 要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明.
教学难点 通过对一些结论的探讨和分析，养成动脑思考问题的习惯.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 提出如下问题： 在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界．在数学的学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论．那这样得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么方法才能说明它们的正确性呢？ 生：讨论得出，需推理证明之后才能说明结论正确． 由生活中常见的“结论”，引发学生思考，并为引出新课做铺垫.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 教师课件出示教材第180页图7 1，图7 2让学生观察，提出问题： 图7 1中两条线段a，b的长度相等吗？图7 2中的四边形是正方形吗？ 要求：学生先通过观察，猜想得到a>b，四边形不是正方形的结论． 师：让学生测量线段的长度，验证与刚才的猜想是否一致． 生：测量之后发现：人的观察往往会产生错觉，必须通过实际的验证才能知道猜想是否准确． 师：出示教材第180页图7 3.假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？ 生：有的学生认为可以，有的学生认为不可以． 师：引导学生计算证明得出能放进一个拳头的结论． 并指出：要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理证明． 教师继续提出问题，当n＝0，1，2，3，4，5时，代数式n2－n＋11的值是质数吗？你能否由此得到结论，对于所有自然数n，n2－n＋11的值都是质数？与同伴交流． 生：小组讨论，通过计算前面几个数可能会得出，代数式n2－n＋11的值都是质数． 师：你能肯定这个结论吗？并要求学生多计算几个数值． 生：当计算到n＝11时，n2－n＋11＝121，此时为合数． 说明：通过此环节让学生明白，只举几个特殊例子就证明一个结论是正确的，这种方法不恰当． 师：出示教材图7 4，观察DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？ 学生猜想：DE∥BC，DE＝BC. 师：让学生任意画一个△ABC，取AB，AC的中点D和E.连接DE，验证刚才的猜想是否正确？并与同桌交流，对于任意的△ABC是否成立． 生：通过测量和平移得到结论：对于任意的△ABC，任取两边的中点D，E，线段DE平行于第三边，并且等于第三边的一半． 师：出示教材第181页“思考·交流”． (1)通过观察、实验、归纳得到的结论都正确吗？举例说明． (2)在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验和困惑． 教师总结：观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，要判断一个结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明． 让学生明白视觉有可能产生错觉，了解生活中的错觉．然后通过测量让他们知道仅仅靠观察得到的数学结论不一定正确，同时也锻炼了学生的语言表达能力.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　我们知道：2×2＝4，2＋2＝4. 试问：对于任意数a与b，是否一定有结论a×b＝a＋b 解：3×2＝6，而3＋2＝5， 因为6≠5， 所以不是任意数a与b，都有结论a×b＝a＋b.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】 如图，AB∥CD，且AB＝CD，DF⊥AC于点F，BE⊥AC于点E，试问DF与BE的位置关系和数量关系如何？你能肯定吗？请说明理由． 解：DF∥BE，DF＝BE. 理由：由DF⊥AC，BE⊥AC可知，∠DFC＝∠BEA＝90°.故DF∥BE.因为AB∥CD，所以∠A＝∠C.又因为AB＝CD，所以△DCF≌△BAE(AAS)．所以DF＝BE. 师生活动：学生先思考，教师作适当引导，最后呈现结果． 在巩固提高过程中，让学生进一步体会证明的必要性，明白数学来源于生活，又服务于生活.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去．”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是(D) A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁 2．小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元．”乙说“至多13元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为(C) A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定 3．小强是个自理能力很强的孝顺的好孩子，他每天下午放学都要帮父母煮饭．具体操作时间如下：淘米(3分钟)，煮饭(25分钟)，洗菜(7分钟)，切菜(4分钟)，炒菜(10分钟)．如果煮饭和炒菜用不同锅和炉子，那么小强要把饭菜都做好至少需要28分钟． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第181页随堂练习第1，2题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 1　为什么要证明 观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，要判断一个结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在本节课的教学过程中，通过多种活动引导学生认识到证明的必要性，大部分学生能够积极参与并理解相关内容．但在小组讨论环节，部分学生合作不够积极，在今后的教学中应加强小组合作的指导和监督．在讲解一些抽象概念时，部分学生理解起来还有困难，后续可以多结合生活实例进行讲解，帮助学生更好地掌握．同时，在教学中应进一步培养学生的质疑精神和创新思维，提高学生解决问题的能力． 反思，更进一步提升.
2　认识证明
第1课时　定义与命题
备课素材
新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳导入】
1．“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义．
2．“无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义．
3．“由不在同一直线上的若干线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫作多边形”是“多边形”的定义．
4．“有两条边相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定义．
证明时，为了方便交流，必须对某些名称和术语形成共同的认识．为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义．
教学设计
课题 第1课时　定义与命题 授课人
素养目标 1.理解定义与命题的概念． 2．分清命题的条件和结论，会把命题改成“如果……那么……”的形式，并能判断命题的真假． 3．在实例中体会定义、命题的含义，了解数学与实践的联系；通过举反例判定一个命题是假命题，学会从反面思考解决问题的方法.
教学重点 理解命题的相关概念，找出命题的条件和结论.
教学难点 正确找出命题的条件和结论.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 上节课我们了解到“为什么要证明”，证明是为了交流方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识，为此，就要对名称和术语的含义加以描述，做出明确的规定，今天我们就来学习定义与命题． 让学生从熟悉的数学知识入手，初步感受定义.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 同学们用8分钟时间，自学教材第183～184页内容，解决以下问题： 1．在课本中找出定义和命题的概念． 2．找出命题的组成部分并在书中标出来． 3．在课本中找出真命题和假命题的概念． 4．知道什么是反例． 5．尝试做课本中的相关题目．
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　师生活动：学生先预习，并标记出重点，教师再进行如下详细提问与讲解． 1．提问：“中华人民共和国公民”的定义是什么？ “两点之间的距离”的定义？“一元一次方程”的定义？ 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．你还能举出曾学过的“定义”吗？ 2．下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？与同伴进行交流．(出示课件) (1)熊猫没有翅膀． (2)对顶角相等． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． (4)作线段AB＝CD. (5)清新的空气． (6)不许讲话！ 总结：判断一件事情的句子，叫作命题．反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题． 师生活动：教师引导学生共同回答，对学生有异议的地方进行解答． 3．观察下列命题，你能发现这些命题有什么不同的特点吗？与同伴交流．(课件展示) (1)如果两个角相等，那么它们是对顶角． (2)如果a＞b，b＞c，那么a＝c. (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等． (4)全等三角形的面积相等． 总结：一般地，每个命题都是由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项，结论是由已知的事项推断出的事项．命题通常可以写成“如果……那么……”的形式．“如果”后接的部分是条件，“那么”后接的部分是结论． 4．正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题． 说明假命题的方法： 举反例使之具有命题的条件，而不具有命题的结论． 1.引导学生通过预习增加对定义的理解，并锻炼学生有条理的数学表达能力． 2．加强学生对命题定义的理解，使其明白：表示判断的句子都是命题，而不管判断是否正确． 3．让学生进一步体会命题的含义，并概括出命题的结构特征并能判断命题的真假.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　判断下列语句哪些是命题？哪些不是？ (1)画一个角等于已知角；(2)两直线平行，同位角相等；(3)同位角相等，两条直线平行吗？(4)鸟是动物；(5)若x－5＝0，求x的值． 解：(2)(4)是命题；(1)(3)(5)不是命题． 例2　指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式． (1)两直线平行，同位角相等； 解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”． 可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”． (2)垂直于同一直线的两条直线平行． 解：条件是“两条直线垂直于同一直线”，结论是“这两条直线平行”． 可以改写成“如果两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线平行”. 通过例题的学习，让学生进一步明确命题与定义，命题的条件和结论以及真假命题的判断方法.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】 判断下列命题的真假，举出反例． ①大于锐角的角是钝角； ②如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数． 解：①②假命题． ①的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角． ②的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数． 师生活动：学生先思考，教师作适当引导，最后呈现结果．
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列语句中，属于定义的是(D) A．两点确定一条直线 B．平行线的同位角相等 C．两点之间线段最短 D．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 2．下列命题中，是真命题的是(D) A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0 C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 3．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式． (1)对顶角相等； (2)同位角相等． 解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． (2)如果两个角是同位角，那么这两个角相等． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，进一步让学生巩固新知，及时检测学生的学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第184～185页随堂练习第1，2题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 第1课时　定义与命题 1．定义和命题． 2．条件和结论． 3．真命题和假命题． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　教学借生活与数学实例引出定义与命题概念，学生参与积极．不过，学生下定义时表述不严谨，对复杂命题分析困难，且教学节奏前松后紧．后续教学将着重完善定义教学，引导挖掘命题隐含条件，合理规划时间，强化学生对知识的掌握与运用能力． 反思，更进一步提升.
第2课时　定理与证明
备课素材
一、新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳导入】
师：前面我们认识了定义和命题的含义，那么什么是命题？你能举例说明吗？
生1：判断一件事情的句子，叫作命题．例如：我是八年级五班的学生、我是帅哥．(回答问题的是位男生，全班同学大笑)
师：那么他举的是命题吗？
生齐答：是．
师：谁还能再举一个？
生2：他不是帅哥．(全班同学哄堂大笑)
师：他说的是命题吗？(生齐答是，此时气氛很活跃)很好，我说一个你们来辨别一下好吗？“如果这个周日不下雨，那么我们就去郊游．”这是命题吗？分析这句话，这个周日，我们郊游一定能实现吗？为什么？
生2：是命题．我们郊游不一定实现，因为要不下雨的条件成立，我们才能确定去．
师：很好，同学们已经准确地掌握了命题的含义，那么这节课让我们来继续研究与命题相关的知识吧！
二、数学文化拓展阅读
《原本》
《原本》，欧几里得著，约成书于公元前300年，原书已失传．现在见到的《原本》是经过后来的数学家们修改过的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，书中大部分内容是有关图形的知识(即几何知识)．
1582年，意大利人利玛窦到我国传教，带来了15卷本的《原本》.1600年，明代数学家徐光启(1562—1633)与利玛窦相识后，便经常来往.1607年，他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并定名为《几何原本》．后9卷是1857年由我国清代数学家李善兰(1811—1882)和英国人伟烈亚力译完的．
《原本》以公理和原始概念为基础推演出更多的结论．这种做法为人们提供了一种研究问题的方法(称为公理化方法)，标志着人类思维的一场革命，是科学思想史上的一个里程碑，它对数学及其他科学乃至人类的思想所产生的巨大推动作用是其他著作无法取代的.1687年牛顿在撰写《自然哲学的数学原理》时就曾受到过《原本》的启迪．有人说，进化论乃至美国的《独立宣言》，都深受欧几里得方法的影响．甚至于，几百年前有的哲学家在自己的著作中也曾设法从定义、公理推导出定理进行论证．
正因如此，《原本》成为流传最广、影响最大的一部世界数学名著．
教学设计
课题 第2课时　定理与证明 授课人
素养目标 1.了解公理、定理和证明的概念． 2．会区分定理、公理和命题． 3．理解证明命题的思路、书写的格式，对几何的重要内容之一进行推理论证，有初步的认识，从而培养思维的条理性和逻辑性.
教学重点 正确认识公理、定理、命题和定义的区别；证明的含义和表述格式.
教学难点 理解证明的步骤和格式，体会证明的严密性.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 上节课我们学习了定义与命题，还记得什么叫命题吗？命题可以写成什么形式？命题都是正确的吗？怎么证明一个命题的真假呢？今天我们就来学习定理与证明． 回顾上节课知识，为本节课的展开打好基础.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．举出一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？同学们用8分钟时间，自学教材第185～187页内容，解决以下各个问题： (1)在教材中找出定公理、证明和定理的概念． (2)在教材中找出八条基本事实并尝试识记． 师生活动：学生针对自学过程中出现的问题进行讨论与交流，并提出自己的疑问之处，教师在后面讲解过程中逐一解答． 2．内容精讲 (1)公理：公认的真命题称为公理． (2)证明：除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断．演绎推理的过程称为证明． (3)定理：经过证明的真命题称为定理． 本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条： ①两点确定一条直线． ②两点之间线段最短． ③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行)． ⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． ⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． ⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． ⑧三边分别相等的两个三角形全等． 此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都作为证明的依据． 例如：在等式中，一个量可以用它的等量来代替．这一性质也可以作为证明的依据称为“等量代换”． 师生活动：教师引导学生理解公理与定理的区别与联系以及证明的必要性，着重强调学生认知已经学过的八条基本事实作为证明的出发点和依据． 1.采取教师讲解与学生习读相结合的方式，让学生了解命题有真假之分，并且知道怎样去判断真假命题．通过了解《原本》中的公理、定理、证明，体会公理化思想和方法，养成科学、严谨的思维习惯，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值． 2．通过问题的解决，让学生巩固课堂上所学的知识．通过本节课的学习，让学生基本都能运用所学的知识解决实际问题.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　(教材第187页例)已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．求证：∠AOC＝∠BOD. 证明：∵直线AB与直线CD相交于点O， ∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)． ∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)． ∴∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等)． 【变式训练】 请你完成定理“等角的余角相等”的证明． 解：已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角． 求证：∠3＝∠4. 证明：∵∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角， ∴∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠2. 又∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4. 师生活动：师用多媒体展示证明过程，学生完善自己的证明过程、总结证明时存在的问题．学生遇到困难时，教师要适时指导．例如：证明文字定理的步骤和使用的公理等． 通过练习，进一步巩固学生所学知识，强调证明过程的严谨性，提高学生的逻辑思维能力.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列说法正确的是(B) A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 2．把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果……那么……”的形式：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 3.如图，已知∠A＝∠C，AE，CF分别与BD交于点E，F.请你从下面三项中再选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明． ①AB∥DC；②AE∥CF；③DE＝BF. 解：如果AB∥DC，DE＝BF，那么AE∥CF. 证明：∵AB∥DC， ∴∠B＝∠D. ∵DE＝BF， ∴DE＋EF＝BF＋EF， 即DF＝BE. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(AAS)． ∴∠BEA＝∠DFC. ∴AE∥CF. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，进一步让学生巩固新知，及时检测学生的学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第187页随堂练习. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 第2课时　定理与证明 1．公认的真命题称为公理． 2．演绎推理的过程叫作证明． 3．经过证明的真命题叫作定理． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　多数学生能理解定理与证明概念，掌握基础证明方法，但在复杂证明题中，逻辑推理的严密性和连贯性不足，部分学生存在步骤缺失、因果关系混乱的问题，说明逻辑思维训练仍需加强． 反思，更进一步提升.
3　平行线的证明
第1课时　平行线的判定
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【情境导入】
暑假的一个晚上，小华和爸爸吃完饭到马路边乘凉，爸爸突然问了小华一个问题：“小华，你看路边的路灯，都笔直地站着，你知道它们之间是什么位置关系吗？”小华想了想，就说出了答案，并且用不同的道理回答了爸爸的问题．你知道小华是怎么回答的吗？
教学设计
课题 第1课时　平行线的判定 授课人
素养目标 1.了解证明的基本步骤和书写格式． 2．从用三角尺和直尺画平行线的活动过程中发现“同位角相等，两直线平行”，并会根据这个基本事实来证明“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”． 3．掌握平行线的判定方法，会判定两直线平行，会简单的推理与表述． 4．经历证明的基本步骤，熟悉正确的书写格式，感受几何中推理的严谨性，发展初步的演绎推理能力.
教学重点 理解和掌握由“同位角相等，两直线平行”来证明“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”，并进行简单应用.
教学难点 对公理和定理的理解和应用.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.对顶角____________． 2．同角(等角)的余角____________，同角(等角)的补角____________． 3. 平行线的判定：(1)____________相等，两直线平行；(2)____________相等，两直线平行；(3)____________互补，两直线平行；(4)平行于同一条直线的两条直线____________. 通过回顾旧知为学生学习新知做准备.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 上节课我们谈到了要证明一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证明． 我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证明呢？这节课我们就来探讨第三节：平行线的判定． 回顾命题的几种形式，顺利引出本节课课题.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．证明：内错角相等，两直线平行 师：小明用如图所示的方法作出了两条平行线，你认为他的作法对吗？为什么？
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　生：我认为他的作法对．他的作法可用下图来表示：∠CFE＝45°，∠BEF＝45°.因为∠GFD与∠CFE是对顶角，所以∠GFD＝∠CFE＝∠FEB.因为∠GFD与∠FEB是同位角，所以CD∥AB. 师：很好．从图中可知，∠CFE与∠FEB是内错角．因此可知“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程． 师生分析：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1＝∠2.求证：a∥b. 证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)， ∴∠3＝∠2(等量代换)． ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 这样我们就得到了两直线平行的一个判定定理：内错角相等，两直线平行． 2．证明：同旁内角互补，两直线平行 如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补．求证：a∥b. 如何证明这个题呢？我们来分析． 师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线判定的基本事实来证明．这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1＝∠3，就可以得到直线a与b平行．因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2＋∠3＝180°，所以∠3＝180°－∠2.又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即∠2＋∠1＝180°.所以∠1＝180°－∠2，因此由等量代换可以知道∠1＝∠3. 证明：∵∠1与∠2互补(已知)， ∴∠1＋∠2＝180°(互补的定义)． ∴∠1＝180°－∠2(等式的性质)． ∵∠3＋∠2＝180°(平角的定义)， ∴∠3＝180°－∠2(等式的性质)． ∴∠1＝∠3(等量代换)． ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 这样我们就得到了两直线平行的另一个判定定理． 这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行． 注意：(1)已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明命题．(2)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内． 1.通过对学生熟悉的平行线判定定理的证明，使学生掌握由平行线判定的基本事实推导出的另一个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式． 2．让学生经历利用基本事实来证明命题是真命题的过程，并能够结合图形正确地用数学符号表示证明的过程．同时在证明过程中，培养学生初步的演绎推理能力.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　请运用内错角相等，两直线平行这个定理完成以下证明： 已知：如图，∠1＝∠2，且BD平分∠ABC.求证：AB∥CD. 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠2(角平分线的定义)． ∵∠1＝∠2， ∴∠ABD＝∠1(等量代换)． ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)． 例2　 请运用同旁内角互补，两直线平行这个定理完成以下证明： 已知：如图，AD是一条直线，∠1＝65°，∠2＝115°.求证：BE∥CF. 证明：∵∠1＋∠DBE＝180°，∠2＋∠BCF＝180°(平角的定义)， 又∵∠1＝65°，∠2＝115°(已知)， ∴∠DBE＝180°－65°＝115°，∠BCF＝180°－115°＝65°. ∴∠DBE＋∠BCF＝180°. ∴BE∥CF(同旁内角互补，两直线平行)． 【变式训练】 1．如图，一个零件ABCD需要边AB与边CD平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？合格(填“合格”或“不合格”)． 2．如图，点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF. (1)求证：EA平分∠BEF. (2)若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD. 证明：(1)∵AE⊥CE， ∴∠AEC＝90°. ∴∠2＋∠3＝90°且∠1＋∠4＝90°. 又∵EC平分∠DEF， ∴∠3＝∠4. ∴∠1＝∠2. ∴EA平分∠BEF. (2)∵∠1＝∠A，∠4＝∠C， ∴∠1＋∠A＋∠4＋∠C＝2(∠1＋∠4)＝180°. ∴∠B＋∠D＝(180°－2∠1)＋(180°－2∠4)＝360°－2(∠1＋∠4)＝180°. ∴AB∥CD. 师生活动：学生分小组讨论后派学生代表进行演板，教师做最后讲解，并进一步规范证明过程． 1.通过典型例题进一步让学生巩固新知，发展学生初步的演绎推理能力． 2．通过变式训练加强学生对平行线的判定的综合运用能力.
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活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，填上适当的一个条件：答案不唯一，如：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°，使a∥b. 2．如图，直线AB，CD与直线EF分别相交于点M和N，MP平分∠AMF，NQ平分∠END，∠AME＝∠DNF.求证：MP∥NQ. 证明：∵∠AME＝∠DNF，∠AME＋∠AMN＝∠DNF＋∠DNM＝180°， ∴∠AMN＝∠DNM. 又∵MP平分∠AMF，NQ平分∠END， ∴∠PMN＝∠AMN，∠QNM＝∠DNM. ∴∠PMN＝∠QNM. ∴MP∥NQ. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，引导学生灵活运用所学知识解决问题，并巩固新知.
课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些定理？都是如何证明的？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 2．布置作业： 教材第191页随堂练习. 引导学生在反思中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
板书设计 第1课时　平行线的判定 两直线平行的判定定理： 1．判定定理的证明． 2．判定定理的应用格式． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　重点讲解采用多种方式，学生初步掌握判定方法，但复杂图形中角的识别训练不足；难点推导中，学生对直观到逻辑的过渡理解困难，推理证明规范训练欠缺． 反思，更进一步提升.
第2课时　平行线的性质
备课素材
新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情境导入】
看模型如图，将木条 a，c成50°角固定在一起，转动b.可以看到，当b转动到不同位置时，∠α的大小也随着变化．当∠α从小变大时，直线b便从原来在右边与直线a相交变到在左边与直线c相交．在这个过程中，存在一个与a不相交，即与a平行的位置．那么当a∥b时，∠α为多大呢？为什么？
教学设计
课题 第2课时　平行线的性质 授课人
素养目标 1.会根据“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”，并能简单地应用这些结论． 2．通过对平行线的性质的探究，把握几何分析的方法，培养合作探究的学习态度，体会互逆的思维过程和其在几何中的应用价值.
教学重点 理解和简单应用本节课中的三个定理.
教学难点 运用公理、定理进行简单的推理，以及用几何语言进行表述.
授课类型 新授课 课时
教学活动
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回顾 1.要证明两条直线平行，有哪些方法？ 2．平行线的性质有哪些？ 通过回顾旧知为学生学习新课做准备.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 为了实施南水北调工程，国家决定实施“引长江水进城市”工程．在修建某引水渠时，遇上A，B两地之间的一座大山，经勘探表明，引水渠若从山中穿过，既安全又节省开支，于是决定开山引流，在A地沿北偏东66°28′的方向开凿，如图．如果A，B两地同时施工，那么B地按南偏西多少度施工，才能使引水渠在山脉中呈直线准确接通？ 学习了本节课以后，我们就可以快速使问题得以解决了． 通过创设现实情境，让学生体会到数学来源于生活，培养学生良好的数学应用意识，训练学生独立思考、分析和推理表达的能力，同时将问题转化为已知两条直线平行，确定内错角之间的关系问题，从而引出本节课的课题.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．利用“两直线平行，同位角相等”这一定理证明“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”． 已知：如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角． 1.通过对平行线的性质定理与判定定理进行比较，进而建立二者之间的联系，让学生初步感受互逆的思考过程.
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活动二：实践探究、交流新知 　　求证：∠1＝∠2. 证明：∵a∥b(已知)， ∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)． ∵∠2＝∠3(对顶角相等)， ∴∠1＝∠2(等量代换)． 师生活动：在两直线平行，同位角相等的基础上，通过学生的观察、分析、讨论，此时学生已能够进行推理，在这里教师不必包办代替，应充分调动学生的主动性和积极性，让学生自主讨论并作答． 2．利用相关定理和所得定理，证明“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”． 已知：如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角．求证：∠1＋∠2＝180°. 证明：∵a∥b(已知)， ∴∠3＝∠2(两直线平行，内错角相等)． ∵∠1＋∠3＝180°(平角的定义)， ∴∠1＋∠2＝180°(等量代换)． 师生活动：学生独立完成，把理由写成推理格式．对于学习困难一点的同学允许他们相互之间讨论后，再试着在练习本上写出解题过程．教师对学生中出现的不同解法给予肯定和鼓励． 总结：证明文字叙述类命题的一般步骤： 第一步：先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达． 第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证． 把命题的条件化为几何符号语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号语言写在求证中． 第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程． 问题：平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系？ 2.让学生进一步理解证明的步骤、格式和方法，发展学生的演绎推理能力.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　已知：如图，AD是∠BAC的平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G. 求证：∠AGF＝∠F. 请你根据已知条件补充推理过程，并在相应括号内注明理由． 1.通过典型例题的学习，使学生对证明的认识有了更高的提升，让学生更加深刻地认识到数学的严谨性与证明的必要性，做到每一步都有根有据.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 　　证明：∵AD是∠BAC的平分线(已知)， ∴∠BAD＝∠CAD(角平分线的定义)． ∵EF∥AD(已知)， ∴∠AGF＝∠BAD(两直线平行，内错角相等)， ∠F＝∠CAD(两直线平行，同位角相等)． ∴∠AGF＝∠F(等量代换)． 例2　(教材第193页例)已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角．求证：b∥c. 证明：∵b∥a(已知)， ∴∠2＝∠1(两直线平行，同位角相等)． ∵c∥a(已知)， ∴∠3＝∠1(两直线平行，同位角相等)． ∴∠2＝∠3(等量代换)． ∴b∥c(同位角相等，两直线平行)． 例3　如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠E. 证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF(已知)， ∴∠ABD＝∠CDF＝90°(垂直的定义)． ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)． ∵∠1＝∠2(已知)， ∴AB∥EF(内错角相等，两直线平行)． ∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)． ∴∠3＝∠E(两直线平行，同位角相等)． 【变式训练】 1．如图，将长方形ABCD沿GH折叠，使点C落在点Q处，点D落在边AB上的点E处．若∠AGE＝36°，则∠GHC＝108°. 2．如图所示，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由． 解：∠AED＝∠C. 理由：∵∠1＋∠2＝180°(已知)， ∠1＝∠DFH(对顶角相等)， ∴∠2＋∠DFH＝180°. ∴EH∥AB(同旁内角互补，两直线平行)． ∴∠3＝∠ADE(两直线平行，内错角相等)． ∵∠3＝∠B， ∴∠B＝∠ADE(等量代换)． ∴DE∥BC. ∴∠AED＝∠C(两直线平行，同位角相等)． 师生活动：学生独立思考，分小组讨论后进行解答，教师对于学习有困难的学生及时指导和帮助． 2.变式训练能够提高学生对所学知识的综合运用能力.
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教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图所示，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB.若∠AEC＝100°，则∠D＝(B) A．70° B．80° C．90° D．100° 2．如图，已知AB∥DE，∠B＝60°，且CM平分∠DCB，CM⊥CN，垂足为C，求∠NCE的度数． 解：∵AB∥DE，∠B＝60°， ∴∠BCD＝120°. ∵CM平分∠DCB， ∴∠DCM＝∠DCB＝60°. ∵CM⊥CN， ∴∠MCN＝90°. ∴∠DCM＋∠NCE＝90°. ∴∠NCE＝90°－∠DCM＝30°. 3．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F. 证明：∵∠1＝∠2， ∴BD∥CE. ∴∠C＋∠CBD＝180°. ∵∠C＝∠D， ∴∠D＋∠CBD＝180°. ∴AC∥DF. ∴∠A＝∠F. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学行线的性质的哪些定理？平行线的性质与平行线的判定之间的关系是什么？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 2．布置作业： 教材第194页随堂练习. 学生在小结中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
板书设计 第2课时　平行线的性质 1．平行线的性质． 2．平行于同一条直线的两条直线平行． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　本节课尽量引导学生自己探索解决问题的方法，将未知转化为已知．通过让学生讨论、代表回答，老师再引导，帮助学生理解和应用平行线的性质．教学中注重体现三个转变：从知识传授者转变为学生学习的组织者、引导者等；学生从学会转变为会学；课堂氛围以“流畅、开放、合作”为特征，让学生在宽松环境中自主探索． 反思，更进一步提升.

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