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——— 第三章 ———位置与坐标
本章教材分析
《位置与坐标》是北师大版八上第三章内容，包含了“1确定位置；2平面直角坐标系；3轴对称与坐标变化”三节内容．平面直角坐标系作为初一学过的“数轴”的进一步发展，让学生从数与形两个角度来认识图形，实现了认识上从一维空间到二维空间的跨越，构建更广泛范围的数形结合、数形互相转化的理论基础．本章是今后学习一次函数、反比例函数、二次函数等函数知识的重要基础，为用函数图象描述变量之间的关系提供了工具和方法．它在整个初中数学教材体系中有着举足轻重的作用．
1　确定位置
备课素材
一、新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【悬念激趣】
情境一：当中国神舟飞船安全返回时，在茫茫草原中科学家是怎样找到返回舱的呢？它的位置是如何确定的呢？
情境二：大家喜欢看电影吗？给你一张完整的电影票，你怎样才能找到电影票上所指的位置呢？
生活中常常需要确定一个物体的位置，如：确定学校、家的位置，确定地图上城市的位置、在棋盘上确定棋子的位置、在海中确定船只的位置等．今天我们讨论如何确定物体的位置．
二、数学文化拓展阅读
方位角确定位置法
自从指南针问世后，人们不论是在波涛汹涌的大海上航行，或是在一望无际的大沙漠里独行，还是在遮天蔽日的原始森林中探险，再也不会迷失方向，原因是人们掌握了应用方向角，并能应用它来确定位置．
例如，抗日战争时期，八路军在追查敌人一批军火的隐藏地点时抓到了一名参与埋藏军火的俘虏，据俘虏交代，军火藏在大沙漠里，只记得在埋藏点远处有A，B两棵大树，A在南偏西70°方向上，B在南偏西20°方向上，如何找到埋藏军火的位置呢？
八路军指战员这样想，既然在军火埋藏点看见大树A在南偏西70°方向上，那么军火埋藏点应该在大树A的北偏东70°方向上，因此，在大树A定出北偏东70°的方向线；同理，在大树B定出北偏东20°的方向线，两条方向线的交点P就是军火的埋藏点．
一般地，要确定一个点P的位置需要两个定点A，B，然后由A看P的方向角及由B看P的方向角进行确定．也可以由一个定点及方向角和距离进行确定．
教学设计
课题 1　确定位置 授课人
素养目标 1.识别现实生活中大量存在的确定位置的模型． 2．借助现实情境解释其中所蕴含的思考方法． 3．会用“由点找坐标，由坐标确定点的位置”的思想，解决生活实际中确定位置的问题.
续表
教学重点 理解在平面内确定一个物体的位置一般需要两个数据.
教学难点 灵活地运用不同的方式确定物体的位置.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　在数轴上，确定一个点的位置需要几个数据呢？ 学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 据中国地震台网正式测定，北京时间2025年06月09日05时15分在西印度洋发生5.9级地震，震源深度10千米，震中位于南纬47.70°，东经115.70°.报道中是用什么方法表示地震位置的？ (生：南纬47.70°，东经115.70°) 根据生活经验，你知道还有其他方法也可以表示物体的位置吗？ 通过报道，能够较好地体现数学的现实性，让学生感受现实生活中确定位置的必要性，同时，让学生初步体会到确定一个地理位置需要两个数据.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 情境模拟　课前准备如下样式的电影票： 问题1：把教室当作一个小影院，规定从前到后依次为1，2，3，4，…排，每排从左到右依次为1，2，3，4，…号；任意找四个同学分别拿着自己的电影票，按票面信息找自己的座位． 问题2：“6排3号”与“3排6号”是同一个座位吗？如果把“6排3号”记作(6，3)，那么“3排6号”记作什么？(5，2)表示什么含义呢？ 问题3：通过前面问题的思考，你知道在电影院确定一个位置一般需要几个数据吗？追问：如果两个数据的顺序不同，位置相同吗？ 师生活动：给三个同学1分钟的时间按票面信息找自己的座位，然后提问并让学生口答：你们找到了自己的座位吗？没有找到座位的，你觉得是什么原因？这说明了什么问题？你知道在电影院确定一个位置一般需要几个数据吗？从而达成共识，得出结论： 在电影院确定一个座位需要两个数据：排号和座号．若用a表示排号，b表示座号，并且规定排号写在前，座号写在后，则得到一个有序数对(a，b)．一个有序数对只能表示一个位置． 通过情境模拟，唤起学生已有的生活经验，为本课的学习做铺垫，能够较好地体现数学的现实性，充分吸引学生的注意力，让学生感受到数学就在自己身边，激发了学生的学习兴趣，有利于学生形成良好的数学观．同时在教师的层层设问中，让学生感觉到位置的确定需要两个数据，并且这两个数据的表示是有顺序的，即有序实数对表示.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(教材第54页例)我国海军某舰艇编队在某海域展开实兵对抗训练，红蓝双方的对阵情况如图所示(图中1 cm表示20 n mile)．对红方潜艇来说： (1)北偏东40°方向上有哪些目标？要想确定蓝方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离红方潜艇20 n mile的蓝方战舰有哪几艘？ (3)要确定每艘蓝方战舰的位置，各需要几个数据？ 解：(1)对红方潜艇来说，北偏东40°方向上有两个目标，分别是蓝方战舰B和小岛． 要想确定蓝方战舰B的位置，还需要知道蓝方战舰B与红方潜艇之间的距离． (2)距离红方潜艇20 n mile处的蓝方战舰有两艘：蓝方战舰A和蓝方战舰C. (3)要确定每艘蓝方战舰的位置，各需要两个数据：距离和方位角．例如，对红方潜艇来说，蓝方战舰A在正南方向，距离为20 n mile处，蓝方战舰B在北偏东40°的方向，距离为28 n mile处；蓝方战舰C在正东方向，距离为20 n mile处． 例2　根据下列表述，能够确定位置的是(C) A．甲地在乙地的正东方向上 B．一只风筝飞到距A处20米处 C．某市位于北纬30°，东经120° D．影院座位位于一楼二排 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.位置的确定，还有其他的一些方法，这里就介绍了从方位角和距离的表示．让学生体会在平面上确定物体的位置有多种方式，但基本都需要两个数据．通过学生对位置的描述和表示方法的概括，培养学生用准确的语言的描述能力． 2．让学生先独立完成任务，然后通过交流展示归纳方法，巩固平面内确定位置的方法，检测学生本节课的学习效果.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】 (宜昌中考)小李、小王、小张、小谢原有位置如图(横为排、竖为列)，小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是(B) A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列 C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列 师生活动：学生先思考、交流讨论，教师巡堂点拨，得出结论后，教师再纠错、讲解.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图，货船A与港口B相距35海里，我们用“南偏西40°，35海里”来描述港口B相对货船A的位置，那么货船A相对港口B的位置可描述为(D) A．南偏西50°，35海里 B．北偏西40°，35海里 C．北偏东50°，35海里 D．北偏东40°，35海里
第1题图
　　　　
第2题图
2．安徽省蒙城县板桥中学举办“校园文化”建设，主题鲜明新颖：“国学引领，孝老敬亲，家校一体，爱满乡村”．如图所示，若用“C4”表示“孝”，则“A5，B4，C3，C5”表示(D) A．爱、满、乡、村 B．孝、老、敬、亲 C．国、学、引、领 D．板、桥、中、学 3．如图所示的是雷达探测到的6个目标，若目标A用(40，30°)表示，目标E用(30，240°)表示，则(40，120°)表示的是(B) A．目标B B．目标C C．目标D D．目标F 通过设置当堂检测，让学生进一步巩固所归纳的确定位置的知识，及时检测学习效果，做到“堂堂清”.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 4.观察如图所示的象棋棋盘，回答问题： (1)请你说出“将”与“帅”的位置； (2)说出“马 3 进 4”(即第 3 列的马前进到第 4 列)后的位置． 解：(1)“将”在9行5列，“帅”在1行5列． (2)3行4列或7行4列． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂小结 1.课堂小结： (1)在现实情境中感受了确定物体位置的哪些方式？ (2)在直线上，确定一个点的位置一般需要____________数据；在平面内，确定一个点的位置一般需要____________个数据． 教学说明：教师引导学生回答，注意学生回答时数学语言的准确性，得出结论后板书．小结由学生来完成，同时其他学生进行补充． 2．布置作业： 教材第56页随堂练习第1题；教材第57页习题3.1第1，2，3题. 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计 1　确定位置 1．行列定位法． 2．方向角与距离定位法． 3．经纬定位法． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　情境模拟素材贴近生活，新闻报道导入、情境模拟教学活动激发了学生的学习兴趣，但在教学过程中存在学生参与不均衡，知识前移不足，课堂节奏把控欠佳等问题，需针对以上问题进行以下几个方面的改进：1.分层设计学习任务.2.加强知识前移训练.3.优化课堂时间管理． 反思，更进一步提升.
2　平面直角坐标系
第1课时　平面直角坐标系的有关概念
备课素材
一、新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【复习导入】
回答下列问题：
问题1：什么是数轴？
问题2：数轴的三要素是什么？
问题3：数轴上的点和实数有怎样的关系？
问题4：我们原来是怎样确定行和列的？
谈话：同学们，现在第三行和第三列的同学站起来，第三行的同学代表水平的数轴，向右为正方向；第三列的同学代表竖直的数轴，向后为正方向，既在第三行又在第三列的这一个同学称作坐标原点，这样老师就在我们班中构造了一个非常形象的平面直角坐标系．这节课我们就来探究平面直角坐标系的有关知识．
二、数学文化拓展阅读
笛卡儿建立直角坐标系
据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他仍反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的“点”和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来．突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会工夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝．蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗．他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三条数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三条数轴上找到有顺序的三个数．反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点P与之对应，同样道理，用一组数(x，y)可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形．
直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念用数来表示，几何图形也可以用代数形式来表示．由此笛卡尔在创立直角坐标系的基础上，创造了用代数的方法来研究几何图形的数学分支——解析几何， 他大胆设想：如果把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某种共同特征的点组成的．举一个例子来说，我们可以把圆看作是动点到定点距离相等的点的轨迹，如果我们再把点看作是组成几何图形的基本元素，把数看作是组成方程的解，于是代数和几何就这样合为一家人了．
教学设计
课题 第1课时　平面直角坐标系的有关概念 授课人
素养目标 1.认识并能画出平面直角坐标系，能在方格纸上建立适当的平面直角坐标系． 2．初步理解坐标平面内点与有序实数对的一一对应关系，并能熟练地由点的位置求坐标． 3．会用平面直角坐标系确定位置的基本方法解决实际问题.
教学重点 平面直角坐标系的相关概念，根据定义写出给定点的坐标，根据坐标描出点的位置.
教学难点 对平面直角坐标系中点的坐标的理解.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　1.在现实情境中感受确定物体位置的方式有哪些？ 2．在直线上，确定一个点的位置一般需要几个数据？在平面内，确定一个点的位置一般需要几个数据？ 学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 师：同学们，你们喜欢旅游吗？假如你去某一个城市旅游，你应该怎样确定旅游景点的位置呢？ 出示教材第58页图3 4，根据示意图回答以下问题： 如果你是小亮，如何向来访的朋友介绍该市的几个风景点的位置呢？ 说明：由于学生所选的方法不同，答案可能会出现多彩的变化，只要合理，教师就应该给予肯定和鼓励． 师生活动：学生分组讨论后回答． 师：在上一节课中，我们已经学习了许多确定位置的方法，今天我们来研究另外一种表示位置的方法：平面直角坐标系． 通过实际生活中的问题，方便与学生活动交流，拉近与学生之间的距离．引入新课，揭示课题.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．平面直角坐标系 教师多媒体出示教材第58页图3 5，让学生思考：小亮在景点图上画了方格，标上数字，并用(0，0)表示卢沟桥的位置，用(11，4)表示天安门广场的位置，那么北京奥林匹克公园的位置应如何表示？(5，12)表示哪个景点的位置？(6，5)呢？ 师生活动：学生小组合作讨论，发表自己的见解．教师讲评．原点的位置不同，点的位置也会不同． 如果小亮和他的朋友位于天安门广场，并用(0，0)表示天安门广场的位置，如教材第58页图3 6(展示图片)，你能表示“北京奥林匹克公园”的位置吗？“卢沟桥”的位置呢？ 学生考虑后，教师指名回答，个别补改． 师：刚才教材第58页图3 6所建立的就是这节课我们要学面直角坐标系． 2．平面直角坐标系的组成 究竟怎样确定平面内一个点的位置呢？这就需要利用平面直角坐标系． 阅读教材思考： (1)什么是平面直角坐标系？它由什么组成？各部分的名称是什么？ (2)什么叫横坐标、纵坐标？如何来表示一个点的坐标？ (3)平面直角坐标系分成哪几个部分？各部分的名称是什么？它们点的坐标有什么特征？ 师生活动：学生阅读教材并思考教师提出的问题．教师小结，边讲边用黑板画一个平面直角坐标系，要求学生一起操作． 注意：坐标轴上的点不在任何一个象限内．平面直角坐标系也简称直角坐标系． 3．确定点的坐标与位置 教师展示教材第60页“操作·思考”，让学生在练习本上建立平面直角坐标系．完成(1)和(2)．教师巡视指导． 师生活动：学生画完后互相比较画得是否正确． 教师投影展示正确的画法，让学生思考(3)，在平面直角坐标系中，点与实数对之间有何关系？ 学生小组讨论完成，小组派代表回答． 归纳结论：在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应． 1.让学生初步掌握已知平面内点的坐标怎样描出这个点的方法和已知平面内的点怎样找到这个点的坐标的方法，经历这样相反的两个过程加深了对知识的理解． 2．充分利用学生自主学习的机会，使学生明白平面直角坐标系的组成以及各部分坐标特点，自己发现其中的规律，培养学生的观察、联想能力和总结归纳的能力． 3．让学生经历在平面直角坐标系中描点的过程，深切体会到平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的对应关系，加深了对知识的理解与运用.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(教材第59页例1)写出图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标． 解：A(－2，0)，B(0，－3)，C(3，－3)，D(4，0), E(3，3)，F(0，3)． 例2　(1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：A(－5，0)，B(1，4)，C(3，3)，D(1，0)，E(3，－3)，F(1，－4)． (2)依次连接A，B，C，D，E，F，A，你得到什么图形？ (3)在平面直角坐标系中，点与实数对之间有何关系？ 解：(1)如图． (2)如图，轴对称图形． (3)在平面直角坐标系中，点与实数对之间是一一对应的关系． 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 【变式训练】 在平面直角坐标系中，依次描出下列各点，并将各组内的点依次连接起来： (1)(2，1)，(2，0)，(3，0)，(3，4)； (2)(3，6)，(0，4)，(6，4)，(3，6)． 你发现所得的图形是(C) A．两个三角形 B．房子 C．雨伞 D．电灯 师生活动：学生先思考，独立完成．教师深入到学生中查看学生完成情况并进行有针对性的指导． 通过对例题及变式训练的思考，让学生“根据点的位置写出它的坐标”“根据坐标描出相应的点”，从而使学生更好地理解平面直角坐标系的思想，认识到坐标与点的一一对应关系.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图，这是画在方格纸上的某一小岛的示意图． (1)分别写出地点A，B，C，G，H的坐标； (2)(7，9)，(5，5)，(8，7)，(8，1)所代表的地点分别是什么？ 解：(1)A(2，9)，B(3，6)，C(5，8)，G(7，4)，H(3，3)． (2)(7，9)，(5，5)，(8，7)，(8，1)分别代表点D，E，F，M. 通过练习，学生及时巩固所学知识，教师获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 2.点A，B，C，D在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出点A，B，C，D的坐标； (2)依次连接点A，C，D得到一个封闭图形，判断此图形的形状． 解：(1)A(3，2)，B(－3，4)，C(－4，－3)，D(3，－3)． (2)如图，△ACD是直角三角形． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂小结 1.课堂小结： (1)师生共同回顾平面直角坐标系的概念及组成，以及各部分的坐标特征等知识点． (2)你觉得本节课还有什么需要大家掌握的？与同学们共同分享．有什么问题与大家交流． 2．布置作业： 教材第65页习题3.2第1，3题. 回顾所学知识，让学生在大脑中形成一个完整的知识体系，同时也培养学生总结概括能力.
板书设计 第1课时　平面直角坐标系的有关概念 1．平面直角坐标系的概念． 2．坐标平面内的点与有序实数对构成一一对应关系． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　借助多媒体、小组合作的方式层层递进地展开教学，逐步探究总结出平面直角坐标系的有关概念．学生能快速理解原点、坐标系与象限，但仍有部分学生混淆横、纵坐标顺序，对坐标轴上特殊点的坐标特征掌握不牢．实践应用环节，学生在标准坐标系中读写坐标表现尚可，但自主建立坐标系解决实际问题时，常出现单位长度不统一、原点选取不当等问题．后续教学需强化易错点专项练习，设计更多如绘制校园平面图标注坐标的实践任务，并采用小组合作探究模式，引导学生主动发现坐标变化规律，提升知识应用能力与数形结合意识． 反思，更进一步提升.
第2课时　平面直角坐标系中点的坐标特征
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【复习导入】
问题1：在上节课中我们学面直角坐标系的哪些内容？你能回答吗？
问题2：你能在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各个点吗？并将各组内这些点依次用线段连接起来．(多媒体出示)
(1)C(－1，3)，D(－2，5)，E(3，4)，H(3，－2)；
(2)A(3，0)，B(0，－3)，F(2，－3)，G(0，0)．
教学设计
课题 第2课时　平面直角坐标系中点的坐标特征 授课人
素养目标 1.知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征．知道不同象限点的坐标的特征． 2．会用数形结合的数学思想，体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系.
教学重点 在已知的平面直角坐标系中描点、连线、观察，确定图形的大致形状.
教学难点 平行于坐标轴的直线上的点的坐标关系及坐标轴上点的坐标的确定.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 师：上节课我们学习了哪些知识？请同学们回顾一下． 生1：我们学面直角坐标系的定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为平面直角坐标系的原点． 师：好，谁还有补充吗？ 生2：平面直角坐标系有四个象限：右上方部分为第一象限，按逆时针依次为第二象限、第三象限、第四象限． 生3：先过这一点，向横轴作垂线，垂足所对的数是横坐标．然后过这一点向纵轴作垂线，垂足所对的数是这一点的纵坐标．点的坐标是一对有序实数对． 师：好！给出以下点的坐标你能说出它们所在的位置吗？(多媒体展示)练习：指出下列各点所在象限或坐标轴：A(－1，－2.5)，B(3，－4)，C(－2，5)，D(3，6)，E(－2.3，0)，F(0，4)，G(0，0)．生：根据点的坐标逐一回答． 师：由点找坐标是已知点在平面直角坐标系中的位置，根据这点在方格纸上对应的x轴、y轴上的数字写出它的坐标，反过来，已知坐标，让你在平面直角坐标系中找点，你能找到吗？ 这就是本节课要探讨学习的内容． 检查上节课学生对点的坐标特征的掌握情况，同时为本节课已知点的坐标确定位置做铺垫，有利于学生在平面直角坐标系内准确找出点的位置.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：A(－3，－1)，B(2，1)，C(－1，3)，D(－1，0)，E(0，－3)，F(1，－4)，并探究各个象限中点的坐标的符号具有怎样的特征？ 多媒体展示教材第61页“尝试·思考”． (1)在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标有什么特点． (2)在其他象限内分别找几个点，看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点． (3)不描出点，分别判断(1，2)，(－1，－3)，(2，－1)，(－3，4)这些点所在的象限，说说你是怎么判断的． 师生活动：小组交流讨论，并回答总结得出各象限点的特征，教师补充： 1．(1)第一象限中点的坐标符号为(＋，＋)； (2)第二象限中点的坐标符号为(－，＋)； (3)第三象限中点的坐标符号为(－，－)； (4)第四象限中点的坐标符号为(＋，－)． 2．(1)x轴上，点的纵坐标为____________； (2)y轴上，点的横坐标为____________； (3)在原点上的点的坐标为____________． 1.让学生在平面直角坐标系中找出点的位置，经历探究的过程，从而总结出一般的由坐标找点的方法，所得图形也是学生比较熟悉的图形，借助这个图形以几个问题的形式让学生观察给出点的特征，经历探究的过程，从而总结出坐标轴上点的特征，及与坐标轴平行的直线上点的特征，循序渐进，一步一步突破本节难点，变被动为主动，很好地体现了数学的趣味性，数与形的结合完美地展现了出来，大大激发了学生的学习热情． 2．通过组内合作与自主学习相结合的学习方式，培养学生主动学习与合作学习的意识，发挥学生的主体地位.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(教材第61页例2)在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点依次连接(如下图)． ①D(－3，5)，E(－7，3)，C(1，3)，D(－3，5)； ②F(－6，3)，G(－6，0)，A(0，0)，B(0，3)． 观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题． (1)图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？ (2)线段EC与x轴有什么特殊的位置关系？点E和点C的纵坐标有什么关系？线段EC上其他点的坐标呢？ (3)点F和点G的横坐标有什么关系？线段FG与y轴有怎样的位置关系？
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 　　解：连接起来的图形像“房子”． (1)线段AG上的点都在x轴上，它们的纵坐标都是0；线段AB上的点、线段CD与y轴的交点都在y轴上，它们的横坐标都是0. (2)线段EC与x轴平行，点E和点C的纵坐标相同．线段EC上其他点的纵坐标也相同，都是3. (3)点F和点G的横坐标相同，线段FG与y轴平行． 教师补充知识点：与x轴平行的直线上点的坐标的特征是纵坐标相同，横坐标不相同；与y轴平行的直线上点的坐标的特征是横坐标相同，纵坐标不相同． 例2　已知点A(m，－2)，B(3，m－1)． (1)若点B在x轴上，则m的值是1． (2)若点A在y轴上，则m的值是0． 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 【变式训练】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知点M(2，－2)，N(5，－2)，那么直线MN与y轴(A) A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．不确定 2．已知点P的坐标为(2x，x＋3)，点M的坐标为(x－1，2x)，PM平行于y轴，则点P的坐标为(A) A．(－2，2) B．(6，6) C．(2，－2) D．(－6，－6) 3．在平面直角坐标系xOy中，点P(a＋1，2a－2)． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P到y轴的距离是3，求点P的坐标． 解：(1)∵点P(a＋1，2a－2)在x轴上， ∴2a－2＝0，解得a＝1. ∴P(2，0)． (2)∵点P到y轴的距离是3， ∴|a＋1|＝3.即a＋1＝3或a＋1＝－3. 解得a＝2或a＝－4. 当a＝2时，点P的坐标为(3，2)； 当a＝－4时，点P的坐标为(－3，－10)； ∴点P的坐标为(3，2)或(－3，－10)． 师生活动：学生思考，小组讨论，教师作适当引导． 1.对知识进行巩固练习，使学生对知识加深理解，以便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况． 2．通过变式训练的练习，提高学生应用知识的能力.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.在平面直角坐标系中，下列点在第四象限的是(C) A．(－1，2) B．(3，2) C．(2，－3) D．(－2，－3) 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标可能是(D) A．(－1，2) B．(－2，－1) C．(－2，2) D．(－2，1)
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.已知点A(a＋9，2a＋6)在y轴上，则a的值为(A) A．－9 B．9 C．3 D．－3 4．已知线段AB＝5，AB平行于x轴，点A在点B左边，若点A的坐标为(－1，3)，则点B的坐标为(4，3)． 5．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示． (1)分别写出以下顶点的坐标：A(－4，3)；B(3，0)． (2)求△ABC的面积． 解：△ABC的面积为 (4＋3)×5－×(3＋4)×3－×2×2－×(3＋2)×5 ＝35－－2－ ＝10. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 及时巩固新知，加深对所学知识的理解运用，激发学生的学习热情，对学生的数学学习起到很好的促进作用.
课堂小结 1.课堂小结： 通过本节课的学习，你都有哪些收获？ 学生谈本节课的学习收获，老师作出点评、补充． 2．布置作业： 教材第62页随堂练习第1题，第65页习题3.2第4题. 学生回顾探究的整个过程，形成知识框架，体会学习的成果，感受成功的喜悦.
板书设计 第2课时　平面直角坐标系中点的坐标特征 1．四个象限内点的坐标． 2．坐标轴上的点的坐标特征． 3．与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　通过旧知导入引出新知，建立了新旧知识的联系，通过小组合作绘制坐标系、标注点的坐标，提升了学生的动手能力．但未充分利用动态演示(如几何画板)突破抽象难点，学生在理解点的坐标符号规律(如各象限横纵坐标正负)时存在混淆，部分学生对抽象坐标与实际位置对应关系理解不透彻．后面教学将通过增加“坐标符号速记口诀”和变式训练(如已知象限写坐标范围)、利用多媒体动态展示点的移动规律等方法，强化坐标与位置的关联认知． 反思，更进一步提升.
第3课时　建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置
备课素材
一、新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情境导入】
(多媒体展示图片)如图，五个儿童正在做游戏，你能准确地描述儿童E的位置吗？用什么办法确定位置较为准确呢？
二、数学文化拓展阅读
五彩斑斓的平面坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，一般取右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，一般取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．平面直角坐标系又称为笛卡尔坐标系，它只是平面坐标系中的一种．除了平面直角坐标系外，还有平面斜坐标系、仿射坐标系、极坐标系、面积坐标系等．这些坐标系各有各的特点．
教学设计
课题 第3课时　建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置 授课人
素养目标 1.能在方格纸上建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置；能结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的位置． 2．在应用中进一步掌握平面直角坐标系的基本内容，会根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系.
教学重点 能够建立适当的平面直角坐标系，能根据点的位置写出点的坐标.
教学难点 根据已知条件建立适当的平面直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 在已知平面直角坐标系中描出以下各点，并将各点用线段依次连接起来，观察点A与其他各点有什么特殊的位置关系：A(－1，2)，B(1，2)，C(－1，－2)，D(1，－2). 巩固前两节所学知识，使学生能准确熟练地在坐标系中描出相应的点，同时观察图形特点，体会坐标与对应点之间的位置，理解数形结合的思想.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题1：在坐标平面内如何确定一个点的坐标？已知点的坐标如何确定点的位置？ 问题2：在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为(1，2)和(2，－2)的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为(3，－1)，除此以外不知道其他信息．如何确定平面直角坐标系找到宝藏？ 这个情境具有一定趣味性和探究性，这样可以大大激发学生的思维，增强学生的学习兴趣，提高学生学习的积极性和主动性，同时引导学生进入新课的学习.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 建立平面直角坐标系，描述图形． 问题：(教材第63页例3)如图1，长方形ABCD的长与宽分别是6，4，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标． 提示：在没有平面直角坐标系的情况下不能写出各个顶点的坐标，所以应先建立平面直角坐标系，那么应如何选取平面直角坐标系呢？请大家思考． 学生可能出现的答案如下： 方法1(教师板书)：如图2所示，以点C为坐标原点，分别以CD，CB所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．此时点C的坐标是(0，0)．由CD＝6，CB＝4，可得点A，B，D的坐标分别为A(6，4)，B(0，4)，D(6，0)． 方法2：如图3所示，以点D为坐标原点，分别以CD，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．由CD＝6，BC＝4，可得点A，B，C，D的坐标分别为A(0，4)，B(－6，4)，C(－6，0)，D(0，0)． 方法3：如图4所示，以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．由AB＝6，AD＝4，可得点A，B，C，D的坐标分别为A(0，0)，B(－6，0)，C(－6，－4)，D(0，－4)． 方法4：如图5所示，以点B为坐标原点，分别以BA，BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．由BA＝6，BC＝4，可得点A，B，C，D的坐标分别为A(6，0)，B(0，0)，C(0，－4)，D(6，－4)． 方法5：以长方形的中心(即对角线的交点)为坐标原点，平行于长方形相邻两边的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A，B，C，D的坐标分别为A(3，2)，B(－3，2)，C(－3，－2)，D(3，－2)． 议一议 通过例3的学习，你还可以怎样建立适当的平面直角坐标系？与同伴进行交流． 【归纳】建立适当平面直角坐标系的原则： 1．尽可能选择一些特殊点作坐标原点． (如顶点、中心、垂足) 2．坐标轴尽可能建立在图形已知的线段上． 3．画平面直角坐标系一定要完整． [如正方向(箭头)、坐标轴符号(x，y)、原点符号(O)，还要保证单位长度一致] 1.让学生体会不同的坐标系下，同一图形的位置不同，关键点的坐标也不同． 2．确定坐标系时，一方面是看点的位置，同时也与此点到坐标轴的距离有关，而距离往往需要进行计算． 3．培养学生综合应用知识解决问题的能力.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(教材第63页例4)如图，对于边长为4的等边三角形ABC，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标． 解：答案略． 例2　如图，在一次部队军事演习中甲方已经找到了乙方坐标为A(2，1)和B(－2，1)的两个警卫营的位置，并且知道乙方的指挥所的位置为(3，3)，除此之外不知道其他信息，如何确定乙方的指挥所的位置？ 解：连接AB，作线段AB的垂直平分线记为y轴，以AB的中点为起点，AB的四分之一为一个单位长度向下作一个单位长度为坐标原点，过原点作AB的平行线记为x轴，建立平面直角坐标系，找到点(3，3)即可． 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 【变式训练】 如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为(－1，2)，点B的坐标为(2，－4)，则坐标原点为(A) A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 师生活动：学生思考，小组讨论，教师作适当引导． 加深学生对结论的记忆，并进一步明确：不同的坐标系下，同一图形的位置不同，关键点的坐标也不同.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图，方格纸上有M，N两点，若以点N为原点建立平面直角坐标系，则点M的坐标为(3，4)；若以点M为原点建立平面直角坐标系，则点N的坐标为(A) A．(－3，－4) B．(4，0) C．(0，－2) D．(2，0)
第1题图
　　　　
第2题图
2．某市区的几个旅游景点在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知图中每个小正方形的边长均为1个单位长度，且山陕会馆的坐标是(4，－1)，则其他各景点的坐标分别为：光岳楼(1，0)；金凤广场(－2，－1.5)；动物园(6，3)；湖心岛(－1.5，1). 加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 3.如图所示，在长方形ABCD中，已知AB＝6，AD＝4，在长方形ABCD外画△ABE，使AE＝BE＝5，请建立适当的平面直角坐标系，并求出各顶点的坐标． 解：以点D为坐标原点，DC和AD所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系， 点A的坐标是(0，4)，点B的坐标是(6，4)，点C的坐标是(6，0)，点D的坐标是(0，0)． 作EG⊥CD交AB于点F. ∵AE＝BE， ∴AF＝AB＝×6＝3. 在Rt△AEF中，EF＝＝＝4， 则EG＝4＋4＝8， ∴点E的坐标是(3，8)． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂小结 1.课堂小结： (1)在本节课的探索活动中你都运用了哪些知识？ (2)通过本节课的学习你又有哪些新的收获？ 2．布置作业： 教材第64页随堂练习第1题；教材第65～66页习题3.2第2，6，7，10题. 良好的课堂小结，可以再次激起学生思维的高潮，起到余味无穷、启迪智慧的效果．能使一堂课所讲的知识体现出的数学思想、数学方法系统化.
板书设计 第3课时　建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置 1．尽可能选择一些特殊点作坐标原点． 2．坐标轴尽可能建立在图形已知的线段上． 3．画平面直角坐标系一定要完整． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　教学中，学生基本掌握平面直角坐标系构建要素，但在“适当性”把握上不足，常因原点、坐标轴选取不当导致坐标表达复杂．教学时通过案例对比和动态演示，帮助学生理解不同建系的差异，但学生对生活化场景的迁移应用能力较弱．后续需增加多样化实践案例，设计开放性任务引导学生对比优化建系方案，强化灵活应用与实际问题解决能力． 反思，更进一步提升.
3　轴对称与坐标变化
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【复习导入】
活动内容：复习点的坐标相关知识．
问题1：点的坐标的概念是什么？
问题2：写出图中多边形ABCDEF各个顶点的坐标．
问题3：在平面直角坐标系中，描出下列各点：A(－5，0)，B(1，4)，C(3，3)，D(1，0)，E(3，－3)，F(1，－4)．
教师：我们知道，点的位置不同，写出的坐标就不同，反过来，不同的坐标确定不同的点．如果图形中点的横(纵)坐标不变，纵(横)坐标按一定的规律变化，或者横、纵坐标都按一定的规律变化，那么图形是否会变化？变化的规律是怎样的？这将是本节课我们要研究的问题．
教学设计
课题 3　轴对称与坐标变化 授课人
素养目标 1.经历图形坐标变化与图形的轴对称之间关系的探索过程，发展学生的形象思维能力和数形结合意识． 2．会用数学语言描述轴对称与坐标变化.
教学重点 经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之间的关系.
教学难点 由坐标的变化探索新旧图形之间的变化过程，发展形象思维能力和数形结合意识.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么叫平面直角坐标系？ 2．坐标与平面直角坐标系内的点有什么关系？ 3．如何由坐标找点？ 学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 (多媒体出示)在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗． 问题1：两面小旗之间有怎样的位置关系？对应点A与A1的坐标又有什么特点？其他对应的点也有这个特点吗？ 问题2：在这个平面直角坐标系中作出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个顶点的坐标与原来的点的坐标有什么关系？ 利用学生感兴趣的图形的变化，激发学生的学习兴趣以及求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时让学生回顾轴对称图形的概念，为新课的学习做好铺垫.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 探索两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系： (1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点：(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，－1)，(3，0)，(4，－2)，(0，0)，你得到了一个怎样的图案？ (2)将所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，依次连接这些点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢？ (3)将所得图案的各个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，依次连接这些点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢？ 师生活动：学生操作，教师从旁指导；学生讨论教师提出的问题，教师在学生回答后进行动画展示图形位置变化的过程并总结规律． 让学生解决【课堂引入】中的问题． 教师小结并板书：“关于x轴对称的点”的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数；“关于y轴对称的点”的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数． 引导学生通过自主探究、合作交流，对关于y轴和x轴对称的图形的对称点的坐标的特性进行探讨，从而得到关于y轴和x轴对称的图形的对称点的坐标的特点.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　如图所示，若将平面直角坐标系中“鱼”图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，所得图案与原图案相比，下列说法正确的是(B) A．所得图案与原图案关于x轴对称 B．所得图案与原图案关于y轴对称 C．所得图案与原图案关于原点对称 D．所得图案与原图案重合 例2　 如图，若将△ABC顶点横坐标都增加4个单位长度，纵坐标不变，三角形将如何变化？若将△ABC顶点横坐标都乘－1，纵坐标不变，三角形将如何变化？
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 　　解：横坐标都增加4个单位长度，纵坐标不变，所得各顶点的坐标依次是A(1，3)，B(1，1)，C(3，1)，连接AB，AC，BC，整个三角形向右平移4个单位长度；横坐标都乘－1，纵坐标不变，所得各顶点的坐标依次是A(3，3)，B(3，1)，C(1，1)，连接AB，AC，BC，所得到的三角形与原三角形关于y轴对称． 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 【变式训练】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图，边长均为1个单位长度的正方形组成的方格纸内有一张笑脸图案，已知左眼的坐标是(－1，0)，那么右眼关于鼻子所在的水平线对称的点的坐标是(A) A．(1，－2) B．(1，－1) C．(－1，0) D．(－1，－2)
第1题图
　　　　　　　
第2题图
2．如图，△AOB与△A′OB关于x轴对称，若△AOB内任意一点P的坐标是(a，b)，则△A′OB中的对应点Q的坐标是(D) A．(a，b) B．(－a，b) C．(－a，－b) D．(a，－b) 3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(－3，－3)，B(－1，－2)，C(－2，－1)． (1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1. (2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2. (3)若△ABC内部一点P(m，n)在△A1B1C1中的对称点为P1，在△A2B2C2中的对称点为P2，请直接写出点P1，P2的坐标． 解：(1)如图，△A1B1C1为所求作． (2)如图，△A2B2C2为所求作． (3)由(1)(2)可知：P1(m，－n)，P2(－m，n)． 师生活动：学生思考，小组讨论，教师作适当引导． 检验学生对本节课的掌握情况，同时也是对学生本节课知识的又一次巩固和提高.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是(B) A．点A B．点B C．点C D．点D 2．已知点A(a－1，5)和点B(2，b－1)关于x轴对称，则(a＋b)2 026的值为1． 3．已知点M(a，－1)和点N(2，b)不重合，则当点M，N关于y轴对称时，a＝－2，b＝－1. 4．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A(－4，5)，C(－1，3)，A1(4，5)，B1(2，1)，△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称． (1)在网格内完善平面直角坐标系； (2)点B坐标是(－2，1)，点C1坐标是(1，3)； (3)求△A1B1C1的面积． 解：(1)建立平面直角坐标系如图． (3)S△A1B1C1＝3×4－×2×1－×2×3－×2×4＝4. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 检验学生对本节课知识的掌握程度、理解能力和运用程度．让学生运用所归纳的关于y轴和x轴对称的图形的对应点的坐标的特点解决问题，提高学生解决问题的能力.
课堂小结 1.课堂小结： (1)这节课很快就要结束了，谈谈你有哪些收获． (2)以小组为单位交流讨论一下，本节课用过哪些数学方法呢？ 2．布置作业： 教材第70～71页习题3.3第1，2，3，4题. 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计 3　轴对称与坐标变化 关于x轴对称的两个点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数． 关于y轴对称的两个点的坐标：纵坐标相同，横坐标互为相反数． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　学生能初步记忆关于坐标轴、原点对称的坐标变化规律，但部分学生对“横、纵坐标符号变化逻辑”理解模糊，易混淆关于x轴、y轴对称的坐标差异．教学中结合动画演示对称变换过程效果较好，但缺乏联系实际的深度应用(如图案设计、建筑对称建模)．后续需增加“规律推导探究活动”，通过几何直观操作强化符号变化的本质理解，并设计综合性任务提升知识迁移能力． 反思，更进一步提升.

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