资源简介

——— 第四章 ———一次函数
本章教材分析
函数是刻画变量之间关系的常用模型，其中最为简单的是一次函数．在本章中，我们将学习刻画一个变量随另一个变量均匀变化这类现象的函数——一次函数．通过具体问题体会一次函数的意义，结合其图象讨论它的性质，体会其在解决运动变化过程中的作用，并用一次函数解决一些实际问题．在本章中，将再次经历从现实到数学的抽象过程，感受数学模型的广泛应用及图形直观的力量，发展抽象能力、模型观念和几何直观等．
1　函数
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【复习导入】
活动内容：我们生活在一个变化的世界中，很多东西都在悄悄地发生着变化．我们在七年级已经学习了变量及自变量和因变量，你还记得它们的概念吗？让我们一起来回顾一下吧！
课件展示：
在一个变化过程中可以取不同数值的量叫作变量；如果一个量随着另外一个量的变化而变化，那么把这个量叫作因变量，另一个量叫作自变量；在一个变化过程中数值始终不变的量叫作常量．
函数是刻画变量之间关系的常用模型，了解变量之间的关系可以帮助我们更好地认识世界，服务于我们的生活．因此，让我们一起走进函数的天地吧！
教学设计
课题 1 　函数 授课人
素养目标 1.了解函数产生的背景和函数的概念，能判断两个变量间的关系是否可看成函数． 2．会用函数的观点认识现实世界． 3．会建立函数模型来解决生活实际中的问题.
教学重点 1.掌握函数的概念． 2．判断两个变量之间的关系是否可看成函数． 3．能把实际问题抽象概括为函数.
教学难点 1.理解函数的概念． 2．能把实际问题抽象概括为函数问题.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 因变量和自变量的概念是什么？ 学生回忆并回答，为本课的学习提供知识基础.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 用课件显示游乐园里摩天轮游戏场景，让学生想一想：如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 学生思考分析后举手回答． 通过生活中游乐园里摩天轮游戏场景，引入新课.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．由【课堂引入】中的问题，课件显示教材第75页图4－1及图下表格，要求学生完成表格．让学生观察图形，分组讨论完成． 提出问题：对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？ 师生活动：学生讨论后给予肯定的答复．引导学生分析这个问题中的两个变量． 2．课件显示教材第75页“操作·思考”第1题，提出问题：这个问题中的变量有几个？分别是什么？ 师生活动：让学生讨论后答出变量有2个，分别是层数与物体总数． 引导学生得出：只要给定层数，就能求出物体总数． 3．课件显示教材第76页“操作·思考”第2题，要求学生直接计算并回答． 师生活动：让学生第(1)问直接回答出结果，第(2)问小组讨论得出答案．引导学生比较以上三个问题的异同点． 总结：指出以上三个问题分别用图象、表格和关系式的形式表达了生活化的场景，并给出函数的定义． 说明：表格、关系式、图象是函数的三种表示方式． 想一想：上述问题中，自变量能取哪些值？(指出要根据实际问题确定自变量的取值范围．) 让学生思考后回答． 学生通过分析探究活动中例子的共同特点，用自己的语言概括函数的概念，加深对函数概念本质特征的理解.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　蛇的体温随外部环境温度的变化而变化．下图表示一条蛇在两昼夜之间的体温变化情况． (1)第一天，蛇的体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多长时间？ (2)若用x(h)表示时间，y(℃)表示蛇的体温，将相应数据填入下表：
x/h4122028324048y/℃35393935374036
　　(3)y是x的函数吗？并说说你的理由.
解：(1)观察图象可得，第一天，蛇的体温的变化范围是35～40 ℃，它的体温从最低上升到最高需要16－4＝12(h).
(3)y是x的函数．理由如下：因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，所以y是x的函数.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】 一水池的容积是90 m3，现蓄水10 m3，用水管以5 m3/h的速度向水池注水，直到注满为止． (1)写出蓄水量V(m3)与注水时间t(h)之间的表达式． (2)当t＝10 h时，V是多少？ (3)要注满水池容积80%的水，需要多少小时？ 解：(1)V＝10＋5t(0≤t≤16)． (2)当t＝10 h时，V＝10＋50＝60(m3)． (3)由题意，得 10＋5t＝90×80%， 解得t＝12.4. 答：要注满水池容积80%的水，需要12.4 h. 师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨． 让学生对函数的概念进行应用，促进学生巩固知识.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度匀速行驶．下面是行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是(B) 2．在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠1． 3．根据图中的程序，当输入x＝2时，输出结果y＝2．
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 4.一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元，设门票的总费用为y元，则y与x的函数表达式为y＝30＋10x． 5．某地区现有果树24 000棵，计划今后每年栽果树3 000棵． (1)试写出果树棵数y与年数x之间的函数表达式； (2)求当x＝5时，y的值． 解：(1)y＝24 000＋3 000x. (2)39 000. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第77页随堂练习，第77～78页习题4.1第1，2，3，4题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 1　函数 1．函数的概念． 2．函数的表示方法． 3．自变量的取值范围． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　课堂导入引用了具体生活实例，让学生感受到变量之间的关系是通过多种形式表现出来的，感受研究函数的必要性，通过生活实例，激发学生的研究热情． 反思，更进一步提升.
2　认识一次函数
第1课时　认识生活中的“均匀”变化的现象
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情境导入】
为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1 min测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：
燃烧时间t/min 1 2 3 4 5 …
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 …
　　(1)根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出(t，l)对应的点．
(2)估计燃烧10 min后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由．
(3)估计这根香可燃烧的时间，并说明理由．
(4)试写出这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t之间的关系式．
教学设计
课题 第1课时　认识生活中的“均匀”变化的现象 授课人
素养目标 1.能识别生活中“均匀”变化的现象． 2．描述具体是如何“均匀”变化，并写出关系式． 3．会用数学知识表达生活中的“均匀”变化的现象.
教学重点 根据“均匀”变化现象写出关系式.
教学难点 建立数学模型解决实际问题.
授课类型 新授课 课时
教学设计
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.在函数关系中，一个量随着另一个量的变化均匀吗？ 2．函数有哪些表达方式？ 学生回忆并回答，温故知新.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗？先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流． 为了激发学生的兴趣，采用生活中熟悉的情境，让学生感受到生活中的数学，又能引出新知识.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 (1)将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯．每隔1 min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表．在坐标纸上描出(t，V)对应的点．你认为漏水量的变化具有什么规律？请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少？
时间t/min12345678910…漏水量V/mL
　　(2)下表是小明通过实验得到的数据．请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出(t，V)对应的点，并据此估计：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗？
时间t/min12345678910…漏水量V/mL5.511.016.522.027.533.038.544.049.555.0…
　　(3)分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量V与时间t之间的关系式吗？
(4)你的实验结果与小明的实验结果有何异同？
学生活动：学生思考，讨论并回答上述问题.
进一步探究：
学生分享各组的实验数据和结果，并交流以下问题：
(1)比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？
(2)引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和关系式的影响分别体现在哪些方面？
(3)假如水龙头漏水严重一些，表格、图象和关系式可能会发生什么变化？
根据小明的实验数据，教师引导学生作出总结：时间每增加1 min，漏水量增加5.5 mL.也就是说，随着时间的增加，水龙头漏水量在“均匀”地增加.
所谓“均匀变化”是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的． 通过具体的实验操作，把整个探索过程交给学生完成，教师只作为一个协助者，让学生思考、讨论，从而感受什么是“均匀”变化，以及均匀变化用表格、图象、关系式分别怎么体现.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】
例　一蓄水池中装有40 m3水，按一定的速度放水，水池里的水量y(m3)与放水时间t(min)满足如下关系：
放水时间t/min1234…水池中的水量y/m338363432…
(1)在平面直角坐标系中描出(t，y)对应的点.
(2)估计8 min后水池内的水量，并说明理由.
(3)试着写出水池里的水量y与放水时间t之间的关系式.
(4)估计多长时间水池中的水全部放完.
解：(1)图略.
(2)由表中数据可知，时间每增加1 min，水池中的水量减少2 m3，所以8 min后水池内的水量为24 m3.
(3)y与t之间的关系式为y＝40－2t.
(4)20 min.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】 一个水库的水位在最近5 h内持续上涨．下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度．
t/h012345y/m33.33.63.94.24.5
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，由此你能发现水位变化有什么规律吗？
(2)据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度将达到多少米.
(3)试写出水位高度y与时间t之间的关系式.
解：(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，如图.
由此可知，这些点在同一条直线上.
水位变化的规律：每经过1 h，水位上涨0.3 m.
(2)若这种上涨规律还会持续2 h，则t＝7，
当t＝7时，y＝0.3×7＋3＝5.1，
∴再过2 h水位高度将达到5.1 m.
(3)水位高度y与时间t之间的关系式为y＝0.3t＋3.
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 通过例题和变式训练，让学生巩固知识，加强对“均匀”变化现象的理解.
活动四：课堂检测 【课堂检测】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列变化过程属于均匀变化的是(C)
A.春天到了，竹笋的生长过程
B.百米赛跑时，运动员从起点到终点的速度随时间的变化
C.车辆以恒定的速度从甲地行驶到乙地时，油箱中剩余油量的变化
D.体育课上，投掷出的铅球飞行高度的变化
2.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：
温度T/℃－20－100102030声速v/(m·s－1)318324330336342348
根据表格所得到的信息，下列说法正确的是(C)
A.声速v不是温度T的函数
B.温度越低，声速越快
C.当温度每升高10 ℃时，声速增加6 m/s
D.声速v与温度T之间的关系式为T＝0.6v
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 3.一蓄水池中最多可以容纳40 m3水，配有两根相同的进水管道，设水池中的水量为y(m3)，进水时间为x(min)，若打开一根进水管道进水，则它们的变化情况如下表：
进水时间x/min12345…水池中的水量y/m31.534.56a…
回答下列问题：
(1)当x每增加1，y增加的值为1.5，表格中a＝7.5.
(2)在如图所示的平面直角坐标系中描出(x，y)对应的点，并写出此时y与x之间的关系式.
(3)若同时打开两根进水管，请在平面直角坐标系中描出此时(x，y)对应的点，并写出此时y与x之间的关系式.
(4)观察发现，打开一根进水管与同时打开两根进水管，对于图象有什么影响？
解：(2)y＝1.5x.
(3)y＝3x.
(4)同时打开两根进水管时，图象更陡一些(言之有理即可).
师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置课堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.课堂小结：
(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2.布置作业：
教材第80页随堂练习. 巩固提高，形成体系.
板书设计 第1课时　认识生活中的“均匀”变化的现象
所谓“均匀变化”是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的． 提纲挈领，重点突出
教学反思 　　本节课通过具体的实验数据，让学生感受生活中的均匀变化的现象，引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维理解世界，用数学的语言表达世界． 反思，更进一步提升.
第2课时　在简单实际问题中认识一次函数与正比例函数
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【复习导入】
活动内容：复习前面学习的内容，教师提出问题：
问题1：什么是函数？
问题2：函数有哪些表示方式？
问题3：假设你在从家去学校的过程中，以20 km/h的速度行驶，随着行驶时间t的增加，行驶的路程s的增加是“均匀”的吗？你能写出s与t之间的关系式吗？你能不能再举出类似的例子？
教学设计
课题 第2课时　在简单实际问题中认识一次函数与正比例函数 授课人
素养目标 1.理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系，利用一次函数和正比例函数解决实际问题． 2．会建立一次函数模型解决实际问题.
教学重点 1.一次函数、正比例函数的概念． 2．一次函数、正比例函数的关系． 3．会根据已知信息写出一次函数的关系式.
教学难点 一次函数知识的运用.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么是函数？ 2．函数有哪些表示方式？ 学生回忆并回答，温故知新.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 在弹性限度内，某弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体的质量x(单位：kg)的关系如下表所示：
x/kg012345y/cm3.03.54.04.55.05.5
　　(1)随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的变化是“均匀”的吗？
(2)写出y与x之间的函数关系式，并说明理由． 为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力，这里采用了学生熟悉的情境，既能让学生感受生活中的数学，又能引出新知识.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】
1.小组讨论【课堂引入】中教师提出的弹簧问题.
教师可做如下分析：当不挂物体时，弹簧长度为3 cm，当挂1 kg物体时，弹簧长度增加 0.5 cm，总长度为3.5 cm；增加1 kg物体，即所挂物体为2 kg时，弹簧长度又增加 0.5 cm，总共增加1 cm.由此可见，随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的变化是“均匀”的，所挂物体为x kg时，弹簧长度就增加0.5x cm，则弹簧总长为原长加增加的长度，即y＝3＋0.5x.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　2.某辆汽车油箱中原有汽油40 L，汽车每行驶50 km耗油4 L. (1)完成下表：
汽车行驶路程x/km050100150200250300耗油量y/L
　　(2)你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的函数关系式吗？
(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的函数关系式吗？
学生活动：独立思考，有困难再讨论，得出y＝0.08x；z＝40－0.08x.
观察·思考
(1)在上面情境中，我们得到y＝3＋0.5x，y＝0.08x，z＝40－0.08x，它们有什么共同特征？
(2)请你写出一个具有这种特征的关系式.
3.通过观察、探索、总结，归纳出一次函数与正比例函数的概念：若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数． 经历对一般规律的探索过程，从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系.
(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.
(3)一棵树现在高50 cm，每个月长高2 cm，x个月后这棵树的高度为y cm.
解：(1)由路程＝速度×时间，得y＝60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数.
(2)由圆的面积公式，得y＝πx2，y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
(3)这棵树每月长高2 cm，x个月长高了2x cm，因而y＝50＋2x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 　　例2　在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1 s其速度减少35 km/h. (1)假设该汽车以120 km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y(单位：km/h)与刹车后所经过的时间t(单位：s)之间的关系式y＝kt＋b，并说明k和b的实际意义． (2)求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间(结果精确到0.01 s)． 解：(1)刹车开始时汽车的速度为120 km/h，每过1 s汽车的速度减少35 km/h，于是经过t s汽车的速度减少了35t km/h，所以y与t的关系式是y＝－35t＋120.其中，k＝－35表示每秒汽车速度的变化量，b＝120表示刹车开始时汽车的速度． (2)汽车停止时速度y＝0，解方程0＝－35t＋120，得t＝≈3.43.因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为3.43 s. 【变式训练】 1．写出下列各题中y与x之间的表达式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)小红去商店买笔记本，每个笔记本2.5元，小红所付款y(元)与买笔记本的个数x(个)之间的关系． (2)有一个长为120米、宽为110米的矩形场地准备扩建，使长增加x米，宽增加y米，且使矩形的周长为500米，y与x之间的关系． 解：(1)y＝2.5x，既是一次函数，又是正比例函数． (2)y＝－x＋20，是一次函数，但不是正比例函数． 2．已知在一定温度范围内，声音在空气中传播的速度y(m/s)是气温x(℃)的一次函数，且温度每升高1 ℃，声音在空气中的传播速度增加0.6 m/s，当温度为0 ℃时，声音在空气中传播的速度为331 m/s，设速度y(m/s)与气温x(℃)之间的关系式为y＝kx＋b. (1)写出速度y(m/s)与气温x(℃)之间的关系式． (2)写出k和b的实际意义． 解：(1)y＝0.6x＋331. (2)k的实际意义为温度每增加1 ℃时，声音在空气中的传播速度的变化量，b的实际意义为气温为0 ℃时，声音在空气中的传播速度．
　　师生活动：学生独立思考，分组讨论，教师适时引导． 通过以现实为背景的例题，学生进一步理解一次函数和正比例函数的概念．根据所给的条件写出简单的一次函数表达式，让学生体会数学的广泛应用，发展学生的抽象思维能力，充分加强数学与现实的联系，促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.对于函数y＝2x－1，当自变量增加m时，相应的函数值增加(A) A．2m B．2m－1 C．m D．2m＋1 2．已知一次函数y＝2x＋1，当x＝0时，函数y的值是1． 3．乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米/时，则火车离库尔勒的距离s(千米)与行驶时间t(时)的函数表达式是s＝600－58t． 4．李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD，设BC边的长为x米，AB边的长为y米． (1)求y与x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围． (2)长方形的宽为5米时，求长方形的长． 解：(1)由题意，得2y＋x＝24，故可得y＝－x＋12(0＜x＜24)． (2)当y＝5时，x＝14，故长方形的长为14米． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置课堂检测，进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第82～83页随堂练习第1，2题. 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计 第2课时　在简单实际问题中认识一次函数与正比例函数 1．写出实际问题中的函数关系． 2．一次函数、正比例函数的概念． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　通过让学生分析大量具体的实例问题，既能深化学生对一次函数的理解，又能为学生运用一次函数解决问题打下基础． 反思，更进一步提升.
第3课时　在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数
备课素材
新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情境导入】
近日，“黄沙”再次肆虐我国多地，引起公众对沙尘天气的关注．植树造林是应对沙尘暴的重要措施．某校计划组织学生进行植树活动，现要去育苗基地购买树苗，由于数量较多，需要基地把树苗运送到植树目的地，育苗基地给出了两种方案：
方案一：基地把树苗运送到植树目的地，按6元/棵的价格支付购买树苗的费用，学校无需支付运费；
方案二：基地把树苗运送到植树目的地，按3.5元/棵的价格支付购买树苗的费用，另外学校需一次性支付运费800元．
(1)若学校购买这种树苗x棵，请分别写出按方案一购买树苗所需的总费用y1(元)和按方案二购买树苗所需的总费用y2(元)(含运费)与x(棵)之间的函数关系式．
(2)假设你是学校的决策者，你认为应该选择哪种方案更加合算？并说明理由．
教学设计
课题 第3课时　在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数 授课人
素养目标 1.能利用一次函数解决方案选择问题． 2．能利用一次函数解决分段计费问题． 3．会建立函数模型解决实际问题.
教学重点 利用一次函数解决方案选择问题和分段计费问题.
教学难点 利用一次函数解决分段计费问题.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么是正比例函数？ 2．什么是一次函数？ 学生回忆并回答，为本节课的学习提供知识基础.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 “生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案(如下表)，且都送货上门．
方案运费肥料价格方案一12元3元/kg方案二0元3.6元/kg
　　若该班购买x千克肥料，按方案一购买的付款总金额为y1元，按方案二购买的付款总金额为y2元.
(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式.
(2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 以具体情境引入，可以调动学生学习新课的积极性，激发学生的学习热情.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 探究1：学生分组讨论，交流，回答【课堂引入】中的问题． 教师提出新问题引导学生进一步探究： (3)该班购买10千克肥料时，选择哪种方案费用更低？ (4)该班购买多少千克肥料时，两种购买方案费用相同？ 学生分组讨论，交流，回答问题． 教师引导学生总结利用一次函数解决方案问题的一般解题步骤及需要注意的点． 探究2： 某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按2元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按3.5元收费． (1)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，当x>14时，求y与x之间的关系式． (2)若小名家9月份用水15吨，则9月份水费为多少元？ (3)若小名家10月份交水费49元，求他家10月份用水多少吨． 学生活动：独立思考，有困难再讨论，教师根据学生回答的情况，规范学生的答题规范，师生交流总结分段计费问题中的易错点． 教师提出问题，引发学生进一步思考：上述计费方式有什么意义？设计计费规则时需要注意什么？生活中还有哪些用到类似的计费方法？ 培养学生的探究能力，通过一连串设问，引导学生根据实际问题建立数学模型，利用函数模型解决实际问题，提高学生的数学应用能力.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　(教材第83页例3)为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：
计费档户年用水量x/m3单价/(元/m3)第一档03005.83
　　(1)当220(2)某户一年用水量是250 m3，求该户这一年的水费.
(3)某户去年一年的水费是1 000.5元，求该户去年一年的用水量.
解：(1)当220y＝3.45×220＋4.83×(x－220)，
即y＝4.83x－303.6.
(2)当x＝250时，y＝4.83×250－303.6＝903.9(元).
(3)因为3.45×220＝759，4.83×300－303.6＝1 145.4，
759<1 000.5<1 145.4，
所以该户年用水量属于第二档.
设该户去年一年的用水量为x m3，则
1 000.5＝4.83x－303.6.
解这个方程，得
x＝270.
因此，该户去年一年的用水量为270 m3.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】 某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元． 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱．工厂需要一次性投入机器安装费16 000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元． (1)完成下表：
制作个数费用/元方案一方案二5 00020 00028 00012 00048 00044 800
(2)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的关系式.
(3)在(2)的条件下，需要制作多少个纸箱时，选择方案一和方案二的费用相同？
解：(2)方案一：y＝4x；
方案二：y＝2.4x＋16 000.
(3)由题意，得2.4x＋16 000＝4x，
解得x＝10 000.
答：需要制作10 000个纸箱时，选择方案一和方案二的费用相同.
　　师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 通过以现实为背景的例题，学生进一步理解如何用一次函数解决方案选择与分段计费问题．让学生体会数学的广泛应用，发展学生的抽象能力，充分加强数学与现实的联系.
活动四：课堂检测 【课堂检测】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.新能源汽车在保障能源安全、改善空气质量等方面较燃油汽车都有明显优势．某品牌新能源汽车为了满足客户需求，提升服务质量，推出如下新能源汽车充电售后服务表：
新能源汽车充电售后服务表充电方式安装费用/元充电服务费标准/[元·(kW·h)－1]安装私人充电桩2 7000.6品牌公共充电桩01.8温馨提示：综合情况下，1 kW·h电汽车可行驶8 km
设充电方式为安装私人充电桩的总费用为y1(元)，充电方式为品牌公共充电桩的总费用为y2(元)，累计充电量为x(kW·h).
根据以上信息，解决下列问题：
(1)请分别求出y1，y2与x之间的关系式.
(2)若某客户计划两年内居住在同一地方，且每年汽车行驶里程约10 000 km，请你分析该客户选择哪种充电方式更合算，并说明理由.
解：(1)由表格，得y1＝0.6x＋2 700，
y2＝1.8x.
(2)∵该客户两年内汽车累计充电量为2×10 000÷8＝2 500(kW·h)，
∴当x＝2 500时，
y1＝0.6×2 500＋2 700＝4 200(元)，
y2＝1.8×2 500＝4 500(元).
∵4 500>4 200，
∴客户选择安装私人充电桩更合适.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 2.北方某市对城市居民该冬季的采暖收费标准如下表：(以户为单位)
阶梯采暖用气销售价格第一阶梯0～1 500 m3(含1 500)的部分2.67元/m3第二阶梯1 500～2 500 m3(含2 500)的部分3.15元/m3第三阶梯2 500 m3以上的部分3.63元/m3
根据表中所给的数据回答以下问题：
(1)设某户这个冬季用气量为x m3(1 500＜x≤2 500)，缴纳燃气费用为y元，求y与x之间的关系式.
(2)某户用气量为2 000 m3，求此户需缴纳的燃气费用.
(3)已知某户该冬季缴纳燃气费用为5 895元，求该户用了多少立方米的燃气.
解：(1)当1 500(2)当x＝2 000时，y＝3.15×2 000－720＝5 580.
∴此户需缴纳的燃气费用为5 580元.
(3)设该户用x m3的燃气.
当用气量为1 500 m3时，费用为1 500×2.67＝4 005(元)<5 895元，
当用气量为2 500 m3时，费用为3.15×2 500－720＝7 155(元)＞5 895元.
∴该用户燃气用量属于第二阶梯.
∴3.15x－720＝5 895，
解得x＝2 100.
∴该户用了2 100 m3的燃气.
师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置课堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.课堂小结：
(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2.布置作业：
教材第84页随堂练习. 巩固提高，形成体系.
板书设计 第3课时　在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数
1.方案选择问题.
2.分段计费问题． 提纲挈领，重点突出
教学反思 　　在实际情境中学习可以激发学生的学习兴趣，用问题启发学生去思考、鼓励学生用已学过的函数知识去表达，使学生感受数学建模的应用价值． 反思，更进一步提升.
3　一次函数的图象
第1课时　正比例函数的图象与性质
备课素材
新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【复习导入】
问题1：一次函数和正比例函数的定义是什么？
问题2：(1)写出如图所示的平面直角坐标系中点A，B，C，D的坐标．
(2)在平面直角坐标系中描出点M(－3，－4)，N(0，－5)，T(－4，3)．
问题3：(多媒体展示)如图反映的是小明离家的距离s(米)与小明出发的时间t(分)之间的关系，那么s与t之间的函数表达式是怎样的？
问题4：你想知道上图是如何画出来的吗？
教学设计
课题 第1课时　正比例函数的图象与性质 授课人
素养目标 1.理解函数图象的含义，经历画正比例函数图象和探索正比例函数图象的形状的过程，知道正比例函数的图象是一条过原点的直线． 2．会用数形结合的思想探索正比例函数图象的变化，归纳总结出作函数图象的一般步骤.
教学重点 初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线，能够画出正比例函数的图象.
教学难点 理解正比例函数的表达式与图象之间的一一对应关系.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 什么是一次函数？什么是正比例函数？它们有怎样的关系？ 学生回忆并回答，为本节课的学习提供知识基础.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 1．播放录像，提出问题． 龙卷风是由空气对流运动造成的、强烈的、小范围的空气涡旋．它的外形看起来像一个猛烈旋转的圆形空气柱，龙卷风的移动速度很快，平均每分钟可移动约3千米，有关数据如下：(多媒体展示) 通过具有视觉冲击力的录像，迅速吸引学生的注意力，调动学生探究问题的积极性，然后利用学生探究的结果引出下一步探究学习的内容，同时引出课题，一举多得.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 　
时间/分路程/千米00132639412
如果龙卷风移动的时间用x(分)表示，移动的路程用y(千米)表示，你可以得到怎样的结论？
2.总结归纳，引出课题.
通过对龙卷风的研究，我们知道了龙卷风的移动时间x和路程y之间存在正比例函数关系y＝3x，知道时间，我们就可轻易地求出龙卷风移动的距离，可是只依靠函数关系式来分析龙卷风还显得太抽象，能不能把函数关系转化成生动的图象呢？(教师多媒体展示图象，并简单介绍图象的构成)今天这节课我们就来研究一下．板书课题：“第1课时　正比例函数的图象与性质”.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】
1.函数图象的概念
问题：你能根据上面的函数图象描述出函数图象的概念吗？
函数图象的概念：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象.
师生活动：让学生根据上面的路程y(千米)与时间x(分)之间的函数图象尝试着回答函数图象的概念，教师进行指导纠正，最后给出正确的概念.
2.作正比例函数的图象
操作·思考：请同学们在平面直角坐标系中作出下面的正比例函数的图象(多媒体展示).
例　画正比例函数y＝2x的图象.
解：列表：
x…－2－1012…y＝2x…－4－2024…
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.
连线：把这些点依次连接起来，得到y＝2x的图象.
总结：
由例题我们发现：作一个函数的图象需要三个步骤：列表、描点、连线.
师生活动：让学生先小组内进行讨论如何作出函数的图象，教师加以指导，然后教师演示如何作函数y＝2x的图象，最后教师总结出作函数图象的一般步骤.
思考·交流：(多媒体展示)请同学们以小组为单位，讨论下面的问题，把得出的结论写出来.
(1)在函数y＝－3x的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y＝－3x.
(2)满足表达式y＝－3x的x，y所对应的点(x，y)都在正比例函数y＝－3x的图象上吗？
(3)正比例函数y＝kx的图象有什么特点？ 1.让学生自己尝试总结函数图象的概念，培养学生的概括总结能力，也能让学生更好地掌握函数图象的概念.
2.让学生通过作函数图象，掌握作一个函数图象的一般步骤，能作出一个函数的图象，同时感悟到正比例函数的图象是一条直线．通过让学生动手操作，相互合作，探索得出正比例函数的表达式与图象是一一对应的及正比例函数y＝kx的图象是一条过原点的直线.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　探究结论：正比例函数的表达式与图象是一一对应的，即满足正比例函数的表达式的x，y所对应的点(x，y)都在正比例函数的图象上；正比例函数的图象上的点(x，y)都满足正比例函数的表达式．正比例函数y＝kx的图象是一条直线，以后可以称正比例函数y＝kx的图象为直线y＝kx. 总结：我们得出正比例函数y＝kx的图象是一条经过原点(0，0)的直线．因此，画正比例函数y＝kx的图象时，只需再确定一个点，过这点与原点画直线就可以了，通常过点(0，0)，(1，k)作直线． 3．正比例函数图象的性质 请同学们画出下列函数的图象．(多媒体展示) 例　在同一平面直角坐标系中作出正比例函数y＝x，y＝3x，y＝－x，y＝－4x的图象． 问题1：观察上面所画的四个函数图象，随着x值的增大，y的值分别如何变化？ 问题2：在正比例函数y＝x和y＝3x中，随着x值的增大，y的值都增大了，其中哪一个函数增大得更快？你能说明其中的道理吗？ 问题3：正比例函数y＝－x和y＝－4x中，随着x值的增大，y的值都减小了，其中哪一个函数减小得更快？你是如何判断的？ 问题分析： 问题1：在正比例函数y＝kx中，当k>0时，图象在第一、三象限，y的值随着x值的增大而增大(即从左向右观察图象时，直线是向上倾斜的)；当k<0时，图象在第二、四象限，y的值随着x值的增大而减小(即从左向右观察图象时，直线是向下倾斜的)． 问题2：正比例函数y＝x和y＝3x中，随着x值的增大，y＝3x中y的值增大得更快． 问题3：正比例函数y＝－x和y＝－4x中，随着x值的增大，y＝－4x中y的值减小得更快． 结论：越大，直线越靠近y轴． 3.通过学生对所画函数图象变化趋势的观察，得出正比例函数图象的增减性.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　关于正比例函数y＝－2x，下列结论正确的是(C) A．图象必经过点(－1，－2) B．图象经过第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．不论x取何值，总有y＜0 【变式训练】 1．写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数y＝kx(k≠0)的表达式：答案不唯一，如：y＝3x． 2．对于函数y＝－k2x(k是常数，k≠0)的图象，下列说法错误的是(C) A．是一条直线 B．过点(－，k) C．经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 师生活动：学生独立思考，分组讨论，教师适时引导． 对正比例函数的图象与性质进行应用，帮助学生巩固知识.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知正比例函数y＝kx. (1)若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是什么？ (2)点(1，－2)在它的图象上，求它的表达式． 解：(1)k＜0. (2)y＝－2x. 2．画出正比例函数y＝x的图象，并结合图象回答下列问题： (1)点(4，2)是否在正比例函数y＝x的图象上？点(－2，－2)呢？ (2)若点(2a－2，3a)在正比例函数y＝x的图象上，求a的值． (3)随着x的增大，y的值如何变化？ 解：(1)点(4，2)在正比例函数y＝x的图象上，点(－2，－2)不在函数图象上． (2)因为点(2a－2，3a)在正比例函数y＝x的图象上， 所以3a＝(2a－2)，解得a＝－. (3)y的值随x值的增大而增大． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，使其灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第91页随堂练习，第93页习题4.3第2，3题. 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计 第1课时　正比例函数的图象与性质 1．正比例函数的图象． 2．正比例函数的性质． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　本节课主要是结合正比例函数的图象，探究正比例函数的简单性质，画出图象后，教师引导学生观察正比例函数图象，总结正比例函数的性质，锻炼学生自主学习的能力． 反思，更进一步提升.
第2课时　一次函数的图象与性质
备课素材
新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情境导入】
大家都听过寓言故事《龟兔赛跑》，甲、乙两个图中哪一个比较符合寓言故事中所表述的情节？
教学设计
课题 第2课时　一次函数的图象与性质 授课人
素养目标 1.了解一次函数两个变量之间的变化规律．在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数的图象及其简单性质． 2．会用数形结合的思想，探究一次函数图象与性质． 3．通过对一次函数图象变化规律的探究，学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略.
教学重点 一次函数的图象与性质.
教学难点 由一次函数的图象归纳出一次函数的性质.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 活动内容：(温故而知新) 问题1：在前面，我们已经学会了绘制正比例函数的图象，那么你能快速地作出函数y＝3x和y＝－2x 的图象吗？ 问题2：作正比例函数图象需要描出几个点？为什么？ 问题3：结合图象填表：(多媒体出示)
正比例函数定义性质k>0k<0
　　正比例函数是特殊的一次函数，我们已研究了它的性质，一次函数图象中又蕴含着什么规律呢？这节课我们就来研究一次函数的图象与性质．,通过作图、口答、填表等活动激发学生的求知欲，强化上节课的重点知识．利用正比例函数与一次函数的联系，为新课的学习做好铺垫．
活动二：实践探究、交流新知,【探究新知】
1．画出函数y＝－2x＋1的图象(多媒体出示)．
问题1：与正比例函数相比，一次函数y＝kx＋b的图象有什么特点？
问题2：还可以怎样画一次函数的图象？续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　2.利用两点法在同一平面直角坐标系内分别画y＝2x＋3，y＝－x，y＝－x＋3和y＝5x－2的图象． 3．想一想 问题1：上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？相应图象上点的变化趋势如何？ 问题2：直线y＝－x与直线y＝－x＋3的位置关系如何？你能通过适当地移动将直线y＝－x变为直线y＝－x＋3吗？一般地，直线y＝kx＋b与y＝kx又有怎样的位置关系呢？ 问题3：直线y＝2x＋3与直线y＝－x＋3有什么共同点？一般地，你能从函数y＝k＋b的图象上直接看出b的数值吗？ (多媒体出示)
一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0) 的图象与性质k>0k<0
　　4.做一做
在函数y＝－5x，y＝－5x＋4，y＝－5x－4的图象中：
(1)这三个函数的图象形状都是____________，并且____________相同.
(2)函数y＝－5x的图象经过原点，一次函数y＝－5x＋4的图象可以看作由直线y＝－5x向____________平移____________个单位长度而得到；一次函数y＝－5x－4的图象可以看作由直线y＝－5x向____________平移____________个单位长度而得到.
(3)一次函数y＝－5x＋4的图象与x轴的交点坐标为____________，与y轴的交点坐标为____________.
学生活动：学生利用上面总结的结论尝试完成题目，小组交流确定答案． 1.本活动的设计意在引导学生通过动手操作，与正比例函数相比，感受一次函数图象的特点，在这一过程中让学生体会类比的数学思想.
2.通过在同一平面直角坐标系中画出几个函数图象的过程让学生自己积累用两点法作函数图象的步骤，加深对一次函数图象的认识，为下面探索一次函数的性质做准备.
3.通过前面的学习，归纳一次函数的性质，进一步提高学生分析问题的能力，帮助学生熟练掌握一次函数的性质，也为后续学习做好铺垫.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则 m，n的取值范围是(D)
A．m>0，n<2
B.m>0，n>2
C.m<0，n<2
D.m<0，n>2
【变式训练】
小明骑车从家到学校，假设途中他始终保持相同的速度前进，那么小明离家的距离与他骑行时间的图象是下图中的B；小明离学校的距离与他骑行时间的图象是下图中的A.
师生活动：学生独立思考，分组讨论，教师适时引导． 通过例题和变式训练，让学生巩固知识，加强对一次函数图象与性质的认识.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.一次函数y＝x－1的图象经过的象限是(D) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 2．已知直线y＝x＋5与一条经过原点的直线l平行，则直线l的函数表达式为y＝x． 3．你能找出下列四个一次函数对应的图象吗？请说出你的理由： (1)y＝－2x＋1；(2)y＝x－1；(3)y＝x；(4)y＝－x. 解：(1)B；(2)C；(3)A；(4)D. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第92页随堂练习第1，2题，第93页习题4.3第1，4，5题. 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计 第2课时　一次函数的图象与性质 1．一次函数的图象． 2．一次函数的性质． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　本节课主要是结合一次函数的图象，探究一次函数的简单性质及一次函数与正比例函数的关系，教师引导学生自主探究得出结论，在巩固练习活动中，鼓励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力． 反思，更进一步提升.
4　一次函数的应用
第1课时　借助一次函数表达式解决简单问题
备课素材
新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【置疑导入】
观察图象，回答问题：
1．图中直线y＝kx＋b(k≠0)，随着x的变化，y是怎样变化的？
2．图象经过哪些象限？
3．能否知道直线经过哪两个点？
4．能否求出函数表达式？说明采用什么方法．
前面已经学习了一次函数的图象与性质，今天我们学习确定一次函数表达式的方法，从而借助一次函数表达式解决简单问题．
教学设计
课题 第1课时　借助一次函数表达式解决简单问题 授课人
素养目标 1.能由两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式，并解决有关的实际问题． 2．会用数形结合的思想，根据图象确定一次函数的表达式.
教学重点 根据所给信息确定一次函数的表达式.
教学难点 用一次函数的表达式解决有关实际问题.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　回顾一次函数和正比例函数的图象与性质(多媒体出示问题)． 问题1：一次函数和正比例函数的表达式分别是什么？ 问题2：一次函数和正比例函数的图象是什么？ 问题3：同学们能画出函数v＝2.5t与y＝0.5x＋14.5的图象吗？ 问题4：这两个函数的图象有什么相同点和不同点？ 学生回顾一次函数和正比例函数的相关知识，为后面根据题意(或图象)确定函数表达式做好铺垫.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示． (1)写出v与t之间的关系式． (2)下滑3 s时物体的速度是多少？ 想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？ 以图象作为背景呈现一次函数．由于学生尚未学习二元一次方程组，因此这里选择正比例函数(即b＝0的情况)，以降低难度.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 由“想一想”，学生讨论得出：确定一次函数的表达式需要两个条件，确定正比例函数的表达式只需要一个条件． 师生活动：让学生说出理由．教师可引导学生从表达式和函数图象两方面思考． 学生思考、讨论并回答． 说明：①一次函数的表达式y＝kx＋b中有两个常数k，b，要求出k和b的值需要两个条件，而正比例函数中b＝0，只需求 k，所以只需一个条件．②因为一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要两个条件，而正比例函数的图象是经过原点的一条直线，所以只需要除原点外的一点就可以确定这条直线． 选择b≠0的情况，但图中要能清晰地看出b的值．然后在实践的基础上，学生加以归纳总结.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　(教材第95页例1)在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体的质量x(kg)的一次函数．一根弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式，并求所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度． 解：设y＝kx＋b，根据题意，得 14．5＝b, ① 16＝3k＋b，② 将①代入②，得k＝0.5. 所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5. 当x＝4时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5. 因此，当所挂物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm. 【变式训练】 如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y＝－x的图象交于点B，求一次函数的表达式． 解：因为点B在正比例函数的图象上，所以当x＝－1时，y＝－(－1)＝1.所以点B的坐标为(－1，1)． 设一次函数的表达式为y＝kx＋b， 把A(0，2)，B(－1，1)代入，得k＝1，b＝2， 所以一次函数的表达式为y＝x＋2. 师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨． 通过问题的探究，学生进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型，体会一次函数的应用价值.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知正比例函数y＝kx，当x＝－3时，y＝6.那么该正比例函数应为(B) A．y＝x B．y＝－2x C．y＝－x D．y＝2x 2．已知y＝kx－4，当x＝－2时，y＝0，则k＝－2． 3．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过M(0，2)，N(1，3)两点，则该函数图象与x轴交点的坐标为(－2，0)． 4．在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)是燃烧时间x(h)的一次函数．某蜡烛的高度为30 cm，燃烧3 h后，蜡烛剩余部分的高度为12 cm. (1)求蜡烛燃烧时y(cm)与x(h)之间的函数表达式． (2)求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间． 解：(1)设y与x的函数表达式为y＝kx＋30， 所以3k＋30＝12.所以k＝－6. 即蜡烛燃烧时y与x之间的函数表达式是y＝－6x＋30(0≤x≤5)． (2)令y＝0， 则0＝－6x＋30， 解得x＝5. 答：蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是5 h. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
课堂小结 1.课堂小结： 通过本节课的探究学习，你有了什么收获和体验？ 2．布置作业： 教材第96页随堂练习第1，2，3题. 加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯.
板书设计 第1课时　借助一次函数表达式解决简单问题 1．确定正比例函数的表达式． 2．确定一次函数的表达式． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　新课导入要体现特殊与一般的关系，要能引发学生猜想与思考，注意渗透数形结合的数学思想．在教学过程中教师应关注学生对图象的理解水平和解决问题过程中的表述水平． 反思，更进一步提升.
第2课时　借助单个一次函数图象解决实际问题
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情境导入】
五一假期，唐老师一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电量为80 kW·h，当汽车电池剩余10%的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．唐老师在满电状态下出发，汽车的剩余电量y(%)与行驶路程x(km)之间的关系如图所示．
(1)当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为多少千米？
(2)若行驶一段时间后，唐老师发现电量还有48 kW·h，此时离景区还有280 km，唐老师能到达景区吗？请说明理由．
教学设计
课题 第2课时　借助单个一次函数图象解决实际问题 授课人
素养目标 1.能通过单个一次函数图象获取信息，进一步训练学生的识图能力． 2．能利用单个一次函数图象解决简单的实际问题． 3．会用数形结合的思想从单个一次函数图象获取信息． 4．会用单个一次函数图象来解决实际问题.
教学重点 单个一次函数图象的应用.
教学难点 从一次函数图象中正确读取信息.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 请同学们继续观察下面这些图，它们反映了怎样的自然现象？ 引导语：今天我们就一起对节约用水问题，从数学知识的角度来进行全面的分析，共同学习如何用一次函数的图象来帮助我们解决生活中的实际问题． 通过水资源的图片引入新课比较贴近生活，可以吸引学生的注意力，增强学生的社会使命感，调动学生学习新课的兴趣，激发学生的学习热情，引入课题.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量V(万m3) 与干旱持续时间t(天)的关系如下图所示，回答下列问题： (1)干旱开始时该水库的蓄水量是多少？ (2)干旱持续10天，该水库的蓄水量是多少？干旱持续23天呢？ (3)该水库蓄水量小于400万m3时，将发出严重干旱警报．干旱持续约多少天将发出严重干旱警报？ 1．干旱开始时该水库的蓄水量是1 200万m3. 教师引导说明理由：如图，因为水库原有蓄水量就是干旱开始时，水库的最高蓄水量，即当t＝0时，V的值． 2．干旱持续10天，蓄水量为1 000万m3. 教师通过多媒体引导演示，先在横轴上找到第10天，并过这一点作横轴的垂线，与图象交于一点，过这一点作纵轴的垂线，得到蓄水量为1 000万m3.如图1. 通过多媒体演示干旱持续23天，蓄水量为740万m3. 3．40天． 教师通过多媒体引导演示，先在纵轴上找到400，并过这一点作纵轴的垂线，与图象交于一点，过这一点作横轴的垂线，得到40天．如图2. 教师强调：仔细观察图象，弄清横轴和纵轴表示的意义，找出图象中的特殊点是解决问题的关键；利用图象信息解决实际问题也要了解k和b的实际意义． 通过生动的现实情境引入一次函数图象的应用，把整个探索过程交给学生完成，教师只作为一个协助者，让学生思考、讨论、从而得出结论，了解点的坐标的实际意义，培养了学生的识图能力．学生通过自己的观察、分析、合作，初步感受到数形结合的解题方法.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　某种摩托车的油箱加满油后，油箱中剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)油箱最多可储油多少升？ (2)一箱汽油可供该摩托车行驶多少千米？ (3)该摩托车每行驶100 km消耗多少升汽油？ (4)油箱中剩余油量小于1 L时，该摩托车将自动报警．加满油行驶多少千米后，该摩托车将自动报警？ 解：观察图象，得 (1)当x＝0时，y＝10.因此，油箱最多可储油10 L. (2)当y＝0时，x＝500.因此，一箱汽油可供该摩托车行驶500 km. (3)x从0增加到100时，y从10减少到8，减少了2，因此摩托车每行驶100 km消耗2 L汽油． (4)当y＝1时，x＝450.因此，行驶450 km后，该摩托车将自动报警． 例2　看图填空： (1)当y＝0时，x＝－2． (2)直线对应的函数表达式是y＝0.5x＋1． (3)一元一次方程0.5x＋1＝0与一次函数y＝0.5x＋1有什么联系？ 解：方程0.5x＋1＝0的解是一次函数的函数值为0时自变量的值． 教师点拨：一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx＋b＝0的解．从图象上看，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解． 【变式训练】 已知方程kx＋b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx＋b的图象可能是(C) 1.通过油箱的问题进一步培养学生的识图能力，让学生能从图象中获取信息，进一步巩固用函数图象的思想解决生活中的问题． 2．通过本次探究让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系，让学生明晰函数与方程的关系，能用函数关系解决方程问题，同时也能用方程的观点来看待函数.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝0的解为x＝(D) A．4 B．1 C．2 D．－3 2．若一次函数y＝ax＋b的图象经过点(2，3)，则方程ax＋b＝3的解为x＝2． 3．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求y关于x的函数表达式；(不需要写自变量x的取值范围) (2)已知当油箱中的剩余油量为10升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了482千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？ 解：(1)设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b，根据题意，得b＝60，150k＋b＝45，解得k＝－0.1. 所以y关于x的函数表达式为y＝－0.1x＋60. (2)当y＝10时，即－0.1x＋60＝10，解得x＝500. 即行驶500千米时，油箱的余油量为10升． 此时离加油站的路程为482＋30－500＝12(千米)． 答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是12千米． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第98页随堂练习. 注重课堂小结，激发学生的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计 第2课时　借助单个一次函数图象解决实际问题 一、探究新知 二、典型例题 三、课堂检测 四、课堂小结 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　通过生活实例引入，激发学生的兴趣，强调图象的解读过程，突出数形结合，设计不同层次的问题引导学生解决多类型的问题，关注学生对k，b实际意义的理解． 反思，更进一步提升.
第3课时　借助两个一次函数图象解决实际问题
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【复习导入】
上节课我们学习了单个一次函数的应用，会用一次函数图象解决一些简单的实际问题，同学们还记得吗？
如图，直线l反映了某公司产品的销售成本y(元)与销售量x(吨)的关系，根据图象填空：
(1)当销售量为2吨时，销售成本为3__000元．
(2)当销售量为6吨时，销售成本为5__000元．
(3)直线l对应的函数表达式为y＝500x＋2__000．
我们刚刚解决了与一个一次函数有关的问题．在实际生活中，存在着更多与两个一次函数有关的问题，如何解决呢？本节课我们一起来学习一下．
教学设计
课题 第3课时　借助两个一次函数图象解决实际问题 授课人
素养目标 1.通过观察函数图象，能够从同一平面直角坐标系中的两个一次函数图象中获取信息，理解函数图象交点的实际意义． 2．利用函数图象，解决实际问题． 3．会建立函数的数学模型，解决较深层次的实际问题.
教学重点 利用在同一平面直角坐标系中的两个一次函数图象解决实际问题.
教学难点 1.从函数的图象中提炼出有用的信息． 2．对在同一平面直角坐标系中的两个一次函数图象交点的理解.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系如图所示，结合图象回答下列问题： (1)农民自带的零钱是多少？ (2)试求降价前y与x之间的关系式． (3)由关系式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少吗？ (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱(含备用零钱)是26元，试问他一共带了多少千克土豆？ 通过展示与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习，为进一步研究一次函数图象与性质的应用做好铺垫.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 在活动一后，继续进行如下探究，观察图象，有哪些不同？ 如图，l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系，根据图象填空： (1)当销售量为2吨时，销售收入为____________元，销售成本为____________元． (2)当销售量为6吨时，销售收入为____________元，销售成本为____________元． (3)当销售量____________时，销售收入等于销售成本． (4)当销售量____________时，销售收入大于销售成本，该公司赢利；当销售量____________时，销售收入小于销售成本，该公司亏损． (5)当销售量为____________吨时，该公司赢利1 000元． (6)l1对应的函数表达式是____________，l2对应的函数表达式是____________． (7)你能借助(6)的结论求解(5)吗？ 教师强调：当涉及两个函数问题时，要注意横、纵轴对于每个函数的不同意义． 探究分析： 1．横轴、纵轴表示的意义：横轴表示的是____________，纵轴表示的是____________． 2．直线与坐标轴的交点表示的意义： (1)l1与y轴的交点坐标是____________，表示的意义是____________； (2)l2与y轴的交点坐标是____________，表示的意义是____________． 想一想： 上题中，l1对应的一次函数y＝k1x＋b1中，k1和b1的实际意义各是什么？l2对应的一次函数y＝k2x＋b2中，k2和b2的实际意义各是什么？ 1.培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过一连串精心设计的问题，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用函数图象的特征解决问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，提高学生的数学应用能力． 2．使学生进一步认识到k与b在实际问题中有特定的含义.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　(教材第99页例3)图1是某景区游览路线示意图．甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙．图2中l1，l2分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s(m)与追赶时间t(min)之间的关系． 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (1)哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？ (2)甲和乙哪个人的速度快？ (3)30 min内甲能否追上乙？ (4)到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ (5)设l1与l2对应的两个一次函数分别为s＝k1t＋b1与s＝k2t＋b2，k1，k2的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ 解：(1)当t＝0时，甲到观景台1的路程为0 m，即s＝0，故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系． (2)t从0增加到20时，l1上点的纵坐标增加了1 000，l2上点的纵坐标增加了600，即20 min内，甲行走了1 000 m，乙行走了600 m，所以甲的速度快． (3)如图3，延长l1，l2，可以看出，当t＝30时，l1上的对应点在l2上对应点的下方，这表明，30 min时甲尚未追上乙． (4)在图3中，l1与l2的交点P的纵坐标小于(800＋1 300＝)2 100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙． (5)k1表示甲的速度，k2表示乙的速度．甲的速度是50 m/min，乙的速度是30 m/min.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】 如图，已知A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速行驶，他们与A地的距离s(千米)与所行时间t(时)之间的函数关系如图中AC和BD所示，当他们行驶了4小时后，他们之间的距离为3千米． 师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨． 通过问题串的展示提问，学生了解直线与坐标轴交点的意义、两直线交点及表达式中k，b的实际意义，利用图象比较函数值的方法，使学生在教师的引导下逐步形成良好的识图能力，进一步体会数与形的关系，建立良好的知识联系.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生跑步的一次函数，图中s和t分别表示路程和时间，根据图象判断快者比慢者每秒多跑(B) A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.某公司为用户提供网费的两种收费方式如下： 若设用户上网的时间为x分钟，A，B两种收费方式的费用分别为yA(元)、yB(元)，它们的函数图象如图所示，则当上网时间多于400分钟时，选择B种方式省钱．(填“A”或“B”)
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 3.A，B两地相距30 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地出发，他们都保持匀速，同向而行．甲、乙两人各自到A地的路程s(km)与骑行的时间t(h)的关系分别用图中直线l1，l2在第一象限的部分表示．根据图象回答下列问题： (1)两人出发时乙在甲前面多少千米？ (2)甲、乙两人骑行的速度分别是多少？ (3)求出l2对应的函数的表达式s＝kt＋b，并说明b与k的实际意义各是什么． (4)当他们骑行3.5 h时，甲能否追上乙？说明理由． 解：(1)由图象可得，两人出发时乙在甲前面30 km. (2)甲骑行的速度为30÷1.5＝20(km/h)， 乙骑行的速度为(40－30)÷1＝10(km/h)． (3)由题意，得30＝b，40＝k＋b， 解得k＝10. ∴l2对应的函数的表达式为s＝10t＋30. 其中k表示乙骑行的速度，b表示A，B两地的距离． (4)当他们骑行3.5 h时，甲能追上乙．理由如下： 设l1对应的函数的表达式为s1＝k1t，则30＝1.5k1，解得k1＝20.∴s1＝20t. 当t＝3.5时，s1＝20×3.5＝70， s2＝10×3.5＋30＝65. ∵70＞65， ∴当他们骑行3.5 h时，甲能追上乙． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第103页习题4.4第10，11题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 第3课时　借助两个一次函数图象解决实际问题 1．横轴、纵轴表示的意义． 2．直线与坐标轴的交点表示的意义． 3．理解表达式中k，b的实际意义． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在教学过程中，观察学生参与讨论、回答问题的积极性和表现，了解学生对知识的掌握程度和思维发展情况，通过学生课堂练习的完成情况，分析学生在建立函数模型、求解问题等方面存在的问题，及时调整教学策略． 反思，更进一步提升.

展开更多......

收起↑