资源简介

——— 第五章 ———二元一次方程组
本章教材分析
本章将在一元一次方程的基础上，进一步学习二元一次方程组的概念，通过“消元”将二元一次方程组转化为一元一次方程，探寻二元一次方程组的解法(消元思想)，并利用二元一次方程组解决一些有趣的现实问题(建模能力)．在学习的过程中，将再次经历从现实到数学的抽象过程，体会化“未知”为“已知”的转化思想，感受方程的广泛应用，发展抽象能力和模型观念等．本章学习二元一次方程组为后续学习不等式、二次方程及函数奠定基础.1　认识二元一次方程组
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【悬念激趣】
播放多媒体：姚明和刘翔的合影照片．已知姚明比刘翔高37 cm，刘翔身高的2倍比姚明高152 cm，则他们的身高分别是多少？
假设姚明的身高为x cm，刘翔的身高为y cm，你能得到怎样的方程？能列几个？
教学设计
课题 1　认识二元一次方程组 授课人
素养目标 1.通过实例了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念． 2．用数学的思维判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.
教学重点 对二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念的理解.
教学难点 二元一次方程及二元一次方程组的解.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.单项式2mn的次数是____________． 2．下列哪些方程是一元一次方程？你的判断依据是什么？ (1)3x＋1＝5； (2)2x＋y＝16； (3)xy＋6＝12； (4)＝x＋3. 3．x＝5是方程3x＋5＝20的解吗？ 回顾旧知，为学习新知做好准备.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植．已知小明栽种的绿植比小颖多2株，如果将小颖栽种的绿植减少1株，将小明栽种的绿植增加1株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的2倍． (1)这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ (2)设小明栽种了x株绿植，小颖栽种了y株绿植，由此你能得到怎样的方程？ 周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共8人，买门票花了34元．已知每张成人票5元，每张学生票3元． (1)这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ (2)设他们中有成人x人、学生y人，由此你能得到怎样的方程？ 根据学生的生活实际和认知实际，创设具体的问题情境，让学生经历建模的同时，调节心情，以相对轻松的状态进入后面的学习.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．二元一次方程的概念 上面两个问题中，我们分别得到方程x－y＝2，x＋1＝2(y－1)和 x＋y＝8, 5x＋3y＝34. (1)观察以上几个方程，它们各含有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？与一元一次方程有何异同？ (2)能否仿照一元一次方程的定义给这几个方程起个名？ 归纳： 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程． 它有3个特征：(1)含有两个未知数；(2)含有未知数的项的次数都是1；(3)方程的两边都是整式． 教学说明：先让学生通过观察归纳其中的共性，并用自己的语言进行描述，然后再组织学生交流． 2．二元一次方程组的概念 对于公园门票问题：x＋y＝8和5x＋3y＝34这两个方程，其中x的含义是什么？y呢？两个方程中x，y的含义一样吗？ 总结：两个方程中x，y的含义是一样的． x，y必须同时满足两个方程，所以我们把它们联立起来，在前面加一个大括号，组成方程组 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组． 教学说明：总结归纳出二元一次方程组的定义后，注意引导学生理解未知数x和y表示的意义相同，并规范方程组的表示方法，最后让学生尝试自己举例． 3．二元一次方程(组)的解 做一做： (1)x＝6，y＝2满足方程x＋y＝8吗？x＝5，y＝3呢？x＝4，y＝4呢？你还能找到其他x，y的值满足方程x＋y＝8吗？ 1.学生通过类比学习，抓住二元一次方程的关键特征，归纳、概括得出二元一次方程的概念． 2．通过分组讨论得到二元一次方程组的概念，提高学生学习的积极性，同时增强学生的语言组织能力． 3．深刻理解二元一次方程(组)的解的概念，体会二元一次方程的解的不唯一性.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　(2)x＝5，y＝3满足方程5x＋3y＝34吗？x＝2，y＝8呢？ (3)你能找到一组x，y的值，同时满足方程x＋y＝8和5x＋3y＝34吗？ 总结：使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解． x＝5，y＝3是二元一次方程x＋y＝8的一个解，记作同样也是二元一次方程5x＋3y＝34的一个解． 同时满足方程x＋y＝8和5x＋3y＝34，那么，我们就说是二元一次方程组的解． 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解． 教学说明：学生分组讨论后进行回答，教师帮助学生对比得到二元一次方程(组)的解的定义，并引导学生理解一个二元一次方程一般有无数个解.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　下列方程有哪些是二元一次方程：(1)(3)(6)． (1)x＋3y－9＝0；(2)3x2－2y＋12＝0； (3)3a－4b＝7；(4)3x－＝1； (5)mn＋m＝7；(6)－5n＝1； (7)xy－1＝0；(8)x＋y＋z＝2. 例2　下列方程组中，属于二元一次方程组的是(A) A. B. C. D. 例3　下列四组数中，哪些是二元一次方程2x＋y＝10的解？ (1)　(2)　(3)　(4) 解：(2)(4)是二元一次方程2x＋y＝10的解． 例4　二元一次方程组的解是(C) A. B. C. D. 例5　某旅店一共有70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，480个学生刚好住满．设大房间有x个，小房间有y个，则列出方程组为． 【变式训练】 1．若(a－1)x＋4y|a|＝3是二元一次方程，则a＝－1． 2．小明在解题时发现二元一次方程□x－y＝3中，x的系数已经模糊不清(用“□”表示)，但查看答案发现是这个方程的一组解，则□表示的数为－4． 师生活动：学生先独立思考并作答，然后分小组交流讨论，派学生代表进行讲解，教师最后进行完善． 1.典型例题进一步巩固新知，提高学生的应用能力． 2．变式训练拓展学生思维，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列方程是二元一次方程的是(C) A．x－xy＝1 B．x2－y－2x＝1 C．3x－y＝1 D.－2y＝1 2．下列各组数中，不是x＋y＝5的解的是(B) A. B. C. D. 3．在方程组 中，是二元一次方程组的有(A) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列各组数是二元一次方程组的解的是(A) A. B. C. D. 5．如图，设他们中有x个成人、y个儿童，根据图中的对话可得方程组(C) A. B. C. D. 6．若方程xm－1－3yn＋1＝5是关于x，y的二元一次方程，则m＋n＝2． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到了解课堂学习效果的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 2．布置作业： 教材第113页随堂练习第1，2，3题. 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计 1　认识二元一次方程组 二元一次方程(组)相关概念 提纲挈领，重点突出.
教学反思 1.通过情境导入“栽树问题”等实际问题，学生能理解二元一次方程组的必要性．学生能区分二元一次方程(组)与非二元一次方程(组)． 2．部分学生误判方程类型或混淆“方程”与“方程组”，对“公共解”的意义理解不深，仅停留于数值代入验证．后续教学要强化概念辨析，设计分类练习(如判断方程类型)，结合反例深化理解．需更注重从生活实例到数学本质的过渡，加强概念辨析与解的意义建构，为后续解法教学奠定基础. 反思，更进一步提升.
2　二元一次方程组的解法
第1课时　代入消元法
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【置疑导入】
问题：体育节要到了，篮球是七年级(1)班的拳头项目．为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分．已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分．那么七年级(1)班应该胜、负各几场？
你会用二元一次方程组解决这个问题吗？
根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以很容易地列出方程组：
那么有哪些方法可以求得这个二元一次方程组的解呢？
教学设计
课题 第1课时　代入消元法 授课人
素养目标 1.了解解方程组的基本思想是“消元”，掌握代入消元法解二元一次方程组． 2．在解决问题的过程中学会交流与合作，感受二元一次方程组的实际应用价值.
教学重点 用代入法解二元一次方程组的基本步骤.
教学难点 探究如何用代入消元法将“二元”转化为“一元”的过程.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.下列方程是二元一次方程吗？ (1)x＋3y＝7；(2)2y＋2＝0；(3)2x－3＝5；(4)－＝1. 2．你能把上面的二元一次方程改写成用x表示y(或用y表示x)的形式吗？ 3．解一元一次方程的步骤是什么？ 回顾旧知，为学习新知做好准备.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 上节课我们学习了栽树问题，经过大家的共同努力，得出了二元一次方程组小明和小颖分别栽种了多少株绿植呢？这就需要我们去解这个二元一次方程组．我们会解一元一次方程，那么二元一次方程组如何解呢？ 通过提出实际问题，充分调动学生的积极性，激发学生的学习动力和兴趣.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 问题1：栽树问题中，你能否列一元一次方程？如何求解？ 解：设小明栽种了x株绿植，小颖栽种了(x－2)株绿植． 根据题意，得x＋1＝2(x－2－1)， x＋1＝2x－4－2，x－2x＝－4－2－1，－x＝－7，x＝7. 问题2：针对同样的问题，如何求二元一次方程组的解呢？ 提示：(1)对照一元一次方程的解法，问题2比问题1多了一个未知数y，y相当于问题1中的____________． (2)一元一次方程会解，如何解二元一次方程呢？能否化成一元一次方程？换句话说，多出来的未知数y可以转化成____________，然后代入____________． 学生自己分析求解，教师规范解题格式． 解： 由①，得y＝x－2.③ 将③代入②，得x＋1＝2(x－2－1)．解得x＝7. 将x＝7代入③，得y＝5. 所以原方程组的解为 探索与归纳： (1)给前面解方程组的方法取个什么名字好？ (2)解方程组的基本思路是什么？ (3)解方程组的主要步骤有哪些？ 代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法叫代入消元法，简称代入法． 基本思路：二元一次方程组 一元一次方程 解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤： 第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来． 第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程． 第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值． 第四步：回代求出另一个未知数的值． 第五步：把方程组的解表示出来． 1.通过利用一元一次方程解决实际问题，引导学生将求解二元一次方程组的问题转化为消“二元”为“一元”，调动学生思考问题的积极性，同时提高学生分析问题、解决问题的能力． 2．通过问题罗列及小组讨论，让学生发挥学习的主动性，同时让学生养成学会观察、分析、归纳的好习惯.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(教材第115页例1)解方程组： 解：将②代入①，得3(y＋3)＋2y＝14. 解得y＝1. 将y＝1代入②，得x＝4. 经检验，x＝4，y＝1适合原方程组． 所以原方程组的解是
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 　　例2　(教材第116页例2)解方程组： 解：由②，得x＝13－4y.③ 将③代入①，得2(13－4y)＋3y＝16. 解得y＝2. 将y＝2代入③，得x＝5. 所以原方程组的解是 师生活动：学生独立思考后分小组讨论，最后完成解答，教师鼓励并肯定学生“消元”方法的多样性． 【变式训练】 1．用代入法解方程组正确的解法是(2)(3)． (1)先将①变形为x＝，再代入②； (2)先将①变形为y＝，再代入②； (3)先将②变形为x＝，再代入①； (4)先将②变形为y＝9(4x－1)，再代入①. 2．先阅读材料，然后解方程组． 材料： 解方程组 在本题中，先将x＋y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4＋y＝14，解得y＝2. 将y＝2代入①，得x＝2. 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组 解：由①，得x－y＝1.③ 将③代入②，得4－y＝5，解得y＝－1. 将y＝－1代入③，得x＝0. 所以原方程组的解为 师生活动：学生分小组讨论并作答，教师巡堂并对学习有困难的学生给予及时指导点拨，最后由教师统一进行讲解． 1.两道典型例题先易后难，进一步巩固所学新知，加强对代入法解二元一次方程组的训练． 2．变式训练通过增加题目的难度，培养学生的团队合作意识，提高学生的分析能力，增强学生思维的灵活性.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.代入法解方程组时，代入正确的是(C) A．x－2－x＝7 B．x－2－2x＝7 C．x－2＋2x＝7 D．x－2＋x＝7 2．用代入法解方程组下面四个选项中正确的是(C) A．由②得t＝，再代入① B．由②得s＝，再代入① C．由①得t＝1－2s，再代入② D．由①得s＝，再代入② 3．用代入法解方程组： (1) (2) 解： 将①代入②，得 3x＋2(2x－3)＝8， 解得x＝2. 将x＝2代入①，得y＝1. 故方程组的解为 解： 由①，得y＝2x－5.③ 将③代入②，得3x＋4(2x－5)＝2， 解得x＝2. 将x＝2代入③，得y＝－1. 故方程组的解为 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，使学生进一步巩固新知，及时检测学生的学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 2．布置作业： 教材第117页随堂练习第1题；教材第119页习题5.2第1题. 学生在反思中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
板书设计 第1课时　代入消元法 1．基本思路：“消元”——把“二元”变为“一元”． 2．一般步骤：①变；②代；③解． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　通过对比“一元一次方程的解法”，学生能理解“二元转一元”的核心思想，大部分学生能独立完成简单方程的代入消元．需关注学生变形时的符号处理和代入的准确性，对基础较弱的学生单独指导，后续可对比代入消元法与加减消元法，深化“消元”思想的应用． 反思，更进一步提升.
第2课时　加减消元法
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情境导入】
如图，第一个天平的左边有三块积木，质量分别是x克、y克、y克，右边有四块砝码，质量都是1克，此时天平平衡．
第二个天平的左边有两块积木，质量分别是x克、y克，右边有三块砝码，质量都是1克，此时天平平衡．
如果第三个天平的左边只放一块质量是y克的积木，那么天平的右边应该放几块质量是1克的砝码才能使得天平平衡？说出你的理由．
教学设计
课题 第2课时　加减消元法 授课人
素养目标 1.会用加减消元法解二元一次方程组． 2．在用加减消元法解二元一次方程组的过程中，会用不同解法解同一问题.
教学重点 用加减消元法解二元一次方程组的基本步骤.
教学难点 对用加减消元法解方法组过程的理解.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.解二元一次方程组的基本思路是什么？ 2．用代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么？ 回顾旧知，为学习新知做好准备.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 怎样解下面的方程组？ 小明：把②变形得x＝，代入①，不就消去x了！ 小亮：把②变形得5y＝2x＋11，可以直接代入①呀！ 小丽：5y和－5y互为相反数…… 按小丽的思路，你能消去一个未知数吗？ 以实例引入，既巩固旧知，又引入新课.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 解法1： 解：由②，得x＝，③ 把③代入①…… 解法2： 解：由②，得5y＝2x＋11，③ 把5y当作整体，将③代入①…… (此种解法体现了整体的思想) 解法3： 解：①＋②，得5x＝10，解得x＝2. 把x＝2代入①，得y＝3. 所以原方程组的解为 师生活动：学生先独立对方程组进行求解，然后分小组进行解法的交流，并比较解法的复杂程度，最终教师进行引导，帮助归纳得到加减消元法的特点和思路． 归纳：在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数互为相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，则可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法． 特点：某一个未知数的系数相同或互为相反数． 基本思路：二元―→一元． 主要步骤： (1)加减消去一个元； (2)分别求出两个未知数的值； (3)写出方程组的解． 1.通过对一道练习题的解答，鼓励学生一题多解，不要局限于教师教过的方法，而要注意观察、发现题目中的特点，找到解决问题的其他方法，同时通过一题多解，拓展学生的思维． 2．总结归纳加减消元法的解题思路、步骤，让学生体会加减消元法与代入消元法的区别，合理恰当地选择解题方法.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(教材第117页例3)解方程组： 分析：观察到方程①和②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x. 解：②－①，得8y＝－8，解得y＝－1. 把y＝－1代入①，得2x＋5＝7，解得x＝1. 所以原方程组的解为 1.典型例题进一步巩固所学新知，同时锻炼学生观察、分析、发现问题的能力，使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 　　例2　(教材第118页例4)解方程组： 解：①×3，得6x＋9y＝36.③ ②×2，得6x＋8y＝34.④ ③－④，得y＝2. 把y＝2代入①，得x＝3. 所以原方程组的解是 师生活动：学生独立完成解答，教师巡堂并鼓励学生自主选择所要消去的未知数，最后进行讲解． 【变式训练】 阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单： ②－①，得3x＋3y＝3，所以x＋y＝1.③ ③×14，得14x＋14y＝14.④ ①－④，得y＝2，从而得x＝－1. 所以原方程组的解是 请你运用上述方法解方程组： 解： ②－①，得3x＋3y＝3，所以x＋y＝1.③ ①－③×2 008，得y＝2. 将y＝2代入③，得x＋2＝1，解得x＝－1. 所以原方程组的解是 师生活动：学生分小组讨论，教师巡堂进行指导和点拨，最后教师进行讲解． 2.变式训练间接通过加减对方程进行变形，然后再进行求解，锻炼学生阅读和举一反三的能力.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.用加减法解方程组 时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形结果： (1)　(2)　(3)　(4) 其中变形正确的是(B) A．(1)(2) B．(3)(4) C．(1)(3) D．(2)(4) 2．解方程组时，用加减法消去y，需要(C) A．①×2－② B．①×3－②×2 C．①×2＋② D．①×3＋②×2 通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 3.用加减消元法解方程组 若先求出x的值，应先将两个方程相加；若先求出y的值，应先将两个方程相减． 4．用加减消元法解下列方程组： (1)　(2) (3)　(4) 解：(1) (2) (3) (4) 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 2．布置作业： 教材第118页随堂练习第1题；教材第119页习题5.2第2题. 学生在反思中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
板书设计 第2课时　加减消元法 加减消元法： 1．基本思路：二元―→一元． 2．主要步骤： (1)加减消去一个元； (2)分别求出两个未知数的值； (3)写出方程组的解． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在本节课的教学过程中，通过复习旧知引入新课，让学生在已有知识的基础上，自然地过渡到加减消元法的学习．在讲授新课环节，通过具体的方程组引导学生探索加减消元法的原理和步骤，并通过例题的讲解，让学生逐步掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法．课堂练习环节，学生能够积极参与，大部分学生能够正确运用加减消元法解题，但仍有部分学生在计算过程中出现错误，需要在今后的教学中加强对学生计算能力的训练．同时，在教学过程中，要更加注重引导学生自主思考和探索，培养学生的创新思维和解决问题的能力． 反思，更进一步提升.
3　二元一次方程组的应用
第1课时　直接梳理等量关系解决实际问题
备课素材
新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情境导入】
八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒，两处争强来斗胜，不相胜负正交加，三十六头齐出动，一百八手乱相抓，旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？
注：一百八为108，只要求学生列方程组不必求解．
教学设计
课题 第1课时　直接梳理等量关系解决实际问题 授课人
素养目标 1.在具体问题的解决过程中提高解二元一次方程组的技能． 2．掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤． 3．在列二元一次方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养列方程解决现实问题的意识和应用能力． 4．在用二元一次方程组解决实际问题的过程中，培养应用数学的意识，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣.
教学重点 用二元一次方程组解决实际问题.
教学难点 用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题的过程.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　问题1：解二元一次方程组的方法有哪些？ 问题2：列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？ 回顾旧知，为学习新知做好准备.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 《孙子算经》大约产生于一千五百年前，现在保存的《孙子算经》共三卷，其中下卷第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，书中是这样叙述的： “今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉兔各几何？” (1)“上有三十五头”的意思是什么？“下有九十四足”呢？ (2)你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗？ (3)你能解决这个有趣的问题吗？ 以数学历史故事为背景引出本节课学习的内容，增强课堂趣味性，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学在实际生活中的应用，同时为本课的学习做好铺垫.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 解法一：假设推理 解：如果都是鸡，35头应该有70只脚．实际有94只脚，多出24只脚，应该是兔子的．每只兔子多2只脚，所以兔子应该有12只，则鸡有35－12＝23(只)． 解法二：用一元一次方程求解 解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，得2x＋4(35－x)＝94，2x＋140－4x＝94，－2x＝－46，x＝23. 所以35－x＝12. 所以鸡有23只，兔有12只． 解法三：用二元一次方程组求解 解：设鸡有x只，兔有y只，依题意，得 ①×2，得2x＋2y＝70.③ ②－③，得2y＝24，y＝12. 把y＝12代入①，得x＝23. 所以鸡有23只，兔有12只． 归纳小结： 一元一次方程解法优点：比小学的算术方法求解更便捷些；一元一次方程解法不足：计算较复杂． 用二元一次方程组解答优点：相比小学的算术方法求解和一元一次方程求解，数量关系更简单直接；用二元一次方程组解答不足：计算复杂些． 体验解决“鸡兔同笼”问题的不同思维过程，通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点，从而感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　(教材第120页例1)今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问：甲、乙怀钱各几何？(选自《张丘建算经》) 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？ 解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据题意，得 解这个方程组，得 所以，甲带了38钱，乙带了18钱．
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】 1．在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的．若图中各行从左到右列出的三组算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，如图1表示的方程组是则图2表示的方程组是． 2．根据题意列出方程组并求解： (1)明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？ (2)将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼中放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ 解：(1)设0.8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意，得 解得 所以，0.8元的邮票买了5枚，2元的邮票买了8枚． (2)设有x只鸡，y个笼，根据题意，得 解得 所以，有25只鸡，6个笼． 师生活动：学生独立思考完成解答，然后分小组讨论交流，派小组代表进行板演，最后教师统一答案． 进一步巩固用列二元一次方程组解应用题的思想，以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.在学习完“垃圾分类”的相关知识后，小明和小丽一起收集了一些废电池，小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”．若他们说的都是真的，设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，则可列方程组为(B) A. B. C. D. 2．“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”题目(选自《九章算术》)的大意是：有几个人共同出钱买鸡，每人出9枚铜钱，则多了11枚铜钱；每人出6枚铜钱，则少了16枚铜钱，那么有几个人共同买鸡？鸡的价钱是多少？设有x人，鸡的价钱为y钱，则根据题意列出方程组为． 加深学生对所学知识的理解及运用，在问题的选择上以基础为主，让学生灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 3.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间，房客y人，求x，y的值． 解：根据题意，得 解得 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 2．布置作业： 教材第121页随堂练习第1题，第125～126页习题5.3第3，4，5题. 学生在小结中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
板书设计 第1课时　直接梳理等量关系解决实际问题 (1)明确题意，并将所给的问题转化为数学模型； (2)找出题目中的已知量和未知量，明确它们之间的 　 数量关系； (3)设出未知数，列出方程组求解． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在教学过程中，学生对古代数学问题表现出浓厚兴趣，但在将实际问题转化为数学模型及解方程组时，部分学生存在困难．后续教学应加强对实际问题的分析指导，增加练习，提升学生解决问题的能力，同时可引入更多古代数学趣味性问题，激发学生学习数学的热情． 反思，更进一步提升.
第2课时　利用表格梳理等量关系解决实际问题
备课素材
新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【问题导入】
乡村振兴局深入推进种植业振兴行动之际，某超市积极践行社会责任，依托自身供应链优势精准帮扶农户拓展销售渠道．已知九月份山核桃的售价为40元/千克，苹果的售价为20元/千克，这两种农产品的销售总额达到20 000元．十月份时，山核桃的售价保持不变，销量比九月份增加了20%，苹果的售价降低10%，销量比九月份增加了50%.求九月份山核桃与苹果的销量．
(1)如何设元？等量关系是什么？你能用表格梳理题干中的等量关系吗？
(2)通过表格，你能快速列出方程并解决问题吗？
教学设计
课题 第2课时　利用表格梳理等量关系解决实际问题 授课人
素养目标 1.会用列表的方式分析题中已知量与未知量之间的关系，列出相应的二元一次方程组． 2．加强列方程组的技能训练，形成解决实际问题的一般性策略． 3．通过列方程组解决实际问题，培养应用数学的意识，体会学习数学的趣味性、现实性和科学性.
教学重点 掌握用列表法分析复杂数量关系的方法，熟练利用列二元一次方程组解决实际问题.
教学难点 将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型，会用图表分析数量关系.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.二元一次方程组的解法有哪些？ 2．利用二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么？ 回顾旧知，为学习新知做好准备.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 提出问题：同学们，你们知道自己的生活中有哪些必要开支吗？ 引发问题：经济问题在我们的生活中多么重要！你想运用数学知识使你的生活更加合理优化，更加幸福惬意吗？那么你能帮忙解决下面的实际经济问题吗？ 通过问题，增强学生的好奇心及学习数学的兴趣，为学习新课创造良好的氛围.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为200万元．去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元．前年的总收入、总支出各是多少万元？ 设前年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有
年份总收入/万元总支出/万元利润/万元前年xy200去年(1＋20%)x(1－10%)y780
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　生：找出等量关系． 根据上表及等量关系，可列方程组： 解得 答：前年的总收入为2 000万元，总支出为1 800万元． 师：这个方程组中第二个方程中的系数不是整数，在解的时候把系数化整再消元，用的时间比较长，有没有简单的方法来解此方程组呢？ 生： 整理，得 ①×1.2，得1.2x－1.2y＝240.③ ②－③，得0.3y＝540，解得y＝1 800. 把y＝1 800代入①，得x＝2 000. 所以 师：我们在解方程组时选择合适的方法会使计算简便、省时，注意在今后的学习中积累经验． 师：能求出去年的总收入和总支出吗？ 生：直接由表格可得， 去年的总收入为(1＋20%)x＝1.2×2 000＝2 400(万元)， 去年的总支出为(1－10%)y＝0.9×1 800＝1 620(万元)． 师：如果题中的问题是求去年的总收入和总支出，可以直接设未知数并求解吗？ 生：填写表格并求解．设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有
年份总收入/万元总支出/万元利润/万元前年200去年xy780
　　由题意，得
解得
师：通过例题和变式题的比较，即直接设未知数与间接设未知数的比较，让学生感受到列方程(组)时，应选取思维难度和计算难度较低的未知数设法． 1.先让学生初步利用图表理清题目中的数量关系，再结合学生在以前的学习中已掌握的通过等量关系列方程的方法，使学生基本掌握运用图表去解决有关应用题的方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.
2.通过比较不同的二元一次方程组的求解方法以及采用不同的未知数的设法增强学生思维的灵活性，帮助学生更好地解决实际问题.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　(教材第122页例2)医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品．每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？
分析：找等量关系.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 　　 每餐甲原料中蛋白质含量＝0.5×每餐甲原料的质量， 每餐乙原料中蛋白质含量＝0.7×每餐乙原料的质量， 每餐甲原料中铁质含量＝1×每餐甲原料的质量， 每餐乙原料中铁质含量＝0.4×每餐乙原料的质量， 由于相等关系中的数量关系复杂，所以可以选取用列表格的方法来表示各数量之间的关系，有利于根据相等关系列方程．
成分甲原料x克乙原料y克所配制的营养品其中蛋白质含量0.5x0.7y35其中铁质含量x0.4y40
　　解：设每餐需甲原料x克，乙原料y克，根据题意，得
化简，得
①－②，得5y＝150, y＝30.
将y＝30代入①，得x＝28.
所以每餐需甲原料28克，乙原料30克.
【变式训练】
小明家种植水果，去年收支相抵后，结余12 000元．今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增加15%，支出比去年减少5%，今年比去年多结余11 400元．设小明家去年收入x元，支出y元.
(1)将有关的数据填入下表：
年份收入/元支出/元结余/元去年xy12 000今年(1＋15%)x(1－5%)y12 000＋11 400
　　(2)根据表格列方程组，解得.
师生活动：教师带领学生共同分析题意，帮助学生列表寻找数量关系，最后由学生完成解答． 1.使学生进一步巩固所学新知，针对较为复杂的数量关系，引导学生借助列表进行分析，从而找出问题中所蕴含的等量关系，提高学生分析问题、解决问题的能力.
2.充分发挥学生自主探究问题的能力，让学生经历列方程组解决实际问题的过程，使其体会方程(组)是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识.
活动四：课堂检测 【课堂检测】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.一、二两班共有95人，他们的体育达标率为60%.已知一班的体育达标率为40%，二班的体育达标率为78%，求一、二两班的人数各是多少．设一、二两班各有x人、y人.
(1)填写下表：
人数一班二班两班总和学生人数xy95达标学生人数40% x78% y60%×95
(2)列出二元一次方程组：.
针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到了解课堂学习效果的目的.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 2.健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含0.6单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.5单位铁质． (1)依据题意，填写下表：
成分甲原料x克乙原料y克所配制的营养品其中所含蛋白质0.6xy0.6x＋y其中所含铁质0.8x0.5y0.8x＋0.5y
(2)如果运动员每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足运动员的需要？
解：(1)如表所示.
(2)设每餐甲原料x克，乙原料y克恰好满足运动员的需要，根据题意，得
解得
答：每餐用甲原料45克、乙原料8克可以恰好满足运动员的需要.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂小结 1.课堂小结：
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说.
2.布置作业：
教材第123页随堂练习第1，2题. 学生在小结中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
板书设计 第2课时　利用表格梳理等量关系解决实际问题
一、导入新课
二、例题讲解
三、课堂检测
四、课堂小结 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　学生对“增长率”“利润”等概念的理解较直观，但在复杂情境中易混淆“原量”与“现量”，或漏写“1＋增长率”中的“1”．后续教学需加强“关键词”标注训练，通过对比练习强化等量关系分析，同时结合生活实例提升学生的建模能力． 反思，更进一步提升.
第3课时　利用线段图梳理等量关系解决实际问题
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
如图(单位：cm)，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？
(1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
(2)你能列方程组解决这个问题吗？
教学设计
课题 第3课时　利用线段图梳理等量关系解决实际问题 授课人
素养目标 1.帮助学生学会通过绘制线段图来分析实际问题中的数量关系，进而列出二元一次方程组并求解． 2．培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学应用意识． 3．通过小组合作与交流，培养学生的团队协作精神和语言表达能力.
教学重点 学会利用线段图准确梳理实际问题中的等量关系，列二元一次方程组解决问题.
教学难点 将复杂的实际问题转化为线段图和二元一次方程组的数学模型.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 核心知识回顾 线段的作用：用线段的长度直观表示数量，用线段的关系(如和、差、倍数)呈现实际问题中的等量关系，化抽象为具体． 适合分析：行程问题、分配问题、配套问题等涉及两个未知量的场景． 引导学生回顾线段的相关知识，为后续利用线段图分析数量关系做铺垫.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 甲、乙两车同时从相距880千米的两地相向出发，10小时后相遇．如果甲车比乙车早出发5.5小时，那么在乙车出发7小时后相遇．求甲、乙两车的速度． (1)题干中涉及哪些量？这些量之间有哪些等量关系？ (2)你能用画线段图的方式梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流． 由行程问题引入，根据行程问题的解题思路，引出本节课主题——利用线段图梳理等量关系解决二元一次方程组的实际问题.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 一、引导学生分析题目：找出已知量和未知量． 已知量为：①甲、乙同时出发时间为10小时，总路程为880千米； ②甲比乙的行驶时间多5.5小时，并且同时出发7小时后，总路程为880千米． 未知量为：甲、乙的速度.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　二、绘制线段图． 1．同时出发相向而行(10小时相遇) 画一条线段表示两地距离880千米． 用两条长度不同的线段分别表示两车行驶10小时的路程，两条线段之和等于880千米． 设甲车速度为x千米/时，行驶10小时的路程为10x千米． 设乙车速度为y千米/时，行驶10小时的路程为10y千米． 画线段示意图如下： 2．甲车早出发5.5小时，乙车出发7小时后相遇 分两部分画线段： 甲车先出发5.5小时的路程为5.5x千米(单独画一段)． 两车同时行驶7小时的路程：甲车为7x千米，乙车为7y千米(两条线段接在第一部分后，总和为880千米)． 画线段示意图如下： 三、根据线段图找出等量关系． 解：根据题意，得 解得 答：甲车速度为48千米/时，乙车速度为40千米/时． 师生活动：列出二元一次方程组并求解，展示详细的求解过程，强调书写规范． 1.把复杂的行程问题，分解成几个简单的问题串，学会利用线段化繁为简，梳理题干中的数量关系，理清解题思路． 2．培养学生动手操作的能力.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　(教材第124页例3)火车以40 m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30 s，其中火车全身都在隧道里的时间是20 s，求隧道和火车的长度． 分析：这个问题涉及哪些量？你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗？这种情况下，火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间有什么关系？类似地，对于“火车全身都在隧道里”的情形，相信你也可以得到相应的关系！ 解：“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用图1、图2表示．
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 　　设隧道的长度为x m，火车的长度为y m，根据题意，得 解这个方程组，得 所以，隧道和火车的长度分别是1 000 m和200 m. 【变式训练】 小红和姐姐相距1.6 km.如果她们同时出发且相向而行，那么经过10 min两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发10 min，那么在小红出发后15 min姐姐追上小红．小红、姐姐的平均速度分别是多少？ 解：设小红的平均速度是x m/min，姐姐的平均速度是y m/min，画线段示意图如下： 由题意，得 解得 答：小红的平均速度是60 m/min，姐姐的平均速度是100 m/min. 师生活动：学生先独立思考并作答，然后分小组交流讨论，派学生代表进行讲解，教师最后进行完善． 1.引导学生利用画线段图的方式分析题目中包含的所有等量关系，并用等式的形式表示出来，便于学生顺利列出方程组，使学生更好地体会二元一次方程组是刻画现实世界的有效模型． 2．提升学生分析问题和解决问题的能力． 3．变式训练拓展学生思维，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形(图形中阴影部分)区域种植鲜花，数据如图所示，则种植鲜花区域的面积是(B) A．250 m2 B．750 m2 C．1 950 m2 D．2 700 m2 2．小红和小丽在400 m的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200 s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40 s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 解：设小红的平均速度是x m/s，小丽的平均速度是y m/s，根据题意，得 解得 答：小红的平均速度是6 m/s，小丽的平均速度是4 m/s.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 3.为了测得隧道长度和火车通过隧道时的速度，小明和小亮在隧道两端进行观察：火车从开始入隧道到完全出隧道共用时24 s，整列火车完全在隧道内的时间为16 s，整列火车长240 m．请你根据小明和小亮获得的数据，求隧道的长度和火车过隧道的速度． 解：设隧道的长度为x m，火车过隧道的速度为y m/s，由题意，得 解得 答：隧道长1 200 m，火车过隧道的速度为60 m/s. 4．小明家离学校2 km，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他从家跑步去学校共用了16 min，已知小明在上坡路上的平均速度是4.8 km/h，在下坡路上的平均速度是12 km/h.小明上坡、下坡各用了多少分钟？(温馨提示：计算时请注意单位) 解：设小明上坡用了x min，下坡用了y min，依题意，得 解得 答：小明上坡用了10 min，下坡用了6 min. 师生活动：选取2～3个小组代表上台展示他们的解题过程，包括线段图的绘制、等量关系的分析、方程组的列出及求解．其他小组可以进行提问和补充，最后教师进行总结点评，强调重点和易错点． 通过设置当堂检测，使学生进一步巩固新知，及时检测学生的学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结 1.课堂小结： 与学生一起回顾本节课的主要内容，包括如何利用线段图梳理实际问题中的等量关系，如何根据等量关系列出二元一次方程组，以及解方程组的注意事项．强调线段图在解决复杂实际问题中的重要作用，鼓励学生在今后的学习中多运用这种方法． 2．布置作业： 教材第125页随堂练习第1题；教材第127页习题5.3第11，12题. 学生在小结中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
板书设计 第3课时　利用线段图梳理等量关系解决实际问题 列方程(组)解决实际问题的一般步骤： 设→设→画→列→解→答 设：设题，弄清题意及找出题目中的等量关系； 设：设两个未知数； 画：由题意，画出线段图； 列：根据等量关系列出方程组； 解：解所列方程组，并检验解的正确性与合理性； 答：写出答案． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在教学过程中，要关注学生对线段图绘制和等量关系分析的掌握程度，及时发现学生存在的问题并给予指导．对于理解能力较弱的学生，可在小组讨论和课堂练习环节给予更多关注和帮助，确保每个学生都能跟上教学进度，掌握利用线段图解决二元一次方程组实际问题的方法． 反思，更进一步提升.
4　二元一次方程与一次函数
第1课时　二元一次方程(组)与一次函数
备课素材
新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【悬念激趣】
(1)如图1，图片呈现的是双人像还是花瓶？
(2)如图2，图片呈现的是少女还是老妇？
图1
　　　　图2
(3)y＝－x＋4也可写为x＋y＝4，那么它是一个函数表达式，还是二元一次方程？
教学设计
课题 第1课时　二元一次方程(组)与一次函数 授课人
素养目标 1.理解二元一次方程与一次函数图象的关系． 2．掌握两直线在同一平面直角坐标系中的位置关系，能根据图象确定二元一次方程组的解，通过积极参与数学学习活动，培养独立思考、积极探索、勇于创新、团结合作的精神.
教学重点 理解二元一次方程与一次函数图象的关系.
教学难点 应用方程与函数的联系解决问题.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么叫二元一次方程的解？ 2．一次函数的图象是什么？ 回顾旧知，为学习新知做好准备.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 1．方程x＋y＝5的解有多少个？是这个方程的解吗？ 2．点(0，5)，(5，0)，(1，4)，(2，3)在一次函数y＝5－x的图象上吗？ 3．在一次函数y＝5－x的图象上任取一点，它的坐标满足方程x＋y＝5吗？ 4．以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同吗？ 5．由上面的思考题，你可以得到怎样的结论？二元一次方程与一次函数的关系是什么？ 设置问题情境，让学生感受二元一次方程x＋y＝5和一次函数y＝5－x可以相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系，顺理成章地引出本节内容.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．二元一次方程与一次函数的关系 归纳总结： 二元一次方程和一次函数图象的关系： (1)以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数图象上，即以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线； (2)一次函数图象上的点的坐标都满足相应的二元一次方程．即：从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时对应的函数值是多少；从“形”的角度看，解方程相当于确定直线上的点的坐标． 2．二元一次方程组的解与对应的两个一次函数图象之间的关系 二元一次方程2x－y＝1与前面研究的x＋y＝5结合起来看： 问题1：两方程的公共解是什么？如何求解得到其公共解呢？ 问题2：两方程对应的一次函数y＝－x＋5与y＝2x－1的图象有何位置关系？为什么？ 问题3：已画出了一次函数y＝－x＋5的图象，请在同一平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x－1的图象，并验证上一问题结论的正误． 问题4：观察并总结方程组的解与对应的两个一次函数的图象的交点坐标有何关系． 问题5：对于方程组目前你都有哪些方法求其解？ 归纳总结：每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线． 想一想：在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1和y＝x－2的图象有怎样的位置关系？方程组的解的情况如何？你发现了什么？ 归纳总结：方程组的解的个数与对应的一次函数图象的交点个数之间的关系： 二元一次方程组无解 对应的两个一次函数图象平行(无交点)； 二元一次方程组有一组解 对应的两个一次函数图象相交(有一个交点)； 二元一次方程组有无数组解 对应的两个一次函数图象重合(有无数个交点)． 教学说明：教学过程中，教师不要急于替学生分析，应给予学生充分的时间进行讨论． 数学建模是应用数学解决实际问题的一个有效方法，通过自主探索，学生初步体会“数”(二元一次方程组)与“形”(两条直线)之间的对应关系，十分自然地建立了数形结合的模型，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之，“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养学生分析问题、解决问题的能力.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　小亮在同一平面直角坐标系中作出了y＝－2x＋2和y＝－x－1的图象，则方程组的解是(B) A. B. C. D. 例2　若关于x，y的二元一次方程组的解为则一次函数y＝kx＋b与y＝mx＋n的图象的交点坐标为(1，2)． 例3　 已知直线y1＝2x的图象如图所示，且与函数y2＝－x＋4相交于点A. (1)在平面直角坐标系中画出y2＝－x＋4的函数图象； (2)求出点A的坐标； (3)关于x，y的方程组的解是． 解：(1)列表：
x…04…y＝－x＋4…40…
　　描点、连线，如图所示.
(2)由题意，得
解得
所以点A的坐标为(，). 使学生进一步巩固所学新知，提高学生分析问题、解决问题的能力.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1和y＝x－2的图象有怎样的位置关系？方程组解的情况如何？你发现了什么？ 解：一次函数y＝x＋1和y＝x－2的图象平行，方程组无解． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.已知二元一次方程组的解为则一次函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交点坐标为(B) A．(3，－1) B．(－3，1) C．(1，－3) D．(－1，3) 师生活动：学生独立思考，教师引导学生画图，并结合图象进行解答，最后教师总结：二元一次方程组无解 一次函数的图象平行(无交点)；二元一次方程组有一解 一次函数的图象相交(有一个交点)；二元一次方程组有无数个解 一次函数的图象重合(有无数个交点).
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列图象中每条直线上的点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是(C) 　 2．若直线y＝3x＋6与y＝2x－4的交点坐标为(a，b)，则是下列哪组方程组的解(D) A. B. C. D. 3．如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是(C) A. 　　　　B. C. 　　　　D. 加深学生对所学知识的理解及运用，在问题的选择上以基础为主，让学生灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 4.方程3x＋y＝10的解有无数个，请写出其中的两组解：答案不唯一，如：；在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在(填“在”或“不在”)一次函数y＝－3x＋10的图象上． 5．一次函数y＝2x＋3与y＝2x－3的图象的位置关系是平行，即没有交点(填“有”或“没有”)，由此可知 的解的情况是无解． 6．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x＋1和y＝－2x＋1的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解． 解：如图所示， 二元一次方程组的解为 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 2．布置作业： 教材第129页随堂练习第1，2，3题；教材第132页习题5.4第1，2，3题. 学生在小结中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
板书设计 第1课时　二元一次方程(组)与一次函数 1．二元一次方程和一次函数的图象的关系． 2．二元一次方程组和对应的两条直线的关系． 3．解二元一次方程组的方法有三种： (1)代入消元法； (2)加减消元法； (3)图象法. 提纲挈领，重点突出.
教学反思 1.关注学生对“方程的解”与“图象交点”对应关系的理解，可通过多组实例对比强化． 2．图象法的局限性(如坐标精度)需提醒，强调代数法与图象法的互补性． 3．结合实际问题时，引导学生先分析数量关系，再转化为函数表达式，体会建模过程. 反思，更进一步提升.
第2课时　用二元一次方程组确定一次函数表达式
备课素材
新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【置疑导入】
小颖同学受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：
你能根据以上信息求出放入小球后量筒中水面的高度h(cm)与小球个数x之间的关系吗？学了本节后，你就能揭开它神秘的面纱了．
教学设计
课题 第2课时　用二元一次方程组确定一次函数表达式 授课人
素养目标 1.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式． 2．培养分析问题和应用所学知识解决问题的能力． 3．体会一次函数与二元一次方程组的相互联系，感受“数形结合”在数学研究中的作用.
教学重点 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
教学难点 应用方程与函数之间的联系解决实际问题．　
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　如图，求一次函数的图象对应的表达式． 直线l是一次函数y＝kx＋b的图象． (1)b＝________，k＝________； (2)当x＝3时，y＝________； (3)当y＝3时，x＝________. 问题1：一般设一次函数的表达式为什么形式？ 问题2：确定一次函数的表达式关键是确定哪些参数的值？ 问题3：一次函数中b的意义是什么？ 通过此组练习，回顾以前所学，为新课学习奠定基础.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地出发相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自离A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米．问经过多长时间两人相遇？ 你是怎么做的？与同伴进行交流． 创设具体的问题情境，激发学生的学习热情.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 小明：可以分别画出两人s与t之间关系的图象(如图)，找出交点的横坐标就行了！ 分析讨论：用图象法求解，两个函数图象的交点的横坐标就是他们相遇时的时间．由于在前一课时已经有了用作图象的方法解方程组的经验，因此画图象求解是较为自然的做法，但画图的结果多是近似值，难以精确． 小颖：对于乙，s是t的一次函数，因此可以设s＝kt＋b.当t＝0时，s＝100；当t＝1时，s＝80.将它们分别代入s＝kt＋b中，可以求出k，b的值，即可求出乙的s与t之间的函数表达式．同样可以求出甲的s与t之间的函数表达式，再联立这两个表达式，求解方程组就可以了． 分析讨论：用待定系数法确定甲、乙各自的s与t之间的函数表达式，再用消元法解方程组，能准确地求出结果． 小亮：1 h后乙距离A地80 km，即乙的速度是20 km/h；2 h后甲距离A地30 km，即甲的速度是15 km/h.由此可以求出甲、乙两人的速度和，再用总路程100 km除以两者的速度和即可…… 分析讨论：用代数法，根据行程问题中的相遇问题，找出等量关系列一元一次方程来解． 师：既然大家对他们的想法都有了一定的认识，你能说说，他们的想法的优缺点吗？ 生：在刚才讨论的基础上，可以达成一致的看法是： 小明想法的优点是：直观地获得问题的结果，使考虑问题的思路清晰，借助图象帮助我们寻找解题途径．缺点是：作图象的方法难以获得准确的结果． 小颖的想法，既利用了小明的想法的优点，又克服了其缺点．由此可见当遇到一次函数与二元一次方程组有关的问题，要认真设清题意，必要时要借助数形结合，从图象信息确定一次函数表达式，加强一次函数与二元一次方程组的联系． 归纳总结：用图象法可以直观地获得问题的结果，但是有时难以获得准确的结果．为了获得准确的结果，一般用代数法． 通过实际问题情境，进一步加强函数与方程的联系，在用多种方法解决问题的思考和比较中，体会图象法与代数法各自的特点，在此基础上，掌握用待定系数法确定一次函数表达式的方法．同时理解知识之间有着广泛的联系.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　(教材第130页例)在某汽车客运站，乘坐长途车的乘客可以免费携带一定质量的行李，超过该质量需购买行李票，且行李费y(单位：元)是行李质量x(单位：kg)的一次函数．已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元． (1)写出y与x之间的关系式； (2)每名乘客最多可免费携带多少千克的行李？ 解：(1)设y＝kx＋b，根据题意，得 ②－①，得30k＝5，k＝. 将k＝代入①，得b＝－5. 所以y＝x－5. (2)当x＝30时，y＝0. 所以每名乘客最多可免费携带30 kg的行李． 【变式训练】 在正常情况下，一个人在运动时所能承受的最高心跳次数S(次/分)与这个人的年龄n(岁)满足关系式：S＝an＋b，其中a，b均为常数． (1)根据图中提供的信息，求a，b的值； (2)若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？ 解：(1)根据题意，得 解得 所以a＝－，b＝174. (2)当n＝63时，S＝－×63＋174＝132(次/分)， 即63岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数为132次/分． 而26×＝156(次/分)＞132(次/分)， 所以他有危险． 师生活动：学生分小组讨论完成解答． 利用文字提供的信息，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的具体做法，让学生深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法，在此基础上，培养学生的应用意识、阅读理解能力与建立模型解决问题的能力，让学生体会数学的广泛应用，充分加强数学与现实的联系.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.一次函数的图象经过点(2，1)和(－1，－3)，则它的表达式为(D) A．y＝x－ B．y＝x－ C．y＝x＋ D．y＝x－ 2．已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于(C)
x－101y1m－5
A.－1 B．0 C．－2 D.
3.如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中所给的数据信息，解答下列问题：
(1)求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数表达式；
(2)把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
解：(1)设y＝kx＋b.由图可知：当x＝4时，y＝10.5；当x＝8时，y＝16.5.
把它们分别代入上式，得解得
所以一次函数的表达式是y＝1.5x＋4.5.
(2)当x＝4＋8＝12时，y＝1.5×12＋4.5＝22.5.
所以把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是22.5 cm.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到让学生全面提高的目的.
课堂小结 1.课堂小结：
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说.
2.布置作业：
教材第131页随堂练习第1，2题；教材第132页习题5.4第5，6题. 学生在反思中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
板书设计 第2课时　用二元一次方程组确定一次函数表达式
1.解决一次函数的实际问题的方法.
2.用待定系数法求一次函数的表达式. 提纲挈领，重点突出.
教学反思 1.关注学生是否理解“为什么需要两组值”——一次函数有两个待定系数，需两个方程，避免学生因“只列一个方程”导致错误.
2.实际问题中，部分学生可能混淆变量对应关系(如横、纵坐标含义)，需通过例题强调“代入时x，y的取值需与题意一致”.
3.可补充“已知图象与坐标轴交点”的题型[如已知函数图象与x轴交于点(2，0)，与y轴交于点(0，－4)]，强化“b的直接应用”. 反思，更进一步提升.
*5　三元一次方程组
备课素材
一、新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情境导入】
前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法．有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决．实际上，有不少问题含有更多未知数．我们看下面的问题：
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张．
自然的想法是，设1元、2元、5元的纸币分别为x 张、y张、z张，根据题意，可以得到下面三个方程：
x＋y＋z＝12，
x＋2y＋5z＝22，
x＝4y.
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
这个方程组和我们以前学过的二元一次方程组有什么区别呢？又怎样求出这个方程组的解呢？(提示课题：三元一次方程组)
二、数学文化拓展阅读
一次方程的古今表示及解法
我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中．《九章算术》的“方程”章，有许多关于一次方程组的内容，这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的：
上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共是39斗；
上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共是34斗；
上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共是26斗．
求上、中、下三等谷每束各是几斗．
下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？
《九章算术》中的算筹图是竖排的．为看图方便，上图改为横排，使三个横行表示三句话的含义．
不妨先用我们熟悉的数学符号来表述怎样解这个有3个未知数的问题．
设上等谷每束x斗，中等谷每束y斗，下等谷每束z斗．
根据题意，得三元一次方程组
(*)
与解二元一次方程组类似，通过消元可以使上面的方程组转化为二元一次方程组，进而求出各未知数．
上图实际上就是用算筹列出的方程组(*)，它省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项．
我国古代解方程组时，也用算筹做计算工具，具体解法是：从一个方程累减(或累加)另一个方程．例如，解方程组(*)，将①－②可以消去z，将③连续三次减去②也可以消去z，从而得到二元一次方程组
这里将③连续三次减去②，与③－②×3的结果一样．
教学设计
课题 *5　三元一次方程组 授课人
素养目标 1.了解三元一次方程和三元一次方程组． 2．会解简单的三元一次方程组． 3．掌握解三元一次方程组过程中化“三元”为“二元”和“一元”的化归思想． 4．应用三元一次方程组解决简单的实际问题． 5．通过三元一次方程组的解法练习，培养分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法和消元对象．培养计算能力，训练解题技巧.
教学重点 会解简单的三元一次方程组，进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思路，灵活运用代入法、加减法等重要方法.
教学难点 根据方程组的特点，选择最合适的解法.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 　　问题1：什么叫二元一次方程和二元一次方程组？ 问题2：解二元一次方程组的基本思路是什么？ 问题3：求解二元一次方程组有哪些方法？主要步骤有哪些？ 通过回顾复习二元一次方程组的相关知识，为三元一次方程组的学习做好准备.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数． 解法1：我们设甲数为x，则乙数为x－1，丙数为2x＋x－1－20，可列一元一次方程x＋(x－1)＋(2x＋x－1－20)＝23.解这个一元一次方程，得x＝9.所以甲数为9，乙数为8，丙数为6. 解法2：我们设甲数为x，乙数为y，则丙数为2x＋y－20，可列二元一次方程组解这个二元一次方程组，得所以甲数为9，乙数为8，丙数为6. 1.分别用一元一次方程和二元一次方程组解决问题，让学生比较其不同，为下面三元一次方程组的解法做铺垫． 2．通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．三元一次方程(组)有关概念 上例中，我们还有其他方法吗？ 可以设甲数为x，乙数为y，丙数为z，那么由题意可得到方程组 师：这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ 生：①未知数的个数和方程都比二元一次方程组多一个；②未知数次数都是一次． 引出三元一次方程组的概念： 在这个方程组中，x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝20都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程． 像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组． 关注概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系． 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解． 2．三元一次方程组的解法 如果能解出这个方程组就好了． 引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元，以及消元的基本方法(代入消元、加减消元)，尝试对进行消元，从而解决问题． 解：由方程②，得x＝y＋1.④ 把④分别代入①③，得 2y＋z＝22，⑤ 3y－z＝18.⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 把y＝8代入④，得x＝9. 所以原方程组的解是 解上面的方程组时，你能先消去未知数y(或z)，从而得到方程组的解吗？ (1)用代入消元法：由于方程组②式的特点，可将②式化为y＝x－1，再分别代入①③式，消去y，从而转化为关于x，z的二元一次方程组； (2)用加减消元法：由于②式中没有含z，可以将①③两式联立相加，消掉z，从而得到关于x，y的二元一次方程组． 议一议： 上述不同的解法有什么共同之处？与二元一次方程组的解法有什么联系？解三元一次方程组的思路是什么？ 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”，再化为“一元”． 即 归纳总结： 解三元一次方程组的一般步骤： (1)观察方程组的系数特点，确定先消哪个未知数； (2)消元，得到一个二元一次方程组； (3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值； (4)求出第三个未知数的值，写出方程组的解． 1.结合实例，用类比法学习三元一次方程组的有关概念，由于内容比较容易理解，以谈话的方式解决即可． 2．类比二元一次方程组的解法，师生共同分析，得到三元一次方程组的解法，由学生独立尝试写出解答过程，结合板演规范并梳理解题步骤，让学生明确解三元一次方程组的基本思想是“消元”． 3．体会三元一次方程组的不同解法之间的异同，增强思维的灵活性.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　解三元一次方程组： 解：②－①，得－2y＝4， 解得y＝－2. 把y＝－2代入①，得x－2＋z＝4， 即x＋z＝6.④ 把y＝－2代入③，得4x－4＋z＝17， 即4x＋z＝21.⑤ 由④和⑤组成一个二元一次方程组 解得 所以原方程组的解是 【变式训练】 中超联赛中A，B，C，D，E五支球队的积分和胜负情况如下表：
队名比赛场次胜场平场负场积分A1684428B16016016C16012412D16286aE16b82c
　　从中可知a＝14，b＝6，c＝26.
提示：设胜一场得x分，平一场得y分，负一场得z分，列方程组解题即可.
师生活动：学生独立思考，教师适当引导设未知数． 进一步巩固新知，举一反三，灵活选择简便的方法进行消元，熟练解题.
活动四：课堂检测 【课堂检测】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.解方程组 若要使运算简便，消元的方法应选取(B)
A.先消去x 　　　B．先消去y　　　C．先消去z 　　　D．以上说法都不对
2.下列四组数值中，为方程组 的解的是(D)
A. B. C. D.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 3.解下列方程组： (1)　(2) (3)　(4) 解：(1)　(2)　(3)　(4) 4．某单位职工在植树节当天去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组和的，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？ 解：设甲组植树x株，乙组植树y株，丙组植树z株．由题意，得 解得 答：甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到了解课堂学习效果的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 2．布置作业： 教材第136页随堂练习第1，2题；教材第137～138页习题5.5第1，2，3题. 学生在反思中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
板书设计 *5　三元一次方程组 1．三元一次方程组的相关概念． 2．解三元一次方程组. 提纲挈领，重点突出.
教学反思 1.学生可能因“未知数多、步骤复杂”产生畏难情绪，需通过简单例题强化“消元逻辑”，强调“每次消元只针对一个未知数，转化为熟悉的二元问题”． 2．消元过程中易出现计算错误，可要求学生标注消元步骤(如“①＋②得④”)，并养成检验习惯(将解代入原方程组)． 3．实际问题中，部分学生难以提取三个等量关系，可通过“列表法”梳理已知量与未知量的关系，降低建模难度. 反思，更进一步提升.
☆问题解决策略：逐步确定
备课素材
新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
某校购进72台同型号的录音机，由于票上字迹太模糊，末尾上的数字看不清，只能看出应付35 92□元，你能推断出这次学校购买的录音机的单价和总价吗？
教学设计
课题 ☆问题解决策略：逐步确定 授课人
素养目标 1.理解“逐步确定”策略在解决复杂问题中的应用． 分步验证→分步验证→整合结论”的完整思维过程． 3．体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想.
教学重点 分步骤验证条件的方法.
教学难点 1.理解多个条件的逻辑关系． 2．高效筛选公共解的策略优化.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题：今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二．问：物几何？(选自《孙子算经》) 你知道物品最少有多少个吗？ 由古代问题引入，介绍该问题是中国古代最早的系统化同余问题，比西方早一千余年，增强文化自信.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 一、策略引导． 提问：“如何同时满足三个条件？能否先满足部分条件再逐步缩小范围？” (1)找出物品的个数应同时满足的条件． 物品的个数为正整数，需要符合三个条件： ①除以3余2；②除以5余3；③除以7余2. (2)逐步确定满足以上三个条件的最小正整数． 符合条件①的正整数有： 2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…(A) 思考：这些数有什么规律？ 叠加第二个条件． 在(A)中，符合条件②的正整数有：8，23，38，…(B)
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　叠加第三个条件． 在(B)中，符合条件③的正整数有：23，… 因此，同时满足三个条件的最小正整数是23.所以，物品最少有23个． 二、策略优化． 讨论：当数字较大时，列举法效率低，还能怎么改进？ 引导发现： 1．先找满足条件①③的数(同余2)：23，44，65，86，… 2．再从23，44，65，86，…中找符合条件②的最小的数． 师生活动：学生分小组讨论，教师引导学生采用逐步分析的方式确定先求什么，再求什么，一步步缩小范围． 1.把复杂的行程问题，分解成几个简单的问题串，学会利用线段化繁为简，梳理题干中的数量关系，理清解题思路． 2．培养学生动手操作的能力． 此过程体现了“逐步确定”策略中“化繁为简、分步求解”的核心思想，通过有序合并条件，逐步缩小解的范围，最终确定唯一解.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　若三位数3a8能被12整除，且a为偶数，求这个三位数． 解：(1)12＝3×4，因此这个三位数需同时满足被3和4整除． 被4整除：末两位a8能被4整除，且a为偶数，则a满足的数有2，4，6，8. 被3整除：3＋a＋8＝11＋a是3的倍数，且a为偶数，则a满足的数有4. (2)满足条件的a值只有4，即这个三位数为348. 【变式训练】 一批苹果分给学生，3个人分剩2个，5个人分剩3个，7个人分剩4个．这批苹果最少有多少个？ 解：(1)找出苹果的个数应同时满足的条件． 苹果的个数为正整数，需要符合三个条件： ①除以3余2；②除以5余3；③除以7余4. (2)逐步确定满足以上三个条件的最小正整数．符合条件①的正整数有： 2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47，50，53，…(A) 在(A)中，符合条件②的正整数有： 8，23，38，53，…(B) 在(B)中，符合条件③的正整数有：53，… 因此，同时满足三个条件的最小正整数是53.所以，苹果最少有53个． 师生活动：学生先独立思考并作答，然后分小组交流讨论，派学生代表进行讲解，教师最后进行完善． 1.巩固新知，帮助学生梳理逐步确定的步骤和要点，提高学生分析问题、解决问题的能力． 2．变式训练拓展学生思维，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.在正方形ABCD中，点P在正方形ABCD的内部，使得△ABP≌△ADP，S△ABP＝S△BCP.试确定点P的位置． 解：(1)由△ABP≌△ADP，得∠BAP＝∠DAP，所以点P在对角线AC上． (2)由S△ABP＝S△BCP，得AP＝CP，所以点P是对角线AC的中点． 2．三三数之余一，五五数之余一，七七数之余一，求最小解． 解：(1)找出这些数应同时满足的条件．为正整数，且需要符合三个条件： ①除以3余1；②除以5余1；③除以7余1. (2)逐步确定满足以上三个条件的最小正整数．符合条件①的正整数有： 4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，…(A) 在(A)中，符合条件②的正整数有： 16，31，46，61，…(B) 在(B)中，符合条件③的正整数有：106，… 因此，同时满足三个条件的最小正整数是106.所以，最小解是106.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 3.如图，已知线段a，h和∠α，用尺规作锐角三角形ABC，使BC＝a，高AD＝h，∠B＝∠α. 解：如图，(1)确定BC：作射线BM，以点B为圆心，a的长为半径，在射线BM上截取一点C，则BC＝a. (2)确定∠B：以BC为边，作∠PBC＝∠α. (3)作线段BC的垂线l，在l上截取CN＝h，过点N作l的垂线n，则n∥BC，直线n与射线BP的交点为A，连接AC，则△ABC即为所求． 师生活动：选取1～2个学生代表上台展示他们的解题过程，教师进行总结点评，强调重点和易错点． 加深学生对所学知识的理解与运用.
课堂小结 1.课堂小结： 化归思想：将复杂问题分解为简单问题． 算法思维：建立可重复执行的验证步骤． 2．布置作业： 教材第140页第3，4题. 学生在小结中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
板书设计 ☆问题解决策略：逐步确定 问题解决三步法： 2．分层筛选→2.分层筛选→3.验证整合 提纲挈领，重点突出
教学反思 关联量→关联量→方程”的推导链条，例如用箭头标注“先求什么→再求什么”． 2．可通过案例分析，帮助学生对比体会“合理分布”的重要性，优化解题策略. 反思，更进一步提升.

展开更多......

收起↑