资源简介

——— 第一 章 ———勾股定理
本章教材分析
一个直角三角形的两条直角边的长度分别是3和4，你知道它斜边的长度是多少吗？已知直角三角形两条边的长度，你能求出它第三条边的长度吗？实际上，利用勾股定理我们可以很容易地解决这些问题．勾股定理是中国古代数学的成就之一，让我们一起探索这个古老的定理吧！在探索过程中，你将进一步体会数与形的完美融合，形成逻辑表达和交流的习惯，感受数学的无穷魅力！
2　一定是直角三角形吗
备课素材
新课导入设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情境导入】
播放相声《反正话》．
表演者：马季、于世猷．
马：你别吹，今天当着各位老师和同学的面我来考考你，咱们来一段反正话．
于：什么叫作反正话呢？
马：就是我说一句话，你把这句话反过来再说一遍，能说上来就算你聪明！
于：咱们可以试试．
马：我脑门子．于：我门(没)脑子！
马：我眼珠．于：我猪眼！不像话啊！
马：我是孙猴子．于：我是猴孙子！你说点好听的！
马：我是牡丹花．于：我是花牡丹！
马：我是狗尾巴花．于：我是花尾巴狗！
听了上面这段相声大家都非常开心，其实在我们数学上也有很多定理可以反过来说，比如我们刚刚学过的勾股定理，如果把勾股定理反过来说，大家说还成立吗？
教学设计
课题 2　一定是直角三角形吗 授课人
素养目标 1.掌握直角三角形的判定条件． 2．熟记一些勾股数． 3．能对直角三角形的判定条件进行综合应用． 4．通过学习直角三角形判定的过程，进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题中抽象出数学问题的能力，建立数学模型.
教学重点 通过边的长度之间的关系判断一个三角形是否为直角三角形，熟悉几组勾股数，并会辨析哪些问题应用哪个结论.
教学难点 1.利用三角形三边的长度判定直角三角形． 2．勾股数的识别及数感的培养.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 回答问题： 1．在直角三角形中，三边的长度之间有什么关系？ 2．如果一个三角形中有两条边长度的平方和等于第三条边长度的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？ 通过复习和设置疑问引入新课，激发学生的探究热情.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 下面有三组数，分别是一个三角形三条边的长度a，b，c：①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.回答下列两个问题： 1．这三组数都满足a2＋b2＝c2吗？ 2．分别以每组数为三条边的长度画出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 学生活动：学生分为4人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数． 归纳：勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系的，而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态的．
定理勾股定理勾股定理的逆定理内容如果直角三角形的两条直角边的长度分别为a，b，斜边长度为c，那么a2＋b2＝c2如果三角形的三条边的长度a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形已知直角三角形的两条直角边的长度分别为a，b，斜边长度为c三角形三条边的长度a，b，c满足a2＋b2＝c2结论a2＋b2＝c2三角形是直角三角形用途是直角三角形的一个性质判定直角三角形的一种方法
　　提问：有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现．你认为这个发现正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？
如果三角形的三条边的长度a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数.
反思总结
提问：1.同学们还能找出哪些勾股数呢？
2.今天的结论与前面学习的勾股定理有哪些异同呢？
3.到今天为止，你能用哪些方法判定一个三角形是直角三角形呢？
4.通过今天同学们的合作探究，你能领悟出一个数学结论的发现要经历哪些过程吗？ 一般→一般→特殊”的发展规律.
2.让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论.
3.进一步让学生认识该结论与勾股定理之间的关系.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形． (1)a＝15，b＝8，c＝17；　　　(2)a＝13，b＝14，c＝15. 解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289， 152＋82＝172，所以这个三角形是直角三角形． (2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225， 132＋142≠152，所以这个三角形不是直角三角形.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 　　例2　 (教材第10页例)一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示(单位：cm)，这个零件符合要求吗？ 解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角． 在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角． 因此，这个零件符合要求． 【变式训练】 如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是45°． 师生活动：学生自主解答问题后，分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示自己的答案． 通过练习，进一步让学生巩固直角三角形的判定方法，同时规范解题步骤.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如果三条线段a，b，c满足a2＝c2－b2，那么这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 解：是．因为a2＝c2－b2，所以a2＋b2＝c2，由勾股定理的逆定理判断是直角三角形． 2．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(C) A．5，6，7 B．10，8，4 C．7，25，24 D．9，17，15 3．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 解：对．因为a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2，而c2＝(m2＋1)2，所以a2＋b2＝c2，即a，b，c是勾股数． 当m＝2时，勾股数为3，4，5；当m＝3时，勾股数为6，8，10；当m＝4时，勾股数为8，15，17.(答案不唯一)
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 4.如图，AB＝3，CB＝4，∠ABC＝90°，CD＝13，AD＝12.求该图形的面积． 解：连接AC. 因为在Rt△ACB中，AB＝3，CB＝4， 所以AC＝5. 在△ACD中， 因为AC2＋AD2＝52＋122＝132＝CD2， 所以△ADC为直角三角形． 所以该图形的面积为S△ADC－S△ACB＝×5×12－×3×4＝24. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 让学生加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第11页随堂练习第1，2题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 2　一定是直角三角形吗 1．如果三角形三条边的长度a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 2．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数. 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在教学过程中，要关注学生在探究和应用勾股定理逆定理过程中的表现，及时发现学生的思维障碍并给予指导．通过多样化的练习，帮助学生加深对知识的理解和掌握．同时，引导学生总结解题方法和规律，提高学生的解题能力和数学素养． 反思，更进一步提升.
3　勾股定理的应用
备课素材
新课导人设计
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【置疑导入】
如图所示，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门ABCD，如果把竹竿竖放就比门AB高出2尺，沿着门的对角线斜放就恰好等于门的对角线(BD)，已知门宽AD为6尺，求竹竿的长．
教学设计
课题 3　勾股定理的应用 授课人
素养目标 1.能正确运用勾股定理及直角三角形的判定方法解决简单的实际问题． 2．学会选择适当的数学模型解决实际问题． 3．通过问题情境的设立，帮助学生体会数学来源于生活，又应用于生活．积累利用勾股定理的知识解决日常生活中实际问题的经验和方法.
教学重点 应用勾股定理及直角三角形的判定条件解决简单的实际问题.
教学难点 从实际问题中合理抽象出数学模型.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 勾股定理及直角三角形的判定条件是什么？ 让学生回忆并回答，为本课的学习提供知识基础.
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 看图片，引出问题：有一块长方形绿地，绿地周边是小路，在绿地旁边的B处有健身器材．居住在A处的居民为了走近路而不惜践踏草地直接从A到B.各位同学，你知道他们为什么不走绿地周边的路吗？ 用学生熟悉的生活实例导入并提出问题，使学生的参与兴趣浓厚、探究热情高涨，既复习了本节课需要用到的基本事实“两点之间，线段最短”和勾股定理的计算，又为下一环节奠定了良好的课堂氛围基础.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他只随身带了卷尺． (1)你能替他想办法完成任务吗？ (2)李叔叔量得边AD的长是30 cm，边AB的长是40 cm，点B，D之间的距离是50 cm，则边AD垂直于AB吗？ (3)小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？ 方法总结：判断线段的垂直关系时，一般是把线段放到三角形中，利用勾股定理的逆定理证得直角三角形，进而得到线段的垂直关系． 2．如图，正方形纸片ABCD的边长为8 cm，E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗？ 老师先给大家示范：拿出一张正方形纸片，将右下角向上沿着GF折叠，使右下角顶点恰好落在正方形的边AD的中点上，请同学们跟着老师的步骤进行折叠，折叠完成后，思考一下：在这个直角三角形中，哪些边的长度可以直接得到，哪些边的长度需要借助未知数来表示呢？(教师巡视指导，确保学生正确折叠) ①分析图形，设未知数 引导学生观察折叠后的图形，利用E是AD的中点，求出DE的长度为4 cm.设出DF的长度为x cm，然后鼓励学生尝试用含x的式子表示出EF的长度． ②运用勾股定理，建立方程 提问学生：“我们已经学过勾股定理，在直角三角形DEF中，根据勾股定理，三条边的长度满足什么关系呢？”引导学生根据勾股定理列出方程．教师参与到学生的讨论中，对有困难的学生进行启发和引导． ③小组讨论，求解方程 以小组为单位，讨论列出的方程，尝试求解未知数．在小组讨论过程中，教师巡视各小组，观察学生的讨论情况，适时给予提示和帮助．各小组推选代表分享方程建立和求解的过程，教师对不同小组的方法进行点评和总结，强调方程思想在解决这类几何问题中的关键作用． 1.运用直角三角形的判定条件来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许使用的工具灵活处理问题． 2．通过设未知数，建立方程，我们成功地解决了正方形折叠线段长度的问题，这让我们看到，方程思想就像一把钥匙，能帮助我们解开勾股定理在复杂图形中应用的难题．在探究的过程中让学生进行思考、动手操作，进而培养学生的思考能力、动手能力以及探究能力.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　(教材第13页例)今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问：水深、葭长各几何？(选自《九章算术》) 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺(如图)．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？(1丈＝10尺) 解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x＋1)尺．由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺．在Rt△OAC中，由勾股定理，可得AC2＋OA2＝OC2， 即52＋x2＝(x＋1)2. 解得x＝12. 12＋1＝13. 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺． 【变式训练】 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10尺，BC＝3尺，求AC的长． 解：设AC＝x尺，则AB＝(10－x)尺． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC2＋BC2＝AB2， 即x2＋32＝(10－x)2， 解得x＝. 答：AC的长为尺． 师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨． 利用勾股定理解决实际问题，同时训练学生的读题能力和规范书写解题过程的能力，使学生进一步理解勾股定理，体会数学与现实世界的联系.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？ 解：如图，已知A是甲、乙的出发点，10：00甲到达B点，乙到达C点．则 AB＝2×6＝12(km)，AC＝1×5＝5(km)． 在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132. 所以BC＝13 km.故甲、乙两人相距13 km.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 2.小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BC⊥OA于点C，(图中的A，B，O，C在同一平面内)，测得AC＝2 cm，BC＝8 cm.求OB的长． 解：∵OA＝OB，AC＝2 cm， ∴OC＝OB－2. 在Rt△OBC中，OB2＝OC2＋BC2， ∴OB2＝(OB－2)2＋82. 解得OB＝17. ∴OB的长为17 cm. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第14页随堂练习第1题. 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计 3　勾股定理的应用 1．勾股定理在数学上和生活中的应用． 2．方程思想在勾股定理中的应用． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在教学过程中，关注学生在将实际问题转化为数学问题、建立方程模型过程中的表现，及时发现学生的思维障碍并给予针对性指导．通过多样化的例题和练习，帮助学生巩固知识、提高能力．同时，反思教学方法和环节设置的合理性，以便在后续教学中不断改进，提升教学效果． 反思，更进一步提升.
☆问题解决策略：反思
备课素材
新课导入设计
【复习导入】
如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间．你认为该储物点应建在什么地方才能使工作人员所走的路程最短？
教学设计
课题 ☆问题解决策略：反思 授课人
素养目标 1.掌握将立体图形展开成平面图形的方法，能正确找出两点间的最短路径． 2．熟练运用勾股定理计算立体图形表面两点间的最短路径长度.
教学重点 熟练运用勾股定理计算立体图形表面两点间的最短路径长度.
教学难点 根据立体图形的特征，选择合适的展开方式，准确找出最短路径.
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 1．如图，小明要从A地到B地去，有几条路可走？请帮他选一条最近的路，为什么这样选择？ 2．在直角三角形中，两条直角边a，b与斜边c有什么关系？ 3．圆的周长如何计算？ 通过复习和设问引入新课，激发学生学习的兴趣，为后续学习起到引领和铺垫作用.
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长等于 18 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？ 预设学生可能的方案：
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动二：实践探究、交流新知 　　(2)将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？ 教师展示学生的方案： (3)蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 预设：学生在求直角边时会出现问题．极有可能将上面的短的直角边当成是圆的半径，这里教师要特别关注． 教师小结： (1)数学思想： 立体图形平面图形 (2)在解决空间几何图形中的距离问题时，先把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”的性质来解决问题． 通过对例题的探索，渗透建模思想．通过探求过程，让学生学会分析立体图形中隐藏的几何模型(直角三角形)，能够将立体图形转化为平面图形，体会勾股定理在生活中无处不在.
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　如图，圆柱形木桩底面周长是30 cm，高为25 cm，在木桩底部S处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的木桩另一面距顶部5 cm的点F处有一只苍蝇，求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度． 解：将圆柱侧面展开如图所示． SF2＝()2＋(25－5)2＝625. ∴SF＝25 cm. 答：急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度为25 cm.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】 如图，已知一个长方体的长、宽、高分别为6，5，3，在长方体的底面上点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上与点A相对的点B处的食物，则需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少？ 解：①当长作为直角三角形的一条直角边，宽与高的和作为另一条直角边时，路线如图1所示． 在Rt△ABG中，AG2＋BG2＝AB2， ∵AG＝5＋3＝8，BG＝AC＝6， ∴AB2＝82＋62＝100.∴AB＝10； ②当宽作为直角三角形的一条直角边，长与高的和作为另一条直角边时，路线如图2所示． 在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2， ∵AE＝6＋3＝9，BE＝AH＝5， ∴AB2＝52＋92＝106； ③当高作为直角三角形的一条直角边，宽与长的和作为另一条直角边时，路线如图3所示． 在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2， ∵AD＝6＋5＝11，BD＝AF＝3， ∴AB＝32＋112＝130. ∵100＜106＜130， ∴需爬行的最短路程是10. 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 通过圆柱和长方体中的最短路径问题的练习，加深了学生对立体图形中隐藏的几何模型(直角三角形)以及将立体图形转化为平面图形的理解，既培养了学生的识图能力，又为后面的学习奠定了坚实的基础.
活动四：课堂检测 【课堂检测】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图，已知圆柱底面的周长为12 cm，圆柱的高为8 cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为(B) A．10 cm B．20 cm C．24 cm D．100 cm 2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离． 解：利用展开图中两点之间线段最短可知，AB2＝[(3＋2)×3]2＋202＝625＝252，所以蚂蚁走的最近距离为25.
续表
教学步骤 师生活动 设计意图
活动四：课堂检测 3.如图，圆柱形玻璃杯的高为13 cm，底面周长为10 cm，在杯内壁离杯底3 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2 cm，且与蜂蜜相对的点B处，求蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程．(杯壁厚度不计) 解：如图： 将杯子侧面展开，作点B关于EF的对称点B′，连接B′A，则B′A即为蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程．由题意，得 DE＝B′F＝BF＝2 cm，AE＝13－3＝10(cm)， ∴DA＝AE＋DE＝12 cm. ∵底面周长为10 cm， ∴B′D＝×10＝5(cm)． ∴在Rt△AB′D中，B′A2＝B′D2＋DA2＝52＋122＝169.∴B′A＝13 cm. ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为13 cm. 师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过课堂检测，及时获知学生对所学方法策略的掌握情况，并最大限度地调动学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂小结 1.课堂小结： (1)通过这节课的学习，你有哪些感悟？ (2)本节课学会了哪些学习方法？先想一想，再分享给大家． 2．布置作业： 教材第17～18页第1，2题 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计 ☆问题解决策略：反思 1．圆柱体上的两点间的最短距离． 2．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离． 3．生活中两点间的最短距离． 4．总结：利用勾股定理解决立体图形的最短路程问题． 提纲挈领，重点突出.
教学反思 　　在教学过程中，关注学生的空间想象能力和转化思想的培养，对于学生在展开立体图形和运用勾股定理计算过程中遇到的困难，及时给予指导．通过小组合作探究和练习，帮助学生巩固知识，提高解决问题的能力．同时，反思教学方法和教学环节的合理性，以便在今后的教学中进行改进和优化． 反思，更进一步提升.

展开更多......

收起↑