资源简介

人教版九年级数学上册同步课时教案
目 录
第二十一章　一元二次方程
21.1　一元二次方程
21.2　解一元二次方程
21.2.1　配方法
　第1课时　直接开平方法
　第2课时　配方法
21.2.2　公式法
21.2.3　因式分解法
*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
21.3　实际问题与一元二次方程
　第1课时　传播类、面积问题
　第2课时　平均增长率、销售类问题
第二十二章　二次函数
22.1　二次函数的图象和性质
22.1.1　二次函数
22.1.2　二次函数y=ax2的图象和性质
22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质　
第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质
　第2课时　二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
　第3课时　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
　第1课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
　第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式
22.2　二次函数与一元二次方程
22.3　实际问题与二次函数
　第1课时　最优化问题
　第2课时　生活中的抛物线
第二十三章　旋　转
23.1　图形的旋转
23.2　中心对称
23.2.1　中心对称
23.2.2　中心对称图形
23.2.3　关于原点对称的点的坐标
23.3　课题学习　图案设计(略)
第二十四章　圆
24.1　圆的有关性质
24.1.1　圆
24.1.2　垂直于弦的直径
24.1.3　弧、弦、圆心角
24.1.4　圆周角
24.2　点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1　点和圆的位置关系
24.2.2　直线和圆的位置关系
　第1课时　直线和圆的位置关系
　第2课时　切线的判定和性质
　第3课时　切线长定理及三角形的内切圆
24.3　正多边形和圆
24.4　弧长和扇形面积
　第1课时　弧长和扇形面积
　第2课时　圆锥的侧面积和全面积
第二十五章　概率初步
25.1　随机事件与概率
25.1.1　随机事件
25.1.2　概　率
25.2　用列举法求概率
　第1课时　用列表法求概率
　第2课时　画树状图求概率
25.3　用频率估计概率
第二十一章　一元二次方程
21.1　一元二次方程
1.理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程转化为一般形式,确定出二次项系数、一次项系数和常数项.
2.理解一元二次方程根的意义,能够运用代入法检验根的正确性.
重点:一元二次方程的概念和由实际问题列出一元二次方程.
难点:由实际问题列出一元二次方程.准确认识一元二次方程的二次项及其系数、一次项及其系数和常数项.
1.什么叫方程 我们学过哪些方程
2.什么叫一元一次方程
阅读以下内容,完成下列问题:
问题1:要设计一座高2 m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计为多少米
问题2:有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖长方体盒子,如果要制作的盒子的底面积为3 600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形
问题3:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛
观察并思考:x2+2x-4=0;x2-75x+350=0;x2-x=56.
1.这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数 它的最高次数是几 它们有什么共同特点
2.对照一元一次方程,写出一元二次方程的定义.　　　　　　　　　　　　　　　　.
知识点1　一元二次方程的定义
像x2+2x-4=0;x2-75x+350=0;x2-x=56这样,等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
[定义解读] 一元二次方程必须同时满足三个条件:
①是整式方程;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2.
注意点:①二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉;②任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0)的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式,a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项,都要包含它前面的符号.
范例应用
例1　辨一辨:下列方程:①-5x2=0;②3x+2=5y;③x2-4=(x+2)2;④3x3-x=0;⑤x2+xy-3=0;⑥+-3=0是不是一元二次方程,请说明理由
解:①是一元二次方程;
②,③,④,⑤,⑥不是一元二次方程,理由如下:
②3x+2=5y含两个未知数;③x2-4=(x+2)2化简后为4x+8=0是一元一次方程,而不是一元二次方程;④3x3-x=0中x的最高次数是3,不是一元二次方程;⑤x2+xy-3=0含有两个未知数,不是一元二次方程;⑥+-3=0不是整式方程.
例2　将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解:去括号,得3x2-3x=5x+10.
移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.
所以二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.
[方法归纳] 化为一般形式后,若一元二次方程的二次项系数中有参数,则要保证二次项的系数不要为零,同时不要漏掉各项系数的符号.
知识点2　一元二次方程的解
使一元二次方程成立的未知数的值,叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.
[判断方法] 判断一个或几个数值是否为某一元二次方程的解,只要把它们分别代入方程,看方程的左右两边是否相等,若相等,则它们是一元二次方程的解,否则不是.
范例应用
例3　关于x的一元二次方程(a+1)x2-ax+|a|-1=0的一个根为0,则a=　1　.
[思路点拨] 将a=0代入一元二次方程,得到关于a的方程,解方程即可,注意二次项系数a+1≠0.
1.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是(D)
A.=3 B.x2+2x=x2-1 C.ax2+bx+c=0 D.3(x+1)2=2(x+1)
2.一元二次方程2x2=1-3x化成ax2+bx+c=0的形式后,a,b,c的值分别为(B)
A.2,1,-3 B.2,3,-1 C.2,3,1 D.2,1,3
3.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为(B)
A.1 B.-1 C.1或-1 D.
4.关于x的一元二次方程x2+(2a-1)x+5-a=ax+1的一次项系数为4,则常数项为(B)
A.1 B.-1 C.0 D.5
5.在某次聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手10次,设有x人参加这次聚会,则列出方程正确的是(B)
A.x(x-1)=10 B.=10 C.x(x+1)=10 D.=10
6.当a　≠1　时,关于x的方程(a-1)x2+3x-5=0是一元二次方程.
7.已知实数m是关于x的方程2x2-3x-1=0的一根,则代数式4m2-6m-2值为　0　.
8.判断下列几个方程是否是一元二次方程,把其中的一元二次方程化为一般形式,并指出它的二次项系数、一次项的系数及常数项.
(1)=x-1; (2)3(x-1)2=2+x2;
(3)(2x+3)x=x2; (4)(2m-1)x2+3x-5=0.(m为常数)
解:(1)方程不是一元二次方程.
(2)方程为一元二次方程,整理,得2x2-6x+1=0,二次项系数为2,一次项系数为-6,常数项为1.
(3)方程为一元二次方程,整理,得x2+3x=0,二次项系数为1,一次项系数为3,常数项为0.
(4)当2m-1=0,即m=时,方程为一元一次方程;当2m-1≠0,即m≠时,方程为一元二次方程,二次项系数为2m-1,一次项系数为3,常数项为-5.
1.本节课学习了一元二次方程的相关概念.
2.在学习过程中用到了什么方法
第二十一章　一元二次方程
21.1　一元二次方程
　　本节运用类比的教学方法,在新概念提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受一元二次方程时由一元一次方程进行类比,一般形式也从一元一次方程的标准形式中得出,一元二次方程获得解的方法同一元一次方程,对比异同,容易记忆.这些都是利用了类比的教学方法,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.
21.2　解一元二次方程
21.2.1　配方法
第1课时　直接开平方法
1.初步掌握用直接开平方法解一元二次方程,会用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0)的方程.
2.理解解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系,体会转化的思想方法.
重点:运用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0)的方程.
难点:会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
1.如果x2=a,则x叫做a的　　　　　　;
2.如果x2=a(a≥0),则x=　　　　;
3.如果x2=64,则x=　　　　　;
4.任何数都可以作为被开方数吗
知识点　直接开平方法
解下列方程,并说明你所用的方法,与同伴交流.
(1)x2=4; (2)x2=0; (3)x2+1=0.
解:(1)根据平方根的意义,得x1=2,x2=-2.
(2)根据平方根的意义,得x1=x2=0.
(3)根据平方根的意义,得x2=-1,
因为负数没有平方根,所以原方程无解.
像以上利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
[归纳] 一般地,对于方程x2=p.
(1)当p>0时,根据平方根的意义,方程有两个不等的实数根x1=,x2=-;
(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;
(3)当p<0时,因为任何实数x,都有x2≥0,所以方程无实数根.
范例应用
例题　解下列方程:
(1)3x2-27=0; (2)(x+3)2=4; (3)4(x-2)2-36=0; (4)x2+2x+1=9.
[思路分析] 把已知方程变形为x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式,再对方程的两边直接开平方.
解:(1)移项,得3x2=27.
方程两边同时除以3,得x2=9.
方程两边开平方,得x=±3.
所以x1=3,x2=-3.
(2)方程两边同时乘3,得(x+3)2=12.
方程两边开平方,得x+3=±2.
所以x1=2-3,x2=-2-3.
(3)移项,得4(x-2)2=36.
方程两边同时除以4,得(x-2)2=9.
方程两边开平方,得x-2=±3.
所以x1=5,x2=-1.
(4)根据完全平方公式,可将原方程变形为(x+1)2=9.
方程两边开平方,得x+1=±3.
即x+1=3或x+1=-3,
所以x1=2,x2=-4.
[归纳总结] 能用直接开平方法解的一元二次方程的特点:具有x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式.
1.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是(D)
A.x-6=-4 B.x-6=4 C.x+6=4 D.x+6=-4
2.若(x+1)2-1=0,则x的值为(D)
A.±1 B.±2 C.0或2 D.0或-2
3.已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,则m的取值范围是(B)
A.m≥- B.m≥0 C.m≥1 D.m≥2
4.方程4x2+4x+1=0的解是(D)
A.x1=x2=2 B.x1=x2=-2 C.x1=x2= D.x1=x2=-
5.解下列方程:
(1)16x2-49=0; (2)64(1+x)2=100; (3)(x-3)2-9=0; (4)(3x-1)2=(3-2x)2.
解:(1)16x2=49
x2=.
开平方得x=±,
即x1=,x2=-.
(2)(1+x)2=.
开平方得1+x=±.
所以x1=,x2=-.
(3)移项,得(x-3)2=9.
开平方,得x-3=±3.
所以x1=6,x2=0.
(4)两边开平方,得3x-1=±(3-2x).
所以3x-1=3-2x或3x-1=-3+2x.
所以x1=或x2=-2.
1.掌握具有什么特点的一元二次方程适用直接开平方法.
2.直接开平方法的实质是“降次”:转化为两个一元一次方程.
21.2　解一元二次方程
21.2.1　配方法
第1课时　直接开平方法
　　本课时通过创设问题情景,激发学生创新的欲望,通过回忆旧知识,为新知识做好铺垫,教师引导学生自主合作、探究验证,培养学生分析问题、解析问题的能力及转化思想的运用.
第2课时　配方法
1.探究将一元二次方程的一般形式转化为(x+a)2=b(b≥0)的形式,理解配方法的意义.
2.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程,体会转化的思想方法.
重点:用配方法解数字系数的一元二次方程.
难点:配方的过程.
1.解一元二次方程的基本思路是什么样的
2.什么样的方程可以用直接开平方法解
3.想一想:下列方程能用直接开平方法来解吗
(1)x2+6x+9=5; (2)x2+6x+4=0.
知识点1　配方法
填上适当的数或式,使下列各等式成立.
(1)x2+4x+　4　=(x+　2　)2; (2)x2-6x+　9　=(x-　3　)2;
(3)x2+8x+　16　=(x+　4　)2; (4)x2-x+　　=x-　 2;
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.配方是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
知识点2　配方法的步骤
解方程2x2-8x+1=0.
解:移项,得2x2-8x=-1,
二次项系数化为1,得x2-4x=-,
配方,得x2-4x+22=-+22,
(x-2)2=,
开平方,得x-2=±,
所以x1=2+,x2=2-.
[总结] 步骤:(1)一移:把常数项移到方程的右边;
(2)二化:把二次项系数化为1;
(3)三配:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
(4)四开:根据平方根的意义,方程两边开平方;
(5)五解:解一元一次方程.
范例应用
例题　解下列方程:
(1)x2-8x+1=0; (2)2x2+1=3x; (3)3x2-6x+4=0.
解:(1)x2-8x=-1.
x2-8x+16=-1+16.
(x-4)2=15.
所以x-4=±.
所以x1=4+,x2=4-.
(2)2x2-3x=-1.
x2-x=-.
x2-x+2=-+2.
x-2=.
所以x-=±.
所以x1=1,x2=.
(3)x2-2x+=0.
x2-2x=-.
x2-2x+1=-+1.
所以(x-1)2=-<0.
所以该方程无解.
1.一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为(C)
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x-4)2=17 D.(x-4)2=15
2.将方程x2-2x=2配方成(x+a)2=k的形式,则方程的两边需加上　1　.
3.在横线上填上适当的数,使等式成立.
(1)x2+　18　x+81=(x+　9　)2; (2)4x2+4x+　1　=(2x+　1　)2.
4.用配方法解下列方程:
(1)x2-2x-3=0; (2)2x2-7x+6=0; (3)(2x-1)2=x(3x+2)-7.
解:(1)x2-2x=3.
x2-2x+1=3+1.
(x-1)2=4.
x-1=±2.
x1=3,x2=-1.
(2)x2-x+3=0.
x2-x=-3.
x2-x+=-3+.
x-2=.
x-=±.
x1=2,x2=.
(3)4x2-4x+1=3x2+2x-7.
x2-6x=-8.
x2-6x+9=-8+9.
(x-3)2=1.
x-3=±1.
x1=4,x2=2.
1.用配方法解一元二次方程的一般步骤:一移→二化→三配→四开→五解.
2.一元二次方程的配方和二次三项式的配方有何区别和联系
第2课时　配方法
　　本节课用配方法解一元二次方程是解一元二次方程的基本方法,后面的求根公式的推导就是配方的应用,另外课堂上重在学生的自主参与,进而获得成功的体验,在数学方法上突出转化的思想,激发学生的学习兴趣,建立自信.
21.2.2　公式法
1.理解并掌握一元二次方程求根公式的推导过程.
2.能利用公式法求一元二次方程的解.
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
重点:会用公式法解简单系数的一元二次方程,会用判别式判断一元二次方程根的情况.
难点:经历一元二次方程求根公式的推导过程.
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0
知识点1　求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),那么此方程能否也用配方法得出解呢
解:ax2+bx+c=0(a≠0),
移项,得ax2+bx=-c.
二次项系数化为1,得x2+x=-.
配方,得x2+x+2=-+2,
即=.
(1)当b2-4ac>0时,两边可直接开平方,得x+=±,
所以x1=,x2=.
(2)当b2-4ac=0时,有x+2=0.
所以x1=x2=-
注意:防止出现x=-的错误认识.
(3)当b2-4ac<0时,由x+2<0可知,此方程无解.
知识点2　根的判别式
一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用Δ表示,即Δ=b2-4ac.
当Δ>0,一元二次方程有两个不等的实数根;
当Δ=0,一元二次方程有两个相等的实数根;
当Δ<0,一元二次方程没有实数根.
范例应用
例1　不解方程,判断下列方程根的情况.
(1)3x2+4x-3=0; 　(2)4x2=12x-9;　 (3)7y=5(y2+1).
解:(1)3x2+4x-3=0,a=3,b=4,c=-3,
所以b2-4ac=42-4×3×(-3)=52>0.
所以方程有两个不等的实数根.
(2)方程化为4x2-12x+9=0,
a=4,b=-12,c=9,
所以b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0.
所以方程有两个相等的实数根.
(3)方程化为5y2-7y+5=0,
a=5,b=-7,c=5,
所以b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0.
所以方程没有实数根.
知识点3　公式法解方程
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=,就得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法,由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
范例应用
例2　用公式法解下列方程:
(1)5x2-4x-12=0; (2)x2+3=2x; (3)4x2-3x+2=0.
解:(1)因为a=5,b=-4,c=-12,
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
所以x====,
所以x1=-,x2=2.
(2)将方程化为一般形式为x2-2x+3=0,
a=1,b=-2,c=3.
所以b2-4ac=(-2)2-4×1×3=0.
所以x===.
即x1=x2=.
(3)a=4,b=-3,c=2.
b2-4ac=(-3)2-4×4×2=9-32=-23<0,
因为在实数范围内负数不能开平方,所以方程无实数根.
1.先把下列一元二次方程化成一般形式,再写出一般形式的a,b,c:
(1)方程2x2+x-6=0中,a=　2　,b=　1　,c=　-6　;b2-4ac=　49　.
(2)方程3x2-2x=7中,a=　3　,b=　-2　,c=　-7　;b2-4ac=　88　.
(3)方程4x2+1=4x中,a=　4　,b=　-4　,c=　1　;b2-4ac=　0　.
2.已知一元二次方程x2+x=1,下列判断正确的是(B)
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
3.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是(B)
A.k>-1 B.k>-1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0
4.关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个实根,则m的取值范围是　m≤1　.
5.解方程:
(1)x2+7x-18=0; (2)2x2-3x+3=0.
解:(1)a=1,b=7,c=-18,
所以b2-4ac=72+4×18×1=121.
x==,
x1=2,x2=-9.
(2)a=2,b=-3,c=3,
所以b2-4ac=(-3)2-4×2×3=3,
x==,
x1=,x2=.
谈谈本节课的收获是什么
21.2.2　公式法
1.本节课容量较大,难度较大,计算的要求较高,因此在教学设计时各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开,问题设计,课堂学习有利于学生强化运算能力,掌握基本技能,也有利于教师发现教学中存在的问题.
2.在教学设计中,引导学生自主探索一元二次方程的求根公式,在师生讨论中发现求根公式,并学会利用求根公式解一元二次方程.
3.整个课堂都以学生动手训练为主,让学生积极介入探索活动,体验到成功的喜悦.
4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法,它使解一元二次方程更加简便.
21.2.3　因式分解法
1.会用因式分解法(提公因式法、运用公式)解一元二次方程.
2.能根据方程的具体特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.
3.在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力、分析能力和解决问题能力.
重点:会用因式分解法解一元二次方程.
难点:理解并应用因式分解法解一元二次方程.
我们知道如果ab=0,那么a=0或b=0,类似地,解方程(x+1)(x-1)=0时,可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解,你能求(x+3)(x-5)=0的解吗
根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地面的高度(单位:m)为10x-4.9x2.根据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)
知识点1　用因式分解法解方程
观察方程10x-4.9x2=0,它有什么特点 你能根据它的特点找到更简便的方法吗
因式分解法的依据:如果a·b=0,那么a=0或b=0.
1.因式分解法:先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2.因式分解法的基本步骤:一移——方程的右边=0;二分——方程的左边因式分解;三化——方程化为两个一元一次方程;四解——写出方程的两个解.
范例应用
例1　解方程:
(1)x(x-2)+x-2=0; (2)5x2-2x-=x2-2x+.
解:(1)(x-2)(x+1)=0.
故有x-2=0或x+1=0.
所以x1=2,x2=-1.
(2)原方程整理为4x2-1=0.
所以(2x+1)(2x-1)=0.
所以2x+1=0或2x-1=0.
所以x1=-,x2=.
知识点2　用适当的方法解一元二次方程
若一元二次方程可化为(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的形式,则宜选用直接开平方法;
若一元二次方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数,则宜选用配方法;
若一元二次方程整理后右边为0,且左边能进行因式分解,则宜选用因式分解法;
若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便,则宜选用公式法.
范例应用
例2　用适当的方法解下列一元二次方程:
(1)4x2-64=0;
(2)2x2-7x-6=0;
(3)(3x+2)2-8(3x+2)+15=0.
解:(1)因为4x2-64=0,
所以x2=16.
所以x1=4,x2=-4.
(2)2x2-7x-6=0,
因为a=2,b=-7,c=-6,
所以Δ=b2-4ac=97>0,
所以x1=,x2=.
(3)因式分解,得
[(3x+2)-3][(3x+2)-5]=0,
即(3x-1)(3x-3)=0,
所以x1=,x2=1.
1.填空:①x2-3x+1=0;②3x2-1=0;③-3t2+t=0;④x2-4x=2;⑤2x2-x=0;⑥5(m+2)2=8;⑦3y2-y-1=0;⑧2x2+4x-1=0;⑨(x-2)2=2(x-2).适合运用直接开平方法的是　②⑥　;适合运用因式分解法的是　③⑤⑨　;适合运用公式法的是　①⑦　;适合运用配方法的是　④⑧　.
2.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为(D)
A.x1=3,x2=-5 B.x1=-3,x2=-5 C.x1=-3,x2=5 D.x1=3,x2=5
3.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是(D)
A.x=-1 B.x=2 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=2
4.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2-4x+3=0的根,则该三角形的周长可以是(B)
A.5 B.7 C.5或7 D.10
5.方程x2-3x+2=0的根是　x1=1,x2=2　.
6.用适当方法解下列方程:
(1)(2x+3)2-25=0; (2)x2+5x+7=3x+11.
解:(1)(2x+3)2=25,
2x+3=±5,
x1=1,x2=-4.
(2)x2+5x+7=3x+11.
x2+2x-4=0,
x2+2x=4,
x2+2x+1=5,
(x+1)2=5,
x+1=±,
x1=-1,x2=--1.
1.我们学了几种解一元二次方程的方法
2.如何选恰当的方法解一元二次方程
21.2.3　因式分解法
1.本节课围绕利用因式分解法解一元二次方程这一重点内容,教师通过问题情境以及学生的合作交流,使学生的问题凸显出来,让学生迅速掌握解题技能,并探讨出解题的一般步骤,使学生知道因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法,提高解题速度.
2.学生已经学过多项式的因式分解,所以对本课内容并不陌生,通过本课学习,让学生更能领会因式分解在数学领域的广泛应用.
3.本节课有大量的基础计算问题,也有符合不同学生层次的问题,力争让所有学生学有所得,提高课堂效率.
4.解一元二次方程是本章教学的重中之重,如何正确选择用不同方法解一元二次方程是关键,本节课中的计算题有一题多解问题,体现了选择“最优化”解方程方法的问题.
*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.掌握一元二次方程根与系数的关系.
2.能运用根与系数的关系解决具体问题.
3.经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程,培养学生分析问题和解决问题的能力.
重点:一元二次方程根与系数的关系及其应用.
难点:探索一元二次方程根与系数的关系.
1.一元二次方程的求根公式是什么
2.方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其他关系吗
如:x2+3x-4=0的两根x1和x2,x1=1,x2=-4,则x1+x2=-3,x1·x2=-4.
我们发现:这个方程的二次项系数为1,它的两根之和-3等于一次项系数3的相反数,两根之积等于常数项-4.
知识点1　一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.
探究:我们来考察方程x2+px+q=0(p2-4q≥0).由一元二次方程的求根公式,得到方程的两根分别为x1=,x2=.
所以x1+x2=+=-p,
x1·x2=·==q.
范例应用
例1　求下列方程的两根之和与两根之积.
(1)x2-2x-15=0; (2)x2-6x+4=0; (3)x2-3x+1=0.
解:(1)x1+x2=2,x1·x2=-15.
(2)x1+x2=6,x1·x2=4.
(3)x1+x2=3,x1·x2=1.
知识点2　如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1,x2,那么x1+x2=-,x1·x2=.
证一证:x1+x2=+===-.
x1·x2=·===.
范例应用
例2　下列方程的两根之和与两根之积各是多少
(1)2x2-6x+2=0; (2)3x2-2x=2; (3)2x2+3x=0; (4)3x2=1.
解:(1)x1+x2=3,x1x2=1.
(2)x1+x2=,x1x2=-.
(3)x1+x2=-,x1x2=0.
(4)x1+x2=0,x1x2=-.
例3　已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
解:设方程的两个根分别是x1,x2,其中x1=2.
所以x1·x2=2x2=-,
即x2=-.
由于x1+x2=2+-=-,
解得k=-7.
所以方程的另一个根是-,k=-7.
[总结] 常见的求值:
1.+=.
2.+=(x1+x2)2-2x1x2.
3.+==.
4.(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1.
5.|x1-x2|==.
1.如果-1是方程2x2-x+m=0的一个根,则另一个根是　　,m=　-3　.
2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1,则p=　1　,q=　-2　.
3.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根,且(x1+1)(x2+1)=4.
(1)求k的值;
(2)求(x1-x2)2的值.
解:(1)根据根与系数的关系得
x1+x2=-k,x1x2=.
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=+(-k)+1=4.
解得k=-7.
(2)因为k=-7,
所以x1+x2=7,x1x2=-4.
则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=72-4×(-4)=65.
1.请你谈谈本节课的收获.
2.在求值时用了什么思想
*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
1.在解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系,并发现可用系数表示的求根公式来证明这个关系,再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题,注重了知识产生、发展和应用的过程.
2.教学过程贯穿以旧引新,从具体到抽象,从特殊到一般,从猜想到论证,使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想.
3.教材把本节作为了解的内容,但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均有出现,为了让学生能适应平时的试题,把本节内容进行了一定的延伸,同时也可以激发同学们学习的兴趣.
21.3　实际问题与一元二次方程
第1课时　传播类、面积类问题
1.会根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程并求解,能根据问题中的实际意义,检验所得结果的合理性.
2.由“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中,进一步锻炼学生的分析问题、解决问题的能力.
3.经历数学建模解一元二次方程应用题的过程,锻炼学生分析问题、解决问题的能力.
重点:会分析传播问题和面积问题中的数量关系并会列一元二次方程.
难点:正确分析传播和面积问题中的数量关系.
列一元二次方程解应用题的步骤:①审题;②设出未知数;③找等量关系;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦答.
知识点1　传播问题与一元二次方程
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人
[分析] 列表如下:
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2
规范解答:
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
由题意,得(1+x)2=121,
解方程,得x1=10,x2=-12(不合题意,舍去).
答:平均一个人传染了10个人.
拓展:
传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数
第一轮 1 1·x=x 1+x
第二轮 1+x (1+x)x 1+x+(1+x)x =(1+x)2
第三轮 (1+x)2 (1+x)2·x (1+x)2+(1+ x)2x=(1+x)3
第n轮 (1+x)n-1 (1+x)n-1·x (1+x)n
范例应用
例1　某种电脑病毒传播速度非常快,如果一台电脑被传染,经过两轮传染后就会有100台电脑被传染.请你用学过的知识分析,每轮传染中平均一台电脑会传染几台电脑 若病毒得不到有效控制,四轮传染后,被传染的电脑会不会超过7 000台
解:设每轮传染中平均一台电脑会传染x台电脑,则1+x+x(1+x)=100,
即(1+x)2=100.
解得x1=9,x2=-11(舍去).
所以x=9.
四轮传染后,被传染的电脑数为
(1+x)4=104>7 000.
答:每轮传染中平均每一台电脑会传染9台电脑,四轮传染后,被传染的电脑会超过7 000台.
知识点2　面积问题与一元二次方程
范例应用
例2　如图所示,在一块宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽.
解:设道路的宽为x m,由题意,得
(32-x)(20-x)=540.
整理,得x2-52x+100=0,
解得x1=2,x2=50.
当x=50时,32-x=-18,不合题意,舍去.
所以x=2.
答:道路的宽为2 m.
变式1　如图所示,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540 m2,求这种方案下的道路的宽.
解:设道路的宽为x m,
由题意,得(32-x)(20-x)=540.
整理,得x2-52x+100=0,
解得x1=2,x2=50(不合题意,舍去).
答:道路的宽为2 m.
变式2　如图所示,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540 m2,求这种方案下的道路的宽.
解:设道路的宽为x m,
由题意,得(32-2x)(20-x)=540.
整理,得x2-36x+50=0,
x====18±,
x1=18+(舍去),x2=18-.
答:道路的宽为(18-)m.
变式3　如图所示,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540 m2,求这种方案下的道路的宽.
解:设道路的宽为x m,
由题意,得(32-2x)(20-2x)=540.
整理,得x2-26x+25=0,
解得x1=1,x2=25(舍去).
答:道路的宽为1 m.
1.元旦将至,九年级(1)班全体学生互赠贺卡,共赠贺卡1 980张,问九年级(1)班共有多少名学生 设九年级(1)班共有x名学生,那么所列方程为(C)
A.x2=1 980 B.x(x+1)=1 980 C.x(x-1)=1 980 D.x(x-1)=1 980
2.有一植物,它的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是73,设每个支干长出x个小分支,根据题意可列方程为(A)
A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73 C.1+x2=73 D.(1+x)2=73
3.在一幅长80 cm,宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是(B)
A.x2+130x-1 400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2-130x-1 400=0 D.x2-65x-350=0
4.某农场要建一个矩形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25 m),另外三边用木栏围成,木栏长40 m.则养鸡场的面积能达到250 m2吗 如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
解:设垂直于墙的一边长为x m,则平行于墙的一边长为(40-2x)m.
依题意,得x(40-2x)=250,
所以-2x2+40x-250=0.
因为b2-4ac=402-4×(-2)×(-250)<0,
所以方程无实数根.
所以养鸡场的面积不能达到250 m2.
5.甲型流感病毒的传染性极强,某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗,经过两天的传染后共有9人患了甲型流感,每天平均一个人传染了几人 如果按照这个传染速度,再经过5天的传染后,这个地区一共将会有多少人患甲型流感
解:设每天传染中平均一个人传染了x个人.
1+x+x(x+1)=9,
解得x=2或x=-4(舍去).
所以每天传染中平均一个人传染了2个人.
(1+2)7=2 187(人),
所以再经过5天传染后共有2 187人患甲型流感.
1.按某速率传播问题的公式为a(1+x)n=b.
2.面积问题主要应用几何图形面积和差或平移思想去求.
21.3　实际问题与一元二次方程
第1课时　传播类、面积类问题
1.传播、面积类问题是一元二次方程中的重点问题,本节课设计的问题反映出不同种类的考查方式,有利于学生更好地掌握.
2.面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的应用题,训练题是对前面问题的延伸,使学生解题的能力得到进一步的提高,对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.
3.列一元二次方程解应用题是让数学来源于生活,是对一元二次方程解法的延伸,同时又是一元一次方程解应用题步骤的总结和内容的升华,列一元二次方程解应用题是下章中学习二次函数解决问题的基础.
第2课时　平均增长率、销售类问题
1.探索以增长率、销售类问题为背景的应用题,找出其中的等量关系,建立一元二次方程,体会数学模型在解决现实生活问题中的作用.
2.能根据实际问题的意义检验结果的合理性.
3.经历数学建模解一元二次方程应用题的过程,锻炼学生分析问题、解决问题的能力.
重点:列一元二次方程解决平均增长率和销售类问题.
难点:寻找问题中的等量关系.
某村种的水稻每公顷产量的年平均增长率为x.
第一年平均每公顷产8 000 kg,第二年种的水稻平均每公顷的产量为　8 000(1+x)　;第三年种的水稻平均每公顷的产量为　8 000(1+x)2　.
知识点1　增长率(下降率)问题与一元二次方程
两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元,生产1 t 乙种药品的成本是6 000元,随着生产技术的进步,现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元,生产1 t乙种药品的成本是3 600元,哪种药品成本的年平均下降率较大
[分析] 如果甲种药品成本的年平均下降率为x,则下降一次后的成本变为5 000(1-x),再次下降后的成本为5 000(1-x)2.(用代数式表示)
由等量关系可得方程5 000(1-x)2=3 000,解这个方程,得到方程的两根,根据问题的实际意义,应选择哪个根呢 为什么
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,由等量关系可得方程5 000(1-x)2=3 000,
(1-x)2=,1-x=±,
x1≈0.225,x2≈1.775.
应选择x1=0.225.因为根据问题的实际意义,成本的年平均下降率应是小于1的正数.
设乙种药品成本平均每年的下降率为y,则由等量关系可得方程6 000(1-y)2=3 600.
解方程,得y1≈0.225,y2≈1.775.
根据问题的实际意义,乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
综上所述,甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同,都是22.5%.
答:甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同.
成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大.不但要考虑它们的平均下降额,而且要考虑它们的平均下降率.
这种增长(降低)率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“-”)
范例应用
[例1] 某公司去年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求增长率.
解:设增长率为x.
根据题意,得200+200(1+x)+200(1+x)2=950.
整理,得4x2+12x-7=0,解得x1=-3.5(舍去),x2=0.5.
答:增长率为50%.
知识点2　销售问题与一元二次方程
假设某种糖的成本为每千克2元,售价为3元时,可卖100千克.
(1)此时的利润w=　100元　;
(2)若售价涨了1元,每千克利润为　2元,同时少卖了10千克,销售量为　90千克,利润w=　180元　;
(3)若售价涨了2元,每千克利润为　3元,同时少卖了20千克,销售量为　80千克,利润w=　240元　;
(4)若售价涨了3元,每千克利润为　4元,同时少卖了30千克,销售量为　70千克,利润w=　280元　;
(5)若售价涨了4元,每千克利润为　5元,同时少卖了40千克,销售量为　60千克,利润w=　300元　;
(6)若售价涨了x元,每千克利润为　(x+1)　元,同时少卖了　10x　千克,销售量为　(100-10x)　千克,利润w=　-10x2+90x+100　.
范例应用
[例2] 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100 kg,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元,请回答:在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售
解:设每千克核桃应降价x元,则每千克利润为(60-40-x)=(20-x)元,此时可销售100+20×=(100+10x)kg,
根据题意,得(20-x)(100+10x)=2 240.
化简,得x2-10x+24=0,解得x1=4,x2=6.
所以每千克核桃应降价4元或6元.
因为要尽可能让利于顾客,
所以每千克核桃应降价6元.
此时售价为60-6=54(元),×100%=90%.
答:该店应按原售价的9折出售.
1.某厂今年一月份的总产量为500 t,三月份的总产量为720 t,平均每月增长率是x,列方程为(B)
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为　2(1+x)+2(1+x)2=8　.
3.某品牌服装每件进价a元,售价b元,降价x元后每件利润为　(b-x-a)　元.
4.商场销售某品牌服装,每天售出a件,调查发现,该服装每涨价2元,商场平均每天可少销售m件,如果涨价x元,则商场平均每天可销售　a-　件.
5.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天要盈利1 200元,每件衬衫应降价多少元
解:设每件衬衫应降价x元.
依题意,得(40-x)(20+2x)=1 200.
整理,得x2-30x+200=0.
解得x1=10,x2=20.
因为要尽快减少库存,所以x=10舍去.
答:每件衬衫应降价20元.
1.增长率问题公式:a(1±x)n=b.
2.销售问题的关系式:总利润=单件利润×数量.
第2课时　平均增长率、销售类问题
1.教师引导学生熟悉列一元二次方程解应用题的步骤,创设问题推导出列一元二次方程解应用题的步骤,有利于学生熟练掌握用一元二次方程解应用题的步骤.
2.变化率和利润问题是一元二次方程中的重点问题,本节课设计的问题中反映出不同的变化率、利润的求解过程,有利于学生更好地掌握这一问题.
第二十二章　二次函数
22.1　二次函数的图象和性质
22.1.1　二次函数
1.能结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
3.通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般形式,在类比一次函数解析式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.
重点:结合具体情境体会二次函数的意义,掌握二次函数的有关概念.
难点:能通过生活中的实际问题情境,构建二次函数关系;重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.
正方体的六个面是全等的正方形(如图所示),设正方体的棱长为x,表面积为y.显然,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为　y=6x2　.
这个函数与我们学过的函数不同,其中自变量x的最高次数是2.
这类函数具有哪些性质呢 这就是本章要学习的二次函数.
问题1:n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,比赛的场次数m与球队数n有什么关系
[分析] 比赛的场次数m=n(n-1),即m=n2-n.
问题2:某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示
[分析] 两年后的产量y=20(1+x)2,即y=20x2+40x+20.
函数m=n2-n,y=20x2+40x+20有什么共同点
可以发现:1.函数解析式是整式;2.化简后自变量的最高次数是2;3.二次项系数不为0.
知识点1　二次函数的定义
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
[温馨提示] (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式;
(2)a,b,c为常数,且a≠0;
(3)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
范例应用
[例1] 当m取何值时,函数y=(m2+m)+(m-5)x+m2是关于x的二次函数 并求出这时二次函数的解析式.
解:由题意,得
所以m=3.
当m=3时,该函数是二次函数,解析式为y=12x2-2x+9.
[练习] 下列函数中,哪些是二次函数,哪些不是 若是二次函数,指出它的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)y=(x+2)(x-2); (2)y=3x(2-x)+3x2; (3)y=-2x+1; (4)y=1-3x2.
解:(1)y=(x+2)(x-2)=x2-4,该函数是二次函数,它的二次项系数为1,一次项系数是0,常数项是-4.
(2)y=3x(2-x)+3x2=6x,该函数不是二次函数.
(3)该函数不是二次函数.
(4)该函数是二次函数,它的二次项系数为-3,一次项系数为0,常数项为1.
[总结] (1)关于自变量x的二次式必须是二次整式,可以是二次单项式、二次二项式或二次三项式;(2)二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件,若a=0,b≠0,则它是一次函数;(3)二次项和二次项系数不同,二次项指ax2,二次项系数则仅指a的值;同样,一次项与一次项系数也不同.
知识点2　二次函数的应用
1.在实际问题中建立二次函数模型时,关键要找出两个变量之间的数量关系,用类似建立一元二次方程模型的方法,借助方程思想求出二次函数的关系式.
2.二次函数自变量的取值范围一般是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.
范例应用
[例2] 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件利润6元.每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件.
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数,且1≤x≤10),求出y关于x的函数关系式;
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1 120元,求该产品的质量档次.
解:(1)因为第一档次的产品一天能生产95件,每件利润6元,每提高一个档次,每件利润加2元,但一天产量减少5件,
所以第x档次,提高了(x-1)档,每件利润增加了2(x-1)元.　
所以y=[6+2(x-1)][95-5(x-1)],
即y=-10x2+180x+400(其中x是正整数,且1≤x≤10).
(2)由题意可得-10x2+180x+400=1 120,
整理,得x2-18x+72=0,
解得x1=6,x2=12(舍去).
所以该产品的质量档次为第6档.
1.下列函数是二次函数的是(C)
A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y=x-2
2.二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是(B)
A.1 B.-1 C.7 D.-6
3.已知函数y=(a-1)x2+3x-1,若y是x的二次函数,则a的取值范围是　a≠1　.
4.若函数y=(a-4)+a是二次函数,求:
(1)求a的值;
(2)求函数解析式;
(3)当x=-2时,y的值是多少
解:(1)因为y=(a-4)是二次函数,
所以a2-3a-2=2,且a-4≠0,
整理,得(a-4)(a+1)=0,且a-4≠0,
解得a=-1.
(2)由(1),知a=-1,则该函数解析式为
y=-5x2-1.
(3)将x=-2代入y=-5x2-1,
得y=-5×(-2)2-1=-21.
1.本节课咱们学习了哪些内容 与以前哪个知识点联系的特别紧密
2.通过学习你有什么收获
第二十二章　二次函数
22.1　二次函数的图象和性质
22.1.1　二次函数
1.本课时的内容涉及初中第二个函数内容,由于前面有了学习一次函数的经验,因此教师教学时可在学生以往经验的基础上,创设丰富的现实情境,使学生初步感知二次函数的意义,进而能从具体事物中抽象出数学模型,并列出二次函数的解析式.
2.教学时应注重引导学生探究新知,在观察、分析后归纳、概括,注重学生学习的过程经历和体验,让学生领悟到现实生活中的数学问题,提高研究与应用能力.
22.1.2　二次函数y=ax2的图象和性质
1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象,理解抛物线的有关概念.
2.掌握二次函数y=ax2的性质,能确定二次函数y=ax2 的解析式.
3.通过画出简单的二次函数y=x2,y=-x2等函数的图象,探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.
重点:二次函数y=ax2的图象的画法及性质;能确定二次函数y=ax2的解析式.
难点:能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.
问题1:用描点法画函数图象的一般步骤是什么
答案:①列表;②描点;③连线.
问题2:我们学过的一次函数的图象是什么图形
答案:一次函数的图象是一条直线.
那么,二次函数的图象会是什么样的图形呢 这节课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图象.
知识点1　二次函数y=ax2的图象的画法
画出二次函数y=x2的图象.
解:列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点、连线:
[总结] 抛物线:二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴;对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
知识点2　二次函数y=ax2的性质
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=x2,y=2x2的图象.
思考并回答:函数y=x2,y=2x2的图象与函数y=x2 的图象相比,有什么共同点和不同点
解:列表:
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
描点、连线:
不同点:抛物线的开口大小不同.
相同点:开口都向上;对称轴都是y轴;
顶点都是原点(0,0),顶点都是抛物线的最低点;
增减性相同:当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.
[归纳] 一般地,当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小.
范例应用
[例1] 画出函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象,并思考这些抛物线有什么共同点和不同点.
解:列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y=-x2 … -4.5 -2 - 0 - -2 -4.5 …
y=-2x2 … -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 …
描点、连线:
相同点:开口都向下;对称轴都是y轴;顶点都是原点(0,0).顶点都是抛物线的最高点;增减性相同:当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小.
不同点:抛物线的开口大小不同.
[归纳] 一般地,当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最高点,a越小,抛物线的开口越小.
二次函数y=ax2的性质:
(1)|a|越大,抛物线的开口越小;
(2)a>0,开口向上,a<0,开口向下;
(3)顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴;
(4)a>0,在对称轴左侧y随x的增大而减小,在对称轴右侧y随x的增大而增大;
a<0,在对称轴左侧y随x的增大而增大,在对称轴右侧y随x的增大而减小;
(5)a>0,当x=0时,y有最小值是0;a<0,当x=0时,y有最大值是0.
[例2] 关于二次函数y=-x2的图象及其性质的说法错误的是(D)
A.开口向下 B.当x<0时,y随x的增大而增大 C.对称轴是y轴 D.函数有最小值是0
1.函数y=2x2的图象的开口　向上　,对称轴是　y轴　,顶点是　原点(0,0)　;在对称轴的左侧,y随x的增大而　减小　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　增大　.
2.函数y=-3x2的图象的开口　向下　,对称轴是　y轴　,顶点是　原点(0,0)　;在对称轴的左侧,y随x的增大而　增大　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　减小　.
3.如图所示,观察函数y=(k-1)x2的图象,则k的取值范围是　k>1　.
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点:
开口方向 对称轴 顶点
y=3x2 　向上 　y轴　 　(0,0)　
y=-3x2 　向下 　y轴　 　(0,0)　
y=x2 　向上 　y轴　 　(0,0)　
y=-x2 　向下 　y轴　 　(0,0)　
5.抛物线y=ax2(a≠0),过点(-1,2).
(1)a的值是　2　;
(2)对称轴是　y轴　,开口　向上　;
(3)顶点坐标是　(0,0)　,抛物线有最　小　值,抛物线在x轴的　上　方(除顶点外);
(4)若A(x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上,且x1　y2.
1.通过本节课的学习我们学习了:(1)抛物线、抛物线的顶点、对称轴等相关概念;(2)总结出了二次函数y=ax2的5条性质:开口方向及大小;顶点坐标;对称轴;增减性;最值情况.
2.我们在整堂课中贯穿了哪种数学思想和方法
22.1.2　二次函数y=ax2的图象和性质
　　本课时的设计比较注重让学生动手操作,让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质,画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课时的目的是要让学生通过动手操作,经历探索归纳的思维过程,逐步获得图象传达的信息,熟悉图象语言,进而形成函数思想.
22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象,感受它们与抛物线y=2x2的联系,并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.
2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系.
3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.
重点:二次函数y=ax2+k的图象及其性质.
难点:二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.
知识回顾:二次函数y=ax2的图象与性质
y=ax2 a>0 a<0
图象
顶点坐标 (0,0) (0,0)
开口方向 向上 向下
对称性 关于y轴对称
最值 有最小值,最小值为0 有最大值,最大值为0
增减性 在y轴左侧,y随x的增大而减小,在y轴右侧,y随x的增大而增大 在y轴左侧,y随x的增大而增大,在y轴右侧,y随x的增大而减小
知识点1　二次函数y=ax2+k的图象与二次函数y=ax2的图象关系
它们的形状(开口大小、方向)相同,只是上、下位置不同,二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2的图象上下平移|k|个单位长度得到.
知识点2　二次函数y=ax2+k的图象
a,k的 符号 y=ax2+k(a>0) y=ax2+k(a<0)
k>0 k<0 k>0 k<0
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0,k)
对称轴 y轴
知识点3　二次函数y=ax2+k的图象的画法
(1)描点法:类比作二次函数y=ax2图象的描点法,即按列表→描点→连线的顺序作图;
(2)平移法:将二次函数y=ax2的图象,向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度,即可得到二次函数y=ax2+k的图象.
范例应用
[例题] 画出函数y=-x2+1与y=-x2-1的图象,并根据图象回答下列问题.
(1)抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2-1
(2)对于函数y=-x2+1,其图象与x轴的交点坐标是　　　　　　;对称轴是　　　　　　;顶点坐标是　　　　　　.
解:列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y= -x2+1 … -8 -3 0 1 0 -3 -8 …
y= -x2-1 … -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 …
描点、连线:
(1)由图象可以看出,抛物线y=-x2+1向下平移2个单位长度得到抛物线y=-x2-1.
(2)(-1,0)和(1,0)　y轴　(0,1)
[归纳总结] 关于抛物线y=ax2+k
(1)开口方向由a决定:当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点坐标是(0,k);
(4)|a|决定了抛物线的开口大小;
(5)当a>0时,函数有最小值k,当a<0时,函数有最大值k;
(6)如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.
1.抛物线y=2x2+3可以由抛物线y=2x2向　上　平移　3　个单位长度得到.
2.抛物线y=-2x2-5的开口方向　下　,对称轴是　y轴　,顶点坐标是　(0,-5)　.
3.抛物线y=2x2向下平移4个单位长度,得到抛物线　y=2x2-4　.
4.已知(m,n)在y=ax2+a(a不为0)的图象上,(-m,n)　在　(选填“在”或“不在”)y=ax2+a(a不为0)的图象上.
5.若抛物线y=x2+(k-2)的顶点是原点,则k=　2　;若顶点位于x轴上方,则k　>2　;若顶点位于x轴下方,则k　<2　.
6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题:
(1)抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2;
(2)函数y=-x2+1,当x　　　　　　时,y随x的增大而减小;当x　　　　　　时,函数y有最大值,最大值y是　　　　　　,其图象与y轴的交点坐标是　　　　　　,与x轴的交点坐标是　　　　　　;
(3)试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解:(1)抛物线y=-x2+1向下平移1个单位长度能得到抛物线y=-x2.
(2)>0　=0　1　(0,1)　(-1,0)和(1,0)
(3)对于抛物线y=x2-3,开口方向向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-3).
1.请你谈一下(1)y=ax2+k与y=ax2的关系 (2)y=ax2+k与y=ax2的图象和性质的不同之处
2.我们在整堂课中运用了哪些数学思想和方法
22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质
　　本课时教学重点在于培养学生的比较能力,旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质,从而进一步增强学生的数形结合意识,体会通过探究获得知识的乐趣.
第2课时　二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1.能画出二次函数y=a(x-h)2的图象.
2.了解抛物线y=ax2与抛物线y=a(x-h)2的联系.
3.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象特征及其性质.
4.体会数形结合的思想方法,培养创造性思维能力和动手实践能力,增强学习兴趣、激发学习欲望.
重点:二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象之间的联系;二次函数y=a(x-h)2的图象及其性质.
难点:二次函数y=a(x-h)2的性质的基本应用.
问题1:二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有何关系
问题2:函数y=(x-2)2的图象,能否也可以由函数y=x2平移得到
知识点1　二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
探究:画出二次函数y=-(x+1)2和y=-(x-1)2的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.
解:列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-(x+1)2 … -2 - 0 - -2 -4.5 -8 …
y=-(x-1)2 … -8 -4.5 -2 - 0 - -2 …
描点、连线:
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=-(x+1)2 向下 直线x=-1 (-1,0)
y=-x2 向下 直线x=0 (0,0)
y=-(x-1)2 向下 直线x=1 (1,0)
[归纳] 关于抛物线y=a(x-h)2,当a>0时,开口向上,最低点是顶点;当a<0时,开口向下,最高点是顶点;对称轴是直线x=h,顶点坐标是(h,0).
知识点2　二次函数y=ax2的图象与y=a(x-h)2的图象的关系
由上面的图象可知:二次函数y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的,平移规律:括号内,左加右减;括号外不变.
范例应用
[例1] 已知二次函数y=2(x-3)2,下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③其图象的顶点坐标为(-3,0);④当x<3时,y随x的增大而减小.其中正确的有(A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[变式] 要得到抛物线y=(x-4)2,可将抛物线y=(x+1)2(D)
A.向上平移5个单位长度 B.向下平移5个单位长度 C.向左平移5个单位长度 D.向右平移5个单位长度
1.抛物线y=-5(x-2)2的顶点坐标是(B)
A.(-2,0) B.(2,0) C.(0,-2) D.(0,2)
2.在下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x=-2 的是(A)
A.y=(x+2)2 B.y=2x2-2 C.y=-2x2-2 D.y=2(x-2)2
3.要得到抛物线y=(x-4)2,可将抛物线y=x2(C)
A.向上平移4个单位长度 B.向下平移4个单位长度 C.向右平移4个单位长度 D.向左平移4个单位长度
4.抛物线y=3(x-2)2可以由抛物线y=3x2向　右　平移　2　个单位长度得到.
5.二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向　向下　,顶点坐标是　(1,0)　,对称轴是　直线x=1　.
6.已知函数y=-(x-1)2的图象上有两点A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,则y1与y2的大小关系是y1　>　y2.(选填“>”“<”或“=”)
1.抛物线y=ax2与y=ax2+k和抛物线y=ax2与y=a(x-h)2有哪些共同点,又有哪些不同点 同伴间可相互交流.
2.将抛物线y=ax2上下平移与左右平移所得到的解析式在形式上有何区别
第2课时　二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
　　本课时教学仍在于着重培养学生的比较和判断能力,通过比较找出异同点,从而进一步归纳性质,并通过练习使学生从“练”中“悟”,形成函数意识.
第3课时　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.
2.掌握抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的平移规律.
3.依据具体问题情境建立二次函数y=a(x-h)2+k模型来解决实际问题.
重点:掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象及性质并会应用.
难点:理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.
问题1:说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况:
(1)y=ax2
(2)y=ax2+k
(3)y=a(x-h)2
问题2:说说抛物线y=ax2的平移规律.
知识点1　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
画出函数y=-(x+1)2-1的图象.指出它的开口方向、顶点与对称轴.
解:列表:
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y=- (x+1)2-1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
描点、连线:
观察可知:开口方向向下;对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1).
[归纳] 关于二次函数y=a(x-h)2+k
a>0 a<0
图象 h<0
h>0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 (h,k) (h,k)
函数的增减性 当xh时, y随x增大而增大 当xh时,y随 x增大而减小
最值 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k
知识点2　二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
怎样移动抛物线y=-x2就可以得到抛物线y=-(x+1)2-1
方法一　图象法
方法二　规律法
[归纳]
简记为:上下平移,括号外上加下减;左右平移,括号内左加右减.二次项系数a不变.
范例应用
[例1] 已知二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图所示,则一次函数y=ax+c的大致图象可能是(A)
[例2] 如图所示,要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管应多长
解:如图所示,建立平面直角坐标系.
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数解析式是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3).
因为这段抛物线经过点(3,0),
所以0=a(3-1)2+3.解得a=-.
因此抛物线的解析式为y=-(x-1)2+3(0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25 m.
1.对称轴是直线x=-2的抛物线是(C)
A.y=-2x2-2 B.y=-2x2+2 C.y=-(x+2)2-2 D.y=-5(x-2)2-6
2.将抛物线y=3x2向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得抛物线为(C)
A.y=3(x-2)2-1 B.y=3(x-2)2+1 C.y=3(x+2)2-1 D.y=3(x+2)2+1
3.若抛物线的顶点为(3,5),则此抛物线的解析式可设为(B)
A.y=a(x+3)2+5 B.y=a(x-3)2+5 C.y=a(x-3)2-5 D.y=a(x+3)2-5
4.已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二次函数的解析式.
解:设这个二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2,
将点(0,0)代入,得0=a(0-1)2-2,解得a=2.
所以这个二次函数的解析式是y=2(x-1)2-2,
即y=2x2-4x.
1.抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的特征有哪些
2.如果已知抛物线的顶点坐标(或对称轴或最低点等),要想确定该抛物线解析式,如何设出这个解析式更有利于求解呢
第3课时　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
　　前面的几个课时是从最基本的二次函数图象入手开始探索,已初步对二次函数的性质进行了归纳,因此本课时的内容算是对前面内容的小结.所以教学时教师应大胆放手让学生自主归纳与探究,教师给予引导和提示,并让学生适时进行练习,以巩固所学,在这一过程中应注意渗透数形结合的思想方法.
22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k的形式,以便确定它的对称轴和顶点坐标.
2.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点.
重点:用抛物线的对称性画二次函数y=ax2+bx+c的图象,通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式,探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换.
难点:用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.
问题:填一填
函数 顶点坐标 对称轴 最值
y=-2x2 (0,0) y轴 最大值0
y=-2x2-5 (0,-5) y轴 最大值-5
y=-2(x+2)2 (-2,0) 直线 x=-2 最大值0
y=-2(x+2)2-4 (-2,-4) 直线 x=-2 最大值 -4
y=(x-4)2+3 (4,3) 直线 x=4 最小值3
知识点1　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质,能否利用这些知识来讨论y=ax2+bx+c的图象和性质
问题:怎样将y=x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式
配方:
y=x2-6x+21
=(x2-12x+42)
=(x2-12x+62-62+42)
=(x-6)2+3.
知识点2　将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
解:y=ax2+bx+c=ax2+x+c
=ax2+2·x·+2-2+c
=ax+2-a·+c
=ax+2+.
所以抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-,顶点坐标是-,.
[归纳结论] 二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质:
函数 y=ax2+bx+c
开口方向 a>0,开口向上 a<0,开口向下
对称轴 x=-
顶点坐标 -,
最大 (小)值 当x=-时,y最小值= 当x=-时,y最大值=
范例应用
例1　填表:
顶点坐标 对称轴 最值
y=-x2+2x 　(1,1)　 直线 　x=1　 y最大值= 　1　
y=-2x2-1 　(0,-1)　 　y轴　 y最大值= 　-1　
y=9x2+6x-5 -,-6 直线 　x=-　 y最小值= 　-6　
例2　已知二次函数y=-x2+2bx+c,当x>1时,y的值随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是(D)
A.b≥-1 B.b≤-1
C.b≥1 D.b≤1
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x,y的部分对应值如下表:
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
则该二次函数图象的对称轴为(D)
A.y轴 B.直线x= C.直线x=2 D.直线x=
2.当0≤x≤3时,二次函数y=-x2+4x+5的最大值和最小值是(C)
A.8,4 B.8,5 C.9,5 D.9,8
3.李玲用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格,根据表格上的信息回答问题:该二次函数y=ax2+bx+c,当x=3时,y=　1　.
x … -1 0 1 2 …
y … 1 -2 -3 -2 …
4.已知抛物线y=x2+2x+c经过点(2,5).
(1)求该抛物线的解析式及其顶点坐标;
(2)若将该抛物线向下平移2个单位长度,再向左平移2个单位长度后得到新抛物线,求新抛物线对应的函数解析式,并判断点(-1,2)是否在新抛物线上.
解:(1)把(2,5)代入y=x2+2x+c,得
5=4+4+c,解得c=-3.
所以二次函数的解析式为y=x2+2x-3.
因为y=x2+2x-3=(x+1)2-4,
所以二次函数的顶点坐标为(-1,-4).
(2)将抛物线平移后,得到新的抛物线解析式为
y=(x+3)2-6,
将x=-1代入,得y=-2.
所以点(-1,2)不在新抛物线上.
1.形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定:
(1)当二次函数y=ax2+bx+c容易配方时,可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程;
(2)当a,b,c比较复杂时,可直接用公式来确定:
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-,顶点坐标为-,.
2.解决二次函数y=ax2+bx+c的平移问题时,应先将它化为y=a(x-h)2+k的形式后,再进行研究为好.
22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
　　本课时的主要任务是理解和掌握二次函数的一般式的图象与性质.引导学生探讨二次函数一般式的性质(如顶点坐标、对称轴以及增减性等),另外还要向学生渗透转化思想,即如何将相对复杂的一般式转化为其他解析式的形式.
第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式.
2.通过介绍二次函数的三点式、顶点式、交点式,结合已知的点,灵活地选择恰当的解析式求解.
重点:会用待定系数法求二次函数的解析式.
难点:会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
问题1:一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数 通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式
问题2:求一次函数解析式的方法是什么 它的一般步骤是什么
已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定系数法求出一次函数的解析式,那么要求一个二次函数的解析式需要哪些条件 用什么方法求解呢 这就是我们本节课要学习的内容.
知识点1　用一般式(三点式)法确定二次函数的解析式
范例应用
例1　如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,试求这个二次函数的解析式.
解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.
由函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,得
解得
所以这个二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.
[归纳] 这种已知三点坐标求二次函数解析式的方法叫做一般式法.其步骤是:
①设函数解析式为y=ax2+bx+c;
②代入三点坐标后得到一个三元一次方程组;
③解方程组得到a,b,c的值;
④把a,b,c的值代入y=ax2+bx+c,写出函数解析式.
知识点2　顶点式法求二次函数的解析式
范例应用
例2　已知二次函数的图象顶点为(-2,1)且过点(1,-8),试求出这个二次函数的解析式.
解:设这个二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,
把顶点(-2,1)代入y=a(x-h)2+k,得y=a(x+2)2+1,
再把点(1,-8)代入,得a(1+2)2+1=-8,
解得a=-1.
所以这个二次函数的解析式是y=-(x+2)2+1,
即y=-x2-4x-3.
[归纳] 这种知道抛物线的顶点坐标求解析式的方法叫做顶点式法.其步骤是:
①设函数解析式是y=a(x-h)2+k;
②先代入顶点坐标;
③将另一点的坐标代入,得到关于a的一元一次方程,求出a的值;
④将a的值代入②中的解析式,写出函数解析式.
知识点3　交点式法求二次函数的解析式
范例应用
例3　已知二次函数的图象过(-3,0),(-1,0),(0,-3)三点,试写出这个二次函数的解析式.
解:因为(-3,0),(-1,0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点,
所以设这个二次函数的解析式是y=a(x+3)(x+1).
把点(0,-3)代入,得a(0+3)(0+1)=-3,
解得a=-1,
所以这个二次函数的解析式是y=-(x+3)(x+1),
即y=-x2-4x-3.
[归纳] 这种知道抛物线与x轴的交点,求解析式的方法叫做交点式法.
其步骤是:①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2);②先把两交点的横坐标x1,x2代入;③再将另一点的坐标代入到解析式中求出a的值;④最后将a的值代入②中的解析式,写出函数解析式.
例4　根据已知条件,求下列二次函数的解析式:
(1)过点(2,4),且当x=1时,y有最值为6;
(2)已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4) 和(1,1);
(3)过点(-1,0),(3,0),(1,-5).
解:(1)由题意,设该二次函数的解析式为y=a(x-1)2+6,
将(2,4)代入,得4=a(2-1)2+6,解得a=-2,
所以该二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+6.
(2)设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
将(-1,-5),(0,-4)和(1,1)代入,得
解得
所以该二次函数的解析式为y=2x2+3x-4.
(3)由题意,设该二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3),
将(1,-5)代入,得-5=a(1+1)(1-3),解得a=.
所以该二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3),
即y=x2-x-.
1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数解析式为(D)
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c=　-2　.
3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时,有最大值4,则其解析为　y=-7(x-3)2+4　.
4.已知抛物线的顶点为(1,16),且抛物线与x轴的两交点间的距离为8,求其解析式.
解:因为抛物线的顶点坐标为(1,16),
所以抛物线的对称轴为直线x=1.
又已知抛物线与x轴的两交点的距离为8,
所以两交点的坐标为(5,0),(-3,0).
设该抛物线的解析式为y=a(x-5)(x+3),
把抛物线顶点的坐标代入,得a(1-5)(1+3)=16,
解得a=-1.
所以该抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
1.二次函数的形式有哪些 求解析式时,要灵活运用待定系数法设出适当的解析式.
2.师生一起回忆设二次函数解析式的几种情况.
第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式
　　本课时的主要内容是利用待定系数法求二次函数解析式,教师应让学生体会求解过程,关键是让学生学会如何运用三点式,顶点式,交点式来求解析式.
22.2　二次函数与一元二次方程
1.了解二次函数与一元二次方程之间的联系,掌握二次函数图象与x轴的交点个数可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别.
2.了解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法.
重点:通过探索,理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.
难点:一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴交点个数的联系.
问题:如图所示,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气的阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2.
知识点1　二次函数与一元二次方程的关系
(1)球的飞行高度能否达到15 m 如果能,需要多少飞行时间
(2)球的飞行高度能否达到20 m 如果能,需要多少飞行时间
(3)球的飞行高度能否达到20.5 m 如果能,需要多少飞行时间
(4)球从飞出到落地要用多少时间
解:(1)解方程15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
所以当球飞行1 s或3 s时,它的高度为15 m.
(2)20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
所以当球飞行2 s时,它的高度为20 m.
(3)解方程20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4×4.1<0,
所以方程无实数根.
即球的飞行高度达不到20.5 m.
(4)0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0,t2=4.
当球飞行0 s和4 s时,它的高度为0 m.
即0 s时球从地面飞出,4 s时球落回地面.
所以球从飞出到落地要用4 s.
知识点2　二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点 有两个不相 等的实数根 b2-4ac>0
有两个重 合的交点 有两个相 等的实数根 b2-4ac=0
没有交点 没有实数根 b2-4ac<0
将下列表格补充完整.
抛物线与 x轴公共 点个数 公共点 横坐标 相应的一 元二次方 程的根
y=x2-x+1 0个 无 没有实数根
y=x2-6x+9 1个 (3,0) x1=x2=3
y=x2+x-2 2个 (1,0)和 (-2,0) x1=1, x2=-2
范例应用
例1　如图所示,丁丁在扔铅球时,铅球沿抛物线y=-+x+运行,其中x是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度.
(1)当铅球离地面的高度为2.1 m时,它离初始位置的水平距离是多少
(2)铅球离地面的高度能否达到2.5 m,它离初始位置的水平距离是多少
(3)铅球离地面的高度能否达到3 m 为什么
解:(1)由题意,得2.1=-+x+,
即x2-6x+5=0,解得x1=1,x2=5,
即当铅球离地面的高度为2.1 m时,它离初始位置的水平距离是1 m或5 m.
(2)由题意,得2.5=-+x+,
即x2-6x+9=0,
解得x1=x2=3.
即当铅球离地面的高度为2.5 m时,它离初始位置的水平距离是3 m.
(3)由题意,得3=-+x+,
即x2-6x+14=0.
因为Δ=(-6)2-4×1×14<0,
所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到3 m.
例2　已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0).
(1)求证:此抛物线与x轴总有两个交点;
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值.
(1)证明:Δ=[-(m+2)]2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2≥0,
所以此抛物线与x轴总有两个交点.
(2)解:令y=0,则(x-1)(mx-2)=0,
所以x-1=0或mx-2=0,
解得x1=1,x2=.
当m为正整数1或2时,x2为整数,即抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数.
所以正整数m的值为1或2.
1.根据下列表格的对应值:
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是(C)
A.32.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(D)
A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0
3.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示,且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,则另一个解x2=　-1　.
4.一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=　　,那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是　(-2,0)和,0　.
5.已知二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,求k的取值范围.
解:由题意,得
即解得
所以k的取值范围是k≤4且k≠3.
1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联 你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而了解此抛物线与x轴的交点情况吗 你是怎样做的
2.你能利用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗 从中你有哪些体会
22.2　二次函数与一元二次方程
　　本课时教学首先通过具体情况让学生感受用方程思想来解决函数问题的思路,然后通过图象来探究一元二次方程的根和二次函数与x轴交点之间的关联.
22.3　实际问题与二次函数
第1课时　最优化问题
1.能根据实际问题构造二次函数模型.
2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大(小)值问题.
3.通过对“矩形面积”“销售利润”等实际问题的探究,让学生经历数学建模的基本过程,体会二次函数是一类最优化问题的模型.
重点:用二次函数的最大值(或最小值)来解决实际应用问题.
难点:将实际问题转化为数学问题,并用二次函数性质进行决策.
问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高 小球运动中的最大高度是多少
教师以课件形式展示教材中的图,并向学生提问:
(1)图中抛物线的顶点在哪里
(2)这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点
(3)小球运动至最高点的时间是什么时间
知识点1　商品销售中的优化问题
(1)建立利润与价格之间的函数关系式:“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”;
(2)结合实际意义,确定自变量的取值范围;
(3)在自变量的取值范围内确定最大利润.
可以利用配方法或公式法求出最大利润;也可以画出函数的简图,利用简图和性质求出.
范例应用
例1　某商店试销一种新商品,新商品的进价为30元/件,经过一段时间的试销发现,每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件,售价为x元/件,每月的总利润为Q元.
(1)当售价在40~50元时,每月销售量都为60件,则此时每月的总利润最多是多少元
(2)当售价在50~70元时,每月销售量与售价的关系如图所示,则此时当该商品售价x是多少元时,该商店每月获利最大,最大利润是多少元
(3)若4月份该商品销售后的总利润为1 218元,则该商品售价与当月的销售量各是多少
解:(1)由题意,得当40≤x≤50时,
Q=60(x-30)=60x-1 800.
因为60>0,Q随x的增大而增大,
所以当x=50时,Q最大为1 200.
答:此时每月的总利润最多是1 200元.
(2)当50≤x≤70时,设y与x的函数关系式为y=kx+b,
因为线段过(50,60)和(70,20),
解得
所以y=-2x+160(50≤x≤70).
所以Q=(x-30)y=(x-30)(-2x+160)=-2x2+220x-4 800=-2(x-55)2+1 250(50≤x≤70).
因为-2<0,图象开口向下,
所以当x=55时,Q最大=1 250.
所以当售价在50~70元时,售价是55元时,每月获利最大,最大利润是1 250元.
(3)因为当40≤x≤50时,Q最大=1 200<1 218,
当50≤x≤70时,Q最大为1 250>1 218,
所以售价x应在50~70元之间.
所以令-2(x-55)2+1 250=1 218,
解得x1=51,x2=59.
当x1=51时,y1=-2x+160=-2×51+160=58(件);
当x2=59时,y2=-2x+160=-2×59+160=42(件).
答:若4月份该商品销售后的总利润为1 218元,则该商品售价为51元或59元,当月的销售量分别为58件或42件.
知识点2　几何面积中的优化问题
(1)求出函数解析式和自变量的取值范围;
(2)配方变形,或利用公式求它的最大值或最小值;
(3)检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
范例应用
例2　用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地的面积S最大
解:矩形的另一边长为-l=(30-l)m.
所以S=(30-l)l=-l2+30l=-(l-15)2+225.
因为-1<0,所以S有最大值,
所以当l=15时,S取得最大值.
答:当l=15 m时,场地的面积S最大.
变式1:如图所示,用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长32 m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少
解:设垂直于墙的边长为x m,则平行于墙的一边长为(60-2x)m.
S=x(60-2x)=-2x2+60x=-2(x2-30x)=-2(x-15)2+450,
因为-2<0,所以S有最大值.
又因为0<60-2x≤32,
30>2x≥28,
14≤x<30,
当x=15时,S最大=450 m2,60-2x=30.
答:矩形的长为30 m,宽为15 m时,面积最大,最大面积为450 m2.
变式2:如图所示,用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少
解:设垂直于墙的一边长为x m,则平行于墙的一边长为(60-2x)m,
S=(60-2x)·x=-2x2+60x=-2(x2-30x)=-2(x-15)2+450,
因为0<60-2x≤18,
所以21≤x<30.
又因为-2<0,
所以当x≥15时,S随x的增大而减小.
所以当x=21时,S最大=378 m2,
60-2x=18.
答:长为21 m,宽为18 m时,菜园面积最大,最大面积为378 m2.
1.某种商品每件的进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售,可卖出(300-20x)件,使利润最大,则每件售价应定为　20　元.
2.进价为80元的某件衬衣定价100元时,每月可卖出2 000件,价格每上涨1元,销售量便减少5件,那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为　y=2 000-5(x-100)　.每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为　w=(x-80)[2 000-5(x-100)]　.(以上关系式只列式不化简)
3.某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌,广告设计费用每平方米1 000元,设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用.
解:(1)因为矩形一边长为x m,则另一边长为(6-x)m,
所以S=x(6-x)=-x2+6x(0(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9,
所以当x=3时,即矩形的一边长为3 m时,矩形面积最大为9 m2,这时设计费用最多,最大费用为9×1 000=9 000(元).
1.通过本节课的学习你有什么收获
2.你觉得这节课有哪些问题是需要特别关注的 谈谈自己的看法.
3.建立函数模型解决实际问题有哪些步骤
22.3　实际问题与二次函数
第1课时　最优化问题
　　二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型,也是某些单变量最优化的数学模型,如最大利润、最大面积等实际问题,因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题,由于学生对于这一转化过程较难理解,因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出,让学生自主建立数学模型,在这个过程中教师可通过让学生画图探讨最值.总之,在本课时的教学过程中,要让学生经历数学建模的基本过程,体验探究知识的乐趣.
第2课时　生活中的抛物线
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.能根据实际问题构建二次函数模型,并利用二次函数的性质来解决实际问题.
2.再次经历利用二次函数解决实际问题的过程,进一步体验数学建模思想,培养学生解决实际问题的能力.
重点:用函数知识解决实际问题,感受数学建模思想.
难点:根据抛物线型实际问题,建立恰当的平面直角坐标系,建立二次函数模型.
问题:如图所示的是我国某一地区的石拱桥.
同学们,这个桥拱的外形轮廓是不是很像我们学过的抛物线 如图所示,一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分,拱桥的跨度是4.9 m,水面宽是4 m 时,拱顶离水面2 m.现在想了解水面宽度变化时,拱顶离水面的高度怎样变化.你能想出办法来吗
知识点1　利用二次函数解决桥拱、隧道型问题
怎样建立平面直角坐标系比较简单呢
以拱顶为原点,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
从图看出,什么形式的二次函数,它的图象是这条抛物线呢
由于顶点坐标是(0,0),因此这个二次函数的形式为y=ax2.
已知水面宽4 m时,拱顶离水面高2 m,因此点A(2,-2) 在抛物线上,由此得出-2=4a,所以a=-.
因此,y=-x2,其中|x|是水面宽度的一半,y是拱顶离水面高度的相反数,这样我们就可以了解到水面宽度变化时,拱顶离水面高度怎样变化.
由于拱桥的跨度为4.9 m,因此自变量x的取值范围是-2.45≤x≤2.45.
现在你能求出水面宽3 m时,拱顶离水面高多少米吗
水面宽3 m时,x=,从而y=-×2=-=-1.125,因此拱顶离水面高1.125 m.
知识点2　利用二次函数解决运动中抛物线型问题
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系;
(2)把已知条件转化为点的坐标;
(3)合理设出函数解析式;
(4)利用待定系数法求出函数解析式;
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
范例应用
例题　在篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面高 m,与篮圈中心的水平距离为8 m,当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3 m,他能把球投中吗
解:如图所示,建立平面直角坐标系.
则点A的坐标是0,,B点坐标是(4,4),C点坐标是(8,3).
因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4.
把点A0,代入上式,得=a(0-4)2+4,
解得a=-.
所以抛物线的解析式是y=-(x-4)2+4.
当x=8时,则y=-(8-4)2+4=≠3,
所以此球不能投中.
拓展:在平时的投篮过程中,若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中
(1)跳得高一点儿;
(2)向前平移一点儿.
1.足球被从地面上踢起,它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示,其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间,则球在　4　s后落地.
2.如图所示,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(m)关于水平距离x(m)的函数解析式为y=-x2+x+,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为　2　m.
3.公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O点恰在水面中心,OA=1.25 m,由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1 m处达到距水面最大高度2.25 m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流落不到池外
解:如图所示,以地面上任一条直线为x轴,OA为y轴建立平面直角坐标系.
由题意,知点B的坐标为(1,2.25).
设y=a(x-1)2+2.25,则当x=0时,y=1.25.
故a+2.25=1.25,解得a=-1.
所以y=-(x-1)2+2.25.
由y=0,得-(x-1)2+2.25=0,
得(x-1)2=2.25,
解得x1=2.5,x2=-0.5(舍去),
故水池的半径至少要2.5 m.
1.构建二次函数模型解决实际问题时,应关注自变量的取值范围并结合二次函数性质进行探讨.
2.对具有抛物线形状的实际问题,应能根据图形的特征建立恰当的平面直角坐标系,这样能更快捷地解决问题,应注意体会.
第2课时　生活中的抛物线
　　本课时教学与上一课时基本相同,所不同的是教学时应注意建立恰当的平面直角坐标系,使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系,并求出相应抛物线解析式,在这一过程中让学生体验探究发现的快乐,体会数学的最优化思考.
第二十三章　旋　转
23.1　图形的旋转
1.了解旋转的概念,理解图形旋转的三要素“旋转中心、旋转方向和旋转角”.
2.会按照要求作出旋转后的图形.
重点:归纳图形的旋转特征;利用旋转的性质进行计算.
难点:旋转概念的形成过程及性质的探究过程;利用旋转性质进行旋转作图.
同学们都见过风车吧,它能在风的吹动下不停地转动.在我们周围,还能看到许多转动着的物体,如车轮、水车、风力发电机、飞机的螺旋桨、时钟的指针、游乐园的大转盘……我们就生活在一个处处能见到旋转现象的世界中.
欣赏日常生活中一些物体的运动现象,观察运动的过程.
知识点1　旋转及相关概念
钟表的指针在不停地转动,从3时到5时,时针转动了多少度
把叶片当成一个平面图形,风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
以上这些现象有什么共同特点呢
1.图形的旋转:在平面内,将一个平面图形绕平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转.
其中点O叫做旋转中心,转动的角称为旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
2.转动的方向分为顺时针与逆时针.
3.确定一次图形的旋转时,必须明确:旋转中心、旋转角和旋转方向.
[温馨提示]
①旋转的范围是“平面内”,其中“旋转中心,旋转方向,旋转角”称之为旋转的三要素;
②旋转变换同样属于全等变换.
范例应用
例1　如图所示,A,B,C三点共线,△ACD和△BCE都是等边三角形,△ACE旋转后到达△DCB的位置.
(1)旋转中心是哪一点
(2)旋转角是多少度
解:(1)点C是在△ACE旋转过程中不动的点,
所以点C是旋转中心.
(2)△ACE旋转后到达△DCB的位置,AC绕点C转过的角,
即∠ACD就是旋转角.
因为△ACD是等边三角形,
所以∠ACD=60°.
即旋转角是60°.
知识点2　旋转的性质
在硬纸板上先挖一个三角形洞,再在三角形洞外挖一个小洞O(作为旋转中心),把挖好洞的硬纸板放在白纸上,在白纸上描出挖掉的三角形图案(△ABC),围绕旋转中心转动硬纸板,再描出挖掉的三角形图案(△A'B'C'),移开硬纸板,如图所示.
①OA与OA'、OB与OB'、OC与OC'分别有何关系
OA与OA'、OB与OB'、OC与OC'分别相等.
②∠AOA',∠BOB',∠COC'之间有何关系
∠AOA'=∠BOB'=∠COC'.
③△ABC与△A'B'C'有何关系
△ABC≌△A'B'C'.
[归纳] 旋转的性质：
(1)旋转前后的图形全等;
(2)对应点到旋转中心的距离相等;
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
知识点3　旋转作图的基本步骤:
(1)找出图形的关键点;
(2)确定旋转中心,旋转方向和旋转角;
(3)将关键点与旋转中心连接起来,然后按旋转方向分别将它们旋转一个角,得到关键点的对应点;
(4)按照原图形的顺序连接这些对应点,所得到的图形就是旋转后的图形.
范例应用
例2　如图所示,E是正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图形.
[分析] 关键是确定△ADE三个顶点的对应点,即它们旋转后的位置.
解:△ABE'即为旋转后的图形,如图所示.
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,△AB'C'可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B'与点B是对应点,点C'与点C是对应点),连接CC',则∠CC'B'的度数是(D)
A.45° B.30°C.25° D.15°
2.如图所示,将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A'B',那么A(-2,5)的对应点A'的坐标是(B)
A.(2,5) B.(5,2) C.(2,-5) D.(5,-2)
3.如图所示,△A'OB'是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的.已知∠AOB=20°,∠A'OB=24°,AB=3,OA=5,则A'B'=　3　,OA'=

展开更多......

收起↑