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教学设计
教学课题 4.1 因式分解的意义
教学背景分析 因式分解是整式运算的重要延伸，承接学生已学的 “整式乘法”（如单项式乘多项式、多项式乘多项式），是后续学习分式化简、一元二次方程求解、二次函数图像分析的核心基础。教材通过 “整式乘法逆运算” 的视角引入因式分解，例如从 “(a+b)(a-b)=a -b ” 反向推导 “a -b =(a+b)(a-b)”，帮助学生建立 “正向运算与逆向变形” 的关联认知，同时为后续学习提取公因式、公式法等因式分解方法铺垫 “逆运算” 思维框架。
教学目标 能准确说出因式分解的定义（“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”），清晰区分因式分解与整式乘法的关系（“互逆运算”）；能判断一个变形是否为因式分解（如区分 “x -4=(x+2)(x-2)” 是因式分解，“(x+1)(x-1)=x -1” 是整式乘法）；能对简单多项式（如 “ax+ay”“x -9”）进行初步因式分解，确保结果为 “整式乘积形式” 且分解彻底。 通过 “观察整式乘法算式→逆向推导因式分解形式→验证变形正确性” 的流程，经历 “从正向运算到逆向思维” 的转化过程，提升 “可逆性思维” 与 “逻辑验证” 能力；在小组讨论 “因式分解的判断标准” 中，培养合作交流与精准表达能力，学会用 “定义” 作为判断依据解决问题。
重难点 教学重点：①理解因式分解的定义核心 ——“多项式→几个整式的积”，能紧扣定义判断变形是否为因式分解（如排除 “非整式乘积”“多项式→单项式” 等错误形式）；②明确因式分解与整式乘法的互逆关系，能通过 “整式乘法验证因式分解结果的正确性”（如将 “x (x+3)” 展开为 “x +3x”，验证 “x +3x=x (x+3)” 的正确性）；③掌握简单多项式（含公因式或平方差形式）的因式分解步骤，确保结果符合 “整式乘积” 要求。 教学难点：①突破 “逆向思维障碍”，避免 “混淆因式分解与整式乘法的运算方向”，需通过 “对比算式 + 箭头标注方向”（如 “整式乘法：(m+n) k→mk+nk；因式分解：mk+nk→(m+n) k”）强化方向认知；②解决 “分解不彻底” 的问题，如将 “x -1” 仅分解为 “(x +1)(x -1)”，需通过 “提问引导”（“x -1 还能继续分解吗？”）帮助学生建立 “分解到不能再分” 的意识；③理解 “因式分解结果必须是整式的积”，排除 “多项式→整式和 / 差”“多项式→分式乘积” 等错误形式，需通过 “反例辨析”（如判断 “x +2x+1=(x+1) +0” 是否为因式分解）强化定义边界。
教学活动设计 一、情境导入：用生活实例唤醒 “拆分” 意识，聚焦课题（5 分钟） 老师活动学生活动设计意图1. 生活情境呈现：①展示实物：6 个包装相同的笔记本，提问：“如何将 6 个笔记本分成几包，每包数量相同？有几种分法？”（引导学生说出 “分成 2 包，每包 3 个”“分成 3 包，每包 2 个”“分成 6 包，每包 1 个”）；②过渡到数学：“在数学中，6 可以拆成‘2×3’‘3×2’‘1×6’，那多项式能不能像这样‘拆成几个整式的乘积’呢？”2. 引出课题：展示整式乘法算式 “3 (x+2)=3x+6”，反向提问：“3x+6 能不能拆成‘3×(x+2)’这种整式乘积的形式？今天我们就来学习《因式分解的意义》，解决这个问题。”1. 生活迁移：积极回答笔记本拆分方法，理解 “6=2×3” 是 “数的拆分”；2. 认知衔接：思考 “3x+6 能否拆成整式乘积”，产生 “想探索多项式拆分方法” 的兴趣，快速进入新课。用 “物品拆分” 的生活实例，将抽象的 “因式分解” 与学生熟悉的 “数的拆分” 建立关联，降低理解门槛；通过整式乘法的反向提问，自然引出 “逆向变形” 的核心，为后续学习铺垫。
二、新课探究：分层构建认知，突破核心难点（20 分钟） （一）环节 1：对比辨析，理解因式分解定义（10 分钟） 老师活动学生活动设计意图1. 呈现两组变形算式： 组 1（整式乘法）：①2 (a+b)=2a+2b；②(x+3)(x-3)=x -9； 组 2（待研究变形）：①2a+2b=2 (a+b)；②x -9=(x+3)(x-3)；2. 提问引导分析：①“组 1 和组 2 的变形方向有什么不同？”（组 1：整式乘积→多项式；组 2：多项式→整式乘积）；②“组 2 的变形结果有什么特点？”（结果是 “几个整式相乘”，且右边展开后等于左边多项式）；3. 给出定义：明确 “像组 2 这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）”，强调定义中的两个核心：“多项式”“整式的积”。1. 观察对比：在练习本上标注两组算式的 “箭头方向”，小组讨论后总结 “组 1 正向、组 2 逆向”；2. 定义内化：圈出定义中的 “多项式”“整式的积” 关键词，举例说明 “x+1=1×(x+1)” 不是因式分解（左边是单项式，非多项式），强化定义边界。通过 “整式乘法与因式分解” 的直接对比，让学生直观感知 “互逆关系”，避免孤立理解定义；通过 “关键词圈画 + 反例辨析”，帮助学生精准把握定义核心，突破 “判断变形是否为因式分解” 的重点。
（二）环节 2：验证与纠错，解决常见认知误区（10 分钟） 老师活动学生活动设计意图1. 结果验证方法教学：①以 “x +5x=x (x+5)” 为例，讲解：“判断因式分解是否正确，可通过‘整式乘法反向验证’—— 将右边展开，看是否等于左边”；演示验证过程：“x (x+5)=x +5x，与左边相等，所以正确”；2. 常见错误辨析：呈现 3 个错误案例，引导学生分析： ①“x +2x+1=(x+1) +0”（结果含 “+0”，不是纯整式的积）； ②“x -x=x (x -1)”（x -1 还能继续分解为 (x+1)(x-1)，分解不彻底）； ③“x -4=(x-2) ”（右边展开为 x -4x+4≠左边，结果错误）；3. 总结判断步骤：“一看形式（是否为整式的积），二看结果（展开后是否等于原多项式），三看彻底（是否分解到不能再分）”。1. 方法实践：自主验证 “3x -6x=3x (x-2)”，在练习本上写出展开过程，确认正确性；2. 错误纠正：分组认领错误案例，分析错误原因并修正（如案例②修正为 “x -x=x (x+1)(x-1)”），派代表分享。通过 “反向验证” 方法，让学生掌握判断因式分解正确性的工具，避免 “结果错误”；通过 “典型错误辨析”，针对性解决 “非整式积”“分解不彻底” 等高频误区，强化 “严谨性” 意识，突破教学难点。
三、实践应用：分层任务驱动，巩固知识（15 分钟） 老师活动学生活动设计意图1. 任务布置：①基础层任务（判断）：“下列变形是否为因式分解？为什么？”（如 “a -4a=a (a-4)”“m (n+1)=mn+m”）；②提升层任务（分解）：“对简单多项式进行因式分解，并验证”（如 “4x+8”“y -16”“3a -6ab”）；③提供 “分解小贴士”（先看是否有公共因式，如 “4x+8=4 (x+2)”）；2. 分层指导： - 基础层：帮助梳理 “判断三步骤”，纠正 “混淆方向” 的错误（如误将整式乘法当作因式分解）； - 提升层：引导 “检查分解是否彻底”（如 “y -16=(y+4)(y-4)”，确认无法再分）；3. 成果展示：邀请 2 名学生上台展示提升层任务的分解与验证过程，全班点评。1. 任务完成：①基础层学生按 “三步骤” 逐一判断，标注错误变形的原因；②提升层学生先分解，再通过展开验证结果，如 “3a -6ab=3a (a-2b)”，展开右边得 “3a -6ab”，确认正确；2. 互助学习：小组内互相检查作业，帮助同伴修正 “分解不彻底”“符号错误” 等问题。通过 “基础判断 + 提升分解” 的分层任务，兼顾不同能力学生：基础层强化定义理解，提升层实践简单分解；“同伴互助 + 全班点评”，让学生在交流中深化知识，同时培养合作能力与表达能力。
四、总结延伸：梳理体系，链接应用（5 分钟） 老师活动学生活动设计意图知识梳理：①提问引导回顾：“什么是因式分解？它与整式乘法是什么关系？如何判断因式分解是否正确？”；②在黑板画 “知识框架图”：定义→判断方法（三步骤）→与整式乘法的互逆关系；2. 应用价值感知：展示生活案例 ——“计算长方形面积：长为 (x+3)，宽为 (x-3)，面积可表示为 (x+3)(x-3)，也可展开为 x -9；若已知面积为 x -9，求长和宽，就需要因式分解”，让学生体会 “因式分解的工具性”；3. 布置作业：①基础作业：完成教材练习题（判断与简单分解）；②拓展作业：“思考‘x +5x+6’能否因式分解，尝试写出结果并验证”。1. 系统回顾：在笔记本上完善 “知识框架图”，齐声回答 “因式分解与整式乘法是互逆运算”；2. 应用思考：理解 “面积计算” 案例中因式分解的作用，产生 “想探索更复杂多项式分解方法” 的兴趣；3. 作业规划：课后完成基础作业，尝试拓展作业，为后续学习 “公式法、十字相乘法” 铺垫。通过 “知识框架图”，帮助学生构建系统化认知，避免知识碎片化；“生活应用案例” 解决学生 “为什么学因式分解” 的困惑，强化学习动机；拓展作业为后续课程埋下伏笔，实现知识的连贯性。
（五）课堂练习 基础题（8 分钟）：①判断下列变形是否为因式分解： - (1) x -6x +9=(x-3) （是）； - (2) x +3x =x (x+3)+0（否，右边不是积的形式）； - (3) 2x +4=2 (x+2)（是）；②将下列多项式分解因式： - (1) y +5y =y(y+5)； - (2) m -16=(m+4)(m-4)。 提升题（7 分钟）：①若 x +kx =x (x-3)，求 k 的值（k=-3）；②判断 “x -2x +1=(x-1)(x-1)” 是否为因式分解（是，进一步可写成 (x-1) ，属于因式分解）。

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