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2025-2026学年数学八年级上册人教版 第十五章 轴对称
15.3.2 等边三角形（讲义）
学习目标
知识与技能：
理解等边三角形的概念，知道等边三角形是特殊的等腰三角形。
掌握等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60度；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
掌握等边三角形的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
理解并能运用“在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这一性质。
过程与方法：
通过观察、比较、归纳等数学活动，体验等边三角形性质和判定的探索过程。
在解决问题的过程中，进一步体会转化、分类讨论等数学思想。
知识点梳理
等边三角形的定义： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。
等边三角形的性质：
等边三角形的三条边都相等。
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60度。
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高和所对角的平分线所在的直线（这三条线互相重合）。
等边三角形的判定：
定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。
判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
判定定理2：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
重点知识讲解
等边三角形的定义：
讲解：等边三角形是一种特殊的等腰三角形，特殊之处在于它的三条边都相等。因此，它具有等腰三角形的所有性质，同时还具有自身独特的性质。
几何语言表示：在△ABC中，如果AB = BC = CA，那么△ABC是等边三角形。
等边三角形的性质：
性质1：三条边都相等。
讲解：这是由等边三角形的定义直接得出的。
性质2：三个内角都相等，并且每一个内角都等于60度。
讲解：因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它的两个底角相等。由于三条边都相等，所以三个角都相等。又因为三角形内角和为180度，所以每个角都是180度除以3，等于60度。
几何语言表示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A = ∠B = ∠C = 60°。
性质3：轴对称性及对称轴。
讲解：如同等腰三角形一样，等边三角形也是轴对称图形。但由于它的三条边都相等，所以它有三条对称轴。每条对称轴都是经过一个顶点和对边中点的直线（即每条边上的中线、高和所对角的平分线所在的直线，这三条线在等边三角形中是重合的）。
文字描述图形：可以想象一个等边三角形ABC，分别作出边BC的中线AD（D为BC中点），同时AD也是BC边上的高和∠BAC的角平分线，直线AD就是它的一条对称轴。同理，也可以作出另外两条对称轴。
等边三角形的判定：
判定方法1（定义法）：三条边都相等的三角形是等边三角形。
讲解：这是最基本的判定方法，直接根据定义判断。
几何语言表示：在△ABC中，∵AB = BC = CA，∴△ABC是等边三角形。
判定方法2（判定定理1）：三个角都相等的三角形是等边三角形。
讲解：如果一个三角形的三个角都相等，根据三角形内角和定理，每个角都是60度。再根据“等角对等边”的性质，可以得出这个三角形的三条边都相等，因此它是等边三角形。
几何语言表示：在△ABC中，∵∠A = ∠B = ∠C，∴△ABC是等边三角形。
判定方法3（判定定理2）：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
讲解：这是一个非常重要且常用的判定方法。前提是“等腰三角形”，即已经有两条边相等（或两个角相等），然后再有一个角是60度，那么这个三角形就是等边三角形。这里需要注意，这个60度的角可以是顶角，也可以是底角。
情况一：当60度角是顶角时，两个底角和为120度，因为等腰三角形两底角相等，所以每个底角为60度，三个角都为60度，是等边三角形。
情况二：当60度角是底角时，另一个底角也是60度，顶角为180度 - 60度 - 60度 = 60度，三个角都为60度，是等边三角形。
几何语言表示：在△ABC中，∵AB = AC（或∠B = ∠C），∠A = 60°（或∠B = 60°或∠C = 60°），∴△ABC是等边三角形。
含30度角的直角三角形的性质：
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
讲解：这个性质通常是通过等边三角形来证明的。
文字描述图形及推导思路：
作一个等边三角形ABC。
作出BC边上的高AD，根据等边三角形“三线合一”的性质，AD也是BC边上的中线和∠BAC的平分线。
此时，AD将等边三角形ABC分成了两个全等的直角三角形ABD和直角三角形ACD。
在Rt△ABD中，∠BAD = 30度（因为AD平分∠BAC，∠BAC = 60度），∠ADB = 90度，斜边AB是原等边三角形的边，直角边BD是BC的一半，而BC = AB，所以BD = 二分之一 AB。这里，30度角（∠BAD）所对的直角边是BD，斜边是AB，所以BD = 二分之一 AB。
几何语言表示：在Rt△ABC中，∵∠C = 90°，∠A = 30°，∴BC = 二分之一 AB （BC是∠A所对的直角边，AB是斜边）。
注意：这个性质反之也成立，即在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30度。（此为补充理解，原小节若不做要求可暂不深入）
知识点总结
等边三角形定义： 三条边都相等的三角形。
等边三角形性质：
三边相等。
三角相等，均为60度。
三线合一（每条边上的中线、高、角平分线重合）。
有三条对称轴。
等边三角形判定：
三边都相等的三角形。
三个角都相等的三角形。
有一个角是60度的等腰三角形。
重要推论（含30度角的直角三角形性质）： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
思想方法： 特殊与一般的关系（等边三角形是特殊的等腰三角形），转化思想（将等边三角形问题转化为等腰三角形问题，将含30度角的直角三角形问题转化为等边三角形问题）。
预习建议
请同学们结合课本，对照本讲义梳理的知识点，认真阅读和思考。
可以尝试自己动手画一个等边三角形，通过测量、折叠等方式感受它的性质。
对于判定方法，要注意区分不同方法的条件和适用场景。
对于含30度角的直角三角形的性质，要理解其推导过程。
带着疑问听课，效果会更好。
巩固练习
一、选择题
1．将一个直角三角板按如图所示放置，点B 落在直线a上，已知∠ABC=90°，∠C=60°，直线a∥b，CD=DB，则∠1的度数为(　　)
A．25° B．26° C．27° D．30°
2．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距离地面2m 处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量∠ABC=30°，则树原来的高度为 (　　)
A．6m B．9m C．10m D．12m
3．下列说法错误的是（　　）
A．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
D．三个角都相等的三角形是等边三角形
4．若的三边，，满足，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．下列命题错误的是（ ）
A．等腰三角形的高、中线及角平分线重合
B．若两个图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线
C．关于某条直线对称的两个三角形全等
D．有一个外角是的等腰三角形是等边三角形
6．下列条件不能说明△ABC是等边三角形的是(　　).
A．AB=BC=AC B．∠A=∠B=∠C
C．∠A=∠B，AC=BC D．∠A=∠B，AB=BC
7．已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（　　）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
8．如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（　　）
A．先变小后变大 B．先变大后变小
C．一直变小 D．不变
9．如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（　　）．
A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和
10．如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，某公园的入口可以抽象成一个等边△ABC，立柱 DE 的端点 D 在AB上，立柱 GF 的端点 G在AC 上，且两立柱均与地面 BC 垂直，若 BD=4，则 BE 的长度为　 　.
12．如图所示，两平面镜α，β的夹角为θ，入射光线AO平行于β，入射到α，经过两次反射后的反射光线O'B平行α，则∠θ的度数为　 　度．
13．如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为．当　 　时，是直角三角形．
14．如图，为线段上一动点（不与点A，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的有　 　．
15．已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，与相交于点，与相交于点 ，连接，，则下列四个结论：①；②；③；④平分．其中，正确的是　 　（只填写序号）
16．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和一三象限，点为轴正半轴上一点，点位于第一象限内且在直线上，，，过点作直线垂直于轴，点，在直线上(点在点上方)，且，若线段关于直线对称的线段与坐标轴有交点，则点的纵坐标的取值范围是　 　．
三、解答题
17．如图，点D，E，F，在等边△ABC的边上，并且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB.
（1）求证：△DEF是等边三角形；
（2）若AB=15cm，求BE的长.
18．
（1）如图1，点、分别是等边边、上的点，连接、，若，求证：
（2）如图2，在（1）问的条件下，点在的延长线上，连接交延长线于点，．若，求证：．
19．在四边形中，，，，E为中点，连接，交于点F．
（1）当时，______，_____；
（2）当的大小改变时，的度数是否发生改变？若变化，求的变化范围，若不变，求的度数；
（3）猜想之间的数量关系，并说明理由；
（4）若，则_______．
20．如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．
（1）求证：；
（2）求证：是等边三角形；
（3）如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积．
参考答案
1．D
2．A
3．C
4．B
5．A
6．C
7．D
8．A
9．A
10．D
11．2
12．60
13．或
14．①②③④⑤
15．②③④
16．或
17．（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠C=∠A=60°
∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB
∴∠BED=∠CFE=∠ADF=90°
∴∠BDE=∠CEF=∠AFD=30°
∴∠DEF=180°-∠BED-∠CEF=180°-90°-30°=60°
同理∠DFE=∠EDF=60°
∴△DEF是等边三角形
（2）解：由（1）可知：△DEF是等边三角形
∴DE=FD
在△BDE和△ADF中
∴△BDE≌△ADF(AAS)
∴BE=AD
在Rt△BDF中
∵∠BDE=30°，∠BED=90°
∴BE=BD
∴AD=BD
∴AD=AB
∵AB=15
∴AD=5
∴BE=5cm
18．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠BCA.
∴在△AEC和△CDB中
∴△AEC≌△CDB（SAS）
∴BD=CE.
（2）证明：如图：
由（1）△AEC≌△CDB，
∴∠ACE=∠CBD.
∴60°－∠ACE=60°－∠CBD，
即∠ABD=∠ECB.
∵BC=CF，
∴∠BCF=∠BFC，
又∵∠BCF=∠ECB+∠ECH，∠BFC=∠ABD+∠H，
∴∠ECH=∠H，
∴EH=EC.
19．（1）40°，20°；
（2）结论：不变，证明：如图，连接 ，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵E为中点，
∴，
∵，
∴．
∴；
（3）如图，作，交于点G
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
（4）．
20．（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵点，分别是，的中点，∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
（3）解：∵与都是等腰直角三角形，∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，且点也是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的面积为．

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