资源简介

1.2.1 《有理数的概念》课时教案
学科 数学 年级册别 七年级上册 共1课时
教材 人教版 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节内容位于人教版七年级上册第一章“有理数”的第二节，是在学生已学习正数、负数和数轴的基础上进一步深化对数的认识。教材通过生活实例引入有理数的概念，强调整数与分数的统一性，构建完整的有理数体系，为后续学习相反数、绝对值及有理数运算奠定基础。其核心价值在于帮助学生实现从“算术数”到“代数数”的思维跨越。
学情分析
七年级学生刚从小学过渡，具备一定的正数运算能力，但对负数的理解仍停留在“表示亏损”或“温度低于零”的直观层面，缺乏系统分类意识。部分学生在面对分数与小数是否属于有理数的问题时容易产生混淆。他们好奇心强，喜欢探究问题本质，但抽象概括能力较弱。因此需借助具体情境与分类活动，引导其自主建构知识结构，突破“有限小数和无限循环小数为何是有理数”的认知障碍。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能从温度、海拔、收支等实际情境中识别出可用有理数表示的数量关系，并能用符号语言准确表达。
2. 能列举生活中使用有理数的具体例子，理解有理数在刻画现实世界数量变化中的广泛适用性。
思考现实世界
1. 能将所给的一组数按照整数、分数进行合理分类，归纳出有理数的本质特征——可表示为两个整数之比（分母不为零）。
2. 能判断一个数是否为有理数，特别是能辨析有限小数、无限循环小数与无限不循环小数的区别。
表达现实世界
1. 能用文字、符号和集合图示等多种方式清晰地描述有理数的定义及其分类结构。
2. 能在小组合作中准确表达自己的分类依据和推理过程，倾听并评价他人观点，形成共识。
发展数学素养
1. 在分类活动中初步体会“归纳—抽象—定义”的数学建模思想，提升逻辑思维能力。
2. 培养严谨的科学态度，感受数学概念的精确性与系统美。
教学重点、难点
重点
1. 理解有理数的概念：能够明确指出有理数是整数和分数的统称。
2. 掌握有理数的分类方法，能正确区分整数、正分数、负分数等子类。
难点
1. 理解“任何有限小数或无限循环小数都可以化成分数”这一性质，从而确认它们属于有理数。
2. 明确无限不循环小数（如π）不属于有理数，初步感知无理数的存在。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、合作探究法、讲授法
教具准备
多媒体课件、数轴模型、分类卡片、实物投影仪
教学环节 教师活动 学生活动
情境导入
【5分钟】 一、创设真实情境，引发认知冲突。 （一）、播放视频短片：城市天气预报动态图。
画面展示北京：+5℃，哈尔滨：-8℃，上海：+3.6℃，拉萨：-1.5℃，吐鲁番：+42.3℃，南极科考站：-37.8℃。同时配以字幕：“今日全国主要城市气温播报”。
提问1：这些数据中出现了哪些类型的数？你能将它们分为几类？请说出你的分类标准。
预设学生回答：有正数、负数；或者按是否有小数点分；也可能有人提出“整数”和“小数”的说法。
追问2：像+3.6、-1.5这样的小数，它们能不能归入我们之前学过的“分数”范畴？为什么？
引导语：今天我们要一起揭开这些数背后的秘密，建立一个更完整的“数之家谱”，看看哪些数可以成为这个家族的正式成员。
（二）、出示任务主线：组建“数的家族联盟”。
教师手持一张设计精美的“家族徽章”卡片，上面写着“有理数王国欢迎你！”
宣布任务：“同学们，我们现在要成立一个‘有理数王国’，每一位符合条件的‘数公民’都将获得一枚专属徽章。我们的挑战是：制定入籍标准，绘制家族谱系，确保每一位成员都名正言顺！”
过渡语：正如笛卡尔所说：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题。”今天，我们就从最基础的“数的身份认定”开始，踏上这场理性的探索之旅。 1. 观看视频，记录气温数据。
2. 尝试对数据进行分类并说明理由。
3. 思考小数与分数的关系。
4. 明确本节课的学习任务与挑战。
评价任务 分类合理：☆☆☆
表达清晰：☆☆☆
参与积极：☆☆☆
设计意图 以贴近生活的天气数据为切入点，激发兴趣，唤醒已有知识（正负数），同时引出小数形式的新情况，制造认知冲突。通过“组建家族联盟”的故事线赋予抽象概念人格化色彩，增强课堂趣味性和任务驱动感，使学生带着使命感进入探究环节。
探究新知
【15分钟】 一、动手操作，初探分类标准。 （一）、发放“数公民档案卡”小组活动材料。
每组分发一套写有不同数字的彩色卡片，包括：+7、-9、0、+2/3、-5/4、+3.8、-0.6、0.333…（标注循环节）、-2.718、π（标注≈3.14159…）、（标注≈1.414…）、+150%、-3/1、+0.25、-4.0等共计16张。
任务1：请各小组讨论，尝试将这些“数公民”分成两类或多类，并在白纸上画出你们的分类树状图，写出每一类的名称和共同特征。
教师巡视指导，重点关注学生是否会把小数单独列出，是否意识到+3/1其实就是整数3，是否注意到0.333…的特殊性。
提示语：不要急于下结论，想想每一个数的本质是什么？它能不能写成分数的形式？
二、汇报交流，聚焦核心争议。 （二）、组织全班分享，投影展示典型分类方案。
邀请三组代表上台展示：
第一组可能按“整数 vs 小数”分类；第二组可能按“正数 vs 负数 vs 零”分类；第三组可能尝试按“能否写成分数”分类。
重点讨论以下问题：
问题1：+3.8 和 -0.6 这样的数，它们是不是分数？如果能，怎么写？
引导推导：+3.8 = 38/10 = 19/5，-0.6 = -6/10 = -3/5 → 所以它们是可以化成分数的。
问题2：0.333…（即1/3）能不能写成分数？答案显然是肯定的。
问题3：那么所有的有限小数和无限循环小数都能写成分数吗？
教师演示：以0.121212…为例，设x=0.121212…，则100x=12.121212…，两式相减得99x=12，故x=12/99=4/33。由此说明无限循环小数也能化为分数。
反例对比：π ≈ 3.1415926… 是无限不循环小数，无法写成两个整数之比，因此不能加入“有理数王国”。
（三）、揭示概念，建立数学定义。
板书正式定义：“有理数”是指可以表示为两个整数之比（即 p/q 形式，其中 p、q 为整数，且 q ≠ 0）的数。
强调：“有理”并非指“讲道理”，而是源于“ratio”（比）一词的音译。所以，“有理数”就是“可比数”，即可以写成比例的数。
总结：所有整数（如-5 = -5/1）、有限小数（如0.25 = 1/4）、无限循环小数（如0.3 = 1/3）都是有理数；而无限不循环小数（如π、）不是有理数，它们将在未来学习中被称为“无理数”。 1. 小组合作，对数字卡片进行分类。
2. 绘制分类图并标注特征。
3. 参与全班讨论，解释分类依据。
4. 理解并接受有理数的正式定义。
评价任务 分类准确：☆☆☆
推理合理：☆☆☆
表达完整：☆☆☆
设计意图 通过小组合作分类活动，让学生亲历知识的发现过程，培养归纳能力和团队协作精神。利用典型数例引发深度讨论，尤其是对小数能否化为分数的探究，直击难点。通过代数方法演示循环小数化分数的过程，增强说服力。明确区分有理数与无理数的边界，既巩固新知，又为后续学习埋下伏笔，体现知识的整体性与连贯性。
深化理解
【12分钟】 一、构建体系，完善家族谱系。 （一）、引导学生绘制有理数分类结构图。
教师在黑板上逐步引导：
第一步：画一个大椭圆，标注“有理数”。
第二步：将其分为两大分支：“整数”与“分数”。
第三步：在“整数”下细分：“正整数”、“零”、“负整数”。举例：+5、0、-3。
第四步：在“分数”下细分：“正分数”、“负分数”。注意强调分数不仅包括真分数、假分数，也包括带分数以及可化为分数的小数。
特别说明：百分数如+150% = 3/2，也属于分数，因而是有理数。
第五步：补充说明：所有有限小数和无限循环小数都归于“分数”类。
最终形成如下结构：
有理数
整数
正整数（如 1, 2, 3, ...）
零（0）
负整数（如 -1, -2, -3, ...）
分数
正分数（如 1/2, +0.75, 2.333…）
负分数（如 -3/4, -0.6, -1.2121…）
二、辨析易错，澄清模糊认识。 （二）、出示辨析题组，组织抢答。
题目1：所有的分数都是有理数吗？——是
题目2：所有的有理数都是分数吗？——否（反例：整数5）
题目3：小数都是有理数吗？——否（反例：π）
题目4：0 是有理数吗？——是（0 = 0/1）
题目5：无限小数都不是有理数吗？——否（反例：0.333…）
每答一题，请学生简要说明理由，教师及时点评。
（三）、回归任务，颁发“家族徽章”。
拿出事先准备好的“有理数王国公民证”模板，选取几个关键数字（如-4.5、+7、0.666…、π），请学生判断是否能获得徽章。
对于能入选的数，现场打印证件并盖章；对于π，则宣布：“暂不予入籍，等待‘无理数特区’开放”。
幽默结语：“看来π虽然伟大，但在今天的王国里还只能当个‘外籍人士’啦！” 1. 跟随教师绘制分类结构图。
2. 参与辨析题抢答并说明理由。
3. 判断具体数是否属于有理数。
4. 获得成就感与知识确认。
评价任务 结构清晰：☆☆☆
辨析准确：☆☆☆
理解深入：☆☆☆
设计意图 通过绘制系统化的分类图，帮助学生建立清晰的知识网络，强化记忆。设置辨析题组，针对常见误解进行精准打击，提升思维的严密性。延续“家族联盟”的故事情境，通过“颁发徽章”的仪式感增强学习趣味与情感体验，使抽象概念变得生动可感，实现寓教于乐。
应用拓展
【8分钟】 一、联系生活，解决实际问题。 （一）、呈现真实生活场景题。
情境1：小明家九月份电费账单显示应缴费用为-85.6元（因光伏发电上网售电获得补贴）。这个“-85.6”是有理数吗？请说明理由。
引导分析：负号表示收入而非支出，85.6 = 856/10 = 428/5，可化为分数，因此是有理数。
情境2：某股票当日涨跌幅为+2.333…%，这里的百分数能否纳入有理数？
解答：+2.333…% = 2.333… / 100 = (7/3)/100 = 7/300，是分数，属于有理数。
二、跨学科链接，拓宽视野。 （二）、介绍数学史小故事。
讲述古希腊毕达哥拉斯学派的故事：他们坚信“万物皆数”，认为所有数都可以表示为整数之比。然而，当学生希帕索斯发现边长为1的正方形对角线长度√2无法写成分数时，引发了第一次数学危机。
提问：这说明了什么？
引导思考：世界上并非所有数都是“有理”的，正是这种矛盾推动了数学的发展。
升华语：有时候，打破固有认知的“无理”之数，反而开启了通往更广阔真理的大门。正如爱因斯坦所说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。” 1. 分析生活情境中的有理数应用。
2. 解决实际问题并说明理由。
3. 听取数学史故事。
4. 感悟数学发展的曲折与伟大。
评价任务 应用恰当：☆☆☆
解释合理：☆☆☆
感悟深刻：☆☆☆
设计意图 通过真实生活案例，让学生体会到有理数在经济、金融等领域的广泛应用，体现“数学来源于生活，服务于生活”的理念。引入数学史素材，不仅丰富课堂文化内涵，更让学生感受到数学并非冰冷规则的堆砌，而是人类理性探索的壮丽史诗，激发其敬畏之心与求知欲望。
课堂总结
【5分钟】 一、结构化回顾，升华主题。 （一）、引导学生共同复述知识脉络。
教师提问：“今天我们成立了‘有理数王国’，谁能说说它的入籍标准是什么？”
学生齐答：“能写成两个整数之比的数！”
再问：“这个家族有哪些主要成员？”
学生回答：“整数和分数！”
追问：“分数都包括哪些？”
师生共同总结：正分数、负分数，还包括所有有限小数和无限循环小数。
最后强调：无限不循环小数不属于这个家族。
二、激励性结语，展望未来。 （二）、深情总结。
“同学们，今天我们迈出了一小步，却在数学的宇宙中点亮了一颗星。我们知道了什么是‘有理数’，学会了用理性的目光去审视每一个数的身份。但请记住，数学的世界远比我们想象的更深邃。那些暂时无法被‘比’所定义的‘无理数’，它们不是错误，而是另一种美，是大自然隐藏的密码。就像诗人里尔克所说：‘要有耐心对待心中所有未解之谜，试着去爱那些问题本身。’愿你们保持好奇，勇敢追问，在未来的数学旅程中，不断发现新的大陆，书写属于自己的理性诗篇！” 1. 回顾有理数定义与分类。
2. 复述关键知识点。
3. 倾听教师总结。
4. 感受数学之美与哲思。
评价任务 总结完整：☆☆☆
理解准确：☆☆☆
情感共鸣：☆☆☆
设计意图 采用互动问答方式进行结构化总结，帮助学生梳理知识框架，强化记忆。以富有诗意的语言收尾，将数学学习上升至哲学与美学层面，激发学生的内在动力与长远志向，实现知识、能力与情感的三维融合。
作业设计
一、基础巩固：判断与分类
1. 下列各数中，哪些是有理数？请将它们填入对应的集合中：
-6， +1/3， 0， 3.14， π， ， -0.25， 0.333…， 200%， -7/2， 1.4142…（无限不循环）
有理数集合：{__________________________}
非有理数集合：{__________________________}
2. 将下列有理数按要求分类：
+8， -3.2， 0， 5/7， -12， +0.6， -1/4， 99.99…（循环）
正整数：__________
负整数：__________
正分数：__________
负分数：__________
二、能力提升：转化与表达
3. 将下列小数化为最简分数：
（1）0.45 = ______
（2）-1.2 = ______
（3）0.181818… = ______
4. 写出三个既是负数又是有理数的数：__________，__________，__________
写出一个不是有理数的数：__________
三、拓展探究：生活中的有理数
5. 查找一则新闻报道或生活账单，找出其中出现的有理数，并说明它的实际意义（如：气温下降2.5℃表示变冷的程度，账户余额增加+300元表示收入等）。
【答案解析】
一、基础巩固
1. 有理数集合：{-6, +1/3, 0, 3.14, -0.25, 0.333…, 200%, -7/2}
非有理数集合：{π, , 1.4142…}
2. 正整数：+8
负整数：-12
正分数：5/7, +0.6, 99.99…
负分数：-3.2, -1/4
二、能力提升
3. （1）0.45 = 45/100 = 9/20
（2）-1.2 = -12/10 = -6/5
（3）设 x=0.1818…，则 100x=18.1818…，相减得 99x=18，x=18/99=2/11
4. 示例：-1, -0.5, -2/3； π 或
三、拓展探究
5. 开放题，合理即可。例如：某日股市收盘指数下跌-1.8%，表示整体市值缩水程度。
板书设计
1.2.1 有理数的概念
【中央大标题】
有理数 —— 可表示为 p/q (p,q∈Z, q≠0) 的数
【左侧分支】　　　　　【右侧分支】
整数　　　　　　　 分数
正整数 (如 +5)　 正分数 (如 1/2, +0.75)
零 (0)　　　　　 负分数 (如 -3/4, -0.6)
负整数 (如 -3)
【底部补充】
★ 有限小数 → 可化分数 → 属于分数 → 有理数
★ 无限循环小数 → 可化分数 → 属于分数 → 有理数
★ 无限不循环小数（如 π, ）→ 不能化分数 → 不是有理数
【右下角图标】
[徽章图案] 有理数王国欢迎你！
教学反思
成功之处
1. 以“组建有理数王国”为主线贯穿始终，情境生动有趣，极大提升了学生参与热情，尤其“颁发徽章”环节让抽象概念具象化，深受学生喜爱。
2. 分类探究活动设计充分，学生在动手操作与讨论中主动建构知识，对“小数是否是有理数”这一难点理解较为透彻。
3. 融入数学史故事，提升了课堂的文化品位，激发了学生对数学本质的深层思考。
不足之处
1. 对于循环小数化分数的代数推导过程，部分基础薄弱学生理解仍有困难，需在后续课程中加强个别辅导。
2. 小组活动中个别学生参与度不高，存在“搭车”现象，今后应优化分组策略与任务分工机制。
3. 时间分配略显紧张，最后的拓展探究未能充分展开，可考虑将部分内容移至下一课时作为复习引入。

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