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第一章 集合与常用逻辑用语
1．3　集合的基本运算
【课时跟踪检测】
层级(一)　“四基”落实练
1．已知全集U＝{－2，－1,0,1}，A＝{x|x2－x＝0}，则 UA等于(　　)
A．{－2，－1}　　　　　　 B．{0,1}
C．{－2，－1,0} D．{－2,0,1}
2．(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　　)
A．{1,4,9} B．{3,4,9}
C．{1,2,3} D．{2,3,5}
3．(2023·天津高考)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{1,2,4}，则( UB)∪A＝(　　)
A．{1,3,5}　　　　　　　 B．{1,3}
C．{1,2,4} D．{1,2,4,5}
4．(多选)设A，B，I均为非空集合，且满足A B I，则下列各式中正确的是(　　)
A．( IA)∪B＝I B．( IA)∪( IB)＝I　　
C．A∩( IB)＝ D．( IA)∩( IB)＝ IB
5．设集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x＋k≥0}，若( RM) ( RN)，则k的取值范围是(　　)
A．{k|k≤2} B．{k|k≥1}
C．{k|k＞－1} D．{k|k≥2}
6．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则 UA＝________.若A U，则x的值为______．
7．已知全集U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1,2}，则实数m的值是________．
8．设全集U＝R，集合M＝{x|3a－1＜x＜2a，a∈R}，N＝{x|－1＜x＜3}，若N UM，求实数a的取值范围．
层级(二)　能力提升练
9．(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 U(M∪N)＝(　　)
A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．
10．(多选)设U＝{1,2,3,4,5}，若A∩B＝{2}，( UA)∩B＝{4}，( UA)∩( UB)＝{1,5}，则下列结论正确的是(　　)
A．3 A且3 B B．3∈A且3 B
C．4 A且4∈B D．3∈A且3∈B
11．已知全集U＝{1,2,3,4}，且 U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}．则适合条件的集合A的个数为________，A∩( UB)＝________.
12．已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．
(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B RA，求实数m的取值范围．
13．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|qx2＋px＋1＝0}，同时满足①A∩B≠ ，②A∩( RB)＝{－2}，p·q≠0.求p，q的值．
层级(三)　素养培优练
14．(多选)已知集合A，B满足A∩B＝ ，A∪B＝Q，全集U＝Q，则下列说法可能正确的有(　　)
A． UA没有最大元素， UB有一个最小元素
B．A有一个最大元素，B没有最小元素
C．A有一个最大元素，B有一个最小元素
D．A没有最大元素，B也没有最小元素
15.已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－a－1}，B＝{x|x>a＋2}，C＝{x|x<0或x≥4}都是U的子集．若 U(A∪B) C，问这样的实数a是否存在？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
1.解析：选A　∵全集U＝{－2，－1,0,1}，
A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，
∴ UA＝{－2，－1}．
2.解析：选D　由题意得B＝{1,4,9,16,25,81}，则A∩B＝{1,4,9}，所以 A(A∩B)＝{2,3,5}．故选D.
3.解析：选A　法一：因为U＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,4}，所以 UB＝{3,5}，又A＝{1,3}，所以( UB)∪A＝{1,3,5}．故选A.
法二：因为A＝{1,3}，且A ( UB)∪A，所以集合( UB)∪A中必含有元素1,3，所以排除选项C、D；观察选项A、B，因为5 B，所以5∈ UB，即5∈( UB)∪A，故选A.
4.解析：选ACD　
法一：∵A，B，I满足A B I，先画出Venn图，
根据Venn图可判断出A、C、D都是正确的．
法二：设非空集合A，B，I分别为A＝{1}，B＝{1,2}，I＝{1,2,3}且满足A B I.
根据设出的三个特殊的集合A，B，I可判断出A、C、D都是正确的．
5.解析：选B　由( RM) ( RN)可得M N，又N＝{x|x＋k≥0}＝{x|x≥－k}，∴－k≤－1.
则k的取值范围为{k|k≥1}．
6.解析：若x＝2，则x2－2＝2，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，则 UA＝{2}．
若A U，则x＝2(舍去)或x＝x2－2，解得x＝－1.
答案：{2}　－1
7.解析：因为 UA＝{1,2}，所以A＝{0,3}，即方程x2＋mx＝0的两个根分别为0,3，所以m＝－3.
答案：－3
8.解：(1)当M＝ ，即3a－1≥2a时，
得a≥1， UM＝R，满足条件N UM.
(2)当M≠ ，即a＜1时，
UM＝{x|x≥2a或x≤3a－1，a∈R}，
若N UM，则3a－1≥3或2a≤－1，
即a≥或a≤－，此时a≤－.
综上，a的取值范围是.
9.解析：选A　法一：M＝{…，－2,1,4,7,10，…}，N＝{…，－1,2,5,8,11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1,1,2,4,5,7,8,10,11，…}，所以 U(M∪N)＝{…，－3,0,3,6,9，…}，其元素都是3的倍数，即 U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A.
法二：集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
10.解析：选BC　由题意画出Venn图：
∴A＝{2,3}，B＝{2,4}．
则3∈A且3 B,4 A且4∈B，故选B、C.
11.解析：∵U＝{1,2,3,4}，且 U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}．又B＝{1,2}，
∴A＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}．
适合条件的集合A有4个．
∵ UB＝{3,4}，∴A∩( UB)＝{3}．
答案：4　{3}
12.解：(1)m＝1时，B＝{x|1≤x＜4}，A∪B＝{x|－1＜x＜4}．
(2) RA＝{x|x≤－1或x＞3}．
当B＝ ，即m≥1＋3m时，得m≤－，满足B RA；当B≠ 时，要使B RA成立，
则解得m＞3.
综上可知，实数m的取值范围是.
13.解：设x0∈A(x0≠0)，则有x＋px0＋q＝0，
两端同除以x，得1＋p＋q＝0，
则知∈B，故集合A，B中元素互为倒数．
由A∩B≠ ，一定有x0∈A，
使得∈B，且x0＝，解得x0＝±1.
又A∩( RB)＝{－2}，
则－2∈A，A＝{1，－2}或A＝{－1，－2}．
由此得B＝或B＝.
根据根与系数的关系，
有或
得或
14.解析：选ABD　对于A，若A＝{x∈Q|x≥0}，B＝{x∈Q|x<0}， UA＝B， UB＝A，则 UA没有最大元素， UB有一个最小元素，故A可能成立；对于B，若A＝{x∈Q|x≤0}，B＝{x∈Q|x>0}，A有一个最大元素，B没有最小元素，故B可能成立；对于C，不存在A有一个最大元素，B有一个最小元素这种情况，因为这样就有一个有理数不存在A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理数矛盾；故C不可能成立．对于D，若A＝{x∈Q|x<}，B＝{x∈Q|x≥}，则A没有最大元素，B也没有最小元素，故D可能成立．
15.解：因为 U(A∪B) C，所以应分两种情况．
①若 U(A∪B)＝ ，则A∪B＝R，
因此a＋2≤－a－1，即a≤－.
②若 U(A∪B)≠ ，则a＋2>－a－1，即a>－.
又A∪B＝{x|x≤－a－1或x>a＋2}，所以 U(A∪B)＝{x|－a－1－，故此时a不存在．
综上，存在这样的实数a，且a的取值范围是.第一章 集合与常用逻辑用语
1．3　集合的基本运算
第一课时　并集与交集
明确目标 发展素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义． 2.会求两个简单集合的并集和交集． 3.能使用Venn图表达集合的并集与交集，体会图示对理解抽象概念的作用. 1.通过集合的交、并集运算，提高数学运算素养． 2.借助集合交、并集运算的符号语言及图形语言，培养数学抽象和直观想象素养． 3.通过运算结果逆向求参数，培养逻辑推理素养.
知识点一　并集
文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)
符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
图形语言
知识点二　交集
文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)
符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
图形语言
[微思考]　如何区别交集与并集？
提示：A与B的交集是由A与B两个集合中的所有公共元素组成的，即集合A∩B中的所有元素在A中与B中都必须同时拥有．
而A与B的并集是由A与B两个集合中的所有元素(重复元素只出现一次)组成的，即集合A∪B中的元素可能A与B两个集合都有，也可能A有B没有，或者A没有B有．
一般地，集合A∩B比A与B两个集合的范围都小或元素都少；集合A∪B比A与B两个集合的范围都大或元素都多．当且仅当A＝B时，A∩B＝A∪B＝A＝B.
题型一　并集的运算　
[典例1]　(1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∪B等于(　　)
A．{1,3}　　　　　　 B．{2,4}
C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7}
(2)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q等于(　　)
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|－1＜x＜0} D．{x|1＜x＜2}
[解析]　(1)依题意，得B＝{1,3,5,7}，因此A∪B＝{1,2,3,4,5,7}．
(2)因为P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，画出数轴如图，
所以A∪B＝{x|－1＜x＜2}．故选A.
[答案]　(1)D　(2)A
[方法技巧]
求两个集合的并集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解．注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围，建立不等式时，要注意端点值是否能取到，最好是把端点值代入题目验证．　　
【对点练清】
1．(2024·北京高考)已知集合M＝{x|－3A．{x|－1≤x<1}　　　　　　　　　B．{x|x>－3}
C．{x|－3解析：选C　由集合的并运算，得M∪N＝{x|－32.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A．{0,1}　　　　　　　 B．{0}
C．{－1,2,3}　　　　　　 D．{－1,0,1,2,3}
解析：选D　由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，
故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．
题型二　交集的运算　
[典例2]　(1)已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝(　　)
A． B．{－3，－2,2,3}
C．{－2,0,2} D．{－2,2}
(2)（2022·新课标Ⅱ卷）已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝(　　)
A．{－1，2} B．{1，2}
C．{1，4} D．{－1，4}
[解析]　(1)法一：因为A＝{x||x|＜3，x∈Z}＝{x|－3＜x＜3，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，
B＝{x||x|＞1，x∈Z}＝{x|x＞1或x＜－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2,2}，故选D.
法二：A∩B＝{x|1＜|x|＜3，x∈Z}＝{x|－3＜x＜－1或1＜x＜3，x∈Z}＝{－2,2}．
(2)由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1，2}．
[答案]　(1)D　(2)B
[方法技巧]
求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　　
[对点练清]
1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1,0,2,3}，则A∩B＝(　　)
A．{－1,0} B．{2,3}
C．{－3，－1,0} D．{－1,0,2}
解析：选A　因为A＝{x|－5＜x3＜5}＝{x|－＜x＜}，B＝{－3，－1,0,2,3}，且注意到1＜＜2，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.
2．（2022·新课标Ⅰ卷）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝(　　)
A．{x|0≤x＜2} B．
C．{x|3≤x＜16} D．
解析：选D　因为M＝{x|＜4}，所以M＝{x|0≤x＜16}；因为N＝{x|3x≥1}，所以N＝.所以M∩N＝.故选D.
题型三　利用并(交)集的性质求参数的值或范围　
[典例3]　已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，求实数k的取值范围．
[解]　当B＝ ，即k＋1＞2k－1时，k＜2，
满足A∪B＝A.当B≠ 时，要使A∪B＝A，
综上可知，实数k的取值范围为.
[方法技巧]
求解含有参数的集合运算的方法
(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，要做到不漏解．
(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效方法是合理运用数形结合思想帮助分析与求解．另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．　　
【对点练清】
1．[变条件]把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3＜x≤5}”，则实数k的值为________．
解析：由题意可知解得k＝3，所以实数k的值为3.
答案：3
2．[变条件]把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，则实数k的取值范围为________．
解析：由A∩B＝A可知A B.
所以即无解，所以k∈ .
所以实数k的取值范围为 .
答案：
3．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，则实数a＝________.
解析：∵M∩N＝{3}，∴3∈M，∴a2－3a－1＝3，解得a＝－1或4.当a＝－1时，N＝{－1，－1,3}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．∴a＝4.
答案：4
【课时跟踪检测】
层级(一)　“四基”落实练
1．若集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则(　　)
A．N∈M B．M∪N＝M
C．M∩N＝M D．M>N
解析：选B　因为N?M，所以M∪N＝M.
2．(2024·全国甲卷)若集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　)
A．{1,3,4} B．{2,3,4}
C．{1,2,3,4} D．{0,1,2,3,4,9}
解析：选C　因为B＝{x|x＋1∈A}，分别令x＋1＝1，x＋1＝2，x＋1＝3，x＋1＝4，x＋1＝5，x＋1＝9，得x＝0,1,2,3,4,8，所以B＝{0,1,2,3,4,8}，于是A∩B＝{1,2,3,4}，故选C.
3．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于(　　)
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
解析：选D　因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，所以A∩B＝{1,2}．又因为C＝{2,3,4}，所以(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．
4．已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|x>a}，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围为(　　)
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(－∞，3) D．(－∞，3]
解析：选C　因为A∩B≠ ，所以结合数轴可知实数a的取值范围是a<3，故选C.
5．(多选)满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的集合A可能是(　　)
A．{5} B．{1,5}
C．{3} D．{1,3}
解析：选AB　由{1,3}∪A＝{1,3,5}知，A {1,3,5}，且A中至少有1个元素5，故选A、B.
6．设集合A＝{1,2,3}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则A∪B＝________，(A∪B)∩C＝________.
解析：由题意得A∪B＝{－1,0,1,2,3}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0，1,2,3}∩{x∈R|－1≤x＜2}＝{－1,0,1}．
答案：{－1,0,1,2,3}　{－1,0,1}
7．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}，则集合A∪B中元素的个数是________．
解析：∵B＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，∴A∪B＝{0,1,2,3}，有4个元素．
答案：4
8．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a(a＞0)}．
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝ ，求a的取值范围．
解：(1)因为A∪B＝B，所以A B，如图．
观察数轴可知，a的取值范围为.
(2)因为a＞0，所以B≠ ，则A∩B＝ 有两类情况：
B在A的左边和B在A的右边，如图．
观察数轴可知，a≥4或3a≤2，又a＞0，
所以a的取值范围为.
层级(二)　能力提升练
1．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*}，B＝{(x，y)|y＞x＋1}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5
解析：选B　依题意A＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)}，其中满足y＞x＋1的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，所以A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)}，有3个元素．故选B.
2．(多选)满足M {a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M可能是(　　)
A．{a1，a2} B．{a1，a2，a3}
C．{a1，a2，a4} D．{a1，a2，a3，a4}
解析：选AC　由题意知集合M必含有元素a1，a2，并且不含元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．故选A，C.
3．设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝，则p＋q＝________，A∪B＝________.
解析：由题意可得∈A，∈B，
∴解得
∴p＋q＝－11.
∴集合A＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝，
B＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝，
故A∪B＝.
答案：－11　
4．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求x，y及A∪B.
解：由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，
B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}且A∩B＝C得
7∈A,7∈B且－1∈B，
所以在集合A中x2－x＋1＝7，解得x＝－2或3.
当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，
又2∈A，故2∈A∩B＝C，
但2 C，故x＝－2不合题意，舍去．
当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7.
故有2y＝－1，解得y＝－，
经检验满足A∩B＝C.
综上知，所求x＝3，y＝－.
此时，A＝{2，－1,7}，B＝{－1，－4,7}．
故A∪B＝{－4，－1,2,7}．
5．已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}．
(1)求A∩B，A∪B；
(2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)因为A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，
所以A∩B＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|x≥1}．
(2)因为C∪A＝A，A＝{x|x≥3}，C＝{x|x≥a－1}，
所以C A，所以a－1≥3，即a≥4.
故实数a的取值范围为{a|a≥4}．
层级(三)　素养培优练
1．(多选)对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”，记作M－N，即M－N＝{x|x∈M，且x N}；把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”，记作MΔN，即MΔN＝{x|x∈M∪N，且x M∩N}．下列四个选项中，正确的是(　　)
A．若M－N＝M，则M∩N＝
B．若M－N＝ ，则M＝N
C．MΔN＝(M∪N)－(M∩N)
D．MΔN＝(M－N)∪(N－M)
解析：选ACD　若M－N＝M，则M∩N＝ ，A正确；当M N时，M－N＝ ，B错误；MΔN＝{x|x∈M∪N，且x M∩N}＝(M∪N)－(M∩N)，C正确；MΔN和(M－N)∪(N－M)均表示集合中阴影部分，D正确．
2．已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在实数a使集合A，B同时满足下列三个条件：(1)A≠B；(2)A∪B＝B；(3) ?(A∩B)？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数a使A，B满足条件，
由题意得B＝{2,3}．
∵A∪B＝B，∴A B，
即A＝B或A?B.又A≠B，∴A?B.
又 ?(A∩B)，∴A≠ ，
即A＝{2}或{3}．
当A＝{2}时，将x＝2代入A中方程得a2－2a－15＝0.
即a＝－3或a＝5.
当a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去；
当a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{2}矛盾，舍去．
当A＝{3}时，将x＝3代入A中方程得a2－3a－10＝0，
即a＝－2或a＝5.
当a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去；
当a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{3}矛盾，舍去．
综上所述，不存在实数a使集合A，B满足条件．
第二课时　补集
明确目标 发展素养
1.了解全集的含义及其符号表示． 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集. 1.通过补集的运算，培养数学运算素养． 2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.
1．全集
(1)定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作.
[微思考]　数集问题的全集一定是实数集R吗？
提示：全集是一个相对概念，会因研究问题的不同而变化．如在实数范围内解不等式，全集为实数集R；在整数范围内解不等式，全集为整数集Z.
2．补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
3.补集的性质
(1)A∪( UA)＝U.
(2)A∩( UA)＝ .
(3) UU＝， U ＝U， U( UA)＝A.
(4)( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)．
(5)( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
题型一　补集的运算　
[典例1]　(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集 UA为(　　)
A．{x∈R|0＜x＜2}　 B．{x∈R|0≤x＜2}
C．{x∈R|0＜x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}
(2)设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则 UA＝__________， UB＝________.
[解析]　(1)借助数轴（如图） UA＝{x∈R|0＜x≤2}．
故选C.
(2)法一：在集合U中，
因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
所以U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，B＝{－3,3,4}，
所以 UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
法二：可用Venn图表示：
则 UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
[答案]　(1)C　(2){－5，－4,3,4}　{－5，－4,5}
[方法技巧]
求解补集的方法
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，再结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解．这样处理起来比较直观、形象且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，再根据补集的定义求解，这样处理比较直观，解答过程中注意端点值能否取到．　　
【对点练清】
若集合A＝{x|－3≤x＜1}，当U分别取下列集合时，求 UA.
(1)U＝R；
(2)U＝{x|x≤5}；
(3)U＝{x|－5≤x≤1}．
解：(1)把集合A表示在数轴上，如图所示，
根据补集定义可得 UA＝{x|x＜－3或x≥1}．
(2)把集合U和A表示在数轴上，如图所示，
根据补集定义可得 UA＝{x|x＜－3或1≤x≤5}．
(3)把集合U和A表示在数轴上，如图所示，
根据补集定义可得 UA＝{x|－5≤x＜－3或x＝1}．
题型二　集合的交、并、补集的综合运算
[典例2]　已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|0＜x＋1≤4}，P＝{x|x≤0或x≥5}．
(1)求A∩B， UB；(2)(A∩B)∪( UP)．
[解]　(1)由A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|0＜x＋1≤4}＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥5}，
将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．
∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}， UB＝{x|x≤－1或x＞3}．
(2)(A∩B)∪( UP)＝{x|－1＜x＜2}∪{x|0＜x＜5}
＝{x|－1＜x＜5}．
[方法技巧]
解决集合运算问题的方法
(1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行：
交集元素仔细找，属于A且属于B；
并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；
全集U是大范围，去掉U中属于A的元素，剩余元素成补集．
(2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求( UA)∩B时，先求出 UA，再求交集；求 U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集．
(3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解．　　
【对点练清】
1．(2023·全国甲卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪ UM＝(　 )
A．{2,3,5} B．{1,3,4}
C．{1,2,4,5} D．{2,3,4,5}
解析：选A　由题意知， UM＝{2,3,5}，又N＝{2,5}，所以N∪ UM＝{2,3,5}，故选A.
2．(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N) B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
解析：选A　因为M∪N＝{x|x<2}，所以 U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A.
题型三　与补集有关的参数值(范围)问题
[典例3]　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2求实数m的取值范围．
[解]　法一：直接法
由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2得－m≤－2，即m≥2.
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
法二：集合间的关系
由( UA)∩B＝ 可知B A，
又B＝{x|－2结合数轴：
得－m≤－2，即m≥2.
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
[方法技巧]
由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．　　
【对点练清】
1．[变条件]将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．
解析：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以 UA＝{x|x<－m}，又( UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.所以m的取值范围是{m|m≤－4}．
答案：{m|m≤－4}
2．[变条件]将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围为________．
解析：由已知A＝{x|x≥－m}， UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又( UB)∪A＝R，得－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
答案：{m|m≥2}

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