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第一章 集合与常用逻辑用语
1．4　充分条件与必要条件
1．4．2　充要条件
【课时跟踪检测】
层级(一)　“四基”落实练
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．x2－x－2≠0的充要条件是(　　)
A．x≠1 B．x≠2
C．x≠－1或x≠2 D．x≠－1且x≠2
4．已知实数a，b满足ab＞0，则“＜成立”是“a＞b成立”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(多选)设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的为(　　)
A．A∪B＝A B．( UA)∩B＝
C． UB UA D．A∪ UB＝U
6．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝ 的充要条件是________．
7．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
8．判断下列命题中p是q的什么条件．(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)
(1)p：x＞1，q：x2＞1；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：a＜b，q：＜1.
层级(二)　能力提升练
9．三条直线x＋y＝0，ax－y＋3＝0，x＋by＋2＝0交于一点的充要条件是(　　)
A．a≠－1，b≠－1，ab≠－1
B．2a＋3b－1＝0
C．a＝－4，b＝3
D．2a＋3b－1＝0且a≠－1，b≠1，ab≠－1
10．设p，q，r，s是四个命题．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么(1)s是q的______条件；(2)r是q的________条件；(3)p是q的________条件．(填“充分”“必要”或“充要”)
11．若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：
(1)A∪B＝R的一个充要条件；
(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；
(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．
12．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．
层级(三)　素养培优练
13．(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S)．设A，B都为有限集合，则下列命题中是真命题的有(　　)
A．A∩B＝ 的充要条件是card(A∪B)＝card(A)＋card(B)
B．A B的必要条件是card(A)≤card(B)
C．AB的必要条件是card(A)≤card(B)
D．A＝B的充要条件是card(A)＝card(B)
14．p：－2＜m＜0,0＜n＜1；q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根．试分析p是q的什么条件．
【参考答案】
1.解析：选A　∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A B，
∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，
∴“a＝3”是“A B”的充分不必要条件．
2.解析：选B　若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2,2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.
3.解析：选D　由x2－x－2＝(x＋1)(x－2)≠0，得x≠－1且x≠2.当x≠－1且x≠2时，(x＋1)(x－2)≠0.则x2－x－2≠0的充要条件是x≠－1且x≠2.故选D.
4.解析：选C　由－＝，∵ab＞0，∴若＜成立，则b－a＜0，即a＞b成立，反之若a＞b，∵ab＞0，∴－＝＜0，即＜成立，∴“＜成立”是“a＞b 成立”的充要条件，故选C.
5.解析：选ABD　由Venn图可知，A、B、D都是充要条件．
6.解析：A∩B＝ 解得0≤a≤2.
答案：0≤a≤2
7.解析：由于方程的解都是正整数，由判别式Δ＝16－4n≥0得1≤n≤4，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数解；当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2.
答案：3或4
8.解：(1)因为x＞1能推出x2＞1，即p q；但当x2＞1时，如x＝－2，推不出x＞1，即qp，所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为“△ABC有两个角相等”推不出“△ABC是正三角形”，所以pq；但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有两个角相等”，即q p，所以p是q的必要不充分条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q p，故p q，所以p是q的充要条件．
(4)当a＝－2，b＝－1时，－2＜－1推不出＜1，知pq；又当a＝1，b＝－2时，＜1推不出1＜－2，知q/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件．
9.解析：选D　因为三条直线交于一点，所以这三条直线两两不平行．所以a≠－1，b≠1，ab≠－1.
由解得交点坐标为.
将代入x＋by＋2＝0，得－＋＋2＝0.解得2a＋3b－1＝0.
所以三条直线交于一点的充要条件是2a＋3b－1＝0且a≠－1，b≠1，ab≠－1.
10.解析：将p，q，r，s的关系作图表示，如图．
(1)∵q r s，s q，∴s是q的充要条件．
(2)∵r s q，q r，∴r是q的充要条件．
(3)∵p r s q，∴p是q的充分条件．
答案：(1)充要　(2)充要　(3)充分
11.解：集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，
(1)若A∪B＝R，则b≥－2，
故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.
(2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，
所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.
(3)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，
所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1.
12.解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，
若a－b＋c＝0，则－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，
即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，
充分性成立；
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，则a－b＋c＝0，必要性成立．
综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．
13.解析：选AB　易知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．A∩B＝ ，也就是集合A与集合B没有公共元素，A是真命题；A B，也就是集合A中的元素都是集合B中的元素，B是真命题；AB，也就是集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中的元素的个数有可能多于B中的元素的个数，C是假命题；A＝B，也就是集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合中的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D是假命题．
14.解：若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1，x2，则0＜x1＜1,0＜x2＜1，有0＜x1＋x2＜2且0＜x1x2＜1.
根据根与系数的关系得
即－2＜m＜0,0＜n＜1，故有q p.
反之，取m＝－，n＝，x2－x＋＝0，Δ＝－4×＜0，方程x2＋mx＋n＝0无实根，所以pq.
综上所述，p是q的必要不充分条件．第一章 集合与常用逻辑用语
1．4　充分条件与必要条件
1．4．2　充要条件
明确目标 发展素养
1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义. 2.理解数学定义与充要条件的关系. 1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2.借助充要条件的应用，培养数学运算素养.
1．充要条件
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
2．条件p与结论q的关系与充分、必要条件
条件p与结论q的关系 结论
p q，但qp p是q的充分不必要条件
q p，但pq p是q的必要不充分条件
p q且q p，即p q p与q互为充要条件
pq，且qp p是q的既不充分也不必要条件
3．从集合角度看充分、必要条件
如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表.
记法 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
关系 A?B B?A A＝B AB且BA
图示
结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
题型一　充要条件的判断　
[典例1]　判断下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；
(4)p：A∩B＝A，q： UB UA.
[解]　(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件．
(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件．
(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件．
(4)∵A∩B＝A A B UB UA，∴p是q的充要条件．
[方法技巧]
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
【对点练清】
1．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，
反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.
∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．
2．(多选)在下列四个结论中，正确的有(　　)
A．x2>4是x3<－8的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2＝0”是“a，b不全为0”的充要条件
D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
解析：选AD　对于结论A，由x3<－8 x<－2 x2>4，但x2>4 x<－2或x>2 x3<－8或x3>8，不一定有x3<－8，故A正确；对于结论B，由AB2＋AC2＝BC2 △ABC为直角三角形，但在直角三角形ABC中，不一定角A是直角，故B不正确；对于结论C，a2＋b2＝0 a＝b＝0，故C不正确；对于结论D，由a2＋b2≠0 a，b不全为0，反之，由a，b不全为0 a2＋b2≠0，故D正确．
题型二　充要条件的证明　
[典例2]　已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
注：a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)．
[证明]　先证必要性：
∵a＋b＝1，∴b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2
＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
再证充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
即(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，
∵ab≠0，a2－ab＋b2＝2＋b2>0，
∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上所述，a＋b＝1的充要条件是
a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
[方法技巧]
1．充要条件的证明思路
一般地，证明“p成立的充要条件为q”；
(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
2. 证明充要条件的关键
要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件 结论”是证明充分性，由“结论 条件”是证明必要性．
在以下两种说法中，充分性和必要性分别是：(1)p是q的充要条件，p q是充分性，q p是必要性；(2)A成立的充要条件是B：B A是充分性，A B是必要性．
【对点练清】
证明关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
证明：①充分性：∵a－b＋c＝0，
∴a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，
∴x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
∴a－b＋c＝0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充分条件．
②必要性：∵x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0，
∴a－b＋c＝0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的必要条件．
综合①②，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
题型三　利用充分条件、必要条件求参数　
[典例3]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
[解]　设p代表的集合为A＝{x|－2≤x≤10}，q代表的集合为B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
因为p是q的必要不充分条件，所以B?A，
故有或解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0[拓展]
1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
因为p是q的充分不必要条件，所以A?B.
所以或解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
2．本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：若p是q的充要条件，则此方程组无解，所以m不存在．故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
[方法技巧]
1．求参数值(范围)的一般步骤
(1)化简：化简集合，明确题干中的充分条件和必要条件．
(2)转化：根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关系问题．
(3)列式：利用集合间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组．注意等号成立的条件．
(4)获解：解不等式，得参数范围．
2．求参数取值范围的关键点
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，同时注意范围的临界值的取舍．
【对点练清】
一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)
A．a<0 C．a<－1
B．a>0 D．a>1
解析：选C　一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，∴Δ＝22－4a>0，且<0，解得a<0，
∵{a|a<－1}?{a|a<0}，故选C.

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