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第一章 集合与常用逻辑用语
1．5　全称量词与存在量词
1．5．2　全称量词命题和存在量词命题的否定
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层级(一)　“四基”落实练
1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　)
A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1
2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2＜0”的否定是(　　)
A．不存在x∈R，x3－x2＋2≥0
B．存在x R，x3－x2＋2≥0
C．存在x∈R，x3－x2＋2≥0
D．存在x∈R，x3－x2＋2＜0
3．已知命题p： x＜0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　)
A．{a|a＜1}　　　　　　 B．{a|a≥－1}
C．{a|a＞－1} D．{a|a≤1}
4．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则綈p是(　　)
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
5．(多选)下列命题的否定是真命题的是(　　)
A．三角形角平分线上的点到两边的距离相等
B．所有平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．2是方程x2－9＝0的一个根
6．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．
7．下列命题中正确的是________(填序号)．
① x∈R，x≤0的否定为 x∈R，x≤0；
②方程3x－2y＝10有整数解；
③ n∈N*，使得n能被11整除；
④ x∈N，x2≥1的否定是 x∈N，x2＜1.
8．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1≠0都成立；
(2)q： x∈R，使x2＋3x＋5≤0.
层级(二)　能力提升练
9．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|＞1；命题q： x＞0，x3＝x，则(　　)
A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题
C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题
10．已知命题p：“ x≥3,2x－1＜m”是假命题，则实数m的最大值是________．
11．若p：“ x∈R，＋3＝m”为真命题，则实数m的取值范围是________，綈p是________________．
12．已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0为假命题，求实数a的取值范围．
13．命题p是“对任意实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定；
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
层级(三)　素养培优练
14已知命题p： x∈R，x2＋2x＋a≥0，命题q： x∈，x2－a≥0.命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．
【参考答案】
1.解析：选C　由存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.
2.解析：选C　命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2＜0”是全称量词命题，否定时将量词“对任意的x∈R”变为“存在x∈R”，再将“＜”变为“≥”即可．即存在x∈R，x3－x2＋2≥0.故选C.
3.解析：选D　命题p： x＜0，x＋a－1＝0，
所以x＝1－a＜0，解得a＞1，
又p为假命题，故a的取值范围为{a|a≤1}．
4.解析：选C　命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．故选C.
5.解析：选BD　A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题；
B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题；
C的否定：有些等边三角形不相似，假命题；
D的否定：2不是方程x2－9＝0的一个根，真命题．
6.解析：把“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．
答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
7.解析：①是存在量词命题，其否定为 x∈R，x2＞0，故①不正确．②当x＝4，y＝1时，方程3x－2y＝0成立，故②正确．③n＝11时，满足能被11整除，故③正确．④是全称量词命题，其否定为 x∈N，x2＜1，④正确．
答案：②③④
8.解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，
因此，该命题是全称量词命题．
又因为“任意的”的否定为“存在一个”，
所以其否定是：存在一个x∈R，使x2＋x＋1＝0成立．
即“ x∈R，使x2＋x＋1＝0”．
因为Δ＝－3＜0，所以方程x2＋x＋1＝0无实数解，
此命题为假命题．
(2)由于“ x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因此，该命题是存在量词命题．
又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，
所以其否定是：对任意一个实数x，都有x2＋3x＋5＞0成立．
即“ x∈R，有x2＋3x＋5＞0”．
因为Δ＝－11＜0，所以对 x∈R，x2＋3x＋5＞0总成立，
此命题是真命题．
9.解析：选B　法一　对于p，由|x＋1|＞1，得x2＋2x＞0，解得x＞0或x＜－2，显然 x∈R，|x＋1|＞1不恒成立，
所以命题p为假命题，綈p为真命题．对于q，由x3＝x，解得x＝0或x＝1或x＝－1，所以 x＞0使得x3＝x，所以q是真命题．
法二　对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0＜1，故p是假命题，綈p是真命题．对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，綈q是假命题．综上，綈p和q都是真命题．
10.解析：∵命题p“ x≥3,2x－1＜m”是假命题，∴綈p：“ x≥3,2x－1≥m”是真命题，故m≤5，∴m的最大值是5.
答案：5
11.解析：依题意，关于x的方程＋3＝m有实根，∵＋3≥3，∴m≥3.即实数m的取值范围是{m|m≥3}．綈p： x∈R，＋3≠m.
答案：{m|m≥3}　 x∈R，＋3≠m
12.解：因为命题p： x＞0，x＋a－1＝0为假命题，
所以綈p： x＞0，x＋a－1≠0是真命题，即x≠1－a，
所以1－a≤0，即a≥1.
所以a的取值范围为{a|a≥1}．
13.解：(1)命题p的否定：存在实数x，有x－a≤0且x－b＞0.
(2)要使命题p的否定为真，需要使的解集不为空集，通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b＜a.
14.解：若命题p： x∈R，x2＋2x＋a≥0为真命题，则Δ＝22－4a≤0，
∴a≥1.
若命题q： x∈，x2－a≥0为真命题，则a≤x2，即a≤(x2)max，
∴a≤.
∴p，q均为假命题时，即，
其补集为，
∴p，q至少有一个为真命题时，实数a的取值范围为.第一章 集合与常用逻辑用语
1．5　全称量词与存在量词
1．5．2　全称量词命题和存在量词命题的否定
明确目标 发展素养
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，并会判断真假． 2．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定，并会判断真假. 1.借助全称量词命题和存在量词命题的否定判断命题的真假性，提升逻辑推理素养． 2．通过对命题否定的学习，学生能使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，提升数学抽象素养.
知识点一　全称量词命题的否定
1．命题的否定
(1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．
(2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
[微提醒]　命题的否定是只否定结论，不否定条件．
2．全称量词命题的否定
全称量词命题 全称量词命题的否定 结论
x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
[微思考]　用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
提示：不唯一．如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
知识点二　存在量词命题的否定
存在量词命题 存在量词命题的否定 结论
x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
题型一　全称量词命题的否定与真假判断
[典例1]　写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：对于任意的实数m，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：任意一个实数乘－1都等于它的相反数；
(3)r：正方形的对角线相等．
[解]　(1)綈p：存在实数m，使得方程x2＋x－m＝0没有实数根．当Δ＝1＋4m＜0，即m＜－时，方程x2＋x－m＝0没有实数根，∴綈p是真命题．
(2)綈q：存在一个实数乘－1不等于它的相反数．假命题．
(3)綈r：有的正方形的对角线不相等．假命题．
[方法技巧]
全称量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)全称量词命题的形式是“ x∈M，p(x)”，其否定形式为“ x∈M，p(x)”，所以全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题．
【对点练清】
写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假：
(1)p：所有自然数的平方都是正数；
(2)q：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)r：对任意实数x，x2＋1≥0.
解：(1)有些自然数的平方不是正数．真命题．
(2)存在实数x不是方程5x－12＝0的根．真命题．
(3)存在实数x，使得x2＋1＜0.假命题．
题型二　存在量词命题的否定与真假判断
[典例2]　写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：有些三角形的三条边相等；
(2)q：有的平行四边形是矩形；
(3)r： x，y∈Z，使得 x＋y＝3.
[解]　(1) p：所有三角形的三条边不全相等．假命题．
(2)q：“没有一个平行四边形是矩形”，即“每一个平行四边形都不是矩形”．由于矩形是平行四边形，因此该命题的否定是假命题．
(3)綈r： x，y∈Z，x＋y≠3.当x＝0，y＝3时，x＋y＝3.
因此，该命题的否定是假命题．
[方法技巧]
存在量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)存在量词命题的形式是“ x∈M，p(x)”，其否定形式是“ x∈M，p(x)”，所以存在量词命题的否定是全称量词命题．
(2)存在量词命题的否定的真假性与存在量词命题相反，要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．
【对点练清】
写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假：
(1)p：存在x∈R,2x＋1≥0.
(2)q：存在x∈R，x2－x＋＜0.
(3)r：有些分数不是有理数．
解：(1)任意x∈R,2x＋1＜0.为假命题．
(2)任意x∈R，x2－x＋≥0.
因为x2－x＋＝2≥0，所以是真命题．
(3)一切分数都是有理数．是真命题．
题型三　全称量词命题、存在量词命题为假时求参数问题　
[典例3]　已知命题“ x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴至多有一个公共点”是假命题，求实数a的取值范围．
[解]　全称量词命题“ x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴至多有一个公共点”的否定形式为“ x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴有两个公共点”．
由“命题为真，其否定为假；命题为假，其否定为真”可知，这个否定形式的命题是真命题．
由二次函数的图象易知Δ＝1－4a＞0，
解得a＜，所以实数a的取值范围是.
[方法技巧]
已知命题p为假时，一般转化为綈p是真命题来求参数，从而减少失误，运算过程中注意合理地选择方法．
【对点练清】
已知命题p：“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
解：由题意可知，綈p： x∈R，ax2＋2x＋1＝0.为真命题，
等价于方程ax2＋2x＋1＝0在R上有解，即a＝0或故a≤1.
故实数a的取值范围是{a|a≤1}．

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