资源简介

第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．1　等式性质与不等式性质
【课时跟踪检测】
层级(一)　“四基”落实练
1．若x≠2且y≠－1，则M＝x2＋y2－4x＋2y与－5的大小关系是(　　)
A．M＞－5　　　　　　　　 B．M＜－5
C．M＝－5 D．不能确定
2．已知a＜b，那么下列式子中，错误的是(　　)
A．4a＜4b B．－4a＜－4b
C．a＋4＜b＋4 D．a－4＜b－4
3．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　)
A．x＞y　　　　　　　　 B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
4．(多选)下列四个选项中能推出＜的有(　　)
A．b＞0＞a B．0＞a＞b
C．a＞0＞b D．a＞b＞0
5．已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“＞”“＜”或“＝”)
6．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．
7．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．
8．已知a，b∈R，a＋b＞0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小．
层级(二)　能力提升练
9．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c B．b>c>d>a
C．d>b>c>a D．c>a>d>b
10．(多选)设a，b为正实数，下列命题正确的是(　　)
A．若a2－b2＝1，则a－b＜1
B．若－＝1，则a－b＜1
C．若|－|＝1，则|a－b|＜1
D．若|a|≤1，|b|≤1，则|a－b|≤|1－ab|
11．设a1≈，a2＝1＋.
(1)求证：介于a1与a2之间；
(2)判断a1，a2哪个更接近于，并说明理由．
12．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
层级(三)　素养培优练
13．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　)
A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz
14．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．
【参考答案】
1.解析：选A　因为x2＋y2－4x＋2y－(－5)＝(x－2)2＋(y＋1)2，又x≠2且y≠－1，所以(x－2)2＋(y＋1)2＞0，故M＞－5.
2.解析：选B　根据不等式的性质，a＜b,4＞0 4a＜4b，A项正确；a＜b，－4＜0 －4a＞－4b，B项错误；a＜b a＋4＜b＋4，C项正确；a＜b a－4＜b－4，D项正确．
3.解析：选C　用作商法比较，由题意x＞0，y＞0，
∵＝＝＜1，∴x＜y.
4.解析：选ABD　＜ ＜0 ab(a－b)＞0.
A．ab＜0，a－b＜0，ab(a－b)＞0成立；
B．ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立；
C．ab＜0，a－b＞0，ab(a－b)＜0，不成立；
D．ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立．
5.解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，
所以(a＋3)(a－5)＜(a＋2)(a－4)．
答案：＜
6.解析：①原来每天行驶x km，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”，写成不等式为8(x＋19)＞2 200.②若每天行驶(x－12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，写成不等式为8x＞9(x－12)．
答案：8(x＋19)>2 200　8x＞9(x－12)
7.解析：∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴3≤z≤8.
答案：{z|3≤z≤8}
8.解：因为a＋b＞0，(a－b)2≥0，
所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
9.解析：选A　∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，
∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴b又∵a＋cb>a>c.
10.解析：选AD　对于A，若a，b为正实数，则a2－b2＝1 a－b＝ a－b＞0 a＞b＞0，故a＋b＞a－b＞0，若a－b≥1，则≥1 a＋b≤1，这与a＋b＞a－b＞0矛盾，故a－b＜1成立，所以A正确；
对于B，取a＝5，b＝，则－＝1，但a－b＝5－＞1，所以B不正确；
对于C，取a＝4，b＝1，则|－|＝1，但|a－b|＝3＜1不成立，所以C不正确；
对于D，(a－b)2－(1－ab)2＝a2＋b2－1－a2b2＝(a2－1)·(1－b2)≤0，即|a－b|≤|1－ab|，所以D正确．
11.解：(1)证明：∵(－a1)(－a2)
＝(－a1)＝<0，
∴介于a1，a2之间．
(2)∵＝>1，∴|a1－|>|a2－|，∴a2更接近于.
12.证明： ≥ ＋1≥＋1 ≥ ≤.
13.解析：选B　法一：∵x＜y＜z，且a＜b＜c，
∴ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)＞0，∴ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；
同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(z－x)(b－c)＜0，∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz；
同理，az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(z－y)(a－b)＜0，∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx，∴最低费用为(az＋by＋cx)元．故选B.
法二：特殊值法，取x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝1×1＋2×2＋3×3＝14，az＋by＋cx＝1×3＋2×2＋3×1＝10，ay＋bz＋cx＝1×2＋2×3＋3×1＝11，ay＋bx＋cz＝1×2＋2×1＋3×3＝13，故选B.
14.解：设住宅窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a0，于是>.又≥10%，因此>≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．1　等式性质与不等式性质
明确目标 发展素养
1.梳理等式的性质． 2．理解不等式的概念． 3．研究不等式的性质. 1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力． 2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.
知识点一　实数的大小比较的基本事实
1．文字叙述
如果a－b是正数，那么a＞b；
如果a－b等于0，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a＜b.反过来也对．
2．符号表示
a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b.
[微思考]　x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见，你能想个办法比较x2＋1 与2x的大小关系吗？
提示：作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x.
知识点二　等式性质与不等式性质
1．等式性质
等式有下面的基本性质：
性质1　如果a＝b，那么b＝a；
性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a＞b b＜a 可逆
2 传递性 a＞b，b＞c a＞c 不可逆
3 可加性 a＞b a＋c＞b＋c 可逆
4 可乘性 a＞b，c＞0 ac＞bc c的符号
a＞b，c＜0 ac＜bc
5 同向可加性 a＞b，c＞d a＋c＞b＋d 同向
6 同向同正 可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd 同向
7 可乘方性 a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥2) 同正
题型一　用不等式(组)表示不等关系　
[典例1]　用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
[解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0这时菜园的另一条边长为＝m.
因此菜园面积S＝x.
依题意有S≥110，即x≥110，
故该题中的不等关系可用不等式表示为
[方法技巧]
1．用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数．
(2)适当设未知数表示变量．
(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式(组)的形式．
2．用不等式表示不等关系的注意点
(1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．
(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．　　
【对点练清】
1．[变条件]本例中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？
解：因为矩形的另一边15－≤11，所以x≥8.
又0＜x≤18且x≤11，所以8≤x≤11.
2．[变条件]本例中，若要求x∈N，则x可以取哪些值？
解：函数S＝x的对称轴方程为x＝15，令S≥110，x∈N，经检验当x＝13,14,15,16,17时S≥110.
题型二　比较实数(式子)的大小　
[典例2]　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.
[方法技巧]
比较两个实数(或式子)大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差．
(2)变形：对差进行变形．
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．
(4)得出结论．
提醒：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断差的符号”是目的，“变形”是关键．在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．　　
【对点练清】
1．把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
2．已知x∈R且x≠－1，试比较与1－x的大小．
解：∵－(1－x)＝＝，
当x＝0时，＝1－x；
当1＋x<0，即x<－1时，<0，∴<1－x；
当1＋x>0且x≠0，即－10时，>0，
∴>1－x.
题型三　不等式性质的应用　
【分类例析】
角度(一)　判断命题的真假　
[典例3]　已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是(　　)
A．如果a＞b，那么＞ B．如果ac＜bc，那么a＜b
C．如果a＞b，那么＜ D．如果a＞b，那么＞
[解析]　利用不等式的性质或者举反例进行判断．取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足选项A、B、C中的前提条件．对于选项A，有＜，故A是假命题；对于选项B，有a＞b，故B是假命题；对于选项C，有＞，故C是假命题；对于选项D，∵c≠0，∴＞0，由不等式的性质4知，D是真命题．
[答案]　D
[方法技巧]
利用不等式判断正误的2种方法
(1)直接法．对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法．注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
角度(二)　证明不等式　
[典例4]　已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证： ＜ .
[证明]　－－＝.
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴－ac＞－bd＞0，即－ac－(－bd)＞0.
又cd＞0，∴＞0，∴－－＞0，
∴－＞－＞0，∴ ＞ ，
即－ ＞－ ，∴ ＜ .
[方法技巧]
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质及其推论，并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)利用不等式的性质进行证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步证明，更不能随意构造性质与法则．
方法一(性质法)简单快捷，但思路不易发现．
方法二(作差法)思路简单，但通分较麻烦．
方法三(作商法)首先需要判断两个式子的符号，然后再判断其比值与1的大小关系，证明步骤较复杂．　　
角度(三)　求取值范围　
[典例5]　已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．
[解]　因为1＜a＜4,2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2.所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2.
又因为＜＜，所以＜＜＝2，即＜＜2.
[方法技巧]
利用不等式的性质求代数式范围要注意的问题
(1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．
(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如：由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等．
(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．　　
【对点练清】
1．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．ab>bc　　　　　　　　　 B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
解析：选C　因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.
2．已知－1＜x＜4,2＜y＜3，则x－y的取值范围为________，3x＋2y的取值范围为________．
解析：因为－1＜x＜4,2＜y＜3，
所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2.
由－1＜x＜4,2＜y＜3，得－3＜3x＜12,4＜2y＜6，
所以1＜3x＋2y＜18.
答案：－4＜x－y＜2　1＜3x＋2y＜18
3．(1)已知a(2)已知a>b，<，求证：ab>0.
证明：(1)－＝＝.
∵a0，ab>0，
∴<0，故<.
(2)∵<，
∴－<0，即<0，
而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.

展开更多......

收起↑