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第三章 函数的概念与性质
3．3　幂函数
【课时跟踪检测】
层级(一)　“四基”落实练
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．1
C. D．2
2．若f(x)＝x－，则函数f(4x－3)的定义域为(　　)
A．(－∞，＋∞) B.
C. D.
3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)在(0，＋∞)上单调递增，则n的值为(　　)
A．－1 B．1
C．－3 D．1和－3
4．已知幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的部分图象如图，则点(ab－b，c2－c)所在象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．(多选)若幂函数f(x)＝(m2＋m－11)xm＋7在(－∞，0)上单调递增，则(　　)
A．m＝3 B．f(－1)＝1
C．m＝－4 D．f(－1)＝－1
6．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
7．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．
8．比较下列各组数的大小．
(2)和；
(3)4.1和3.8.
层级(二)　能力提升练
9．(多选)已知函数f(x)＝(m2－m－1)· xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有(　　)
A．a＋b＞0，ab＜0 B．a＋b＜0，ab＞0
C．a＋b＜0，ab＜0 D．a＋b＞0，ab＞0
10．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.
11．已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)12．已知幂函数f(x)＝(k2－4k＋5)x－m2＋4m(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增．
(1)求m和k的值；
(2)求满足不等式(2a－1)－3<(a＋2)－的a的取值范围．
13．已知f(x)＝(m2－2m－7)xm－2是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增．
(1)求m的值；
(2)求函数g(x)＝f(x)－(2a－1)x＋1在区间[2,4]上的最小值h(a)．
层级(三)　素养培优练
14.有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2; ③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中一个函数，并给出这个函数的三个性质：
(1)是偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；
(3)在(－∞，0)上单调递增．
若给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号)．
【参考答案】
1.解析：选A　∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f＝α＝，即α＝－，∴k＋α＝.
2.解析：选D　易知f(x)＝x的定义域为(0，＋∞)，则4x－3∈(0，＋∞)，即x∈，故选D.
3.解析：选C　由于幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)，
所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或－3.
当n＝1时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)单调递减，舍去；
当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)单调递增．故选C.
4.解析：选C　根据幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的部分图象，可得a为正偶数，a＞1，b为奇数且b＜0,0＜c＜1，∴ab－b＜0，且 c2－c＜0，故点(ab－b，c2－c)在第三象限．
5.解析：选CD　∵幂函数f(x)＝(m2＋m－11)xm＋7在(－∞，0)上单调递增，∴m2＋m－11＝1，求得m＝－4或m＝3.当m＝－4时，f(x)＝x3，满足在(－∞，0)上单调递增；当m＝3时，f(x)＝x10，不满足在(－∞，0)上单调递增，故m＝－4，f(x)＝x3，f(－1)＝－1.
6.解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0.
答案：(－∞，0)
7.解析：因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.
答案：－1
8.解：(1)函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以＞.
(2)＝，＝，
函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞，
所以＞.
(3)4.1＞1＝1,0＜3.8＜1＝1，
所以4.1＞3.8.
9.解析：选BC　∵函数f(x)＝(m2－m－1) xm2＋m－3是幂函数，∴m2－m－1＝1，求得m＝2 或m＝－1.对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，故f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴m2＋m－3＞0，∴m＝2，f(x)＝x3.已知a，b∈R，且f(a)＋f(b)＝a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)的值为负值．若A成立，则 f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＞0，不满足题意；若B成立，则 f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)·＜0，满足题意；若C成立，则 f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＜0，满足题意；若D成立，则 f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)·＞0，不满足题意．
10.解析：由题意得，m2－m＝3＋m，
即m2－2m－3＝0，∴m＝3或m＝－1.
当m＝3时，f(x)＝x－1，此时x∈[－6,6]，
∵f(x)在x＝0处无意义，∴不符合题意；
当m＝－1时，f(x)＝x3，此时x∈[－2,2]，
函数f(x)在[－2,2]上是奇函数，符合题意，
∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.
答案：－1
11.解析：因为f(x)＝x＝(x≥0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又f(10－2a)所以解得
所以3答案：(3,5]
12.解：(1)∵幂函数f(x)＝(k2－4k＋5)x－m2＋4m，∴k2－4k＋5＝1，解得k＝2.
又∵幂函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴－m2＋4m＞0，解得0＜m＜4，
∵m∈Z，∴m＝1或m＝2或m＝3.
当m＝1或m＝3时，f(x)＝x3，图象关于原点对称，不合题意；
当m＝2时，f(x)＝x4，图象关于y轴对称，符合题意．
综上，m＝2，k＝2，f(x)＝x4.
(2)由(1)可得m＝2，
∴不等式即 (2a－1)－3＜(a＋2)－3.
而函数y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调递减，
且当x＞0时，y＝x－3＞0，当x＜0，y＝x－3＜0，
∴满足不等式的条件为0＜a＋2＜2a－1或a＋2＜2a－1＜0或2a－1＜0＜a＋2，
解得－2故满足不等式(2a－1)－3<(a＋2)－的a的取值范围为∪(3，＋∞)．
13.解：(1)∵f(x)＝(m2－2m－7)xm－2是幂函数，
∴m2－2m－7＝1，解得m＝4或m＝－2；
又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴m－2＞0，∴m的值为4.
(2)函数g(x)＝f(x)－(2a－1)x＋1＝x2－(2a－1)x＋1，
当a＜时，g(x)在区间[2,4]上单调递增，最小值为h(a)＝g(2)＝7－4a；
当≤a≤时，g(x)在区间[2,4]上先减后增，最小值为h(a)＝g＝－＋1；
当a＞时，g(x)在区间[2,4]上单调递减，最小值为h(a)＝g(4)＝21－8a.
综上可知，h(a)＝
14.解析：对于函数①，f(x)＝x－1是一个奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有一个正确；对于函数②，f(x)＝x－2是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；对于③，f(x)＝x3是奇函数，值域为{y|y∈R}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有一个正确；对于函数④，f(x)＝x是奇函数，值域为{y|y∈R}，在(－∞，0)上单调递增，三个性质中有一个正确．故只有②符合条件．
答案：②第三章 函数的概念与性质
3．3　幂函数
明确目标 发展素养
1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变换规律． 2.掌握五个幂函数的图象与性质． 3.会画幂函数的图象，并能概括出它们的共性. 1.结合幂函数的图象，培养直观想象素养． 2.借助幂函数的性质，培养逻辑推理素养.
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．五个幂函数的图象与性质
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝
图象
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
定点 (1,1)
[微思考]　通过对5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．
题型一　幂函数的概念　
[典例1]　(1)已知幂函数f(x)＝(m2－3)xm在(0，＋∞)上为减函数，则f(3)等于(　　)
A.　　　 　 B．9　　　　 C.　　　 　D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
[解析]　(1)由f(x)为幂函数得m2－3＝1，m＝±2，
又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∴m＝－2，故f(x)＝x－2，f(3)＝.
(2)因为f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
[答案]　(1)A　(2)5或－1
[方法技巧]
求幂函数解析式的依据和常用方法
(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．
(2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，依据条件求出α.　　
【对点练清】
1．在函数y＝，y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B　因为y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x3由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1 的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数y＝1不是幂函数．
2．已知幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)x在(0，＋∞)为增函数，则m的值为(　　)
A．1或3 B．3 C．2 D．1
解析：选D　由函数f(x)为幂函数，得m2－4m＋4＝1，解得m＝1或m＝3.又幂函数f(x)单调递增，则m2－6m＋8＞0，据此可得，m＝1.
题型二　幂函数的图象及应用　
[典例2]　若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问：当x为何值时，(1)f(x)＞g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)＜g(x)
[解]　设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：
(1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．
[方法技巧]
解决幂函数图象问题的原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．
【对点练清】
1．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
解析：选B　y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.
2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d＞c＞b＞a
B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b
D．a＞b＞d＞c
解析：选B　令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b＞c＞d.故选B.
题型三　利用幂函数的单调性比较大小　
[典例3]　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)0.5与0.5；(2) －1与－1；
(3)与.
[解]　(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，∴0.5>0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，∴－1>－1.
(3)∵函数y1＝x为(0，＋∞)上的增函数，又＞1，
∴＞1＝1.又∵函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且＜1，∴＜1＝1，∴＞.
[方法技巧]
1．比较幂的大小的3种基本方法
直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较
转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小
中间 量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的
　2.利用幂函数单调性比较大小时的注意点
比较大小的实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．　　
【对点练清】
1．(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
解析：选D　因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1；因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.综上，b>a>c.故选D.
2．比较下列各题中两个幂的值的大小：
(1)1.1，0.9；(2)3，.
解：(1)因为y＝x在(0，＋∞)上的减函数，又1.1＞0.9，所以1.1＜0.9.
(2)因为3＝，函数y＝x在[0，＋∞)上的增函数，且＜，所以＜，即3＜.
题型四　幂函数性质的综合应用　
[典例4]　已知函数f(x)＝ (m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
[解]　(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴该函数的定义域为[0，＋∞)，
由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增．
(2)∵该函数图象过点(2，)，∴2＝，
∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N*)．
由f(2－a)>f(a－1)，得解得1≤a<.
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.
[方法技巧]
解决幂函数的综合问题，应注意以下两点
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象所过定点、单调性、奇偶性等．
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论思想、数形结合思想．　　
[对点练清]
已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减．
(1)求f(x)；
(2)比较f(－2 025)与f(－2)的大小．
解：(1)由题知幂函数f(x)＝x(m∈N*)在区间(0，＋∞)上单调递减，∴m2－m－3＜0，
解得＜m＜.
又m∈N*，∴m＝1或m＝2.
当m＝1时，f(x)＝x－3，为奇函数；
当m＝2时，f(x)＝x－1，为奇函数．
故f(x)＝x－3或f(x)＝x－1.
(2)由题知f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(－2 025)＝－f(2 025)，
f(－2)＝－f(2)，且f(2 025)＜f(2)，
∴f(－2 025)＞f(－2)．

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