资源简介

第三章 函数的概念与性质
3．4　函数的应用(一)
【课时跟踪检测】
层级(一)　“四基”落实练
1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　)
A．200副　　　　　　　　　 B．400副
C．600副 D．800副
2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　)
A．15　　　　B．40 C．25　　　　D．130
3．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为(　　)
A．30元 B．42元
C．54元 D．越高越好
4．某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆．现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．则总费用最少为(　　)
A．300元　　　B．400元 C．700元　　　D．860元
5．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27，则车速为________km/h时，汽车的耗油量最少．
6．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放k(1≤k≤4，k∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝k·f(x)，其中f(x)＝根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效去污的作用．
(1)若只投放一次k个单位的洗衣液，两分钟时水中洗衣液的浓度为3(克/升)，求k的值；
(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
层级(二)　能力提升练
7. 一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．
则一定正确的是(　　)
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
8．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝(t∈N)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－t＋(0≤t≤40，t∈N)，则这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值为________．
9．某商品近一个月内(30天)预计日销量y＝f(t)(件)与时间t(天)的关系如图1所示，单价y＝g(t)(万元/件)与时间t(天)的函数关系如图2所示(t为整数)．
(1)试写出f(t)与g(t)的解析式；
(2)求此商品日销售额的最大值．
层级(三)　素养培优练
10.在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m3)随时间t(h)变化的规律可表示为y＝(a＞0)，如图所示，则a＝________；实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m3时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入．
11．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
【参考答案】
1.解析：选D　每天的利润W(x)＝10x－y
＝10x－(5x＋4 000)＝5x－4 000.
令W(x)≥0，∴5x－4 000≥0，解得x≥800.
∴为了不亏本，日产手套至少为800副．
2.解析：选C　令y＝60.若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用25人．
3.解析：选B　设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元. 由题意得，y＝m(x－30)＝(x－30)·(162－3x)．上式配方得y＝－3(x－42)2＋432.所以当x＝42时，利润最大．
4.解析：选D　设从甲仓库调到A县的车辆数为x，则从甲仓库调往B县的车辆数为12－x，从乙仓库调往A县的车辆数为10－x，从乙仓库调往B县的车辆数为6－(10－x)＝x－4，设总费用为y，则y＝40x＋80×(12－x)＋30×(10－x)＋50×(x－4)＝1 060－20x(4≤x≤10，x∈N)，由于函数y＝1 060－20x(4≤x≤10，x∈N)为单调递减函数，所以要想使运费y最少，则需x最大，所以当x＝10时，运费y最少，为860元．故选D.
5.解析：Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27＝0.002 5(v2－70v)＋4.27＝0.002 5[(v－35)2－352]＋4.27＝0.002 5(v－35)2＋1.207 5.
故v＝35 km/h时，耗油量最少．
答案：35
6.解：(1)f(x)＝
由2分钟时水中洗衣液的浓度为3(克/升)，得k·f(2)＝k·＝3，解得k＝1.
(2)∵k＝4，∴y＝k·f(x)＝
则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得x≥－4，∴0≤x≤4；当4＜x≤14时，由28－2x≥4，解得x≤12，∴4＜x≤12.综上可得，0≤x≤12，即只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟．
7.解析：选A　由甲、乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水；3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①一定正确，故选A.
8.解析：由题意，设日销售额为F(t)，
①当0≤t＜20，t∈N时，
F(t)＝
＝－2＋，
故当t＝10或11时，最大值为F(t)max＝176；
②当20≤t≤40，t∈N时，
F(t)＝(－t＋41)＝(t－42)2－，
故当t＝20时，最大值为F(t)max＝161.
综合①②知，当t＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.
答案：176
9.解：(1)f(t)是一次函数，过两个点(30,5)，(0,35)，
∴f(t)＝35－t(0≤t≤30，t∈Z)．
g(t)是分段函数，当0≤t≤20时，是一次函数，过两个点(20,8)，(0,3)，此时g(t)＝t＋3；
当20＜t≤30时，是一次函数，过两个点(20,8)，(30,2)，此时g(t)＝20－t.
∴g(t)＝
(2)设日销售额L(t)是天数t的函数，则有
L(t)＝f(t)·g(t)＝
当0≤t≤20时，L(t)＝，
当t＝11或12时，L(t)最大值为138万元．
当20＜t≤30时，L(t)＝在(20,30]是减函数，
故L(t)＜L(20)＝120万元．
∵138＞120，
∴0≤t≤30时，当t＝11或12时，L(t)最大值为138万元．
答：第11天与第12天的日销售额最大，最大值为138万元．
10.解析：由图可知，当t＝时，y＝1，则1＝a，即a＝2；
则y＝由题意可得，得t≥.
则为了不使人体受到该药物的伤害，使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过小时方可进入．
答案：2　
11.解：(1)由题意知C(0)＝8，代入C(x)的关系式，得k＝40，因此C(x)＝(0≤x≤10)，而每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)法一：令t＝3x＋5(0≤x≤10)，则5≤t≤35，将f(x)变形得函数h(t)＝＋2t－10(5≤t≤35)．令5≤t10；当20≤t1法二：f(x)＝＋6x＝＋6x＋10－10≥2－10＝2×40－10＝70，当且仅当6x＋10＝40，即x＝5时取等号．故当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，为70万元．第三章 函数的概念与性质
3．4　函数的应用(一)
明确目标 发展素养
1.掌握一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型及特点． 2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题. 1.通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养． 2.借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.
1．三类常见函数模型
名称 解析式 条件
一次函数 y＝kx＋b k≠0
反比例函数 y＝ k≠0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c a≠0
2.数学建模、解模的过程
→→→→
题型一　一次函数模型　
[典例1]　某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．
方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元．
方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．
(1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？
[解]　设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2，
则y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000.
因为y1< y2，故应选择第2个方案处理污水．
(2)当x＝6 000时，y1＝114 000元，y2＝108 000元．
因为y1> y2，故应选择第1个方案处理污水．
[方法技巧]
建立一次函数模型，常设为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．　　
【对点练清】
车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元．
(1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；
(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．
解：(1)由题意得y＝0.3x＋0.5(3 500－x)＝－0.2x＋1 750(x∈N*且0≤x≤3 500)．
(2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，
则3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，
即2 100≤x≤2 625.
画出函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图象(图略)，可得函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的值域是[1 225,1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间．
题型二　二次函数模型　
[典例2]　牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
[解]　(1)据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，则蓄养率为，故空闲率为1－，
由此可得y＝kx(0(2)对原二次函数配方，得
y＝－(x2－mx)＝－2＋，
即当x＝时，y取得最大值.
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即0因为当x＝时，ymax＝，
所以0<＋又因为k>0，所以0[方法技巧]
解决二次函数模型应用题的4个步骤
　　
【对点练清】
某地预计明年从年初开始的前x个月内，某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系为f(x)＝x(x＋1)(35－2x)(x∈N，且x≤12)．
(1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式．
(2)问：哪个月份的需求量最大？最大值为多少？
解：(1)由题意知，g(x)＝f(x)－f(x－1)
＝x(x＋1)(35－2x)－(x－1)x[35－2(x－1)]
＝x[(x＋1)(35－2x)－(x－1)(37－2x)]
＝x(72－6x)＝x(12－x)．
∴g(x)＝x(12－x)(x∈N且x≤12)．
(2)g(x)＝(12－x)＝－(x2－12x＋36－36)
＝－(x－6)2＋，∴当x＝6时，g(x)有最大值.
即第6个月需求量最大，为万件．
题型三　幂函数模型　
[典例3]　众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润．生产成本与饼干质量成正比且系数为m，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n，利润率为20%，试写出该种饼干900克装的合理售价．
[解]　设饼干的质量为x克，则其售价y(单位：元)与x之间的函数解析式为y＝(mx＋n)(1＋0.2)．由题意得1.6＝(100m＋n)(1＋0.2)，即＝50m＋5n，①
4．8＝(400m＋n)(1＋0.2)，即100m＋5n＝1.②
由①②解得m＝，n＝.
∴y＝＋.当x＝900时，y＝9.6.
故这种饼干900克装的售价为9.6元．
[方法技巧]
解决幂函数模型的4个步骤
(1)认真阅读，理解题意．
(2)用数学符号表示相关量，列出函数解析式．
(3)根据幂函数的性质推导运算，求得结果．
(4)转化成具体问题，给出解答．　　
【对点练清】
在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量．
解：(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．
(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，
∴k＝，∴流量R的函数解析式为R＝·r4.
(3)∵R＝·r4，∴当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s)．
题型四　分段函数模型　
[典例4]　已知某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系是P＝该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q＝－t＋40(0＜t≤30，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S(元)与时间t(天)的函数关系式；
(2)求日销售额S的最大值．
[解]　(1)依题意得，S＝P·Q，
∴S＝
(2)S＝
当0＜t＜25，t∈N，t＝10时，Smax＝900(元)；
当25≤t≤30，t∈N，t＝25时，Smax＝1 200(元)．
由1 200＞900，知第25天时，日销售额最大值Smax＝1 200元．
[方法技巧]
(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等．分段函数是刻画现实问题的重要模型．
(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值. 　　
【对点练清】
某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12 000元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工多于30人，则给予优惠，每多一人，培训费减少10元．已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元．
(1)写出y与x(x＞0，x∈N*)之间的函数解析式．
(2)当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润．
解：(1)由题知参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元，
当1≤x≤30且x∈N时，y＝850，
当30＜x≤60且x∈N时，y＝850－10(x－30)＝1 150－10x，
所以y＝
(2)当1≤x≤30且x∈N时，Q＝850x－12 000，ymax＝850×30－12 000＝13 500(元)，当30＜x≤60且x∈N时，Q＝－10x2＋1 150x－12 000，其对称轴为x＝＝57.5，故当x＝57或58时，ymax＝21 060(元)，所以当公司参加培训的员工为57或58人时，培训机构可获得最大利润，最大利润21 060元．

展开更多......

收起↑