资源简介

《2.2.2 基本不等式的应用强化》教学设计
课题 2.2.2 基本不等式的应用强化 课时 1
教材及教学内容分析 本章教材通常先给出基本不等式，再给出几何解释，最后辅以若干例题。教材的例题编排已隐含了不同的应用模型，但并未明确地将其分类和提炼。 本节课的教学设计是对教材的深化、拓展和系统化重构。教师将散见于教材习题和课外练习中的各类问题，进行高度概括，整合为三大模型，并赋予其清晰的策略和口诀。这是一种“授人以渔”的教学处理，旨在提升学生的解题能力和思维品质。 本节课隐含的思想方法： 化归与转化思想：这是本节课最核心的数学思想。所有解题策略的本质，都是将不能直接使用基本不等式的问题，通过恒等变形（配凑、代换）转化为可以直接使用的标准形式。 模型思想：引导学生从具体问题中抽象出数学模型，并归纳出解决一类问题的通用方法（模型），是培养学生数学抽象和应用能力的重要途径。 优化思想：基本不等式本身就是一个寻求“最优解”（最大值或最小值）的强大工具，其应用广泛存在于生产生活之中，体现了数学的实用价值。
教学目标分析 知识 目标 掌握运用基本不等式的三大核心模型：模型一（和积互化）、模型二（配凑项）、模型三（“1”的代换）。 熟练掌握每种模型对应的解题策略和操作步骤。
能力 目标 经历“观察结构→匹配模型→选择策略→执行操作→验证条件”的系统化解题过程。体会化归与模型化的数学思想，学会将新问题转化为已解决的模型问题。
核心 素养 在运用基本不等式求最值的过程中，能依据“一正二定三相等”的原则进行演绎推理，并能严谨地验证等号成立的条件，保证结论的完备性，培养学生的逻辑推理素养。 通过“配凑项”、“乘‘1’代换”等操作，培养学生对代数式进行目标明确的恒等变形的能力。培养学生的数学运算素养。 从若干具体例题中，归纳、抽象出“和积互化”、“配凑项”、“‘1’的代换”三大通用模型。使学生学会从特殊性中总结一般规律，并运用一般规律解决新的问题，提升思维的高度和深度。培养学生的数学抽象素养。
目标达成标志 学生在掌握“一正二定三相等”的基本原则基础上，在教师提供的“模型—策略”对照表和典型例题的引导下，通过小组讨论和板演练习，学生能够做到“识别、选择、执行、讲述”。 识别：在面对具体题目时，能快速识别出其属于“和积互化”、“配凑项”、“‘1’的代换”中的哪一种核心模型。 选择：根据模型特征，选择正确的解题策略（如：配凑系数、拆项、常数代换等）。 执行：按照清晰的步骤（如：“拆—凑—验”）正确求解目标表达式的最值。 讲述：能向同伴解释“为什么这道题要用乘‘1’法”等策略背后的原理。
教学重点 基本不等式“一正二定三相等”基本原则的强化与应用； 掌握应用基本不等式求最值的三大核心模型（和积互化、配凑项、“1”的代换）及其解题策略。
教学难点 “配凑项”模型中，如何根据目标和分析，灵活地对代数式进行拆项、凑项等恒等变形，以构造出“定值”条件。
学情分析 知识基础：学生已经了解了基本不等式的代数形式和几何证明，知晓了“一正二定三相等”的使用前提。具备一定的整式、分式运算能力和函数最值的概念。 认知障碍：对于如何从一个陌生的代数式中洞察出“定值”条件，以及当条件不满足时如何通过变形（拆项、凑项）来创造条件，感到困难和无从下手。解题方法多依赖于模仿，缺乏策略性。
教学流程
教学环节 教学活动 设计意图
模型概览，明确目标 （2分钟） 导语：“同学们，基本不等式的题目千变万化，但归根结底离不开我们今天要攻克的三大模型。掌握了它们，你就拿到了破解此类问题的钥匙。”
模型一—— “和积互化”模型（直接应用型） （8分钟） 模型特征：题目中直接给出了两个正变量的和或积为定值。 当且仅当时等号成立 解题策略：直接应用“和定积最大，积定和最小”的结论。 【例1】（1）已知的最小值； （2）已知的最大值； 【教师总结】利用基本不等式求最值需要满足三个条件（一正二定三相等），若不正，用其相反数，根据不等式的性质，注意改变不等号的方向。 这是基础，要求100%掌握。引导学生快速识别“定值”条件，并强调验证“相等”。
模型二——“配凑项”模型（创造条件型） （15分钟） 模型特征：题目中隐含了“和”或“积”为定值的条件，需要通过对目标式进行变形（拆项、凑项）来创造使用基本不等式的条件。 解题策略：“拆—凑—验”。目标是配凑出乘积为定值的形式。 拆（凑系数）： 当且仅当时等号成立. 凑项： ，当且仅当时等号成立； 【例2】（3）已知的最小值； 已知的最大值； 【教师总结】利用基本不等式求最值需要满足三个条件（一正二定三相等），若不定，根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，凑出定和或定积。 “系数不同别硬来，提或拆，凑出和定是关键”。
模型三 —— “‘1’的代换”模型（常数代换型） （10分钟） 模型特征：题目中有一个整式等式条件（如），要求的分式最值。 主要解决形如“已知(为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. 解题策略：将目标式乘以“1”，而这个“1”就用条件等式来等价代换。 【例3】 若的最小值; 已知，且满足，求的最小值； 已知，且满足，求的最小值； 【教师总结】“1”的代换：（常数代换） 已知条件给出了定值，把确定的定值变形为1，把“1”的表达式与所求最值得表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式，利用基本不等式求最值。 “条件等式中藏有‘1’，乘它代换焕新机”
总结与升华（5分钟） 模型回顾：师生共同总结三大模型的特征、策略及口诀。 思想升华：“所有策略的核心都是化归——把不会的变成会的，把不定的变成定的。基本不等式应用的精髓，就在于创造条件满足‘一正二定三相等’。” 新高考不是考我们“记得多少”，而是考我们“会不会想”。今天学习的模型，就是帮助我们学会如何思考的利器。
课堂达标检测（练习强化） 1、已知的最大值； 2、已知，求的最大值； 3、已知，求的最大值； 4、已知，且满足的最小值.
教学反思 新高考强调从“考知识”向“考能力”转变，注重知识的应用性和综合性。本节课不再满足于学生对公式的记忆和简单套用，而是着重考查： 能否识别不同模型（能力）？ 能否选择并执行恰当的策略（方法）？ 推理过程是否严谨（素养）？ 能否理解其背后的数学思想（深度）？ 这种教学设计直接呼应了新高考的改革方向，致力于培养学生可迁移的、高阶的数学思维能力。

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