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1.4.1充分条件与必要条件（教学设计）数学人教版A版2019必修第一册
教学目标：
理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。
理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。
教学重点：充分条件、必要条件的意义和判断
教学难点：对必要条件的意义的理解
核心素养：提升数学抽象、逻辑推理素养
二、教学过程：
1、新课导入：
在初中，我们已经对命题有了初步的认识。一般的，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。中学数学中的许多命题可以写成“若则”“如果那么”等形式。其中称为命题的条件，称为命题的结论。本节主要讨论这种形式的命题。下面我们将进一步考察“若则”形式的命题中和的关系，学习数学中的三个常用逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件。
思考：下列“若则”形式的命题中,哪些是真命题 哪些是假命题
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若，则；
（4）若平面内两条直线和均垂直于直线，则。
在命题(1)(4)中，由条件通过推理可以得出结论，所以它们是真命题。在命题(2)(3)中，由条件不能得出结论，所以它们是假命题。
2、新知探究：
（1）充分条件：一般地，“若则”为真命题，是指由通过推理可以得出。这时，我们就说由可以推出，记作，并且说，是的充分条件。
此时，是条件，是结论，条件能够推出结论，即当命题具备条件，就可以得出结论。
如果“若则”为假命题，是指由不能推出，记作。
例1下列“若则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若四边形为菱形，则这个四边形对角线互相垂直；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若x，y为无理数，则为无理数.
【解析】
（1）这是一条平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件.
（2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件.
（3）这是一条菱形的性质定理，，所以p是q的充分条件.
（4）由于，但，，所以p不是q的充分条件.
（5）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件.
（6）为无理数，但为有理数，，所以p不是q的充分条件.
思考:例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗 如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗
我们说是的充分条件，是指由条件可以推出结论，但这并不意味着只能由这个条件才能推出结论.一般来说，对给定结论，使得成立的条件是不唯一的.例如，我们知道，下列命题均为真命题:
(1)若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是平行四边形;
(2)若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形;
(3)若四边形的两条对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形.所以,“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件.
事实上,例1中命题(1)及上述命题(1)(2)(3)均是平行四边形的判定定理.所以,平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即这个条件能充分保证四边形是平行四边形.类似地,平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件,例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”.
一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
方法技巧：1、定义法判断充分条件的步骤：
分清条件与结论；
判断条件能否推出结论；
下结论
2、集合法判断充分条件：
已知及，若，则是的充分条件。
对点训练1：（1）（多选）使成立的一个充分条件是（ ）
答案：
（多选）下列命题中，哪些命题的是的充分条件（ ）
在中，，
，
，
一个四边形是等腰梯形，四边形的对角线相等
答案：
（2）必要条件：“若则”为真命题，记作，是的必要条件。
此时，是结论，是条件，结论能够推出条件。如果不成立，则一定不成立。所以，对于成立而言是必要的，是成立必不可少的条件。
例如若一个三角形是等边三角形，则这个三角形是等腰三角形，若一个三角形不是等腰三角形，则它不可能是等边三角形，故等腰对于等边来说是必要的。
例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若为无理数，则x，y为无理数.
【解析】
（1）这是平行四边形的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件.
（2）这是三角形相似的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件.
（3）如图1.4-1，四边形的对角线互相垂直，但它不是菱形，，所以，q不是p的必要条件.
（4）显然，，所以，q是p必要条件.
（5）由于，但，，所以，q不是p的必要条件.
（6）由于为无理数，但1，不全是无理数，，所以，q不是p的必要条件.
思考：例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件,即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗 如果不唯一,你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗
我们说是的必要条件,是指以为条件可以推出结论,但这并不意味着由条件只能推出结论.一般来说,给定条件,由可以推出的结论是不唯一的.例如,下列命题都是真命题:
(1)若四边形是平行四边形,则这个四边形的两组对边分别相等;
(2)若四边形是平行四边形,则这个四边形的一组对边平行且相等;(3)若四边形是平行四边形,则这个四边形的两条对角线互相平分.
这表明,“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件.
我们知道,例2中命题(1)及上述命题(1)(2)(3)均为平行四边形的性质定理.所以,平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件.类似地,平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件,例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件,也就是说,如果同位角不相等,那么就不可能有“两直线平行”.
一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
方法技巧：1、定义法判断充分条件的步骤：
分清条件与结论；
判断结论能否推出条件；
下结论
2、集合法判断充分条件：
已知及，若，则是的必要条件。
对点训练2：（1）（多选）使成立的一个必要条件是（ ）
答案：
（多选）下列命题中，哪些命题的是的必要条件（ ）
两个三角形面积相等，两个三角形全等
四边形的对角线相等，四边形是矩形
，
，
答案：
3、巩固提升：
（1）（2025广东广州真光中学期中）设集合，，则“”是“”的（ ）
、充分不必要条件
、必要不充分条件
、充要条件
、既不充分也不必要条件
答案：
（2025北京中央民族大学附属中学期中）已知，，则是的（ ）
、充分不必要条件
、必要不充分条件
、充要条件
、既不充分也不必要条件
答案：
（2025湖南邵阳第二中学月考）荀子曾说过：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。”这里的“积跬步”是“致千里”的（ ）
、充要条件
、充分不必要条件
、必要不充分条件
、既不充分也不必要条件
答案：
（多选）（2025南京师范大学附属中学期中）下列四个条件中，能成为“”的充分条件的有（ ）
答案：
（多选）（2025河北石家庄二中月考）已知都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（ ）
是的充分条件 是的必要条件
是的必要不充分条件 是的充要条件
答案：
（6）已知条件，条件，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ；若是的必要条件，则实数的取值范围是 ；
答案：，
课堂练习：
课本20页1、2、3
四、课后小结：
充分条件、必要条件的判断方法
定义法
判断的三个步骤如下：
分清命题的条件与结论；
判断条件能否推出结论，结论能否推出条件？
判断充分、必要的结论
集合法
写出集合及，利用集合间的包含关系进行判断。
传递法

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