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第十四章 全等三角形
14.3 角的平分线
教学目标
1.能用尺规作图作一个角的平分线，强化学生的分析与作图能力；
2.探索并证明角的平分线的性质定理和判定定理，并能运用这些定理解决相关问题；
3.经历探索证明的过程，感受互逆的数学思想，发展学生的推理能力和解题能力.
设计意图：明确学习目标，有利于帮助学生进行针对性学习.
二、教学重难点
重点：角的平分线的性质定理和判定定理.
难点：利用角的平分线的性质定理和判定定理解决问题.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
（一）情境导入
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500m，这个集贸市场应建在何处（在图上标出它的位置）？
问题可转化为在∠AOB内找一点，使其到OA、OB的距离相等，到点O的距离为500m.如何确定这个点呢？
角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系.
设计意图：通过实际问题，激发学生的探索意识，为本节内容的学习作铺垫.
（二）探究新知
探究：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N 分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系.研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当OM与ON 满足什么关系时，PM=PN？
在△OPM和△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON，如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN（SAS），就有PM=PN.
反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON，点P在∠AOB的内部，PM=PN. 连接OP.
在△OPM 和△OPN 中，OP=OP，OM=ON，PM=PN，所以△OPM≌△OPN，因此∠POM=∠PON.即点P在∠AOB的平分线上.
思考：由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点；再在角的内部作出与这两点距离相等的点；以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.
已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)作射线OC，射线OC即为∠AOB的平分线.
设计意图：通过探究角平分线的画法，培养学生的几何直观能力，增强学生思考问题的严谨性.
思考：在上面的作图过程中，为什么要以大于MN的长为半径画弧？
以小于MN的长为半径，两弧无交点；以等于MN的长为半径，不易操作.
下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系，我们仍研究其中的特殊情形.
如图，OC是∠AOB的平分线，点，，， 在OC上，过点，，， 分别画OA与OB的垂线，垂足分别为与、与、与 .分别比较与、与、与 ，你有什么发现？
=，=，=，
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等.
已知：一个点在一个角的平分线上.
求证：这个点到这个角两边的距离相等.
如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证PD=PE.
证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△OPD和△OPE中，
∴△OPD≌△OPE（AAS）.
∴PD=PE.
设计意图：通过探究角平分线的性质定理，培养学生的逻辑推理能力，增强学生思考问题的严谨性.
总结：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
符号语言：
∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，∴PD=PE.
证明一个几何命题时的步骤：
第一步：明确命题中的已知和求证；
第二步：根据已知和求证，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
第三步：经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
思考：我们知道，角平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？
猜想：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
能否按照证明命题的步骤，证明这个结论？
已知：角的内部的一个点到这个角两边的距离相等.
求证：这个点在这个角的平分线上.
如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：如图，经过点P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）.
∴∠AOC=∠BOC.
∴点P在∠AOB的平分线上.
设计意图：通过探究角平分线的判定定理，理解角平分线的性质定理和判定定理之间的关系，培养学生的逻辑推理能力，增强学生思考问题的严谨性.
总结：角的平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
符号语言：
如图，∵P为∠AOB内部一点，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB.
从上面两个结论可以看出，角的平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.所以在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线.
应用新知
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD=6，则点D到AB的距离是_______.
分析：由题意可知AD平分∠BAC，
∵DC⊥AC，CD=6，
∴点D到AC的距离等于点D到AB的距离.
∴点D到AB的距离为6.
答案：6
例2：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
(2)△ABC的三条角平分线交于一点.
分析：(1)△ABC的角平分线BM，CN 相交于点P，所以点P到边AB，BC的距离相等，点P到边AC，BC的距离相等.(2)要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上．
证明：(1) 过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE. 同理PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 .
(2)由 (1) 得，点P到边AB，CA的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上 .
∴△ABC的三条角平分线交于一点 .
设计意图：通过典型例题的处理，加深学生对角平分线的性质定理及判定定理的理解，培养学生的逻辑推理能力.
（四）课堂练习
1.如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，DE=4，AB=7，则△ABD的面积等于（ ）
A.28 B.21 C.14 D.7
答案：C
2.下图是用尺规作图作已知角的角平分线的示意图，则说明OP是∠AOB的角平分线的依据是（ ）
A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS
答案：C
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，连接AD，:=AC:AB，若∠B=54°，则∠BAD的度数为（ ）
A.20° B.16° C.18° D.36°
分析：如图，过点D作DH⊥AB.∵∠C=90°，
∴，.
∵:=AC:AB，∴CD=DH.
∴AD是∠CAB的角平分线，∴∠BAD=1/2∠CAB.
∵∠C=90°，∠B=54°，∴∠CAB=180° 90° 54°=36°.
∴∠BAD的度数为18°.
答案：C
4.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC=PD.Q是OP上一点，QE⊥OA于点E，QF⊥OB于点F.求证：QE=QF.
证明：∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD，
∴OP是∠AOB的平分线 .
∵QE⊥OA，QF⊥OB，
∴QE=QF .
5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，连接AG.求证：AG平分∠BAC.
证明：过点G作GH⊥BC于点H，GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N.
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠ACB，
∴GM=GH，GN=GH.
∴GM=GN.
∵GN⊥AC，GM⊥AB，
∴AG平分∠BAC.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深学生对角的平分线的性质和判定定理的理解，并学会运用图形特征解决问题.
（五）总结归纳

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