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代入消元精彩多
一、直接代入——一个未知数为另一个未知数的表达式
例1解方程组：
分析：方程①的特点是用含x的代数式表示y，所以可直接把①代入②消去y.
解：把①代入②，得4x-3（2x-3）=1，解得x=4.
把x=4代入①，得y=5.
所以原方程组的解为
二、变形代入——方程组中某一未知数的系数的绝对值是1
例2解方程组：
分析：方程①中y的系数是-1，可将方程①变形为y=5x-9，再将其代入②即可消去y.
解：由①，得y=5x-9③，把③代入②，得3x+4（5x-9）=10，解得x=2.把x=2代入③，得y=5.所以原方程组的解为
三、整体代入——方程组中某一未知数的系数成整数倍的关系
例3解方程组：
分析：方程②中x的系数是方程①中的x的系数的4倍，可把①变成2x=16-5y整体代入②，即可消去x.
解：由①，得2x=16-5y. ③
把③代入②，得4（16-5y）-7y=10，解得y=2.
把y=2代入③，得x=3.
所以原方程组的解为
四、常数代入——方程组中两个方程的常数项相等
例4解方程组
分析：方程①和方程②的常数项相等，可用常数项代入.
解：把①代入②，得3y-5x=3x+7y，所以x=-. ③
把③代入②，得3y+=11，解得y=2.
把y=2代入③，得x=-1.
所以原方程组的解为
五、参数代入——方程组中某一方程是比例的形式
例5 解方程组：
分析：方程①的等号两边是比的形式，可设比值为k，然后用含k的代数式表示x，y，代入②即可消元.
解：，则y=4k-1，x=3k-2.
把它们代入②，得2（3k-2）-3（4k-1）=1，解得.
从而y=，x=-3.
所以原方程组的解为
① ②
① ②
① ②
① ②
① ②解读两个“一次”的关系
一、二元一次方程与一次函数
（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上；（2）以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图象与相应的一次函数的图象相同.
例1 以二元一次方程2x+y=-1的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（　　）
A B C D
分析：根据以二元一次方程2x+y=-1的解为坐标的点组成的图象与相应一次函数的图象相同，将2x+y=-1变形，得y=-2x-1，作出y=-2x-1的图象如选项D所示；也可以根据-2＜0，-1＜0直接判断一次函数所经过的象限作出选择.
解：选D．
二、二元一次方程组与一次函数
二元一次方程组的解，可以看作是一次函数与的图象的交点坐标；反之，两个一次函数与的图象的交点坐标，也可以看作是这两个一次函数表达式组成的二元一次方程组的解.
例2 在直角坐标系中，直线l1经过（2，3）和（-1，-3），直线l2经过原点O，且与直线l1交于点P（-2，a）．
（1）求a的值；
（2）可以看作怎样的二元一次方程组的解？
分析：（1）先利用待定系数法求得直线l1的表达式，再将点P的坐标代入求出a的值；
（2）利用待定系数法求出直线l2的表达式.由于P（-2，a）是l1与l2的交点，所以可以看作l1与l2组成的方程组的解.
解：（1）设直线l1的表达式为y=kx+b，根据题意，得解得
所以直线l1的表达式为y=2x-1.
将P（-2，a）代入y=2x-1，得a=2×（-2）-1=-5.
（2）设直线l2的表达式为y=mx.
将P（-2，-5）代入，得-2m=-5，解得m=.
所以直线l2的表达式为y=x.
所以可以看作二元一次方程组的解.慧眼识错 避入误区
一、理解概念出错
例1 判断： 方程组的解.（填“是”或“不是”）
错解：把代入方程①，左边=1+2×2=5，右边=5，左边=右边，所以是方程组的解．故填是．
剖析：二元一次方程组的解是能够使方程组的两个方程都成立的两个未知数的值．要判断一组未知数的值是否为方程组的解，要代入方程组中的两个方程进行验证，同时满足两个方程的，才是方程组的解，否则不是．
正解：_________________.
二、周而复始，循环代入
例2 解方程组：
错解：由①，得y=3x-5．③
把③代入①，得3x-(3x-5)=5，则3x-3x+5=5，即5=5．
所以原方程组无解．
剖析：导致错误的原因在于由方程①得到了方程③，却又把③代回了①，犯了循环代入的错误．解方程组时，必须用上每一个方程.本题由方程①得到了方程③后，只能把③代入②，而不能代入①．
正解：_________________.
三、迷失方向，半途而废
例3 解方程组：
错解：由①，得x＝1+2y.③
将③代入②，得2（1+2y）+3y＝16，解得y＝2.
所以原方程组的解是y＝2．
剖析：二元一次方程组的解是一对未知数的值．错解只求得一个未知数的值，就认为是方程组的解，事实上这个方程组没有解完．
正解：_________________.
四、加减消元，符号惹祸
例4 解方程组
错解：①-②，得-4y=-4.解得y=1．
把y=1代入②，得x-1=6.解得x=7．
所以原方程组的解是
剖析：用加减消元法解二元一次方程组时，要注意加减过程中未知数系数的符号．在两个方程相加减时，要带着前面的性质符号一同计算．本例错解中，①－②时，含未知数y的项相减时应为-3y-（-y）=-3y+y=-2y，而不是-4y．
正解：_______________.
参考答案：例1 不是 例2 例3 例4借助表格列方程组
列方程组解应用题的关键是从题意中找到等量关系，但有些问题的等量关系不容易找，下面结合例题介绍一种列表法来找等量关系.所谓列表法，就是根据所要解决的问题，恰当地设出未知数，结合已知条件，把一些相关的数量用表格列出来，借助表格来找到等量关系.
例1 小林家到学校要翻过一座小山，他每次骑车从家里出发，先上坡，后下坡到达学校，需要时间是36分钟；放学后从学校到达家里需要时间是27分钟，已知骑车上坡速度是每小时6千米，下坡速度是每小时15千米.求：小林从家里到学校上坡和下坡的路程各是多少千米？
分析：设小林从家里到学校的上坡的路程为x千米，下坡的路程为y千米，列表如下：
上坡时长（小时） 下坡时长（小时） 总时长（小时）
家到学校
学校到家
解：设小林从家里到学校的上坡路程为x千米，下坡路程为y千米.
根据题意，得
解得
所以小林从家里到学校上坡和下坡的路程分别为3千米和1.5千米.
例2 王阿姨去商店购买甲、乙两件商品，原价分别是200元和250元，经过讨价还价，商店老板决定分别打折卖给她，结果共收了307.5元.事后王阿姨算了一下，说如果将两种商品所打折数交换一下恰好只需要300元.问：甲、乙两种商品分别打几折？
分析：设甲种商品打x折，乙种商品打y折，列表如下：
打折后甲商品的单价（元） 打折后乙商品的单价（元） 总价（元）
实际销售 200× 250× 307.5
设想销售 200× 250× 300
解：设甲种商品打x折，乙种商品打y折.
根据题意，得
解得
所以甲种商品打6折，乙种商品打7.5折.
点评：列表法是找等量关系的一种比较实用的方法，当问题中的数量关系比较隐蔽时，可考虑用这种方法来找等量关系.二元一次方程帮你定方案
众所周之，对于任意一个二元一次方程，它有无数个解，即二元一次方程的解不确定.但在实际问题中，由于需要满足实际意义，二元一次方程的解受到一定的限制，特别是取自然数解.基于此，我们常常利用二元一次方程的“不定解”来解决一些方案设计问题.
例1 某商店决定购进A，B两种纪念品出售，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，则需要215元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品10件，则需要205元．
（1）求A，B两种纪念品的购进单价；
（2）已知商店购进两种纪念品（A，B都要有）共花费450元，那么该商店购进这两种纪念品有几种可能的方案，请直接写出所有的购买方案．
分析：（1）直接设出两个未知数，根据“购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要215元；购进A种纪念品5件，B种纪念品10件，需要205元”列方程组求解；
设购进A，B两种纪念品分别为m件，n件，列出二元一次方程，求出方程的正整数解即可.
解：（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元.
根据题意，得
解得
所以A种纪念品的购进单价为15元，B种纪念品的购进单价为13元.
（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件.
根据题意，得15m+13n＝450.
所以m＝30-n．
因为m，n均为正整数，所以n为15的整数倍.
所以或
所以该商店共有两种进货方案：
方案1：购进17件A种纪念品，15件B种纪念品；方案2：购进4件A种纪念品，30件B种纪念品．
例2 某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满.
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金7600元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
分析：（1）直接设出两个未知数，根据“用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人”列二元一次方程组求解；
①根据“一次运送400名学生，且恰好每辆车都坐满”，列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可得出各租车方案；
②利用“总租金=每辆车的租金×租车辆数”可分别求出各方案所需总租金，比较后即可得出结论．
解：（1）设每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生.
根据题意，得
解得
所以每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生．
（2）①依题意，得20x+45y＝400.所以x＝20-y．
又因为x，y均为非负整数，所以或或
所以共有3种租车方案：
方案1：租用小客车20辆；方案2：租用小客车11辆，大客车4辆；方案3：租用小客车2辆，大客车8辆．
②租方案1所需租金为4000×20＝80 000（元）；方案2所需租金为4000×11+7600×4＝74 400（元）；方案3所需租金为4000×2+7600×8＝68 800（元）．
因为80 000＞74 400＞68 800，所以最省钱的租车方案为租用小客车2辆，大客车8辆，最少租金为68 800元．加减消元 有方法
加减消元法，就是通过方程的两边分别相加（减）消去其中一个未知数，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程的一种解法.运用此法解二元一次方程组的关键是根据方程组的特点，灵活进行“加减”.
一、直接加减
如果两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等，可将两个方程直接相加或相减，即可消去这个未知数.
例1 解方程组：
分析：通过观察，发现方程组中y的系数互为相反数，将两个方程直接相加即可消元.
解：①+②，得9x=36.解得x=4.
将x=4代入②，得5×4+3y=11.解得y=-3.
所以方程组的解为
二、变化系数后加减
如果两个方程中未知数的系数的绝对值不相等，但某一未知数的系数成整数倍关系，可将一个方程利用等式的基本性质进行系数变化，使这个未知数系数的绝对值相等.
例2 解方程组：
分析：方程组中x的系数成2倍关系，可将方程①的两边同乘2，使x的系数变为相等，然后再相减消元.
解：②-①×2，得13y=65.解得y=5.
将y=5代入①，得2x-25=-21.解得x=2.
所以方程组的解为
三、既相加又相减
解方程组时，我们可根据方程组中未知数系数的特点，通过将两个方程相加或相减，把原方程组转化为更简单的方程组来解.
例3 解方程组：
分析：注意到两个方程中两个未知数的系数的和相等、差互为相反数，所以可将两个方程分别相加、相减，从而得到一个较简单的二元一次方程组.
解：①+②，得7x+7y=7.整理，得x+y=1.③
②-①，得3x-3y=-15.整理，得x-y=-5.④
③④组成方程组，得解得
四、先化简再加减
当二元一次方程组的形式比较复杂时，通常是先通过变形（如去分母、去括号、移项、合并同类项等），将它化为形式简单的方程组，再进行消元求解.
例4解方程组：
分析：方程组中未知数的系数是分数或小数时，一般要先化成整数后再消元.
解：①×10，得x+3y=13.③
②×6，得3x-2y=6.④
③×3-④，得11y=33.解得y=3.
将y=3代入③，得x+3×3=13.解得x=4.
所以方程组的解为

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