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活用性质 巧选图象
根据所给的两个相关联的函数关系式，选择与之相符的图象，这类题目是本章学习的一个难点，如何求解此类题目呢？下面举例说明.
一、两个函数关联一个相同未知系数
例1 在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+a2与y=a2x+a的图象可能是（　　）
A B C D
分析：分别讨论a＞0和a＜0时，两函数图象所经过的象限，再结合当x=1时，两函数的值进行判断.
解：当a＞0时，a2＞0，所以y=ax+a2与y=a2x+a的图象经过第一、二、三象限，排除选项B；
当a＜0时，a2＞0，所以y=ax+a2的图象经过第一、二、四象限，y=a2x+a的图象都经过第一、三、四象限，排除选项A；
当x=1时，y=ax+a2=a+a2，y=a2x+a=a2+a，此时两函数的值都是a2+a.
所以两直线交点的横坐标为1，排除C.故选D.
二、两个函数关联两个未知系数
例2 一次函数y=-kx+b与正比例函数y=kbx在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）
A B C D
分析：根据各选项其中一条直线判断出k，b的符号，然后根据k，b的符号判断出另一条直线经过的象限，结合选项做出判断．
解：A.假设一次函数y=-kx+b的图象正确，则-k＞0，k＜0，b＜0，kb＞0，所以正比例函数y=kbx的图象经过第一、三象限，此选项错误；
B.假设一次函数y=-kx+b图象正确，则-k＞0，k＜0，b＞0，kb＜0，所以正比例函数y=kbx的图象经过第二、四象限，此选项正确；
C.假设一次函数y=-kx+b的图象正确，则-k＜0，k＞0，b＜0，kb＜0，所以正比例函数y=kbx的图象经过第二、四象限，此选项错误；
D.假设一次函数y=-kx+b的图象正确，则-k＞0，k＜0，b＞0，即kb＜0，所以正比例函数y=kbx的图象经过第二、四象限，此选项错误.
故选B．
点评：此类题也可根据每个选项中两个函数的图象分别确定字母系数的取值范围，字母取值范围相同的则正确.点A、B、C在同一直线上吗
学习了一次函数后，小明同学遇到一道问题，感觉很难，无法解决.于是，他问班里自己学习小组的几个同学：“如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点，请说明A、B、C三点共线.”
图1
一时间，大家纷纷开动脑筋，积极思考.很快就有了解决办法．小华同学抢先说：“可以利用代数方法，建立平面直角坐标系，利用一次函数的知识解决”.
如图2，以A为原点，以过点A水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．由小正方形的边长为1，可得点A、B、C的坐标分别为（0，0），（1，2），（2，4）.
设直线AB的表达式为y=kx，将B（1，2）代入，可解得k=2.
所以直线AB的表达式为y＝2x.
因为x＝2时，y＝2×2=4，所以点C（2，4）在直线AB上，所以A、B、C三点共线．
图2 图3
小丽同学不甘落后，有条不紊地说：“我们刚刚学习了一次函数的知识，运用一次函数来解决，水到渠成.除了运用代数方法解决外，还可以利用几何方法来解决.”
如图3，取格点E，F，连接BE、EC、AF、BF，由网格的特征可知△BCE，△ABF都是直角三角形，即∠BEC=∠AFB=90°.由于网格小正方形的边长是1，所以BE=AF=1，CE=BF=2.所以△BCE≌△ABF，所以∠CBE＝∠BAF.因为∠BAF+∠ABF＝90°，所以∠ABF+∠CBE＝90°.所以∠ABC＝∠ABF+∠FBE+∠CBE＝180°.所以A、B、C三点共线．
聪明的同学，你还能想出其它方法吗？试试看！一样的题 不一样的解
例 阅读如图所示的函数图象题，请你根据获得的信息解答下列问题：
（1）折线OABC是某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合图象意义的应用题；
（2）根据你所给出的应用题分别指出x轴，y轴所表示的意义，并写出A，B，C三点的坐标.
(
B
C
)
解法一：（1）星期天，丽丽从家里出发步行去离家1000米的游乐场玩，用了12分，在游乐场玩了8分，后乘车返回家用了5分.
（2）x轴表示时间，y轴表示离家的距离，A，B，C三点的坐标分別是（12，1000），（20，1000），（25，0）.
解法二：（1）某种电动车的电池蓄电量为0.6千瓦时，现用7小时把空电池充满，保持足电量的状态3小时，然后连续使用2小时，用完电池中的电量.
（2）x轴表示时间，y轴表示蓄电量，A，B，C三点的坐标分别是（7，0.6），（10，0.6），（12，0）.
解法三：（1）晚上，小红给妈妈准备洗脚水，水龙头的水流量很小很小，小红用了1.5分才给妈妈接好半盆水，已知半盆水的体积是2升，妈妈洗脚用了1分，洗完后，小红用了0.1分把水倒掉.
（2）x轴表示时间，y轴表示盆里水的体积，A，B，C三点的坐标分别是（1.5，2），（2.5，2），（2.6，0）.
解法四：（1）某种治疗流感的新药，在试其药效时，测得成年人若按规定剂量服用，则在服药后的6小时其血液中的含药量最高，达到每毫升5微克，保持2小时后开始逐步减少，再过1小时血液中的含药量为0微克.
（2）x轴表示时间，y轴表示血液中的含药量，A，B，C三点的坐标分别为（6，5），（8，5），（9，0）.
解答这类问题要注意：（1）学会解读函数图象并从中获取相关信息；（2）从定性和定量两方面来创设情境；所谓定性，就是指所设计的应用题要能够刻画出函数图象的实际意义；所谓定量，就是指要给出几个关键的量； （3）所设计的应用题要符合实际情况，因此定量时数据要切合实际；（4）语言表达要简明、清晰、完整.画出“草图” 快速解题
在解决有关一次函数的问题中，常常需要画出函数图象的“草图”．画好“草图”不但有助于理解题意，形成直观的视觉载体，而且对解题思路的确定具有重要的意义.画一次函数y=kx+b的“草图”，可利用下面的口诀：
两个系数k与b，作用之大莫小看．
k正左低右边高，越走越高像爬山，其实就是个“撇”．
k负左高右边低，越来越低很明显，其实就是个“捺”．
b与y轴来相见，b＞0，与y轴交于正半轴；b＜0，与y轴交于负半轴；b=0，直线过原点．
下面举例说明“草图”在解一次函数图象问题中的应用.
例1 一次函数y=x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：在一次函数y=x+1中，k=1＞0，b=1＞0，根据口诀可出画“草图”如图1所示.
所以一次函数y=x+1的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选D．
图1 图2
例2 已知实数k，b满足+|k+b+3|=0，那么直线y=kx+b不经过第 象限．
解析：因为+|k+b+3|=0，利用非负数的性质可得kb=1，k+b=-3．所以k＜0，b＜0．画出草图如图2所示.
所以直线y=kx+b不经过第一象限．
故填一.
牛刀小试：
1.若一次函数y=kx+b满足kb＜0，且y随x的增大而增大，则此函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知一次函数y=3x+b，b是任意实数，则该一次函数的图象一定经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限
参考答案：1.B
2.A 提示：因为3＞0，b＞0，b=0或b＜0均有可能，所以根据口诀可画出草图如图3所示.易知选A．
O
x
图3
y一次函数错解扫描
1、 忽视系数不为0的条件
例1 已知y=（a+2）x是正比例函数，则a的值为_____.
错解：由已知得a2-3=1，解得a=±2.
剖析：错解只考虑了x的指数等于1，而忽视了系数a+2≠0，即a≠-2．
正解： .
二、考虑不周
例2 一次函数y=-4x+b的图象不经过第三象限，则下列说法正确的是（　　）
A．b＜0 B．b＞0 C．b≤0 D．b≥0
错解：因为一次函数y=-4x+b的图象不经过第三象限，所以它必经过第一、二、四象限.
所以b＞0.
故选B.
剖析：一次函数的图象不经过第三象限，则它可能经过第一、二、四象限，此时b＞0；或可能只经过第二、四象限，此时b＝0.
正解： .
三、忽视分类讨论
例3 已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0），且与坐标轴围成的三角形面积为1，求这个一次函数的表达式.
错解：一次函数y＝kx+b与y轴的交点为（0，b），由S＝×2×b＝1，解得b＝1.
所以y=kx+1.
将A（2，0）代入y＝kx+1，可求得k＝-，所以一次函数的表达式为y＝-x+1.
剖析：一次函数y＝kx+b与y轴可能交于正半轴或负半轴，即b的值可能是正数或负数，故应分情况讨论.
正解： .
参考答案：例1 2 例2 D
例3 由题意，得×2×｜b｜＝1，解得b＝±1.当b＝1时，可求得k＝-；当b＝-1时，可求得k＝.
所以一次函数的表达式为y＝-x+1或y=x-1.利用一次函数探规律
一、以三角形为背景的坐标规律
例1 如图1放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2025的坐标是　 ．
分析：根据题意得出直线AA1的表达式，求出A，A1，A2，A3的坐标，找到坐标变化规律，得出答案．
解：如图1，过点B1向y轴作垂线B1D，垂足为D.
由题意，得A（0，2），AO∥A1B1.
在Rt△AB1D中，AB1=OA=2，AD=OA=1，B1D=.所以B1的横坐标为，A1的横坐标为.
连接AA1，可知所有三角形顶点A1，A2，A3，…都在直线AA1上.
因为点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，AO=2，所以直线AA1的表达式为yA=x+2.
所以A1的纵坐标为3，即A1（，3）.
同理可得A2的横坐标为2，则A2的纵坐标为4，即A2（2，4）.
所以A3（3，5），…，A2025（2025，2027）．故填（2025，2027）．
二、以正方形为背景的坐标规律
例2正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按图2所示方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是　 　．
分析：首先利用直线的表达式，分别求得A1，A2，A3，…的坐标，由此得出规律求出点An的坐标，即可求出点B6的坐标．
解：由题意，知当x=0时，y=1.所以OA1=1，A1B1=OC1=1.
所以A1的纵坐标是1=20，横坐标是0=20﹣1；A2的纵坐标是1+1=21，横坐标是1=21﹣1；A3的纵坐标是2+2=22，横坐标是1+2=3=22﹣1；A4的纵坐标是4+4=23，横坐标是1+2+4=7=23﹣1，即点A4的坐标为（7，8）．
由此可得An的纵坐标是2n﹣1，横坐标是2n﹣1﹣1，即点An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．
所以点A6的坐标为（25﹣1，25）．
因为点B6的纵坐标与A6的纵坐标相等，横坐标与A7的横坐标相等，所以B6（26﹣1，25），即B6（63，32）．
故填（63，32）．
图1
A
O
B1
B2
B3
A1
A2
D
x
y
图2

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