资源简介

7.1.2 两条直线垂直
课标分析
根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本课内容对应"图形与几何"领域中的"相交线与平行线"主题。课标要求学生理解垂直是相交的特殊情况，掌握垂直的定义()和表示方法，能识别生活中的垂直现象。重点培养几何直观能力，通过操作活动探究垂线的唯一性（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）和垂线段最短的性质，建立点到直线距离的概念。教学中应注重通过木条模型、三角尺作图等直观手段，帮助学生理解抽象概念，发展空间观念和推理能力，同时渗透数学应用意识，如解决灌溉渠道最短路径的实际问题。
教材分析
本节课围绕两条直线垂直的概念、性质及应用展开，首先通过直观模型引入垂直的定义，接着通过动手操作探究垂线的唯一性，得出“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实，随后通过实际问题引出点到直线的距离概念，并得出“垂线段最短”的重要性质。教学过程以观察、操作、推理为主线，引导学生经历从具体到抽象、从操作到推理的认知过程。本节内容承接了“相交线与平行线”的基础知识，是后续学习“同位角、内错角”“三角形的高”“坐标系中距离计算”等内容的重要基础。通过本节课的学习，有助于发展学生的几何直观、推理能力和抽象思维，提升解决实际问题的能力，同时为后续学习平面几何奠定坚实基础。
学情分析
七年级学生已经学习了直线、射线、线段的基本概念，掌握了角的分类及度量，具备初步的几何直观和逻辑推理能力，为学习《两条直线垂直》奠定了基础。本课内容属于几何图形的性质探究，学生处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对直观操作和实际例子较感兴趣，但对几何语言的表达和推理过程可能还不够熟练。通过本节课的学习，学生将进一步理解垂直的定义与性质，掌握垂线的作图方法，探索点到直线的距离概念，提升几何直观、推理能力和应用意识，同时为后续学习平行线、三角形等几何知识打下坚实基础。
教学目标
理解两条直线垂直的定义，掌握垂直的符号表示，通过观察生活实例，提升数学抽象和几何直观核心素养，增强联系实际与数学表达的能力。
掌握过一点作已知直线垂线的方法与唯一性，通过动手操作与归纳推理，发展逻辑推理能力和作图能力，体会几何基本事实的严谨性。
理解垂线段最短的性质及点到直线的距离概念，通过探究活动提升数据分析和推理能力，培养空间观念，增强解决实际问题的能力。
重点难点
重点：理解垂直的定义、垂线性质，掌握点到直线距离概念。
难点：理解“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”及垂线段最短的应用。
课堂导入
同学们，我们先来玩个小游戏。老师这里有两根可活动的小棒，假设它们代表两条直线。现在老师慢慢转动其中一根小棒，大家仔细观察它们所形成的角度变化。（老师操作小棒）在转动过程中，角度一直在改变，那有没有一种特殊情况，会让这两条直线呈现出特别的位置关系呢？ 生活中其实也有很多类似特殊位置关系的例子，比如建筑工人用的铅垂线与地面，还有十字路口的斑马线。那这种特殊的位置关系在数学里叫什么呢？今天，我们就一起来学习两条直线垂直的相关知识。
课前任务
知识回顾：上节课我们学习了相交线，还记得两相交直线形成的角有哪些关系吗？请举例说明。借此巩固相交线相关知识。
2.预习教材：阅读教材中关于两条直线垂直的内容，了解垂直的定义、垂线及垂足概念，还有垂线的基本事实等。把重点内容如垂直定义及相关性质记录在预习笔记上，不明白处做好标记。
3.问题思考：在生活中，你能找到哪些两条直线互相垂直的例子？思考如果过一点画已知直线的垂线，会有怎样的结果？课上一起探讨。
两条直线垂直
探究新知
（一）知识精讲
首先，我们来认识两条直线垂直的特殊关系。观察图中的木条模型：
当固定木条，转动木条时，会发生变化。特别地，当时（如图所示），这两根木条就形成了垂直关系：
在数学上，当两条直线、相交所成的四个角中有一个是直角时，我们就说与互相垂直，记作。其中一条直线称为另一条直线的垂线，它们的交点称为垂足。例如在图中，，垂足为。
通过实际操作可以发现，经过直线上一点或直线外一点，都只能画出一条直线与垂直（如图所示）：
由此我们得出垂线的基本性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
进一步探究点到直线的距离概念。
当时，就是点到直线的垂线段。通过测量比较可以发现，在所有连接与上各点的线段中，垂线段是最短的。这就是"垂线段最短"的性质，垂线段的长度就是点到直线的距离。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果我们在教室中找一找，哪些地方能看到两条直线互相垂直的例子呢？
学生回答：黑板的边和地面的交界线、窗户的边框、课桌的边角等。
教师追问：很好！那为什么在灌溉时，我们要沿着垂线段的方向挖渠道呢？
学生思考后回答：因为垂线段最短，这样挖的渠道最短，可以节省材料和人力。
教师继续引导：那么在生活中，还有哪些地方应用了"垂线段最短"的原理呢？
学生讨论回答：梯子靠墙时最稳固、建筑工地的垂直测量等。
（三）设计意图
通过直观的木条模型演示和实际操作，帮助学生建立垂直概念的直观认识，培养空间想象能力。从具体实例中抽象出数学概念，体现了从具体到抽象的认知过程。通过师生互动中的生活实例讨论，让学生体会数学与生活的密切联系，培养应用意识。探究垂线段最短的性质时，采用测量比较的方法，培养学生的动手能力和严谨的科学态度，同时为后续学习点到直线的距离概念奠定基础。
新知应用
例2题目：
如图，过点画出射线或线段的垂线。
解答：
我们要完成的任务是：过点作出射线或线段的垂线。
步骤如下：
观察图形：图中给出了一条射线（或线段），以及一个不在该射线（或线段）上的点。
理解题意：题目要求我们过点作的垂线，即画出一条直线，它经过点，并且与射线（或线段）垂直。
使用工具：我们可以使用三角尺或直角器来辅助画图。
画图步骤：
将三角尺的一条直角边与射线对齐；
移动三角尺，使另一条直角边经过点；
沿着这条边画出直线，这条直线就是射线的垂线，记作直线；
这条直线与射线的交点记为，即垂足；
所以直线就是所求的垂线。
注意：如果点在射线的延长线上，或者线段的某一侧，我们仍然按照上述方法操作，确保所画直线与原直线垂直，并且经过点。
结果如图所示：
总结：
1.题目考查内容
①垂线的定义与作图方法；
②使用三角尺或直角器进行几何作图的能力；
③对“过一点作已知直线的垂线”这一基本几何操作的理解。
2.题目求解要点
①理解“垂线”的定义：两条直线相交成直角时，其中一条是另一条的垂线；
②掌握使用三角尺作垂线的基本方法；
③明确垂线必须经过指定点（本题中为点）；
④能正确识别并标出垂足（即垂线与原直线的交点）。
板书设计
两条直线垂直
├─ 定义
│ ├─ 特殊相交：时两直线垂直
│ ├─ 互相垂直：两直线相交有一角为直角，记
│ └─ 相关概念：垂线、垂足
├─ 性质
│ ├─ 基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
│ └─ 垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
└─ 点到直线的距离
└─ 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
教学反思
本节课围绕两条直线垂直的概念、性质及点到直线的距离展开，通过实物模型引入垂直的定义，结合动手操作探究垂线的唯一性，并借助实际问题理解垂线段最短的性质。教学目标基本达成，学生能准确理解垂直的定义与表示，掌握垂线段最短的几何性质，并能应用于解决实际问题。成功之处在于通过直观操作和生活实例激发了学生兴趣，增强了理解；不足在于部分学生在画垂线和理解点到直线的距离时仍存在操作不熟练、概念混淆的问题，今后需加强动手训练与个别指导，提升学生的几何语言表达与逻辑推理能力。

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