资源简介

7.1.3 两条直线被第三条直线所截
课标分析
根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，本节内容属于"图形与几何"领域中的"相交线与平行线"部分，重点培养学生几何直观和空间观念。课标要求学生理解同位角、内错角、同旁内角的概念，能准确识别由两条直线被第三条直线所截形成的这三种特殊角的位置关系。教学应通过直观图形（如图7.1-12）帮助学生建立几何概念，强调与（同位角）、与（内错角）、与（同旁内角）这三类角的本质特征，为后续平行线的判定和性质学习奠定基础。要求学生在具体情境中运用这些概念解决问题，发展几何推理能力。
教材分析
本节课研究两条直线被第三条直线所截所形成的角之间的位置关系，重点介绍同位角、内错角和同旁内角的概念。教材通过图形直观展示八个角的分布，引导学生从已有知识出发，识别不同角的位置特征，进而归纳出三种特殊角的定义。教学过程可通过观察图形、分类讨论、归纳定义等方式展开，帮助学生建立空间观念和几何直观。本节内容是在学生掌握了相交线、对顶角、邻补角等基础知识之后的延伸，为后续平行线的判定与性质学习做好铺垫。本节课不仅有助于提升学生的识图能力和逻辑推理能力，还为今后学习平行线的性质、三角形、四边形等内容打下坚实基础，是初中几何知识体系中的重要环节。
学情分析
七年级学生已经掌握了直线相交的基本概念及对顶角、邻补角等基础知识，具备了一定的几何图形识别能力和简单的逻辑推理能力，同时，这个年龄段的学生正处于由具体思维向抽象思维过渡的阶段，对图形的观察和位置关系的分析能力有待进一步提高，本节课要求学生通过观察三条直线相交形成的八个角，识别同位角、内错角和同旁内角，并理解它们的位置特征，这对学生来说是一个新的认知挑战，需要教师借助直观图形和具体实例，引导学生进行分类、比较和归纳，帮助学生发展空间观念和几何直观能力，为后续学习平行线的判定和性质奠定基础。
教学目标
理解同位角、内错角和同旁内角的概念，能准确识别图形中三种特殊位置角，提升空间观念与几何直观核心素养，发展图形识别与逻辑表达能力。
能结合具体图形描述两条直线被第三条直线所截形成的角的关系，通过对角位置特征的分析，增强抽象思维与推理能力，体会数学语言的准确性与简洁性。
在探索角与角之间的位置关系过程中，激发对几何图形的好奇心与探究欲，培养观察、归纳和语言表达能力，增强合作交流意识与数学学习的自信心。
重点难点
重点：识别同位角、内错角、同旁内角，理解它们的位置关系。
难点：准确判断不同位置关系的角，尤其是在复杂图形中辨别各类角。
课前任务
1.知识回顾：
上节课研究了两直线相交情形，请回忆对顶角和邻补角的概念，以及它们各自的性质。思考：若已知一个角的度数，怎样求其对顶角和邻补角的度数？
2.预习教材：
阅读教材中两条直线被第三条直线所截的内容，了解同位角、内错角、同旁内角的概念。在课本上标记出三种角的位置特征，把疑惑点记录在预习笔记上。
3.问题思考：
观察教室里窗户的横框和竖框，若把某两条横框看作被一条竖框所截，能否找出其中的同位角、内错角和同旁内角？想想如何准确识别这三类角。
课堂导入
同学们，我们之前研究了一条直线与另一条直线相交的情况。现在，想象这样一个场景：操场上有两条平行的跑道，有一根跳绳斜穿过这两条跑道 ，就如同一条直线与两条直线分别相交。这里面其实隐藏着很多有趣的数学知识。大家看，这三条线相交形成了多个角，就像给我们摆出了一个角的 “迷宫”。今天我们就要走进这个 “迷宫”，去探索那些没有公共顶点的角之间的位置关系。比如，我们来思考一下，这些角的位置摆放有没有什么规律呢？带着这个疑问，让我们一起开启今天的学习之旅，研究两条直线被第三条直线所截时角的奥秘。
两条直线被第三条直线所截
探究新知
（一）知识精讲
同学们，让我们一起来观察这个图形：
在这个图中，直线和被第三条直线所截，形成了八个角。我们已经知道有公共顶点的角之间的关系，现在要研究的是那些没有公共顶点的两个角之间的关系。
首先来看和这两个角。它们分别位于直线和的同一侧（上方），并且都在直线的同一侧（右侧）。我们把具有这种位置关系的两个角称为同位角。
再来看和这两个角。它们都位于直线和之间，但分别位于直线的两侧（在左侧，在右侧）。我们把具有这种位置关系的两个角称为内错角。
最后看和这两个角。它们也都位于直线和之间，但都在直线的同一侧（左侧）。我们把具有这种位置关系的两个角称为同旁内角。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果我把图中的和拿出来，你们能判断它们是什么关系吗？为什么？
学生回答：和是同位角，因为它们分别在直线和的同一侧（上方），并且都在直线的同一侧（左侧）。
教师追问：很好！那么和呢？它们又是什么关系？
学生思考后回答：和是同旁内角，因为它们都在直线和之间，并且都在直线的同一侧（右侧）。
（三）设计意图
通过直观的图形观察和具体的角度分析，帮助学生建立对同位角、内错角和同旁内角的清晰概念。培养学生的空间想象能力和几何直观素养，引导学生从具体实例中抽象出数学概念，掌握准确描述几何图形位置关系的能力。通过师生互动中的提问和回答，检验学生对概念的理解程度，并进一步巩固所学知识。
新知应用
例3题目：
如图，直线DE、BC被直线AB所截。
(1) ∠1和∠2是什么角？
∠1和∠3是什么角？
∠1和∠4是什么角？
(2) 如果∠1 = ∠4，那么可以得出哪些角之间的关系？
解答：
(1) 分析角的位置关系：
我们先回顾三种特殊角的定义：
同位角：两个角分别在两条直线的同一侧，并且都在第三条直线的同一侧。
内错角：两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧。
同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且都在第三条直线的同一侧。
现在我们来判断图中各角之间的关系：
∠1和∠2：
观察图中，∠1在DE与AB的交点处，∠2在BC与AB的交点处。
它们都位于直线DE和BC之间，并且分别在直线AB的两侧（∠1在右侧，∠2在左侧）。
因此，∠1和∠2是内错角。
∠1和∠3：
同样，∠1和∠3都位于直线DE和BC之间，并且都在直线AB的同一侧（右侧）。
因此，∠1和∠3是同旁内角。
∠1和∠4：
∠1和∠4分别在直线DE和BC的同一侧（上方），并且都在直线AB的同一侧（右侧）。
因此，∠1和∠4是同位角。
(2) 如果∠1 = ∠4，分析角之间的关系：
我们已知：
∠1 = ∠4（题设）
∠4与∠2是对顶角，因此∠4 = ∠2（对顶角相等）
由此可得：
∠1 = ∠4 = ∠2，所以∠1 = ∠2
再看∠4和∠3的关系：
∠4和∠3是邻补角，即它们组成一条直线，因此它们的和为180°：

又因为∠1 = ∠4，代入上式得：

这说明：∠1和∠3互补。
总结：
1. 题目考查内容
①同位角、内错角、同旁内角的定义及识别；
②角之间的数量关系（如对顶角、邻补角）；
③利用角的关系进行推理和判断。
2. 题目求解要点
①准确识别角的位置关系是判断角类型的关键；
②掌握对顶角、邻补角的性质；
③能根据已知角相等关系，推导出其他角之间的关系；
④理解互补角的定义并能进行代数替换推理。
板书设计
两条直线被第三条直线所截
├─ 相关概念
│ ├─ 同位角：与，直线同侧、截线同侧
│ ├─ 内错角：与，两直线间、截线两侧
│ └─ 同旁内角：与，两直线间、截线同旁
└─ 图形：直线、被直线所截形成八个角
教学反思
本节课围绕“两条直线被第三条直线所截”展开，重点讲解了同位角、内错角和同旁内角的概念及其识别方法。教学设计通过直观图形引导学生观察角的位置关系，结合具体实例帮助学生理解概念，注重学生识图能力和空间观念的培养。从课堂反馈来看，多数学生能够准确识别不同类型的角，教学目标基本达成。成功之处在于通过层层递进的问题引导学生思考，激发了学生的学习兴趣；不足在于部分学生对角的位置关系仍存在混淆，今后需加强变式训练和图形辨析练习，提升学生的几何语言表达与逻辑推理能力。

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