资源简介

第二章实数
3 二次根式
第1课时
一、教学目标
1. 了解二次根式和二次根式的表示.
2.掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
3.经历在具体情境中发现二次根式的过程，体会引入二次根式的必要性.
4.经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体现发现的快乐，并提高应用的意识.
二、教学重难点
重点：了解二次根式和二次根式的表示.
难点：掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.
三、教学过程设计
环节一：情境导入
教师活动：教师带领学生回顾平方根以及算术平方根的有关概念，并给出思考问题让学生列式计算.
问题1：什么叫做平方根
预算答案：一般地，如果一个数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根.
问题2：什么叫做算术平方根
预算答案：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”.
问题3：什么数有算术平方根
预算答案：正数和0有算术平方根，负数没有平方根.
设计意图：回顾平方根和算数平方根的定义，为本节课要学习的内容作准备.
思考：用带根号的式子填空，观察这些结果有什么特点？
(1)如图①的画框为正方形，若面积为8 dm2，则边长为____dm；若面积为S m2，则边长为_____m．
(2)如图②长方形的土地，若宽是长的，面积为13 m2，则它的长为_____m．
预设答案：(1)；；(2).
师生活动：教师提出问题，学生思考，举手回答问题.
设计意图：通过实际问题，让学生用带根号的式子填空，为下面探究二次根式的特征作准备.
环节二：探究新知
问题1：上面问题中，得到的结果分别是，，， 这些式子分别表示什么意义？
预设答案：分别表示8，S，的算术平方根.
问题2：非负数b，m+n ，t2-2的算术平方根怎么表示？
预设答案： ， ，
问题3：什么样的数才有算术平方根？
预设答案：只有非负数才有算术平方根.
问题4：这些式子有什么共同特征？
预设答案：①都含有“”； ②被开方数都是非负数.
归纳
二次根式的概念：一般地，式子叫做二次根式. a是被开方数.
教师活动：注意：a可以是数，也可以是式.
二次根式的两个必备特征：
①外貌特征：含有“”；
②内在特征：被开方数a≥0.
做一做
1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).
分析：
预设答案：
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
2.(1)使二次根式在实数范围内有意义的m的取值范围是__________.
解：由m2≥0，得m≥2.
当m≥2时，在实数范围内有意义.
答案：m≥2.
总结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.
(2)使式子在实数范围内有意义的a 的取值范围是_______.
解：由≥0，得a≥1.
又∵为分母，
∴ a-1≠0 ，即 a≠1
∴当a＞1时，在实数范围内有意义.
答案：a＞1
总结：若二次根式为分母时，应同时考虑分母不为零.
归纳总结：求二次根式中字母的取值范围的依据：
(1)形如的二次根式有意义的条件：m≥0.
(2)二次根式作为分式的分母时，如有意义的条件：m＞0.
师生活动：教师提出问题，学生认真思考，举手回答.
设计意图：进一步探究二次根式的概念，明确只有含有二次根号和被开方数是非负数这两个条件同时满足时才是二次根式.
思考：计算下列各式，你能得到什么猜想
预设答案：6；6；20；20；；；；.
追问：你有什么猜想？
预设答案：算术平方根的积，等于积的算术平方根．算术平方根的商，等于商的算术平方根．
做一做：根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证一下吧.
预设答案：6.4807；6.4807；0.9258；0.9258.
教师总结：， .
所以验证了猜想！
问题：用字母表示你发现的猜想，你能说说这个猜想为什么正确吗
预设答案：
(a≥0，b≥0)；(a≥0，b>0)
理由：由算术平方根的定义知，，，均为非负数，
对 两边同时平方，可得，
即，显然成立.
同理可证：(a≥0，b>0).
归纳：二次根式的乘法法则和除法法则
算术平方根的积，等于积的算术平方根.
(a≥0，b≥0) a，b必须都是非负数.
教师强调：a，b必须都是非负数！
算术平方根的商，等于商的算术平方根.
(a≥0，b>0) a必须是非负数，b必须是正数.
教师强调：a必须是非负数，b必须是正数.
设计意图：引领学生自主探索二次根式的乘除法法则，从特殊式子入手，希望学生获得一定的感性经验，通过验证进一步强化这样的经验和猜测.最后经由学生交流，总结、归纳出二次根式的乘除法法则.
环节三：应用新知
教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，教师指名学生上台板演.
例1 计算：
（1） （2）
解:(1)
提示：运用了二次根式的乘法法则.
提示：运用了二次根式的除法法则.
例2 计算
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
解：(1)
提示：可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则.
(2)
(3)
提示：运用了实数的运算律.
(4)
教师活动：运用了实数的运算律.
(5)
提示：运用了实数的乘法分配律.
(6)
归纳：二次根式乘除法的运算技巧
(1)两个二次根式相乘(除)先把根号前面的系数相乘(除)，再将被开方数相乘(除)，根指数不变.
(2)二次根式的除法运算仍可转化为二次根式的乘法运算.
(3)进行二次根式的乘除混合运算时，应按从左到右的顺序进行.
学生活动：小组讨论，并总结.
环节四：课堂练习
1.选择.
(1)二次根式 有意义，则x应满足的条件是( )
A. B. A. B.
(2)下列各式正确的是( )
A. B.
C． D.
2.填空.
(1) 计算= _________；________.
(2) 长方形的宽为，面积为，则长方形的长为_____.
(3) 计算：_________.
3.计算：
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) .
答案：
1.A，B
2.，6 -5
3.(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
环节五：总结归纳
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

展开更多......

收起↑