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第二章实数
3 二次根式
第3课时
一、教学目标
1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的四则运算.
2.了解根号内含有字母的二次根式的化简.
3.利用二次根式的运算解决简单的数学问题；通过独立思考，能选择合理的方法解决问题.
4.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值.
二、教学重难点
重点：了解根号内含有字母的二次根式的化简.
难点：利用二次根式的运算解决简单的数学问题.
三、教学过程设计
环节一：情境导入
教师活动：教师提问，带领学生回顾最简二次平方根的概念二次根式乘除法法则.
最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．
二次根式的乘法法则： (a≥0，b≥0)
二次根式的除法法则： (a≥0，b>0)
环节二：探究新知
思考 梯形的上底是，下底，高是，面积是多少？
预设答案：梯形面积=
总结：实数的运算法则、运算律和乘法公式在二次根式计算中仍然适用.
教师提示：这一节我们继续学习二次根式的四则运算与化简求值问题.
设计意图：利用实际问题引入，并通过复习二次根式的乘除法法则引入新课，有利于学生迁移知识到新课.并结合前面所学知识学习本节内容.
议一议 是最简二次根式吗？如果不是，如何化简呢？
预设答案：
思考 分子、分母同乘的目的是什么？
预设答案：将分母中的根号消去，从而使其转化为有理数，进而化为最简根式.这一过程叫做分母有理化.
归纳 形如 的式子，分子、分母同乘以，可以使分母不含根号.
做一做 计算 ，.
预设答案：
解
= +
=
=
方法1：
思考 你还有其他方法解吗？
方法2：
总结：先各项化为最简二次根式，然后计算.
问题：是最简二次根式吗？如果不是，如何化简呢？
预设答案：
归纳：形如 的式子，分子、分母同乘以，可以使分母不含根号.
问题： 如何化简呢？
预设答案：
总结：形如 的式子，分子、分母同乘以，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
的含义：a的平方根.
平方根的性质：正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.0的平方根是0；负数没有平方根.
师生活动：教师引导提出问题，学生认真思考,举手回答.
设计意图：学给出问题，激发学生思考，并讨论交流.引导学生对有二次根式的分母进行分母有理化，为二次根式的混合运算打下基础.
环节三：应用新知
教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，教师再指名学生上台板演.
例1 计算
(1) (2)
(3) (4)
解:(1)
(2)
(3)
提问：你还有其他解法吗？.
解法二:
(3)
(4)
思考：还可以继续化简吗？为什么？
小结：如果算式中的二次根式化简成最简二次根式后，仍不能与其它最简二次根式合并，结果中可保留，不必化为最简二次根式.
【议一议】
化简 ，其中a=3，b=2. 你是怎么做的？
方法一：
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
小结：先代入后化简.
追问：你还有其他解法吗？
方法二：
原式=
把a=3，b=2代入代数式中，
.
小结：先化简后代入.
追问：哪种方法更简便？
【归纳】
二次根式化简求值的方法：
解决二次根式的化简求值问题时，直接代入求值比较麻烦，可先化简已知条件，再用乘法公式变形，最后代入求值即可.
学生活动：思考问题，尝试独立完成.明确例题的做法.
设计意图：继续熟悉二次根式的加、减、乘、除运算，但运算的难度要求稍有提高，同时关注解决问题方法的多样化，引导学生灵活运用法则解决问题.同伴间进行交流，教师适时引导.激发学习热情.
【例2】已知 ，求
分析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2+b2=(a+b)22ab，最后代入求解.
解：
.
设计意图：体会先化简后求值这种常见题型，通过这一环节的学习，学生可以对比整式运算法则理解二次根式运算法则并掌握.
【做一做】
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
预设答案：
方法1：分割法
可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示.
S梯形ABCD=S1+S2+S3
=18.
方法2：补图法
通过补图，可把梯形ABCD变成一个大梯形，如图所示.
S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2
=18.
方法3：直接法
过点D作AB边的高DE，如图所示.
根据勾股定理得CD=，AB=
CD∥AB,CD与AB间的距离DE=
S梯形ABCD
=18.
设计意图：此题的方法有很多，让学生充分发表意见，培养学生的探索能力.让学生体验数学活动充满着探索与创造.
环节四：课堂练习
【随堂练习】
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.选择.
(1)若，则x的值等于( )
A. 4 B. ±2 C. 2 D.±4
(2)若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是( )
A. B.
C. 1 D. 3
2.填空.
(1)已知，则x2x+1=________.
(2)比较大小：_____ .(填“>”“<”或“=”).
(3)计算： ________.
(4)设，则a ________b(填“>”“<”或“=”）.
3.计算：
4.(1) 已知 ，求的值；
(2)已知 ，求的值.
答案：
1.(1)C； (2)C.
2.(1)； (2) >； (3)5； (4)=.
3.解：(1)
4.解：(1)=(3)(+1)
1
(2)
学生活动：自主完成练习，然后集体交流评价.
设计意图：通过练习，进一步巩固二次根式的混合运算和求值化简的基本思路和基本方法. 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，培养思维能力.
环节五：总结归纳
师生活动：回顾本节课所讲的内容.

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