资源简介

一元二次方程实际应用
教学目标
1.由实际问题抽象出一元二次方程．
2.一元二次方程的应用．
二、教学重难点
1、利润问题涉及的等量关系
2、常见题型：增长率，面积问题，利润问题
三、知识精讲
1.列方程解应用题的一般步骤：
⑴ 审：弄清题意，理清等量关系；
⑵ 设：恰当地设未知数；
⑶ 列：将等量关系转化为方程，并从意义上检查方程的正确性；
⑷ 解：解方程，求出未知数的值；
⑸ 检验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；
⑹ 答：下结论，写出答案.
2.常见题型：
⑴ 面积问题：常把面积计算公式作为公式列方程.
⑵ 平均增长（降低）率问题：
次增长后的结果，其中为基数，为平均增长率，为增长的次数；
次降低后的结果，其中为基数，为平均降低率，为降低的次数；
增长（降低）率=×100%
⑶ 销售问题：
总利润=单个利润 X数量
=（卖价-成本）X数量
⑷ 储蓄问题：①利息=本金×利率×期数 ②本息和=本金+利息 ③利息税=利息×税率（20%）
四、例题精析
【题型1 增长率应用题】
例1．国庆期间电影《志愿军：雄兵出击》上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房8.28亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．2（1+x）＝8.28 B．2（1+x）2＝8.28
C．2（1+x）+2（1+x）2＝8.28 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.28
变式训练：
1．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
2．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约达到4亿元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（　　）
A．2（1+x）2＝4 B．2（1+2x）＝4
C．2（1﹣x）2＝4 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝4
【题型2 应用题----销售问题】
例2．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
变式训练：
1：．“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当销售量为30件时，产品售价为 　 　元/件；
（2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
（3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
2．2024年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”礼盒和“事事高中”礼盒．甲公司从元祖店购买了这两种部分礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”礼盒的单价是“冰淇淋粽”礼盒单价的1.5倍，且花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒．
(1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元；
(2)两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销．其中每盒“冰淇淋粽”礼盒降价元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价元．乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工作为福利，乙公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量一样，乙公司购买“事事高中”礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”礼盒的数量多盒，最后乙公司的总花费与甲公司的总花费相同，求m的值．
【题型3 应用题----表格问题】
例3．成都第31届世界大学生夏季运动会（以下简称“成都大运会”）已在今年7月28日到8月8日在成都举行．某商家购进一批成都大运会吉祥物“蓉宝”小挂件，进价为20元/件，调查发现，日销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件，且20≤x≤60）之间满足一次函数关系，其部分数据如表：
x（元/件） … 30 35 40 …
y（件） … 60 50 40 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）试问当售价为多少时，使得日销售利润为600元．
变式训练：
1．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 …
售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 …
（1）求y与x的函数关系式．
（2）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．
（3）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
【题型4 应用题----种树问题】
例4．某果农计划在一片向阳的坡地上种植100棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，但他发现多种20棵桃树，则每亩地多种4棵．
（1）求果农原计划每亩地种多少棵桃树？
（2）果农经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是1000个桃子，若多种1棵桃树，每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子，而且多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？
【题型5 应用题----函数图像问题】
例5．某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
变式训练：．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
【题型6 应用题----动点问题】
例6．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
变式训练．有一块长32cm，宽14cm的矩形铁皮．
（1）如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为280cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．
（2）由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为180的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
【题型七 与图形有关的类型题】
例7．某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为（　　）
A．（30﹣x）（20﹣x）20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）20×30
C．30x+2×20x20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）20×30
【变式练习】
1．在一幅长80cm，宽40cm的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是4500cm2，设白色纸边的宽度为x cm，则所列方程正确的是（　　）
A．80×40+2×80x+2×40x+2x2＝4500 B．（80+x）（40+x）＝4500
C．80×40+2×80x+2×40x＝4500 D．（80+2x）（40+2x）＝4500
2．如图，在一块长15m，宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为x m，若种植花苗的面积为112m2，依题意列方程为（　　）
A．10x+15×2x＝150﹣112 B．10x+15×2x﹣x2＝150﹣112
C．（10﹣2x）（15﹣x）＝112 D．（10﹣x）（15﹣2x）＝112
3．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540
【题型八 与传播有关的类型题】
例8 ．流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（　　）
A．x2+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64
【变式练习】
1．某地区有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了28条航线．设这个地区共有n个飞机场，下面所列方程正确的是（　　）
A．n（n+1）＝28 B．n（n﹣1）＝28
C． D．
2．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
五、课堂小结
平均增长（降低）率问题：
次增长后的结果，其中为基数，为平均增长率，为增长的次数；
次降低后的结果，其中为基数，为平均降低率，为降低的次数；
增长（降低）率=×100%
销售问题：
总利润=单个利润 X数量
=（卖价-成本）X数量
家庭作业：
1、一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，
该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价(元)取整数，用y(元)表示该店日净收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出).
⑴求y与的函数关系式；
(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份
售价最少不低于多少元？
(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，
每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？
2、济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
3．（2024秋 青白江区期末）如图，在一块长92m、宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠的宽为x m，根据题意列方程为（　　）
A．（92﹣x）（60﹣x）＝885×6 B．（92﹣2x）（60﹣x）＝885×6
C．（92﹣x）（60﹣2x）＝885×6 D．（92﹣2x）（60﹣2x）＝885
4．（2024秋 武侯区校级月考）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两队之间都赛一场），单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为（　　）
A．x（x+1）＝45 B．45 C．x（x﹣1）＝45 D．45
5．（2023秋 成都期末）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（　　）
A．2500（1+x）2＝9100 B．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100
C．2500[（1+x）+（1+x）2]＝9100 D．9100（1+x）2＝2500
课堂过关检测
时间： 姓名：
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个实数根，且满足，则m的值是 　 　 ．
2．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　 ．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ．
4．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为a与β．则的值是 　 　 ．
5．某企业今年1月份的利润为200万元，2月份和3月份的利润合计为750万元，设2月份和3月份利润的平均增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．鹿城大厦某种商品平均每天可销售30件，每件盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出3件，设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加　 　件，每件商品盈利　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利达到1440元？

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