资源简介

初中数学人教版（2024）七年级上册
4.1 整式
课标分析
根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本单元重点培养学生理解整式概念的能力，具体要求包括：能识别单项式、多项式及其构成要素（如系数、次数等），理解单项式是数或字母的积（如、），多项式是单项式的和（如）；掌握单项式系数的确定方法（如的系数是）和次数的计算方法（如是三次单项式）；理解整式是单项式与多项式的统称，并能区分整式与其他代数式。这些要求旨在发展学生的代数思维和符号意识，为后续学习奠定基础。
教材分析
本节课内容围绕单项式的概念展开，首先通过实际问题引入代数式的应用，如，接着通过观察多个类似代数式，归纳出单项式的定义，即数或字母的积，并介绍了单项式的系数与次数的概念，同时明确了单独一个数或字母也是单项式，随后通过“思考”引导学生理解多项式是由多个单项式组成的和，进而引出整式的概念。教学过程可从实际问题出发，引导学生观察、归纳、定义单项式及其相关概念。本节内容承接上一章代数式的学习，为后续多项式运算、整式化简及方程、函数等内容的学习奠定基础。本节课有助于学生形成代数式的分类意识，提升抽象概括能力和符号意识，为深入学习整式的运算、因式分解及后续代数内容提供支撑。
学情分析
七年级学生已经学习了代数式的初步概念，包括用字母表示数、列代数式、代数式的运算等基础知识，具备一定的符号意识和运算能力，此阶段学生处于由具体运算向抽象代数思维过渡的关键时期，对新概念的理解需要借助具体实例进行支撑，本节课通过实际问题引入单项式的概念，帮助学生理解单项式的结构特征，掌握单项式的系数与次数的定义，并能准确识别和判断单项式及其相关属性，通过观察、归纳、分类等思维活动，提升学生的抽象概括能力和数学语言表达能力，为后续学习多项式、整式及其运算奠定基础。
教学目标
理解单项式的定义及其系数、次数的概念，掌握识别单项式并确定其系数与次数的方法，提升数学抽象与符号意识，增强对代数结构的理解能力。
了解多项式的构成，能区分单项式与多项式，理解项、常数项及多项式次数的概念，培养归纳与逻辑推理能力，发展代数思维。
理解整式的含义，明确单项式与多项式的关系，掌握整式的分类，提升数学表达与运算能力，体会数学知识之间的系统性与逻辑性。
重点难点
重点：理解单项式、多项式、整式的概念，会确定单项式系数与次数、多项式的项与次数。
难点：准确区分单项式与多项式，理解单项式次数、多项式次数的概念。
课前任务
1.知识回顾：
上节课学习了代数式相关知识，请回忆代数式的定义，并举例说明什么是代数式。通过举例巩固对代数式概念的理解。
2.预习教材：
阅读教材中关于整式、单项式、多项式的内容。了解单项式的系数与次数、多项式的项与次数的定义，将这些重点内容记录在预习笔记上，不明白处做好标记。
3.问题思考：
观察代数式、、，思考它们是单项式吗？若是，系数和次数分别是多少？试着和同学讨论，为新课学习做准备。
课堂导入
同学们，在生活中我们常遇到各种数学问题。比如，小明去文具店，一支笔元，他买支笔，一共花费多少钱呢？很明显是元。再看，正方形边长为，它的面积就是。像、这样的式子，它们有着怎样的共同特征呢？其实，它们都属于一类基本的代数式。今天，我们就一同走进这类代数式的学习，探索它们的奥秘，这类代数式就是整式，其中又包含单项式、多项式等，让我们开启今天的整式之旅吧。
单项式
探究新知（一）知识精讲
同学们，让我们从实际问题出发，认识一类重要的代数式——单项式。观察汽车在主桥上行驶的例子：当速度为，行驶时间为时，路程可以表示为。这个表达式有什么特点呢？
再来看一些类似的代数式：、、。通过观察可以发现，这些代数式都是由数或字母通过乘法运算组成的。我们把这样的代数式称为单项式。特别地，单独的一个数（如）或一个字母（如）也是单项式。
在单项式中，数字因数称为系数。例如：
的系数是
的系数是
的系数是
的系数是
需要注意的是，当系数为或时，通常省略不写，如实际上是，实际上是。
单项式中所有字母的指数之和称为这个单项式的次数。例如：
中的指数是，所以次数是，称为一次单项式
中的指数是，的指数是，和是，所以是三次单项式
对于非零的数，如，规定它的次数为
（二）师生互动
教师提问：同学们，观察单项式，谁能说出它的系数和次数分别是多少？
学生回答：系数是，因为的指数是，的指数是，所以次数是。
教师追问：很好！那为什么我们说的系数是呢？
学生思考后回答：因为可以看作是，所以系数是。
教师继续提问：如果一个单项式是，它的次数是多少？为什么？
学生回答：次数是，因为根据规定，非零数的次数都是。
（三）设计意图
通过实际问题的引入和具体例子的观察，帮助学生建立单项式的直观认识。强调从具体到抽象的认知过程，培养学生的观察能力和归纳能力。通过师生互动中的层层提问，引导学生深入理解单项式的系数和次数这两个重要概念，掌握判断单项式系数和次数的方法。在整个过程中，注重培养学生的数学语言表达能力和逻辑思维能力，为后续学习多项式打下坚实基础。
新知应用
例1：
用单项式填空，并指出它们的系数和次数。
(1) 若三角形的一条边长为 ，这条边上的高为 ，则这个三角形的面积为____
(2) 一个长方体包装盒的长、宽、高分别为 cm、 cm、 cm，则这个长方体包装盒的体积为____ cm
(3) 有理数 的相反数是____
(4) 某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了 张这种版式的邮票作为奖品，共花费____ 元（邮票图示见下图）
(5) 若一种尺度的国旗的长为 cm，则这种尺度的国旗旗面的面积为_____ cm （国旗长与高的比为 3:2）
解答：
(1)
三角形的面积公式是：
这里底是 ，高是 ，所以面积是：
这个代数式是数 与字母 、 的乘积，是单项式。
系数是
所有字母的指数和是 ，所以次数是 2
答案： ，系数是 ，次数是 2。
(2)长方体的体积公式是：
这里长是 ，宽是 ，高是 ，所以体积是：
这个代数式是三个字母的乘积，是单项式。
系数是 1（因为没有写数字，表示系数为 1）
所有字母的指数和是 ，所以次数是 3
答案： ，系数是 1，次数是 3。
(3)有理数 的相反数是 。
这个代数式是 与字母 的乘积，是单项式。
系数是
字母 的指数是 1，所以次数是 1
答案： ，系数是 ，次数是 1。
(4)题目中说每张邮票是 10 枚，即 2 套，每套 6 元，所以每张邮票总价是 元。
因此，买 张邮票的总花费是：
这个代数式是数 12 与字母 的乘积，是单项式。
系数是 12
字母 的指数是 1，所以次数是 1
答案： ，系数是 12，次数是 1。
(5)国旗的长与高的比是 3:2，若长为 cm，则高为：
国旗的面积是：
这个代数式是数 与字母 的乘积，是单项式。
系数是
字母 的指数是 2，所以次数是 2
答案： ，系数是 ，次数是 2。
总结：
1.题目考查内容
① 单项式的定义：数或字母的积，单独一个数或字母也是单项式。
② 单项式的系数：单项式中数字因数。
③ 单项式的次数：所有字母的指数之和。
④ 实际问题中代数式的建立与识别。
2.题目求解要点
① 熟悉常见几何图形的面积、体积公式，并能用代数式表达。
② 理解单项式的结构，能正确识别系数和次数。
③ 注意单项式中“1”或“-1”作为系数时通常省略不写。
④ 对于实际问题，要结合题意列出正确的代数式，并判断其是否为单项式。
⑤ 对于比例问题，如国旗长高比，需先根据比例关系求出另一个边长，再计算面积。
探究新知
（一）知识精讲
同学们，让我们仔细观察这几个代数式：，，，。这些式子与之前学过的单项式有什么不同呢？
通过观察可以发现，这些式子都是由几个单项式相加组成的。比如可以看作和的和，可以看作、和的和。像这样由几个单项式的和组成的式子，我们称之为多项式。在多项式中，每个单项式都叫作这个多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项。例如在多项式中，和都是它的项，而是常数项。
多项式的次数是指次数最高的项的次数。比如多项式中，的次数是1，的次数是0，所以这个多项式的次数是1；而中，的次数最高，是2次，所以这个多项式的次数是2。
最后，我们把单项式和多项式统称为整式。比如，这些单项式，以及，这些多项式，都属于整式。
（二）师生互动
教师提问：同学们，现在请大家思考一下，多项式有几项？哪一项是常数项？这个多项式的次数是多少？
学生回答：这个多项式有三项，分别是、和。其中是常数项。因为的次数是3（x的指数2加上y的指数1），的次数是2，的次数是0，所以这个多项式的次数是3。
教师追问：很好！那如果有一个多项式，它的次数是多少呢？为什么？
学生思考后回答：这个多项式的次数是5，因为的次数最高，是5次（a的指数3加上b的指数2）。
（三）设计意图
通过具体实例的观察和分析，帮助学生理解多项式的基本概念，包括多项式的项、常数项和次数等核心要素。采用从具体到抽象的教学方法，培养学生的观察能力和归纳总结能力。通过师生互动环节，检验学生对多项式概念的理解程度，并引导他们运用所学知识解决相关问题，培养数学思维能力和表达能力。让学生在探究过程中体会数学概念的严谨性和逻辑性，为后续学习整式的运算打下坚实基础。
新知应用
例2：
用多项式填空，并指出它们的项和次数。
(1) 一个长方形相邻两条边的长分别为 、，则这个长方形的周长为________。
(2) 为一个有理数， 的立方与 2 的差为________。
(3) 某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放 辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收 辆，第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为________。
(4) 现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图4.1-2所示。它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成。如果其中正方形和等边三角形的边长都为 ，等边三角形的高为 ，那么这个印章的表面积为________。
解答：
(1)一个长方形的周长等于两条长边和两条宽边的总和。
已知两条边分别为 和 ，所以周长为：
这个多项式的项是 和 ，每一项的次数都是1，所以这个多项式的次数是1。
(2)“ 的立方”表示为 ，“与2的差”表示为减去2，即：
这个多项式的项是 和 ，其中 是三次项， 是常数项，所以这个多项式的次数是3。
(3)前两年每年投放 辆，所以总共投放了 辆。
从第三年年初开始每个月回收 辆，一年有12个月，所以一年共回收 辆。
因此，第三年年底该地区还剩下的共享单车数量为：
这个多项式的项是 和 ，每一项的次数都是1，所以这个多项式的次数是1。
(4)印章由18个正方形和8个等边三角形围成。
每个正方形的边长为 ，所以每个正方形的面积为 ，18个正方形的总面积为：
每个等边三角形的底边为 ，高为 ，所以每个三角形的面积为：
8个等边三角形的总面积为：
所以这个印章的总表面积为：
这个多项式的项是 和 ，其中 是二次项， 是一次项（两个一次变量相乘），所以这个多项式的次数是2。
总结：
1. 题目考查内容
① 多项式的定义与构成：由几个单项式的和组成。
② 多项式中项的识别与分类（如常数项、一次项、二次项等）。
③ 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。
④ 实际问题中代数表达式的建立与分析。
2. 题目求解要点
① 理解题意，将文字描述转化为代数式。
② 正确识别多项式中的各项，并判断是否为常数项或含字母项。
③ 判断每一项的次数，从而确定整个多项式的次数。
④ 对于几何类问题，需结合图形信息进行面积或数量的代数表达。
新知巩固
第1题：下列说法正确的是（ ）
选项：
A．的系数是
B．的次数是6次
C．是多项式
D．的常数项为1
解答：
我们逐项分析选项：
A．的系数是
错误。是一个单项式，它的系数是，而不是。
B．的次数是6次
错误。，所以这个单项式可以写成。字母部分是，次数是，所以次数是4次，不是6次。
C．是多项式
正确。可以看作，是两个单项式的和，因此是一个多项式。
D．的常数项为1
错误。常数项是指不含字母的项，这里常数项是，不是1。
综上所述，正确答案是：C
总结：
1. 题目考查内容
本题考查单项式的系数与次数、多项式的定义、以及多项式中常数项的识别。
2. 题目求解要点
单项式的系数是指前面的数字部分；
次数是所有字母的指数之和；
多项式是几个单项式的和；
常数项是不含字母的项。
3. 同类型题目解题步骤
识别每个选项中的代数式是单项式还是多项式；
对于单项式，判断其系数和次数；
对于多项式，判断其项数、常数项和次数；
根据定义逐项判断选项是否正确。
第2题：下列说法中正确的是（ ）
选项：
A．的系数是
B．的次数是6
C．是单项式
D．是二次三项式
解答：我们逐项分析选项：
A．的系数是
错误。这个单项式的系数是，因为是一个常数，不能忽略。
B．的次数是6
错误。，所以这个单项式是，字母部分是，次数是，不是6。
C．是单项式
错误。可以写成，是两个单项式的和，因此是多项式，不是单项式。
D．是二次三项式
正确。这个多项式有三项：（二次项）、（一次项）、7（常数项），最高次数是2，因此是二次三项式。
综上所述，正确答案是：D
总结：
1. 题目考查内容
本题考查单项式的系数与次数、多项式的定义、单项式的识别、以及多项式的次数与项数。
2. 题目求解要点
系数包括数字和常数（如）；
次数是所有字母的指数之和；
单项式不能含有加减号；
多项式是单项式的和，次数由最高次项决定。
3. 同类型题目解题步骤
分析每个代数式的结构；
判断是单项式还是多项式；
确定系数、次数、项数；
根据定义判断选项是否正确。
板书设计
整式
单项式
定义：数或字母的积，单独数或字母也是
系数：数字因数
次数：所有字母指数和，非零数次数为0
多项式
定义：几个单项式的和
项：每个单项式
常数项：不含字母的项
次数：次数最高项的次数
整式：单项式与多项式统称
教学反思
本节课围绕单项式的概念展开，通过具体实例引导学生归纳单项式的定义，理解系数与次数的含义，并通过观察、比较引出多项式与整式的概念。教学设计符合课标要求，注重知识的生成过程，体现了从具体到抽象的数学思维路径。课堂中学生能够积极参与讨论，基本达成了教学目标。成功之处在于通过问题引导和实例分析，帮助学生建立清晰的概念框架；不足在于对单项式与代数式的整体关系铺垫略显薄弱，部分学生在辨析单项式与多项式时存在混淆。今后教学中应加强概念之间的联系梳理，并通过更多变式练习提升学生的辨析能力。

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